Основные формулы для синуса и косинуса 10 класс никольский конспект урока

Обновлено: 06.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Министерство образования и науки Российской федерации

Управление образования, молодёжной политики и спорта

Шелеховского муниципального района

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Открытый урок по теме:

( конспект и самоанализ урока)

Выполнила: Е.Н. Шолохова,

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме; продолжить формирование умений и навыков по применению тригонометрических формул; проконтролировать степень усвоения знаний, умений и навыков по теме;

Развивающие : совершенствовать, развивать умения и навыки по решению задач на применение тригонометрических формул; развивать умения и навыки в работе с тестами;

Воспитательные: воспитывать трудолюбие; стимулировать мотивацию и интерес к изучению тригонометрии;

Задачи урока: повторить определение синуса, косинуса; повторить основное тригонометрическое тождество и формулы; научить применять полученные знания при решении задач;

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний;

Методы обучения : частично-поисковый, тестовая проверка уровня знаний, организация и осуществление мыслительной деятельности, проблемно-поисковый, практический, проблемный.

Оборудование: учебник по алгебре и начала анализа, раздаточный материал, компьютер, доска, мел.

1.Организационный момент: приветствие, рапорт дежурного, провер ка готовности к уроку, тетради с домашней работой сдать на проверку учителю.

Учитель объявляет тему урока, цели урока, план урока

Организационный момент, вступительная беседа (3 мин);

Блиц-опрос (5 мин с проверкой);

Закрепление знаний и умений (15 мин)

Физкультминутка (гимнастика для глаз) (1 мин)

Самостоятельная работа (тест с проверкой, 10 мин)

Подведение итогов урока (2 мин)

Домашнее задание (1мин)

Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sin , cos , соотношение sin 2 + cos 2 =1 . Каждый раз выводить нужную формулу, например, для преобразования тригонометрического уравнения время уйдет достаточно много. Поэтому круг формул, которые необходимо знать, должен быть достаточно широким.

Разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вычисляли синусы и косинусы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. “Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” писал Г. Спесер, английский философ и социолог.

2. Актуализация опорных знаний (5 мин)

Блиц-опрос на знание тригонометрических формул и тождеств (самоконтроль)

Вопросы для повторение

Синусом угла α называется _____ точки, полученной поворотом точки______ вокруг начала координат на угол α

Косинусом угла α называется _____ точки, полученной поворотом точки______ вокруг начала координат на угол α

Данный урок разработан по учебнику Колягина Ю.М " Алгебра и начала математического анализа" 10 класс с применением технологии развития критического мышления.

Вложение	Размер
konspekt_uroka_po_algebre_v_10_klasse_po_uchebniku_kolyagina_yu.docx	115.01 КБ

Предварительный просмотр:

Конспект урока по алгебре в 10 классе по учебнику Колягина Ю.М.

Учитель математики : Краюшкина Ольга Николаевна.

Цели и задачи урока:

- ввести понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса;

-рассмотреть знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса;

-рассмотреть зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же аргумента;

- сформировать умения и навыки нахождения значений выражений, содержащих синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы углов.

- развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных ситуациях;
- находить решения в различных проблемных ситуациях;
- развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки.

- воспитывать у учащихся аккуратность;
- умение слушать;
- культуру поведения.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Форма работы : индивидуальная, групповая.

Технология: технология развития критического мышления.

-Актуализация знаний учащихся

-Изучение нового материала.

-Закрепление нового материала.

-Подведение итогов урока.

-Перечислите всю известную информацию о тригонометрии.( учащиеся вспоминают определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса прямоугольного треугольника; радианная мера угла; поворот точки вокруг начала координат).

-Учитель записывает на доске ключевые слова по новой теме.

1) Синус, косинус, тангенс, котангенс

Работа в группах.

Задание : Составьте в группах вопросы к новой теме, используя данные ключевые слова. Что бы вы хотели узнать на уроке, исходя из этих слов?

( вопросы учитель записывает на доске)

- Это и будет цель нашего урока.

Метод «Активной беседы.

В ходе беседы с учащимися учитель вводит понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Работа в группах.

Первая группа- задание: Определить какие знаки имеют тригонометрические функции на числовой окружности.

Вторая группа-задание: Вычислить

1)sin 2 α+cos 2 α

Решение заданий группы показывают на доске. Делают выводы под руководством учителя. Рассматривают примеры на применение новых формул.

-Работа в группах.

Первая группа- задание из учебника ( на применение тригонометрического тождества, зависимости тангенса и котангенса)

Вторая группа- задание из учебника ( на вычисление синуса, косинуса, тангенса, котангенса, определение знаков).

Задание в группах: составить кластер по новой теме.

Кластер (Работа учащихся)

Составить синквейн на пройденную тему.

Зависеть Определять Вычислять

Поворот точки на угол

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Технология критического мышления включает в себя процесс целенаправленного суждения, контролируемого человеком, который подвергает оценке объекты, процессы, личный опыт. Эта технология.

План-конспект урока по теме "Дни рождения в разных странах" с применением технологии развития критического мышления.

Конспект содержит краткое содержание этапв урока, дополнительные карточки для групповой работы, проведения рефлексии.

урок по теме "Хобби".

Одной из образовательных технологий, которая отвечает всем требованиям ФГОС и способствует формированию Универсальных Учебных Действий, является Технология развития критического мышления, целью которо.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, ноутбук, самокопирующиеся листы для проведения математического диктант, карточки с домашними заданиями.

I. Организационный момент

1. Математический диктант.
2. Просмотр презентации.
3. Объяснение нового материала.
4. Решение заданий из учебника.
5. Самостоятельная работа с последующей проверкой.
6. Итоги урока.

II. Математический диктант

В каких единицах измеряется угол поворота единичного радиуса?

Сколько градусов в одном радиане?

– угол второй четверти. Определите знак sin.

Определите знак числа .

Выразите в градусах .

Что больше sin30 о или sin60 о ?

Определите знак произведения: .

III. История тригонометрии

– На прошлом уроке мы с вами узнали историю тригонометрических терминов. Сегодня на уроке мы проследим историю развития тригонометрии.

Учащиеся заранее готовят показ презентации на экране с комментариями. (Приложение 2 и Приложение 3)Во время презентации ученики внимательно слушают выступление своего одноклассника и делаете краткие записи по ходу выступления.

IV. Объяснение нового материала

Технологии: групповые, личностно-ориентированные, проблемного обучения.

Средства обучения: компьютер, проектор, экран, тригонометрический круг, раздаточный материал (карточки)

Образовательная: систематизация изученного материала по тригонометрическим формулам, закрепление навыков преобразования, упрощения тригонометрических выражений, формирование умений пользоваться в работе над вычислениями значений выражения тригонометрического круга.

Воспитательная: формирование сотрудничества, взаимодействия, лидерских качеств, взаимопомощи в группе, в паре.

Развивающая: повышение уровня интеллектуальных способностей, расширение кругозора, развитие коммуникативных способностей.

Задачи урока:

- повторить изученный материал по вычислению простейших значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса;

- повторить основные формулы тригонометрии;

- закрепить умения по преобразованию тригонометрических выражений;

- проверить степень усвоения материала.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Организационный момент

Учитель проверяет готовность к уроку обучающихся, раздает карточки, формирует группы с разным уровнем успеваемости.

Объясняет правила работы с оценочным листом.

Занимают свои места, готовят к уроку основные принадлежности, проверяют на столах наличие раздаточного материала.

Выбирают в группе капитана, организующего деятельность.

Рассматривают структуру оценочного листа, в котором отметки индивидуально выполняет каждый ученик.

Целеполагание

Учитель обращает внимание обучающихся на экран:

- Деятельность на уроке будет успешной и продуктивной, если мы верно поставим себе цели и будем стремиться к их достижению.

Подумайте и найдите соответствующее продолжение к целям, которые начинаются со слов повторить, закрепить, проверить в соответствии с темой нашего урока.

Учитель выводит на экран верный ответ и проговаривает классу.

Напоминает правила работы в группах, умение уступать, сотрудничать, прислушиваться, доносить свою точку зрения до коллектива.

Обучающиеся смотрят на экран, совещаются в группах, предлагают варианты.

Самопроверка

На этапе повторения материла учитель демонстрирует тригонометрический круг, правило работы с ним.

Учитель предлагает в группах решить первое задание, входе которого необходимо перевести радианную меру угла в градусную, показать на окружности данные углы.

После выполнения карточки учитель открывает готовый тригонометрический круг с данными углами и просить провести самопроверку.

Ученики в группах слушают, задают вопросы.

Ученики, посоветовавшись, повторяют формулу, распределяют примеры между собой и передают данные для изображения на круге ответственному за оформление карточки, которого назначил капитан.

Проверяют свои карточки, отмечают ошибки, задают вопросы, доносят до каждого участника группы правильное решение.

Закрепление

Выполнение следующего задания способствует закреплению умения применять формулы.

Учитель предлагает в группах рассмотреть решенные задания и восстановить, по какой формуле было выполнено преобразование.

Время на выполнение 6-7 минут.

- Проверим, насколько вы справились с заданием, проведем самопроверку.

Учитель поочередно назначает отвечающую группу.

Ученики рассматривают формулы, предлагают варианты, пишут в тетрадях, редактируют, проверяют, возможно использование справочного материала в учебнике.

Ученики отвечают, анализируют, доказывают, почему именно такая формула была использована в задании.

Учитель распределяет темы мини-проектов между группами с учетом мнения обучающихся.

Знакомит с основным алгоритмом работы:

1. Поставить цель мини-проекта.

2. Найти в учебнике или справочном материале подходящие формулы.

3. Подобрать проблемные ситуации, то есть примеры, которые без использования данных формул трудно преобразовать.

4. Показать применение формулы.

5. Продумать и составить план выступления по формулам данного вида.

Учитель заранее готовит слайды с формулами и примерам для групп, их выступлений.

Ученики получают определенные названия формул и строят работу по алгоритму.

При этом тесно сотрудничают между собой, педагогом, которые помогает распределить задания, наладить ход работы, продумать интересные выступления.

Выступают, либо в паре, либо распределяют текст выступления между собой.

Самостоятельная работа

На данном этапе урока учитель раздает карточки каждому обучающемуся. Поясняет правило и порядок выполнения.

В конце проводят взаимопроверку в парах по готовым ответам на экране.

Выполняют карточку самостоятельно в течение 10 минут.

Подведение итогов

Учитель просит заполнить оценочные листы.

Выделить важные проблемы и предложить пути их решения.

Предлагает в классе озвучить проблемы представителям групп.

Заполняют оценочный лист.

Отвечают, предлагают варианты.

Помогают друг другу советом.

Ставят себе оценку.

Приложение 1

Переведите углы из радианов в градусную меру, покажите на окружности:

Ввести для учащихся понятия синуса и косинуса угла t; научить их решать простейшие тригонометрические уравнения с использованием данных понятий.

Задачи:

показать важность и необходимость изучения данной темы для учащихся;
дать учащимся определение понятий косинус угла t и синуса угла t;
познакомить учащихся с таблицей знаков sin t и cos t по четвертям числовой окружности;
ввести для учащихся основное тригонометрическое тождество;
повторение ранее изученного материала;
ввести таблицу часто встречаемых значений sin t и cos t;
разобрать с учащимися простейшие примеры решения тригонометрических уравнений;
познакомить учащихся со свойствами sin t и cos t.

Развивающая: Способствовать развитию наблюдательности, логического мышления, памяти, внимания учащихся, их интереса к изучению предмета Воспитательная: Воспитать у учащихся дисциплинированности на уроке, аккуратности, трудолюбия, способствовать формированию аргументировано отстаивать свою точку зрения, умение выслушать других Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: индуктивно- репродуктивный

Алгебра, 10-А класс. Урок № 50. Дата:_____________

показать важность и необходимость изучения данной темы для учащихся;

дать учащимся определение понятий косинус угла t и синуса угла t;

познакомить учащихся с таблицей знаков sin t и cos t по четвертям числовой окружности;

ввести для учащихся основное тригонометрическое тождество;

повторение ранее изученного материала;

ввести таблицу часто встречаемых значений sin t и cos t;

разобрать с учащимися простейшие примеры решения тригонометрических уравнений;

познакомить учащихся со свойствами sin t и cos t.

Развивающая:
Способствовать развитию наблюдательности, логического мышления, памяти, внимания учащихся, их интереса к изучению предмета
Воспитательная:
Воспитать у учащихся дисциплинированности на уроке, аккуратности, трудолюбия, способствовать формированию аргументировано отстаивать свою точку зрения, умение выслушать других
Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: индуктивно- репродуктивный

чему равно число π в градусной мере?

Ученик: Градусная мера числа π равна 180 градусам.

Учитель: Чему равны координаты числа π/4?

Ученик: Координаты числа π/4 равны (

Учитель: Чему равны координаты точки π?

Ученик: Координаты числа π равны (-1;0)

Учитель: Чему равны координаты числа 7π/6?

Ученик: Координаты числа 7π/6 равны (

Учитель: Чему равны координаты числа 5π/3?

Ученик: Координаты числа 5π/3 равны (

3. Изучение нового материала.

В курсе геометрии были введены понятия синуса и косинуса угла, выраженного в градусах. Этот угол рассматривался в промежутке от 0° до 180°.

Рассмотрим единичную окружность на координатной плоскости. Выберем на ней произвольный угол t, которому будет соответствовать единственная точка на числовой окружности М с координатами (х; у). Координату х назовем косинусом угла t, а координату y назовем синусом угла t.

Учитель: Тогда синус и косинус произвольного угла определяется следующим образом:

Если точка М числовой окружности соответствует углу t, то абсциссу точки М называют косинусом угла t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом угла t и обозначают sin t.

Кстати что такое координатная плоскость?

Ученик: Это плоскость, на которой выбрана система координат.

Учитель: Рассмотрим конкретный пример. Давайте найдем координаты точки М если она будет равна . По только что данному определению мы теперь знаем, что косинус угла это абсцисса этой точки, а синус угла это ордината точки.

Какие координаты будут у этой точки?

Ученик: Координаты этой точки будут равны (

Учитель: Тогда чему будет равен косинус этого угла? Не забываем что косинус угла t это абсцисса точки.

Ученик: Если косинус угла t это абсцисса, то тогда он будет равен

Учитель: А чему будет равен синус угла?

Ученик: Если синус угла t это ордината, то тогда он будет равен

Учитель: На предыдущем уроке мы так же отметили что для любой точки M(x;y) числовой окружности выполняются неравенства ; . Отсюда мы получаем, что

Что бы знать знаки синуса угла t и косинуса угла t, которые нам понадобятся в дальнейшем при решении задач, давайте составим следующую таблицу.

Учитель: Если точка лежит в первой четверти, то по рисунку мы видим что координаты , а мы теперь знаем, что x это COS t,а y это SIN t, тогда значит, что .

Учитель: Если точка лежит во второй четверти, то по рисунку видим что , тогда

Учитель: Если точка лежит в третьей четверти, то по рисунку видно, что , значит

Учитель: И в четвертой четверти мы получаем, что .

Учитель: Как выглядит уравнение числовой окружности?

Ученик: Уравнение числовой окружности имеет вид

Учитель: А так же мы знаем, что x=cos t;y=sin t значит это основное тригонометрическое тождество.

На предыдущем уроке мы заостряли внимание на том, как важно научиться отыскивать координаты некоторых точек числовой окружности. А так как мы теперь знаем что x это cos t, а y это sin t, то мы можем составить таблицу часто встречаемых значений sin t и cos t.

(На слайде выводится таблица, которую предстоит заполнить)

Учитель: Мы теперь с вами знаем, что косинус угла это абсцисса, а синус угла это ордината, тогда чему будут равны синус 0° и косинус 0°?

Ученик: Синус 0° будет равен 0, а косинус 0° будет равен 1.

(Далее таблица заполняется аналогично)

Учитель: Теперь давайте рассмотрим свойства синуса и косинуса угла:

Свойство 1: Для любого угла t справедливы равенства:

Построим точку М которая будет соответствовать углу t на числовой окружности, и точку Р которой будет соответствовать угол (-t) на числовой окружности, точка Р симметрична точке М относительно оси абсцисс. У этих точек одна абсцисса, а это значит что .И у таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты, что говорит о том что

Учитель: Давайте рассмотрим пример, надо вычислить

По только что изученному нам свойству, знак минус у аргумента синуса мы можем вынести вперед, и получаем что ,а мы знаем, что равен ½, а так как еще перед функцией стоит знак минус, то мы получаем, что

Запись на доске в тетради:

Учитель: Свойство 2: Для любого угла t справедливы равенства:

Это очевидно, поскольку числам t и t+2πk соответствует одна и та же точка числовой окружности.

Учитель: Свойство 3: Для любого угла t справедливы равенства:

Учитель: Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу t+π соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности – начала координат. У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. А это значит, что

Учитель: Давайте рассмотрим пример:

Вычислить : мы можем расписать как , а по только что пройденному нами свойству мы можем отбросить π и поставить знак минус перед , а это табличное значение и он равен , а так как у нас стоит еще и минус то

Запись на доске в тетради:

4. Закрепление первичного материала
Учитель: А теперь давайте вычислим cos t;sin t если:

мы можем записать как , а 2π, а по только что изученным нам свойствам мы может отбросить, тогда мы получаем , а это уже табличное значение которое равно

Аналогично с синусом угла, мы можем отбросить 2π и получаем, что , а это табличное значение которое равно ½

Запись на доске и в тетради:
=, =
(Следующий пример решается аналогично.)

Запись на доске и в тетради:

Учитель: решить уравнение =

Используем числовую окружность. Где наш синус угла принимает значение 0?

Ученик: Синус угла принимает значение 0 в углах 0° и π.

Учитель: А как мы можем записать их в виде формул?

Ученик: Для первого угла формула будет выглядеть следующим образом t₁=0 + 2πk и для второго угла такая t₂=π+2πk.

Учитель: А мы можем объединить эти решения? Ученик: Да можем

Учитель: Тогда что мы получим? Ученик: k Z

Запись на доске и в тетради:

Учитель: решить уравнения =

Запись на доске в тетради:

Учитель: Следующий номер. Для решения этого номера нам понадобятся свойства синуса и косинуса, которые мы с вами изучили.

Ученик: Так как мы теперь знаем свойство, что знак у аргумента синуса выносится вперед, то мы можем записать, что . так и остается. А у косинуса только что по изученному свойству минус можно убрать, тогда . Тогда мы получаем следующее выражение +, а мы знаем что , , а , таким образом мы получаем

Запись на доске и в тетради:

5. Подведение итогов
Учитель: Что нового вы сегодня узнали?
Ученик: Сегодня мы узнали, как можно определить косинус и синус с помощью числовой окружности. Так же мы узнали как решать простейшие тригонометрические уравнения.

6.Домашнее задание
Учитель: Теперь запишите домашнее задание. П. 7.3 – выучить знаки и значения синуса и косинуса угла, и №№7.32, 7.47. Спасибо, можете быть свободны.

Читайте также: