Проецирование плоских фигур конспект кратко

Обновлено: 18.05.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Урок №_________ 8 класс Дата____________

Конспект урока по черчению

рассмотреть правила построения аксонометрических проекций;

познакомить учащихся с получением изображений и с расположением осей в аксонометрии;

познакомить с последовательностью построения аксонометрических проекций плоских фигур;

познакомить с последовательностью построения аксонометрических проекций плоскогранных фигур;

освоить построение предмета во фронтальной диметрической проекции и в прямоугольной изометрической проекции;

научить применять последовательность построения видов на чертеже детали с учётом анализа;

развивать образное представление и пространственное мышление.

воспитывать аккуратность в графических представлениях.

Обучающая : усвоение новых знаний по данной теме.

Развивающая : развитие пространственного воображения, логического мышления, творческого подхода к решению поставленной задачи;

Воспитательная : воспитание у учащихся интереса к предмету, добросовестного отношения к труду и аккуратности в выполнении графических работ.

Форма (тип) урока: урок закрепления и изучение нового материала.

Оборудование и пособия:

Для учителя: интерактивная доска, проектор, компьютер, плакаты, презентация.

Для учащихся: учебник “Черчение”, Ботвинникова А.Д. и др., чертёжные принадлежности, рабочая тетрадь, карточки - задания.

Методы, приемы проведения урока: презентация, объяснение, выполнение задания.

Организационный момент

Актуализация опорных знаний

Изучение нового материала

Аксонометрические проекции в зависимости от направления проецирования разделяют на:

косоугольные , когда направление проецирования не перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций;

прямоугольные , когда направление проецирования перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций.

В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрии:

изометрия — все три коэффициента искажения равны между собой;

диметрия — два коэффициента искажения равны между собой и отличаются от третьего;

триметрия — все три коэффициента искажения не равны между собой.

Рассмотрим процесс получения аксонометрических проекций .

Аксонометрической проекцией называется изображение, полученное на аксонометрической плоскости в результате параллельного проецирования предмета вместе с системой координат.

Предмет располагают определенным образом относительно взаимно перпендикулярных осей X, У, 7, и вместе с ними проецируют его на произвольную плоскость Р.

Эту плоскость называют плоскостью аксонометрических проекций, а проекции координатных осей X, У, 7, — аксонометрическими осями.

На аксонометрических проекциях форма предмета всегда передается одним изображением, позволяющим увидеть три его стороны.

Запишем определение: Аксонометрической проекцией называется изображение, полученное на аксонометрической плоскости в результате параллельного проецирования предмета вместе с системой координат, которое наглядно отображает его форму.

Аксонометрические проекции делятся на несколько видов. Мы будем изучать два из них:

Косоугольную фронтальную диметрическую проекцию

Прямоугольную изометрическую проекцию.

Определим их различия:

Для всех аксонометрических проекций введены общие правила:

ось Z всегда вертикальна;

все измерения выполняются только по аксонометрическим осям или прямым, параллельным им;

все прямые линии, параллельные друг другу или осям координат на комплексном чертеже, в аксонометрических проекциях остаются параллельными между собой и соответствующим аксонометрическим осям.

Закрепление:

Чаще всего построение аксонометрической проекции происходит с построения основания. Рассмотрим алгоритм построения аксонометрических проекций предмета на примере прямоугольного параллелепипеда.

Заключительная часть, в ыставление оценок

Подведение итога. Какие размеры откладывают при выполнении чертежа вдоль аксонометрических осей в изометрической и фронтальной диметрической проекциях?

Домашнее задание: Выполнить построение проекций плоских фигур (задание в тетради), повторить опорный конспект.

На рисунке 31 мы видим изображения некоторых геометрических тел.

Геометрическим телом называется часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью.

Рисунок 31 – Геометрические тела

Форма каждого из геометрических тел имеет свои характерные признаки. В зависимости от этих признаков геометрические тела делятся на две группы:

1. многогранники – это тела, ограниченные плоскими многоугольниками (призмы, пирамиды);

2. тела вращения – тела, ограниченные поверхностями, которые получают в результате вращения замкнутой плоской фигуры вокруг неподвижной оси (конусы, цилиндры).

Любую деталь можно представить как совокупность отдельных геометрических тел (рис. 32).

Рисунок 32 – Анализ геометрической формы деталей

Проекции геометрических тел.

Спроецируем призму (рис.33), пирамиду (рис. 34), цилиндр (рис. 35)и конус (рис. 36) на три плоскости проекции.

Рисунок 33 – Проекции шестигранной призмы

Рисунок 34 – Проекции трехгранной пирамиды

Рисунок 35 – Проекции конуса

Рисунок 36 – Проекции конуса

Проекции призмы.

В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, призмы бывают (рис. 37):

- шестигранными и т.д.

Так же, эти призмы по-разному могут располагаются относительно трех плоскостей проекций (рис. 37).

Рисунок 37 – Призмы

Рассмотрим построение проекций правильной трехгранной призмы, стоящей на горизонтальной плоскости (рис. 38).

Так как ее грани это плоскости перпендикулярные горизонтальной плоскости проекций, а ребра – прямые, перпендикулярные этой же плоскости. Вся призма на горизонтальную плоскость спроецируется в правильный треугольник.

На фронтальную плоскость основания призмы проецируется в виде прямых, параллельных оси ОХ, так как эти плоскости параллельны горизонтальной плоскости. Причем, нижнее основание совпадает с осью ОХ.

Боковые грани на фронтальную и профильную плоскости проецируются в виде прямоугольников, а ребра в виде прямых параллельных оси ОZ.

На комплексных чертежах предметов часто приходится строить проекции точек и линий, расположенных на поверхности этих тел, имея иногда только одну проекцию точки или линии. Рассмотрим решение этой задачи.

Найдем три проекции точки А, лежащей на боковой грани призмы и построим аксонометрию этой призмы (рис. 38).

Рисунок 38 – Три проекции и аксонометрия трехгранной призмы

Проекции цилиндра

Боковая поверхность прямого кругового цилиндра образована движением отрезка АВ вокруг вертикальной оси по направляющей окружности (рис. 39а). Последовательность построения фронтальной и горизонтальной проекции показана на рисунках 39 б,в.

Рисунок 39 – Прямой цилиндр

Недостающие проекции точек А и В, расположенных на поверхности цилиндра по одной заданной проекции строятся так же, как и точки на поверхности призмы, так как вся горизонтальная проекция боковой поверхности цилиндра представляет собой окружность. Следовательно, горизонтальные проекции точек А и В можно найти проведя линии связи до пересечения с окружностью. Затем по двум проекциям строится профильная проекция (рис. 40а).

Рисунок 40 – Комплексный чертеж и изометрическая проекция цилиндра

Изометрическую проекцию цилиндра строят, как показано на рисунке 40б.

Построение овалов показано на рис. 44

Проекции пирамиды

Построение проекций четырехгранной пирамиды показано на рисунке 41а.

Пусть дана фронтальная проекция А₂ точки А, расположенной на грани 1 2 S. Требуется найти горизонтальную А₁ и профильную А₃ проекции точки А.

Для решения этой задачи следует вспомнить условие принадлежности точки плоскости. Через точку А₂ проведем вспомогательную прямую S₂ N₂. Найдем горизонтальную проекцию этой прямой S₁ N₁. На этой линии с помощью линий проекционной связи найдем горизонтальную проекцию А₁ точки А. Затем по двум проекциям А₁ и А₂ находим профильную проекцию А₃ точки А.

Рисунок 41- Комплексный чертеж и изометрическая проекция пирамиды

Построение изометрической проекции пирамиды показано на рисунке 41б.

В начале строят основание пирамиды, для чего на оси ОХ откладываем расстояния S₁ 1₁ и S₁ 3₁, а на оси ОY – S₁ 2₁, S₁ 4₁, на оси ОZ откладываем высоту пирамиды и получаем точку S – вершину. Точку S соединяем с точками 1 2 3 4 и обводим чертеж с учетом видимости ребер. Точку А строим по координатам X, Y, Z, которые берем с комплексного чертежа (рис. 41а).

Проекции конуса

Построение проекций конуса показано на рисунках 42 б,в.

Рисунок 42 – Прямой конус

Если на поверхности конуса задана одна проекция точки А (например фронтальная А₂), то две другие находят с помощью вспомогательных линий образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А или окружности, расположенной в плоскости, параллельной основанию.

Рисунок 43 – Комплексный чертеж и изометрическая проекция конуса

Чтобы построить изометрию конуса, необходимо построить овал в горизонтальной плоскости, из центра овала по оси ОZ отложить высоту конуса и получить точку S. Из точки S провести касательные к овалу. Точки на поверхности конуса находят по координатам X, Y, Z, которые берут с комплексного чертежа (рис. 43).

Построение овалов

Малая ось овала параллельна оси, отсутствующей в данной плоскости. В горизонтальной плоскости малая ось параллельна оси ОZ; во фронтальной - оси ОY; в профильной – ОХ. Большая ось перпендикулярна малой оси овала.

Порядок построения овалов (рис. 44)

1. Проводим аксонометрические оси X, Y, Z.

2. Определяем положение малой оси (м.о.).

3. Проводим большую ось перпендикулярно малой (б.о.).

4. Из точки пересечения осей проводим окружность заданного радиуса.

5. Находим точки пересечения окружности с малой осью (О₁, О₂).

6. Из точки О₁ соединяем дугой точки А и В, а из точки О₂ точки С и D.

7. Соединяем точки А и О₁; В и О₁. На пересечении этих линий с большой осью овала найдем точки О₃ и О₄.

8. Из точки О₃ соединяем дугой точки А и С, а из точки О₄ – точки В и D.

Рисунок 44 – Построение овалов

Анализ геометрической формы предметов.

На рисунке 31 мы видим изображения некоторых геометрических тел.

Геометрическим телом называется часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью.

Рисунок 31 – Геометрические тела

1. многогранники – это тела, ограниченные плоскими многоугольниками (призмы, пирамиды);

Любую деталь можно представить как совокупность отдельных геометрических тел (рис. 32).

Рисунок 32 – Анализ геометрической формы деталей

Проекции геометрических тел.

Спроецируем призму (рис.33), пирамиду (рис. 34), цилиндр (рис. 35)и конус (рис. 36) на три плоскости проекции.

Рисунок 33 – Проекции шестигранной призмы

Рисунок 34 – Проекции трехгранной пирамиды

Рисунок 35 – Проекции конуса

Рисунок 36 – Проекции конуса

Проекции призмы.

В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, призмы бывают (рис. 37):

- шестигранными и т.д.

Так же, эти призмы по-разному могут располагаются относительно трех плоскостей проекций (рис. 37).

Рисунок 37 – Призмы

Рассмотрим построение проекций правильной трехгранной призмы, стоящей на горизонтальной плоскости (рис. 38).

Найдем три проекции точки А, лежащей на боковой грани призмы и построим аксонометрию этой призмы (рис. 38).

Рисунок 38 – Три проекции и аксонометрия трехгранной призмы

Проекции цилиндра

Рисунок 39 – Прямой цилиндр

Рисунок 40 – Комплексный чертеж и изометрическая проекция цилиндра

Изометрическую проекцию цилиндра строят, как показано на рисунке 40б.

Построение овалов показано на рис. 44

Проекции пирамиды

Построение проекций четырехгранной пирамиды показано на рисунке 41а.

Рисунок 41- Комплексный чертеж и изометрическая проекция пирамиды

Построение изометрической проекции пирамиды показано на рисунке 41б.

Проекции конуса

Построение проекций конуса показано на рисунках 42 б,в.

Рисунок 42 – Прямой конус

Рисунок 43 – Комплексный чертеж и изометрическая проекция конуса

Построение овалов

Порядок построения овалов (рис. 44)

1. Проводим аксонометрические оси X, Y, Z.

2. Определяем положение малой оси (м.о.).

3. Проводим большую ось перпендикулярно малой (б.о.).

4. Из точки пересечения осей проводим окружность заданного радиуса.

5. Находим точки пересечения окружности с малой осью (О₁, О₂).

6. Из точки О₁ соединяем дугой точки А и В, а из точки О₂ точки С и D.

7. Соединяем точки А и О₁; В и О₁. На пересечении этих линий с большой осью овала найдем точки О₃ и О₄.

8. Из точки О₃ соединяем дугой точки А и С, а из точки О₄ – точки В и D.

§ 18. Построение аксонометрических проекций плоских фигур и окружностей

Построение аксонометрических проекций плоских фигур и окружностей

Построение аксонометрических проекций мы начнем с построения аксонометрических проекций плоских геометрических фигур. Знание приемов построения плоских фигур (квадрата, треугольника, прямоугольника, круга) необходимо для построения аксонометрических проекций геометрических тел, предметов и т. д.

Плоская фигура — фигура, все точки которой находятся в одной плоскости .

В качестве примера рассмотрим алгоритм построения аксонометрической проекции квадрата. По такому же алгоритму строятся аксонометрические проекции других плоских многоугольников.

На основе алгоритма построения квадрата постройте аксонометрические проекции прямоугольного треугольника. Какая сторона треугольника будет проецироваться с искажением во фронтальной диметрии?

Постройте аксонометрические проекции елки. Какие плоские фигуры составляют изображение? Какой плоскости проецирования елка параллельна?

Кроме многоугольников, к плоским фигурам относят и окружности. В изометрической проекции окружность проецируется в замкнутую кривую линию — эллипс (рис. 55). Для его построения пользуются лекалами, поэтому эллипсы называют лекальными кривыми. Прием построения эллипса сложный и требует длительной работы, поэтому для упрощения построений эллипсы заменяют овалами.

Овал — замкнутая кривая, состоящая из четырех дуг окружностей, плавно переходящих друг в друга (рис. 56).

Для удобства построения овала в аксонометрической проекции сначала изображают аксонометрическую проекцию квадрата, построение которой вам уже известно.

Общее построение аксонометрической проекции окружности

1. Выполняют построение осей аксонометрической проекции. Затем от точки О откладывают отрезки, равные радиусу окружности (R = Oa = Ob = Oc = Od). Через точки а, b, c и d проводят прямые, параллельные осям, получают ромб. Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.
2. Выполняют построение больших дуг овала. Из вершин А и В описывают дуги радиусом R, равные расстоянию от вершины (А или В) до точек a, b, c, d (R = Ad = Bb).
3. Строят малые дуги овала. Через точки B и a, B и b проводят прямые. На пересечении прямых Вa и Вb с большой диагональю ромба находят точки 1 и 2. Они будут центрами малых дуг. Их радиус R1 равен 1а или 2b

Построение фронтальной и профильной проекций окружности
Фронтальная и профильные проекции окружности выполняются по такому же алгоритму, как и горизонтальная проекция.

Помните! Большая ось овала всегда перпендикулярна аксонометрической оси, не участвующей в образовании плоскости, на которой ведется построение. Малая ось — продолжение аксонометрической оси.

Определите, на каком рисунке (а или б) изображен куб в изометрии. Объясните, как вы это определили.

Эллипсограф, или Сеть Архимеда, — механизм, который способен преобразовывать возвратно-поступательное движение в эллипсоидное. Применяется в качестве чертежного инструмента для вычерчивания эллипсов, а также в качестве приспособления для разрезания стекла, бумаги, картона. История этого механизма точно не определена, но считается, что эллипсографы существовали еще во времена Архимеда.

В этом видеоуроке мы напомним, что называют параллельным проектированием. Вспомним основные его свойства. Повторим, как свойства параллельного проектирования применяются при выполнении рисунков, иллюстрирующих теоремы и задачи стереометрии.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур"

В стереометрии большое значение имеет умение наглядно изображать неплоские фигуры на плоскости. Вы знаете, что когда в планиметрии на листе бумаги изображают плоскую фигуру, то все точки изображённой фигуры лежат на плоскости листа. В стереометрии же рассматриваются фигуры, у которых не все точки расположены в одной плоскости. Поэтому надо знать правила, по которым изображают на плоскости пространственные фигуры.

Итак, зачастую для изображения на плоскости (например, на листе бумаги) геометрических фигур, расположенных в пространстве, используется параллельное проектирование. Определяется оно следующим образом.

Пусть — некоторая плоскость, а — некоторая прямая, пересекающая эту плоскость. Возьмём в пространстве произвольную точку . Если точка не лежит на прямой , то проведём через точку прямую, параллельную прямой , и обозначим через точку пересечения этой прямой с плоскостью . Если же точка лежит на прямой , то обозначим через точку пересечения прямой с плоскостью .

Точка называется проекцией точки на плоскость при проектировании параллельно прямой (или параллельной проекцией точки ).

Плоскость называется плоскостью проекций, а о прямой говорят, что она задаёт направление проектирования.

Все прямые, параллельные прямой , задают одно и то же направление проектирования, поэтому также называются проектирующими прямыми.

Пусть — плоская или пространственная фигура. Проекцией фигуры на плоскость при проектировании параллельно прямой называется множество проекций всех точек фигуры.

Заметим, что проекция заданной фигуры зависит от выбора плоскости проекций и проектирующей прямой.

Вспомним основные свойства параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой, задающей направление проектирования.

1. Проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка — отрезок.

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Следствие. При параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.

При параллельном проектировании могут искажаться размеры отрезков и углы, но обязательно сохраняется параллельность прямых.

Если точка делит отрезок в отношении , то проекция точки будет делить проекцию отрезка также в отношении .

Центр правильного треугольника отображается в точку пересечения медиан проекции этого треугольника, центр квадрата — в точку пересечения диагоналей проекции квадрата.

А теперь давайте поговорим об изображении пространственных фигур.

Рассмотренные свойства параллельного проектирования применяются при выполнении рисунков (изображений фигур), иллюстрирующих теоремы и задачи стереометрии.

Изображением фигуры называется любая фигура, подобная проекции этой фигуры на некоторую плоскость.

Выполняя изображения фигур, расположенных в пространстве, необходимо учитывать свойства, сохраняющиеся при параллельном проектировании, а в остальном изображение может быть произвольным. Важно только, чтобы изображения рассматриваемых фигур были наглядными и давали верное представление о них.

При различном выборе плоскости проекций и направления проектирования получаются различные проекции данной фигуры, а значит, и различные её изображения.

Например, вы видите фигуры, которые являются изображениями куба.

Причём изображение куба, данное на первом рисунке, не даёт представления о кубе, наглядным является изображение, которое дано на последнем рисунке.

При построении изображений плоских фигур, расположенных в пространстве, предполагается, что плоскости рассматриваемых фигур не параллельны направлению проектирования.

Итак, проекцией треугольника может быть любой треугольник.

При этом величины углов и отношение длин непараллельных сторон не сохраняются, но при этом медианы треугольника отображаются в медианы его проекции. В частности, за изображение прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников можно принять любой треугольник.

Параллелограмм проектируется в параллелограмм, так как параллельные прямые сохраняют параллельность.

В частном случае за изображение прямоугольника, квадрата, ромба можно принять любой параллелограмм.

Трапеция проектируется в другую трапецию, но с сохранением параллельности оснований.

Правильный шестиугольник проектируется в искажённый шестиугольник с сохранением параллельности противолежащих сторон.

Окружность проектируется в эллипс, большая ось которого имеет длину, равную диаметру окружности.

При изображении пространственных фигур пользуются тем фактом, что фигуру, состоящую из сторон и диагоналей любого выпуклого или невыпуклого четырёхугольника, можно считать изображением треугольной пирамиды при определённом выборе направления проектирования и плоскости, на которую проектируется эта пирамида.

Например, фигуры, изображённые на экране, являются изображениями треугольной пирамиды при соответствующем выборе направления проектирования.

Изображение параллелепипеда строится, исходя из того, что все его грани параллелограммы и, следовательно, изображаются параллелограммами.

При изображении куба плоскость изображений обычно выбирается параллельной одной из его граней. В этом случае две грани куба, параллельные плоскости изображений (передняя и задняя), изображаются равными квадратами. Остальные грани куба изображаются параллелограммами.

Аналогичным образом изображается прямоугольный параллелепипед.

Для того чтобы построить изображение призмы, достаточно построить многоугольник, изображающий её основание. Затем из вершин многоугольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы.

Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий её основание. Затем выбрать какую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соединить её с вершинами многоугольника. Полученные отрезки будут изображать боковые рёбра пирамиды.

Для изображения цилиндра достаточно изобразить его основания в виде двух эллипсов, получающихся друг из друга параллельным переносом, и нарисовать две образующие, соединяющие соответствующие точки этих оснований.

Для изображения конуса достаточно изобразить его основание в виде эллипса, отметить вершину и провести через неё две образующие, являющиеся касательными к этому эллипсу.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Точки и находятся по одну сторону от плоскости . Точки и — их параллельные проекции на эту плоскость, причём . Постройте точку пересечения прямой с плоскостью . И найдите расстояние между серединой отрезка и её проекцией на плоскость , если и см.

Задача вторая. На диагонали параллелепипеда взята точка , а на прямой – точка так, что отрезки и параллельны. Найти их отношение.

Читайте также: