Понятие предела последовательности 10 класс никольский конспект урока

Обновлено: 06.07.2024

Цель: привести основные понятия, связанные с последовательностями.

II. Изучение нового материала

Определение 1. Функцию вида у = f ( x ), х ∈ N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f ( n ), или у1, у2, у3, . у n , . или (у n ). Также можно сказать, что числовой последовательностью называют множество чисел, для каждого из которых известен его порядковый номер.

а) Для последовательности положительных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, . - известно, что первое число равно 1, второе число равно 3, третье число равно 5 и т. д.

б) Для последовательности правильных дробей с числителем 1: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, . - известно, что первое число равно 1/2, второе число равно 1/3, третье число равно 1/4 и т. д.

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена: у1, у2, у3, . у n , . . Соответственно, член последовательности с номером n (или n -й член последовательности) обозначают у n , а саму последовательность - (у n ).

Рассмотрим последовательность натуральных трехзначных чисел: 100; 101; 102; . ; 999. В ней: у1 = 100, у2 = 101, у3 = 102, . y 900 = 999. Член этой последовательности с номером n ( n -й член последовательности) можно вычислить по формуле у n = 99 + n , где n = 1, 2, 3, . 900.

1. Способы задания последовательностей

Последовательность необходимо задать, т. е. указать способ, с помощью которого можно найти каждый ее член. Рассмотрим основные способы задания последовательностей.

1. Аналитический способ (формула n -го члена)

Последовательность задается формулой, которая позволяет найти по номеру n ее член у n .

а) Пусть последовательность задана формулой у n = 3 n - 2. Подставляя вместо n натуральные числа, находим члены последовательности: и т. д. Имеем последовательность 1,4, 7. .

б) Пусть последовательность задана формулой Подставляя вместо n натуральные числа, находим члены последовательности: и т. д. Имеем последовательность 0, 1, 0, 1. .

2. Аналитический способ (рекуррентная формула)

Последовательность задается формулой, которая позволяет найти следующие члены последовательности, если известны один или несколько предыдущих членов.

а) Пусть последовательность задана формулой у n +1 = 2у n + 3, где у1 = 5 и n ≥ 1.

Запишем рекуррентную формулу для n = 1: у1+1 = 2у1 + 3 или у2 = 2 · 5 + 3 = 13.

Запишем формулу для n = 2: у2+1 = 2у2 + 3 или у3 = 2 · 13 + 3 = 29.

Запишем формулу для n = 3: y 3+1 = 2у3 + 3 или y 4 = 2 · 29 + 3 = 61 и т. д.

Имеем последовательность 5, 13, 29, 61, . .

б) Пусть последовательность задана формулой У n +2 = 2уп+1 + 3у n , где у1 = 1, у2 = 2 и n ≥ 1.

Запишем рекуррентную формулу для n = 1: у1+2 = 2у1+1 + 3у1, или У3 = 2у2 + 3у1 или у3 = 2 · 2 + 3 · 1 = 7.

Запишем формулу для n = 2: у2+2 = 2у2+1 + 3у2 или у4 = 2у3 + 3у2 = 2 · 7 + 3 · 2 = 20.

Запишем формулу для n = 3: у3+2 = 2 y 3+1 + 3 y 3 , или у5 = 2у4 + Зу3, или у5 = 2 · 20 + 3 · 7 = 61 и т. д.

Имеем последовательность 1, 2, 7, 20, 61, . .

3. Описательный способ

Описывается способ получения членов последовательности.

а) Рассмотрим последовательность натуральных четных чисел. Из описания последовательности легко выписать ее члены: 2, 4, 6, 8.

б) Рассмотрим последовательность приближений по недостатку с точностью до п цифр иррационального числа к. Из описания последовательности выписываем ее члены: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; . .

2. Основные свойства последовательностей

Теперь рассмотрим два основных свойства последовательностей.

1. Ограниченность последовательности

Определение 2. Последовательность (у n ) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа М, т. е. у n ≤ М. Число М называют верхней границей последовательности.

Последовательность у n = 5 - n ограничена сверху. При этом число М = 4. Покажем, что при всех натуральных n выполнено неравенство у n ≤ М. Получаем неравенство 5 - n ≤ 4, откуда n ≥ 1 (т. е. неравенство справедливо при всех n ∈ N ).

Определение 3. Последовательность (у n ) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше числа m , т. е. у n ≥ m . Число m называют нижней границей последовательности.

Последовательность у n = 3 + 2 n ограничена снизу. При этом число m = 5. Покажем, что при всех натуральных n выполнено неравенство yn ≥ m . Получаем неравенство 3 + 2 n ≥ 5, откуда n ≥ 1 (т. е. неравенство справедливо при всех n ∈ N ).

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью. Иначе, последовательность (у n ) называют ограниченной, если существуют два таких числа m и М, что для любого натурального номера n выполнено неравенство m ≤ у n ≤ М.

Докажем ограниченность последовательности

Найдем первый член последовательности и член последовательности с очень большим номером n , например Возникает гипотеза, что последовательность ограничена, m = 0 и М = 1. Поэтому надо доказать, что при всех натуральных значениях n выполнено неравенство Очевидно, что левая часть неравенства выполняется. Рассмотрим правую часть неравенства Так как выражение n + 2 положительно, то получаем неравенство n - 1 ≤ n + 2 или -1 ≤ 2, которое является верным.

2. Монотонность последовательности

Определение 4. Последовательность (у n ) называют возрастающей, если каждый ее член (начиная со второго) больше предыдущего, т. е. у n +1 > у n для n ≥ 1.

Определение 5. Последовательность (у n ) называют убывающей, если каждый ее член (начиная со второго) меньше предыдущего, т. е. yn +1 n для n ≥> 1.

Определим монотонность последовательности

Запишем ( n + 1)-й член последовательности: Найдем разность двух соседних членов: Так как n - натуральное число, то при всех n дробь положительна. Поэтому у n +1 – у n > 0 или у n +1 > у n при всех n . Тогда по определению данная последовательность (у n ) возрастающая.

Заметим, что последовательность у n = an при a > 1 возрастает, при 0 a

3. Предел последовательности

Введем еще одно важнейшее понятие - предел последовательности.

Покажем, что

Прежде всего отметим, что понятие предела последовательности очень сложное и с трудом воспринимается даже студентами. Поэтому подробно будем разбираться с этим примером (буквально по пунктам).

1. В данном случае число b = 0. Выберем произвольный радиус r окрестности точки b (обычно r выбирают небольшим и r > 0). Поэтому будем рассматривать интервал (0 - r ; 0 + r ) или (- r ; r ).

2. Нужно найти номер N , начиная с которого все члены последовательности у n = 2/ n будут находиться в интервале (- r ; r ). Другими словами, надо относительно n решить неравенство – r n r .

3. Очевидно, что левая часть неравенства - r n выполняется при всех натуральных n . Решим правую часть неравенства 2/ n r . Получим 2 nr , откуда n > 2/ r . Итак, при n > 2/ n все члены последовательности у n отличаются от своего предела в менее чем на r .

4. Сделаем оценки. При r = 0,1 получаем n > 20 (т. е. начиная с номера N = 21 все члены последовательности отличаются от предела не более чем на 0,1). При r = 0,01 имеем n > 200 (т. е. начиная с номера N = 201 все члены последовательности отличаются от предела не более чем на 0,01) и т. д. На рисунке приведена графическая иллюстрация для этого случая.

Видно, что в r -окрестности предела собирается (сгущается) бесконечное множество членов последовательности, вне этой окрестности находится только конечное число членов.

Если последовательность (у n ) имеет предел, то говорят, что она сходится, если не имеет предела - то расходится.

4. Теоремы о пределах и вычисление пределов последовательностей

Приведем формулировки теорем о пределах последовательностей.

Теорема 4.1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Теорема 4.2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Теорема 4.3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Теорема 4.4. Если то:

1) предел суммы равен сумме пределов:

2) предел произведения равен произведению пределов:

3) предел частного равен частному пределов:

4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Теорема 4 используется при вычислении пределов последовательностей.

Найдем пределы последовательностей:

а) Используем теоремы 4.2 и 4.4 и получим:

б) Применим теоремы 4.1 и 4.4. Имеем:

в) Заметим, что сразу использовать теорему 4.3 нельзя, так как числитель 2 n 2 + 3 и знаменатель 5 n 2 - 1 дроби бесконечно большие величины и получаем что-то непонятное: ∞/∞. Поэтому разделим числитель и знаменатель дроби на n 2 и используем теоремы 4.1, 4.3 и 4.4. Получим:

г) Опять же сразу применять теоремы 4.3 и 4.1 нельзя. Тогда получим: Каждое слагаемое в этой сумме стремится к нулю ( ), но в эту сумму входят n слагаемых, т. е. бесконечно большая величина.

Получаем опять нечто непонятное: 0 · ∞.

Учтем, что числитель дроби является суммой арифметической прогрессии и используем теоремы 4.1, 4.3, 4.4. Имеем:

д) При n → ∞ множитель множитель Возникает опять что-то непонятное: ∞ · 0. Поэтому умножим и разделим данное выражение на и применим теоремы 4.1, 4.3, 4.4. Получаем:

Таким образом, вычисление пределов последовательностей несложно, но необходимо проявлять внимание и аккуратность. При больших значениях n члены последовательности практически равны ее пределу.

III. Контрольные вопросы

1. Дайте определение последовательности.

2. Основные способы задания последовательности.

3. Ограниченность последовательности.

4. Монотонность последовательности.

5. Понятие r -окрестности точки Ь.

6. Определение предела последовательности.

7. Теоремы о пределах последовательности (фронтальный опрос).

IV. Задание на уроках

§ 24, № 1 (а, б); 3 (в, г); 7 (а, б); 10; 14 (а, г); 15 (а, б); 16 (б, г); 19 (а, б); 20 (г); 22 (б).

V. Задание на дом

§ 24, № 1 (в, г); 3 (а, б); 7 (в, г); 11; 14 (б, в); 15 (в, г); 16 (а, в); 19 (в, г); 20 ( a ); 22 (г).

VI. Творческие задания

1. Найдите четыре первых члена последовательности (а n ), если:

Ответы: а) а1 = 1, а2 = 2, a 3 = 5, а4 = 14; б) а1 = 2, а2 = 11, а3 = 47, а4 = 191; в) а1 = 1, а2 = 2, а3 = 3, а4 = 5; г) а1 = 2, а2 = 1, a 3 = -3, а4 = -5; д) а1 = 1, а2 = 2, а3 = 4, а4 = 8; е) a 1 = 2, а2 = 1, а3 = 4, а4 = 9.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Занятие проводится для учебных групп 1 года обучения по программе " Юный спасатель".

Конспект кружкового занятия по теме "Понятие мультимедиа. Компьютерные презентации"

Конспект занятия кружка "Юный информатик" (5 класс) по теме "Понятие мультимедиа. Компьютерные презентации".

Цели и задачи: проинформировать уч.

Конспект занятия по теме "Знакомство с понятием певческая дикция"

Данный материал поможет при знакомстве с понятием певческая дикция.

Конспект занятия на тему: "Понятие гиперссылка. Способы и виды ее использования"

В ходе данного занятия раскрывается понятие Гиперссылка, виды и способы ее создания.

-образовательные: 1. Научить вычислять пределы числовых последовательностей.

2. Графически распознавать пределы последовательностей, по средствам функций.

-развивающие: 1.Научиться решать задачи с помощью геометрического смысла пределов.

Организационный момент

Актуализация знаний

- В школьном курсе алгебры вы изучали последовательности. Какие? (арифметическую и геометрическую прогрессию)

- Что же такое последовательность?

Последовательность- это занумерованный ряд объектов.

Можно строить последовательности чисел, функций, векторов, рассматривать последовательности событий, утверждений и т.п.

Приведите пример последовательности.

Изучение нового материала

3.1. Понятие числовой последовательности

- Запишем определение числовой последовательности.

Опр 1:Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число: числу 1 соответствует число а, числу 2 – а₂…….числу n – число а_n и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут а₁, а₂,…,а_n или (а_n), где а₁, а₂,…,а_n – члены последовательности.

Опр 1 / :Занумерованный ряд чисел а₁, а₂,…, а_n,…называется числовой последовательность.

3.2. Способы задания числовой последовательности

(на каждой парте лежит карта теоретического материала, в процессе беседы учащимся предлагается перевернуть соответствующий лист)

- Какими способами можно задать числовую последовательность?

(учащиеся высказывают свои мнения)

- Вы правы. Наиболее простой способ задания последовательности – это ее задание с помощью формулы общего члена, т.е. формулы, явно выражающей зависимость n-го члена последовательности от n.

Например, формула а_n=2n задает последовательность четных чисел2,4,6,8,… .

Другим важным способом задания последовательности являетсярекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-й член последовательности с одним или несколькими предыдущими.

Например, рекуррентное соотношение a_n=a_n-1+2 вместе с уравнениемa₁=1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2:1, 3, 5, 7. . Это не что иное, как последовательность нечетных чисел.

Так же последовательность может быть задана словесным описанием, в котором определяется процесс построения членов последовательности.

- Прочитайте и выделите в математической карте главный материал.

3.3. Свойства числовой последовательности

- Числовые последовательности могут обладать свойствами, которые мы рассматривали при изучении обычных функций.

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого верно неравенство .(аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)

Например 1, 3, 5, 7 2_{n -1}. — возрастающая последовательность.

Например — убывающая последовательность.

Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

Последовательность а₁, а₂,…,а_n .. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство выполняется для всех номеров n.

Иными словами, последовательность (y_n) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство

у_nМ. Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность-1, -4, -9, -16. —п 2 , . ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Последовательность (у_n) ограничена снизу, если существует число mтакое, что для любого n выполняется неравенство у_п. Число mназывают нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, . п 2 , . ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

- Прочитайте и выделите в теоретической карте главный материал.

- А сейчас я хотела бы поговорить с вами о пределе последовательности и функции.

3.4. Понятие предела последовательности

- Как вы думаете, что означает слово предел? (учащиеся высказывают свои мнение)

- Хорошо, сформулируем ваши мнения на математическом языке.

1. Определение предела последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности (у_п) и (х_п).

(у_n):1,3, 5,7,9, . 2_n-1. ; (x_n):

Опр 1. Пусть а — точка прямой, а r— положительное число. Интервал (а-r, а +r) называют окрестностью точки а (рис. 3), а число r— радиусом окрестности.

Какова окрестность точки 6, если радиус этой окрестности равен 0,02? Ответ: (5,98; 6,02), так как 6-0,02˂ 6 ˂ 6+0,02

Опр 2. Число b называется пределом последовательности (y_n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут либо так: у_п b (читают: у_п стремится к b или у_п сходится к b), либо так:

3.5. Правила вычисления пределов последовательности

- Запишем правила вычисления пределов последовательности:

Пример 1: Дана последовательность (y_n):

- Как вы считаете, чему равен предел данной последовательности?

Докажем, что

Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен r (Рис.4). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n₀ так, чтобы выполнялось неравенство . Если, например r=0.001,то в качестве n₀можно взять 1001, поскольку ; если r= , то в качестве n₀можно взять 5774, поскольку , и т.д. Но это значит, что член последовательности y_n с номером n₀ , т.е. , попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой окрестности будут находится все последующие члены заданной убывающей последовательности .

Пример 2: Найти предел последовательности

Здесь последовательность сходится к 0: или

Результат, полученный в примере 2, является частным случаем общего утверждения: если

(В процессе просмотра преподаватель записывает теоремы об арифметических операциях на доске)

Теоремы об арифметических операциях над пределами: если

- Перенесите данные теоремы в тетради.

- Решим несколько заданий основываясь на правила и теоремы о пределах последовательности.

- Предел последовательности вычисляется путем почленного деления числителя и знаменателя на неизвестную в наибольшей степени.

- Какая наибольшая степень из предложенных нам дана? (2)

- Разделим почленно на п 2 , получим:

- Каким правилом и теоремой воспользуемся?

- Кому не понятно, как мы нашли предел последовательности, задавайте вопросы.

3.6. Вычисление предела последовательности

(сильным учащимся предлагается решить задания самостоятельно и сверить свои результаты с доской, слабо успевающих учащихся вызывают к доске с пошаговым комментирование решения )

- Решим несколько заданий на доске.

- рассмотрим предел последовательности, когда х стремится к предельному значению.

- Простейшим способом вычисления предела является подстановка предельного значения (конкретного числа) в подпредельное выражение, т.е. подставляем число 4 вместо х.

-Есть ли у вас вопросы по вычислению данного предела.

- Перед вами лежит карточка-консультант по вычислению пределов последовательности. Рассмотрите ее внимательно. Как построена карточка-консультант?

В карточке отражены правила вычисления пределов последовательности, арифметические операции над пределами и подробное решение примера.

Пользуясь карточкой-консультантом вычислите следующие пределы:

Вычислите

Закрепление изученного материала.

(Учащиеся разбиваются на группы по 4 человека. Решив задания в карточке группа подносит решения на проверку. Верные задания выносятся на доску.)

Работа с математическим словарем

- Возьмите карты теоретического материала. Выделите основные понятия и правила, перенесите их в словарь. Составьте математическую карту данной темы.

В 10 классе необходимо заложить прочный фундамент для сдачи итоговой атестации, данный конспект является одним из составных компонентов подготовки к ЕГЭ.

Содержимое разработки

Урок алгебры в 10 классе

Учитель: А. В. Палько

Тема урока: Предел числовой последовательности.

по основной дидактической цели: урок изучения нового материала с использованием ИКТ

по основному способу проведения: сочетание различных форм занятий;

по основным этапам учебного процесса: урок образования понятий, установления законов и правил;

по форме проведения: комбинированный урок;

по целевой установке: урок-исследование.

образовательная – формирование знаний о понятиях предела числовой последовательности, вычислении пределов числовых последовательностей;

развивающая – развитие интереса и уважения к предмету; расширение кругозора;

воспитательная – критическое отношение к себе и другим при выставлении оценок; воспитание вычислительной культуры учащихся.

Общие методы обучения:

по источнику знаний: беседа (ученики беседовали с учителем на разных этапах урока), метод демонстрации (показ презентации), упражнения;

по характеру познавательной деятельности: объяснительно-иллюстративный (учитель объяснял новый материал, подкрепляя новые данные примерами на доске и демонстрацией презентации с наглядными примерами), репродуктивный (ученики выполняли действия по образцу), проблемный (на этапе решения творческих задач), исследовательский (на этапе изучения нового материала выработать первичное умение выполнять деление чисел, записанных в виде дробей).

Специальные методы обучения: анализ, синтез (при решении учениками новых заданий).

Формы обучения: групповая, индивидуальная.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, презентация.

Организационный момент (1 мин) и мотивация

Актуализация опорных знаний и способов действий (10 мин).

Ознакомление с новым материалом (10 мин).

Закрепление нового материала (10 мин).

Подведение итогов урока (3 мин).

Постановка домашнего задания (1 мин).

1.Организация начала урока и мотивация. Слайд 2. ( Обеспечение мотивации)

2.Актуализация опорных знаний и способов действий. Слайд 3.

В качестве актуализации опорных знаний вам предлагается пройти онлайн тестирование по материалам ЕГЭ, время будет ограничено (10 минут), за это время вам необходимо решить наибольшее количество заданий.

Что вы знаете о последовательности?(Ряд чисел у которых наблюдается определенная закономерность или набор элементов некоторого множества.

4.Какие способы задания числовой последовательности вы знаете? (Словесный – правила задания последовательности описываются словами. Аналитический – с помощью формулы. Рекуррентный - указывается правило для вычисления последовательности. Что такое предел последовательности? Элемент ограничивающие последовательность. Слайд 5.

5. Определение предела последовательности. Слайд 6. Ученик читает на слайде, записывают в тетрадь.

6. Физминутка(слайд № 7)

Электронная Физминутка, ученики повторяют движение мультяшных героев.

7. Практическое закрепление полученного материала.

8. Подведение итогов урока. Что нового вы узнали сегодня? Что вызвало затруднение?

Читайте также: