Понятие обратной функции 11 класс никольский конспект урока

Обновлено: 05.07.2024

Презентация на тему: " Понятие обратной функции. Определение логарифмической функции" — Транскрипт:

1 Понятие обратной функции. Определение логарифмической функции. Алгебра и начала анализа, 11 класс Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

2 Рассмотрим пример какой-либо функции, заданной в явном виде формулой y = f ( x ). Пусть, для определенности, это будет линейная функция y =2 x –7. Вспомним, как выполняется такая задача: найти значение функции по заданному значению аргумента. Вспомнили. …Правильно: для этого надо данное значение аргумента подставить в формулу и произвести вычисления. Например, при x =2, значение функции равно y =2 2–7=–3. Эту же задачу можно выполнить графическим способом. Для этого нужно: 1) построить график данной функции; x y –7 3,53,5 2) отметить на оси абсцисс значение 2; –3–3 2 3) получить на графике точку с отмеченной абсциссой 2; 4) найти ординату полученной в п.3 точки. Для любой другой функции задача нахождения значения функции по заданному значению аргумента решается аналогично.

3 А теперь вспомним, как решается обратная задача по нахождению значения аргумента при заданном значении функции. В нашем примере с линейной функцией y =2 x –7 это происходит по следующему алгоритму: в формулу, задающую данную функцию подставляют заданное значение функции и решают полученное уравнение с переменной х. Например, при у =–5 2 x –7=–5 х =1. Эту же задачу можно выполнить графическим способом. Для этого нужно: 1) построить график данной функции; 2) отметить на оси ординат значение –5; 3) получить на графике точку с отмеченной ординатой –5; 4) найти абсциссу полученной в п.3 точки. x –7 3,53,5 –5–5 Для любой другой функции задача нахождения значения аргумента по заданному значению функции решается аналогично. y 1

5 Таким образом, мы получили обратную для функции y =2 x –7 зависимость, которая является в свою очередь также функцией у =0,5 х +3,5. С помощью обратной функции мы можем решать обратную задачу по нахождению значения аргумента при заданном значении данной функции. Только для обратной функции это заданное значение функции является аргументом! Значит, для у = х =–5 у =0,5 (–5)+3,5=1. Примечание 1. Если для данной функции можно составить обратную зависимость, являющуюся также функцией, то говорят, что данная функция обратима и обратная зависимость является обратной функцией. Примечание 2. Если функция y = f ( x ) является обратимой и y = g ( x ) – обратная для неё функция, то: 1) D ( f )= E ( g ) и E ( f )= D ( g );2) f ( g ( х ))= g ( f ( х ))= x. Примечание 3. Графики данной и обратной для неё функций симметричны относительно прямой у = х.

6 В рассмотренном нами случае: f ( x )=2 x –7 и g ( x )=0,5 у +3,5 – обратные функции x y f(x)=2x–7 g(x)=0,5x+3,5 y=x

7 Чтобы обратная для данной функции зависимость была также функцией необходимо и достаточно, чтобы каждое свое значение функция принимала только при одном значении аргумента. Значит, чтобы функция была обратимой, данная функция должна быть монотонно возрастающей или монотонно убывающей на всей своей области определения. Пример 1. Функция y = x 2 не является обратимой на D(y)=, т.к. при х =3 или –3 функция принимает одно и то же значение 9, а значит, обратная зависимость функцией не является. Однако, на области х [0; + ) данная функция обратима и обратной для неё является знакомая Вам функция x y y=xy=x 3 –3–3 9 D(y) E(y) D(y) E(y)

8 Пример 2. Любая степенная функция с нечетным натуральным показателем является обратимой (проверьте самостоятельно). 0 x y y=xy=x

9 Пример 3. Рассмотрим тригонометрическую функцию. Постарайтесь самостоятельно ответить на вопросы: 1) является ли данная функция обратимой на своей области определения? 2) на какой области данная функция обратима? 3) назовите обратную на этой области функцию; 4) постройте графики обеих функций. Ответ: 1) нет; 2) ; 3) ; 4) см.рис.. y y=sinx x 1 1 y=arcsinx y=x

11 Пример., т.к. 3 2 =9;. Примечание 3. Т.к. основание показательной функции y = a x число a >0, a 1, то основание логарифма обладает такими же свойствами. Примечание 4. Функция, заданная формулой y=log a x, где a >0, a 1 называется логарифмической функцией. А теперь постарайтесь ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести число 3, чтобы результатом этой степени получилось число 10? 3 = 10 ? Примечание 1. Если основанием логарифма является число 10, то такой логарифм называется десятичным и обозначается lg. Пример: Примечание 2. Если основанием логарифма является число e, то такой логарифм называется натуральным и обозначается ln. Пример:

12 y x 1 01 y=a x, a>1 y=a x, 0

13 Некоторые полезные свойства логарифмов: - основное логарифмическое тождество - формула перехода к новому основанию

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Алгебра и начала анализа 11 класс

Урок №_____________Дата проведения урока______________________

Тема урока : ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

Тип урока: закрепление изученного материала.

Методы обучения : наглядный, словесный, практический.

Средства обучения : доска, конспект лекций, задачник, методические указания.

2. Выработать умения находить функцию обратную данной на основе достаточного условия существования обратной функции, строить графики.

3. Уметь определять свойства функции по графику.

4. Научиться выполнять преобразования графиков.

5. Деятельностная цель : формирование у учащихся способностей к самостоятельному выявлению и исправлению своих ошибок на основе рефлексии коррекционно-контрольного типа.

6. Образовательная цель : коррекция и тренинг изученных способов действий – понятий, алгоритмов и т.д.

Учебно-воспитательные задачи:

Образовательные

обеспечить закрепление материала темы.

Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные

содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Актуализация базовых знаний.

Упражнения на нахождение обратной функции и решение нестандартных задач по теме.

I. Организационный момент:

– проверить готовность класса к уроку;

– сообщить тему урока и цели.

II. Актуализация базовых знаний.

Дать определение : функции, области определения , значения функции, обратной функции

Какими свойствами они обладают?

Достаточное условие существования функции.

III. Закрепление изученного материала через практику (работа в группах с последующим отчетом учащихся у доски).

Дополнительное задание: построить графики к любому из примеров.

IV. Упражнения на нахождение обратной функции и решение нестандартных задач по теме

Задача. Докажите, что функция необратима. Найдите функцию, обратную на промежутке и постройте ее график.

V. Подведение итогов.

Итак, давайте вспомним, что сегодня мы сделали (учитель с помощью учащихся):

– научились находить функцию, обратную данной и строить различные графики, содержащие обратные функции,

– приобрели опыт решения примеров и построения графиков.

Домашнее задание

Используя дополнительную литературу найти 3-4 примера и разобрать их.

Самостоятельно составить3-4 примера, аналогичных классным и решить их.

Подготовить информацию по темам:

Функция, понятия функции, обратная функция, область определение, множество значения функции.

Графики функции: график обратной функции, график линейной функции, график квадратной функции, график степенной функции, график тригонометрической функции, график показательной и логарифмической функции.

Свойства функций: монотонность функций, промежутки возрастания и убывания функции, четность и нечетность функции, периодичность функции, ограниченность функции .

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 605 978 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

05.10.2016 5545
DOCX 143 кбайт
253 скачивания
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лесова Галина Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Время чтения: 2 минуты

Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы

Время чтения: 0 минут

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Цель: обсудить понятие обратной функции и ее свойства.

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Проведите исследование функции и постройте ее график:

III. Изучение нового материала

По аналитическому виду функции для любого значения аргумента легко найти соответствующее значение функции у. Часто возникает обратная задача: известно значение у и необходимо найти значение аргумента x , при котором оно достигается.

Найдем значение аргумента х, если значение функции равно: а) 2; б) 7/6; в) 1.

Из аналитического вида функции выразим переменную х и получим: 4 xy - 2у = 3 x + 1 или х(4у - 3) = 2у + 1, откуда . Теперь легко решить задачу:

Функцию называют обратной по отношению к функции . Так как принято аргумент функции обозначать буквой х, а значение функции - буквой у, то обратную функцию записывают в виде

Дадим необходимые для изучения темы понятия.

Определение 1. Функцию у = f ( x ), х ∈ Х называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке х множества X (другими словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). В противном случае функцию называют необратимой.

Функция каждое свое значение принимает только в одной точке х и является обратимой (график а). Функция имеет такие значения у (например, у = 2), которые достигаются в двух различных точках x , и является необратимой (график б).

При рассмотрении темы полезна следующая теорема.

Теорема 1. Если функция у = f (х), х ∈ X монотонна на множестве X, то она обратима.

Вернемся к предыдущему примеру. Функция убывает (монотонна) и обратима на всей области определения. Функция немонотонна и необратима. Однако эта функция возрастает на промежутках (-∞; -1] и [1; +∞) и убывает на отрезке [-1; 1]. Поэтому на таких промежутках функция обратима. Например, функция обратима на отрезке x ∈ [-1; 1].

Определение 2. Пусть у = f (х), х ∈ Х - обратимая функция и E ( f ) = Y . Поставим в соответствие каждому Y то единственное значение х, при котором f ( x ) = у (т. е. единственный корень уравнения f ( x ) = у относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на множестве Y (множество X — ее область значений). Эту функцию обозначают х – f -1 ( y ), y ∈ Y и называют обратной по отношению к функции у = f (х), х ∈ X. На рисунке показаны функция у = f (х) и обратная функция x = f -1 ( y ).

Прямая и обратная функции имеют одинаковую монотонность.

Теорема 2. Если функция у = f (х) возрастает (убывает) на множестве X, а У - ее область значений, то обратная функция x = f -1 ( y ) возрастает (убывает) на множестве Y .

Функция убывает на множестве и имеет множество значений Обратная функция также убывает на множестве и имеет множество значений Очевидно, что графики функций и совпадают, так как эти функции приводят к одной и той же зависимости между переменными х и у: 4ху - 3х - 2у - 1 = 0.

Для нас привычно, что аргумент функции обозначают буквой х, значение функции - буквой у. Поэтому обратную функцию будем записывать в виде у = f -1 ( x ) (см. пример 1).

Теорема 3. Графики функции у = f (х) и обратной функции у = f -1 симметричны относительной прямой у = х.

Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f (х) = 2х – 4 обратная функция f -1 ( x ) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х.

Функция f -1 ( x ) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f (х) = 2х - 4. Но и функция f (х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f -1 ( x ) = 1/2х + 2. Поэтому функции f (х) и f -1 (х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f -1 ( f (х)) = х и f ( f -1 ( x ) = x .

Тип урока: комбинированный, состоит из 7 учебно-воспитательных моментов: организационный момент, повторение изученного, подготовка к изучению материала, изучение и закрепление нового материала, тестовая работа, итог урока.

Оборудование: доска, таблицы, компьютер, мультимедийная установка, экран, учебник.

I. Организационный момент.

Ребята, сегодня мы проводим урок - обобщение по теме: "Обратные тригонометрические функции". Материал этого параграфа в учебнике вынесен для самостоятельного изучения, но поскольку задания с аркфункциями стали включать в ЕГЭ, я решила не только изучить новый материал на уроке, но обобщить ваши знания по данной теме.

II. Актуализация опорных знаний:

1. Значения аркфункций:

Вспомните, для чего в 10 классе были введены понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса? (Для решения тригонометрических уравнений).

Давайте вспомним формулы, по которым решаются простейшие тригонометрические уравнения.

вопросы к классу: -формула нахождения корней уравнения соs х=а;

-дать определение арккосинуса числа а ;

Слайд 2 :(вопросы аналогичные предыдущим)

Заполним таблицу значений аркфункций: Слайд 5

Пользуясь ей решим следующие упражнения:

№655(из учебника)

2) arcsin(1/v2)-4 arcsin1=

4) arccos(-1)- arcsin(-1)=

6)4 arctg(-1)+3 arctg(v3)=

1) arcsin(sin /3)+ arcsin (-v3/2)=

Проверим получившиеся ответы: Слайд 6

2.Вспомним формулы, связывающие аркфункции с тригонометрическими функциями:

С помощью них вычислим устно:

(из ЕГЭ) 5 sin(+ arcsin (-3/5)=

3. Нахождение значения тригонометрической функции от аркфункции.

1. Сильный ученик:

2.(Из ЕГЭ) - сильный ученик

5v2 sin(/2- arctg(-1/7))=

б) Ребята, существует другой способ решения подобных заданий. Я буду рада, если кто-нибудь из вас его запомнит и будет его применять.

Посмотрите, во всех ранее решённых примерах - угол, лежащий в первой четверти, а это значит, что - угол острый. Вспомните, что называется синусом(косинусом, тангенсом и котангенсом) острого угла прямоугольного треугольника?

Решим следующий пример так:2v13 cos (arctg 2/3)=

tg 2/3-это значит, что отношение противолежащего катета к прилежащему равно 2:3

-А как найти гипотенузу?

-Гипотенуза по теореме Пифагора равна:

-Тогда cos =3/v13, а 2v13 cos (arctg 2/3)=

в) Решим вторым способом следующие примеры:

2) 3v5 tg(arcsin(2/7)=

б) v15 tg(arcsin(1/4))

4) Средний ученик:

III. Изучение нового материала:

В материалах для подготовки к ЕГЭ есть задания, в которых необходимо знать свойства обратных тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции это математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. Название обратных тригонометрических функций образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк-" (в переводе с латинского - дуга).

Пусть дана функция у=sin х. На всей области определения она являются кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие у=arcsin х функцией не является.

Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она возрастает и принимает все свои значения на [-|2;|2]. Так как для функции у=sin х на интервале

[-|2;|2] каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция у=arcsin х, график которой симметричен графику у=sin х на отрезке [-1;1] относительно прямой у=х.

Пусть дана функция у=cos х. На всей области определения она являются кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие у=arccos х функцией не является.

Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она убывает и принимает все значения на [0;?]. Так как для функции у=cos х на интервале [0;?] каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция у=arccos х, график которой симметричен графику у=cos х на отрезке [-1;1] относительно прямой у=х.

1. Найти число целых значений функции у= 12arccos х. (Объясняю сама)

Читайте также: