Перпендикулярність прямої та площини 10 клас конспект уроку

Обновлено: 06.07.2024

Рабинович Е. М.Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Геометрия.- М.: Илекса, 2003.

Смирнова И.М. Сборник устных задач и упражнений по геометрии для 10-11 классов средней школы. – М.: Аквариум, 1998.

Оборудование: мультимедийный комплекс (компьютер, проектор).

Ход урока

1. Решить устно задачу №119(а) по готовому чертежу приложение 1.

2. Верно ли утверждение: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости? (вопрос высвечивается на экране, приложение 1)

[Привести контрпример, используя ручки в качестве прямых и тетради в качестве плоскостей]

Как проверить при решении задачи перпендикулярность данной прямой а, к данной плоскости ?
Если следовать определению, то необходимо проверить перпендикулярность данной прямой а, по отношению к любой прямой, лежащей в плоскости , но таких прямых бесконечно много.
Возникает вопрос: сколько нужно взять прямых в плоскости , чтобы можно было доказать перпендикулярность данной прямой а к данной плоскости?

Одна прямая в плоскости .
Две прямые (параллельные и пересекающиеся)

Учащиеся выдвигают предположение: если в плоскости указать две пересекающиеся прямые, перпендикулярные данной прямой а, то видимо прямая а будет перпендикулярна плоскости

Доказательство теоремы приложение 2.

Примерная запись доказательства теоремы

1.Определение, любая прямая m.

2.Допущения: пусть а проходит через точку О.

3.Дополн. постр.: АО = ОВ; P,Q,L.

1. Устное решение задач по готовым чертежам [Рабинович Е. М.Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Геометрия, стр. 17, №1, 5], параллельно рисунки воспроизведены на экране, приложение 3.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Образовательная: формирование представления перпендикулярных прямых в пространстве, формирование умения представлять прямую, перпендикулярную к плоскости и решать задачи, применяя знания о перпендикулярности прямой и плоскости.

Развивающая: формирование пространственного воображения, логического мышления, памяти, внимания, интереса к предмету.

Воспитательная: формирование у учащихся аккуратности, ответственного отношения к обучению, культуры общения.

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Оборудование: ПК, экран, проектор, мультимедиа презентация , учебники.

1) Геометрия, 10–11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2002 г.

2) Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя /С. М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – 2-е изд. – М. Просвещение, 2003. – 222 с.: ил. – ISBN 5-09-011836-1.

3) Методика и технология обучения математике. М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

Организационный момент (2 мин.)

Актуализация опорных знаний (5 мин.)

Объяснение нового материала (13 мин.)

Закрепление изученного материала (20 мин.)

Домашнее задание (2 мин.)

Подведение итогов (3 мин.)

Учитель приветствует учащихся, проводит проверку готовности класса к уроку, отмечает отсутствующих.

Учитель: Откройте свои тетради, запишите число и тему сегодняшнего урока.

Запись на доске и в тетрадях: Число

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Учитель: Цель нашего сегодняшнего урока заключается в том, чтобы вы познакомились с новым материалом и научились применять его к решению задач. Данная тема пригодится вам в дальнейшем, так как широко применяется в жизни, например, при ремонтных работах дома, чтобы подогнать уровень, например, пола и грани стены. Также задачи с применением знаний о перпендикулярности прямых и плоскостей могут встретиться вам при решении ЕГЭ по математике в следующем году.

Актуализация опорных знаний.

Учитель: Для начала давайте вспомним с вами, как могут располагаться прямые на плоскости.

Ученик: Они могут быть параллельными и пересекающимися.

Учитель: В пространстве же прямые могут быть параллельными, могут – пересекающимися, а еще могут скрещиваться. Посмотрите на слайд! Изображенные прямые называются скрещивающимися.

Теперь давайте вспомним определение перпендикулярных прямых, которое мы изучали в курсе планиметрии и их свойство.

(Просит одного ученика прочитать текст со слайда)

Объяснение нового материала.

Учитель: Теперь прочитаем определение перпендикулярных прямых, которое представлено в курсе стереометрии.

(Просит одного ученика прочитать со слайда)

Ученик: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Учитель: Итак, прямые в пространстве бывают параллельными, бывают пересекающимися и бывают скрещивающимися. На слайде прямые а и b – пересекающиеся, а прямые а и с – скрещивающиеся.

Учитель: Теперь прочитаем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

(Просит одного ученика прочитать лемму со слайда)

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: Давайте выделим в этой лемме условие и заключение. Где в этой лемме условие?

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перепендикулярна к третьей…

Учитель: А где заключение?

Ученик: … то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: В учебниках эту лемму вы найдете на странице 34.

Учитель: Прочитайте определение прямой, перпендикулярной к плоскости.

(Просит одного ученика прочитать определение со слайда)

Ученик: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Учитель: Прочитайте теорему, которую вы должны будете выучить, чтобы потом применять к решению задач.

(Просит одного ученика прочитать теорему)

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель: Начертите в своих тетрадях две параллельные прямые. После начертите прямую, которая перпендикулярна к одной из этих прямых. По рисунку видно, что и другая прямая будет перпендикулярна к этой прямой. У вас получится чертеж примерно такой же, как на слайде (см. слайд 11).

Учитель: Прочитайте следующую теорему.

(Просит одного ученика прочитать теорему со слайда)

Ученик: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Учитель: Теоремы вам нужно будет выучить. Доказательства теорем рассмотрите дома самостоятельно.

Закрепление изученного материала

Учитель: Откройте страницу 38 учебника и начинаем решать задачи. Первый номер, который мы решим – это номер 116.

Ребята, которые решают задачи вперед нас, приступайте к следующему номеру.

(Вызывает одного ученика)

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ – параллелепипед;

а) все грани параллелепипеда – параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Т.к. ⦟ А=90° =˃ ⦟ С° =˃ ABCD – прямоугольник. DC ┴ BC

В плоскости AA ₁ D ₁ D : A ₁ D ₁ ║ AD . Итак, AB ┴ AD , AD ║ A ₁ D ₁ =˃ AB ┴ A ₁ D ₁ .

Учитель: Решим следующий номер.

(Вызывает одного ученика к доске)

Запись на доске и в тетрадях:

Дано:

Доказать: AD ┴ MN

MN ║ BC (как средняя линия треугольника АВС) =˃ AD ┴ MN (по лемме).

Учитель: Теперь решим номер 118.

(Вызывает одного ученика к доске)

Запись на доске и в тетрадях:

Решение:

а┴α =˃ а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Чтобы прямая принадлежала плоскости α достаточно, чтобы 2 точки прямой принадлежали плоскости α.

⦟ АОВ = 90° (т.к. ВО ϵα, а┴ВО)

⦟ МОС = 90° (т.к. ОСϵα, а┴ОС)

⦟ DAM ≠ 90° (т.к. DA не принадлежит α)

⦟ DOA = 90° (т.к. DOϵα , α┴ DO )

⦟ ВМО ≠ 90° (т.к. ВМ не принадлежит α)

Учитель: Решим номер 119.

(Вызывает одного ученика к доске)

Запись на доске и в тетрадях:

Дано:

а) Рассмотрим Δ ABD . AD ┴ OB (т.к. OBϵBOC и AD ┴ BOC ) =˃ ОВ – высота треугольника ABD .

AO = OD =˃ ОВ – медиана треугольника ABD =˃ Δ ABD – равнобедренный =˃ AB = BD .

Учитель: Откройте свои дневники и запишите домашнее задание на дом.

Запись на доске и в дневниках: №119(б), выучить определения и теоремы.

Решение домашнего задания:

Дано:

Доказать: АВ = АС, если ОВ = ОС

Рассмотрим ΔАОВ и ΔАОС: АО┴ВОС, АО┴ВО, ОСϵВОС =˃ АО┴ВО и АО┴ОС =˃ ⦟ АОС = ⦟ АОВ = 90°

АО – общая сторона и ОВ = ОС (по условию) =˃ ΔАОВ = ΔАОС (по 1ому признаку) =˃ АС = СВ

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: Сформулируйте теорему об одной из двух прямых перпендикулярных к плоскости!

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень

Дополнительная литература:

Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90 о .

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90 о , т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90 о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90 о , то есть b ⊥ с.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а₁ ⊥ x.

Таким образом, прямая а₁ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а₁ ⊥ α

Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой а.

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с₁, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с₁ перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с₁ параллельны. Но по построению прямые с и с₁пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Теоретический материал для углубленного изучения

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Выбор элемента из выпадающего списка

Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DC).

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Подсказка: в кубе все углы по . Плоскость (DC), проходит через грань куба DC.

Ребус – соответствия.

Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.

Утверждение:

Две прямые называются перпендикулярными, если …..
Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Две прямые называются перпендикулярными, если …

угол между ними равен 90

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …

перпендикулярна и другой

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.

Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Образовательная: формирование представления перпендикулярных прямых в пространстве, умения представлять прямую, перпендикулярную к плоскости и решать задачи, применяя знания о перпендикулярности прямой и плоскости.

Развивающая: развитие творческой стороны мышления и навыков аналитической работы при выполнении проектной деятельности. Формировать навыки оформления результатов умственного труда.

Планируемые результаты

Предметные: уметь представлять прямую, перпендикулярную к плоскости; знать определение перпендикулярных прямых в пространстве и лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей; решать задачи, применяя знания о перпендикулярности прямой и плоскости

Метапредметные:

– регулятивные: планировать пути достижения цели, намечать способы устранения ошибок, оценивать результаты учебной деятельности, анализировать собственную работу, определять степень успешности своей работы;

– познавательные: давать определения понятию, составлять алгоритмы, выявлять особенности разных объектов в процессе их рассмотрения, строить логичные рассуждения и делать выводы,

– коммуникативные: аргументировано отстаивать свою точку зрения в диалоге, продуктивно взаимодействовать со своими партнёрами, владеть письменной и устной математической речью.

Личностные: выражать доброжелательное отношение к учебному процессу, оценивать собственную учебную деятельность, проявлять самостоятельность, ответственность.

Методы обучения: словесный, наглядный и практический.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Геометрия. 10–11 классы : учеб для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – М. :Просвещение, 2013. – 255 с.

Лекции по теории и методике обучения математики: частная методика : учеб. пособие для студентов мат. специальностей пед. вузов : в 2 ч. / Л. С. Капкаева. - Саранск, 2009. – 261 с.

Постановка темы и учебной цели урока.

Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии

Изучение нового материала

Подведение итогов урока

Этапы урока

Деятельность учителя

Содержание урока

Деятельность учащихся

Формируемые УУД

Организационный момент

Создает благоприятный психологический настрой на работу

– Добрый день, ребята! Начнем урок. Изучение любой темы похоже на восхождение по горе. Вот и сегодня мы поднимемся на гору знаний. Я надеюсь, вы будете помогать друг другу, одновременно не мешая и поддерживая.

Визуальный контроль готовности кабинета и рабочего места к уроку.

Включаются во взаимодействие с одноклассниками и с учителем.

В паре улыбаются друг другу.

Личностные: самоопределение.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Постановка темы и учебной цели урока.

Обеспечивает мотивацию учения детьми, принятие ими целей урока.

Внимательно слушают учителя, записывают тему в тетрадь.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: постановка вопросов.

Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели; логические - формулирование проблемы.

Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии

Актуализирует опорные знания и способы действий. Организует самостоятельную деятельность учащихся.

Для начала давайте вспомним с вами, как могут располагаться прямые на плоскости. (слайд 2)

В пространстве же прямые могут быть параллельными, могут – пересекающимися, а еще могут скрещиваться. Посмотрите на слайд! (слайд 3) Изображенные прямые называются скрещивающимися.

Теперь давайте вспомним определение перпендикулярных прямых, которое мы изучали в курсе планиметрии и их свойство. (слайд 4)

Отвечают на вопросы учителя.

Познавательные: уметь ориентироваться своей системе знаний, отличать новое от уже известного с помощью учителя;

Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной, слушать и понимать речь других; уметь аргументировать свое мнение и позицию в коммуникации, выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью;

Регулятивные: умение формулировать и аргументировать свое мнение;

Изучение нового материала

Обеспечивает восприятие, осмысление и первичное запоминание детьми изучаемой темы.

Теперь прочитаем определение перпендикулярных прямых, которое представлено в курсе стереометрии.

(Просит одного ученика прочитать со слайда) (слайд 5)

Итак, прямые в пространстве бывают параллельными, бывают пересекающимися и бывают скрещивающимися. (Слайд 6)На слайде прямые а и b – пересекающиеся, а прямые а и с – скрещивающиеся.

Теперь прочитаем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. (слайд 7)

(Просит одного ученика прочитать лемму со слайда)

Давайте выделим в этой лемме условие и заключение. Где в этой лемме условие?

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей…

Учитель: А где заключение?

Ученик: … то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: В учебниках эту лемму вы найдете на странице 34.

Учитель: Прочитайте определение прямой, перпендикулярной к плоскости. (слайд 8)

(Просит одного ученика прочитать определение со слайда)

Прочитайте теорему, которую вы должны будете выучить, чтобы потом применять к решению задач. (слайд 9)

(Просит одного ученика прочитать теорему).

Начертите в своих тетрадях две параллельные прямые. После начертите прямую, которая перпендикулярна к одной из этих прямых. По рисунку видно, что и другая прямая будет перпендикулярна к этой прямой. У вас получится чертеж примерно такой же, как на слайде (см. слайд 9).

Учитель: Прочитайте следующую теорему.

(Просит одного ученика прочитать теорему со слайда)

Теоремы вам нужно будет выучить. Доказательства теорем рассмотрите дома самостоятельно.

Внимательно слушают учителя, отвечают на вопросы, записывают определение, доказательство.

Коммуникативные: постановка вопросов, инициативное сотрудничество.

Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели; логические- формулирование проблемы, решение проблемы, построение логической цепи рассуждений; доказательство.

Регулятивные: планирование, прогнозирование.

Первичное закрепление

Устанавливает правильность и осознанность изучения темы.

Выявляет пробелы первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечивает закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.

Откройте страницу 38 учебника и начинаем решать задачи. Первый номер, который мы решим – это номер 116.

Ребята, которые решают задачи вперед нас, приступайте к следующему номеру.

(Вызывает одного ученика)

Регулятивные: контроль, оценка, коррекция.

Познавательные: умение структурировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения задач, рефлексия способов и условий действия.

Коммуникативные: управление поведением партнера, контроль, коррекция, оценка действий партнера.

Подведение итогов урока

Дает качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых.

Сформулируйте теорему об одной из двух прямых перпендикулярных к плоскости!

Сформулируйте теорему, обратную к данной!

Все определения, теоремы и лемму вам нужно будет выучить.

(В конце урока учитель выставляет оценки)

Отвечают на вопросы учителя

Регулятивные: оценка-осознание уровня и качества усвоения; контроль

Домашнее задание

Демонстрирует домашнее задание на обратной стороне доски, комментирует домашнее задание.

Обеспечивает понимания детьми содержания и способов выполнения домашнего задания.

Запишите домашнее задание в дневники:

№119(б), выучить определения и теоремы.(слайд 11)

Записывают д/з в дневник, внимательно слушают пояснения учителя по домашнему заданию.

Читайте также: