Объем шарового сегмента шарового слоя и шарового сектора конспект

Обновлено: 07.07.2024

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы

Объем шара равен .

Объем шарового сегмента равен .

Объем шарового сектора равен .

Объем шарового слоя равен .

Площадь сферы равна S=4 πR 2 .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.

При вращении кругового сектора АОВ вокруг радиуса ОА получается тело вращения - шаровой сектор радиуса R=ОА и высотой сектора h=DA. Объем его вычисляется по формуле: V= (2/3)*πR²*h. Рассмотрим сечение этого сектора (смотри рисунок): в прямоугольном треугольнике ОВD (радиус круга ОА перпендикулярен хорде ВС) угол ВОD равен 60° (дано). Значит Тогда высота шарового сектора равна h=DA=OA-OD=R-R/2=R/2.
V=(2/3)*π*R²*R/2=(1/3)πR³.

№2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара. Формула объема шарового сектора: V = (2/3)*πR²*h, где h - высота сегмента. В нашем случае R=H+h, где Н - высота конуса, а h- высота сегмента. Тогда h = R-H = 6-4 =2, так как Н = (1/3)*2*R (дано). Значит V = (2/3)*π*36*2 = 48π.
Ответ: объем шарового сектора равен 48π

№3.По разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью и см 2 . Расстояние между сечениями равно см. Определите объём получившегося шарового слоя.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна .

Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен (см), радиус второго основания равен (см).

Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен .

Тема: объем шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора.

вывести формулы для вычисления объема шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора;
научить применять формулы при решении задач;

Повторить понятия: “ сфера”, “ шар”, “круговой сектор”,“круговой сегмент”, формулы для вычисления объемов тел вращения;
научить применять данные формулы при решении задач;
совершенствовать вычислительные навыки.
побудить учащихся к активной мыслительной деятельности;
прививать и укреплять умение давать полный и обоснованный ответ на поставленный вопрос.

Проверка домашнего задания -5 мин.
Актуализация знаний – 3 мин.
Изучение нового материала – 17 мин.
Первичное закрепление знаний – 7 мин.
Решение задач – 10 мин.
Итог урока -3 мин.

Проверка домашнего задания фронтально - вопрос 11 на стр.178,

№714 на перемене записывается решение на доске и во время урока ученик объясняет решение и выслушивает комментарии и замечания одноклассников .

Актуализация знаний . Фронтальная работа с классом.

Дать определение сферы. Площадь сферы.
Дать определение шара. Объем шара.
Определение окружности. Длина окружности. Длина дуги окружности.
Дать определение круга. Площадь круга.
Определение кругового сектора. Площадь кругового сектора.( часть круга , ограниченная двумя радиусами .)
Определение кругового сегмента. Площадь кругового сегмента.( Сегмент круга, окружности — это часть круга, окружности , ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.)

Учитель : Сегодня на уроке вы познакомитесь с такими геометрическими телами как шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор и выведите формулы для вычисления объемов этих тел .

Рисунок
Формула, обозначения
Вывод формулы.
Составить задачу на применение формулы.

Во время выступления остальные делают записи в тетради. 7 мин.

шаровой сегмент-определение, вывод формулы.

шаровой слой -определение, вывод формулы.

шаровой сектор -определение, вывод формулы.

Первичное закрепление знаний. Решение задач в группах , составленных учениками. Каждая группа решает по две задачи. Проверку осуществляет группа, составившая эту задачу.
Решение задач на карточках в группах. Задания дифференцированы. Проверку осуществляет учитель.

1.На расстоянии 9 м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24π. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара

3. Внутренний диаметр полого шара равен 12 см, а толщина стенок – 3 см. Найдите объем материала из которого сделан шар.

4.В шаре радиуса 15 см проведено сечение, площадь которого равна 81π см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

5. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.

6. Внешний диаметр полого шара равен 18 см, а толщина стенок – 3 см. Найдите объем материала из которого сделан шар.

7 . Сечение, перпендикулярное диаметру шара, делит этот диаметр в отношении 1 : 3. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого от шара, если площадь поверхности шара равна 144 π.

8. Радиус шарового сектора равен R, а угол между радиусами в осевом сечении сектора равен 120º. Найдите объем сектора.

9.Круговой сектор радиуса R c центральным углом 60º вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

Определение:

Итак, шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного. Причём, данная точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

Определение:

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Утверждение: если радиус шара равен , а высота сегмента равна , то объем шарового сегмента можно вычислить по формуле:

Определение:

Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.

Круги, получившиеся в сечении шара плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя.

Нетрудно заметить, что объём шарового слоя можно вычислить, как разность объёмов двух шаровых сегментов.

Если высота шарового слоя равна , а радиусы и – радиусы оснований шарового слоя соответственно, то объем шарового слоя можно вычислить по формуле:

Определение:

Шаровым сектором называется тело, которое получается при вращении кругового сектора с углом, меньшим 90 о , вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Если радиус шара равен , а высота шарового сегмента равна , то объем шарового сектора можно найти по формуле:

Задача: радиус шара равен см. Вычислите объем шарового сегмента, если его высота равна см.

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сегмента.

И подставим в неё радиус шара и высоту шарового сегмента.

Задача: по разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью и см 2 . Расстояние между сечениями равно см. Определите объём получившегося шарового слоя.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

Задача: радиус шара равен см. Найдите объем шарового сектора, если высота шарового сегмента равна см.

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сектора.

Подставим в неё радиус шара и высоту шарового сегмента. Посчитаем. Получим, что объём данного шарового сектора равен .

Этот урок посвящен знакомству с такими геометрическими телами, как шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор. В видеофрагменте мы введем понятия шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. А также выведем формулы для вычисления их объемов.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора"

На этом уроке мы введём понятия шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. А также выведем формулы для вычисления их объёмов.

Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое шар.

Определение:

Самой простой фигурой, которую можно начертить, используя шар, является шаровой сегмент.

Определение:

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

На экране вы видите, как секущая плоскость , проходящая через точку , разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков и диаметра , перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегментов.

Верно следующее утверждение: если радиус шара равен , а высота сегмента равна , то объем шарового сегмента можно вычислить по формуле:

Докажем это утверждение. Доказывать будем с помощью определённого интеграла.

Проведём ось перпендикулярно к плоскости . Тогда площадь ,

Вычислим объём шарового сегмента с помощью основной формулы объёма тела. Вспомним её: .

Итак, применим основную формулу для вычисления объёмов тел получаем, что объём шарового сегмента равен .

Что и требовалось доказать.

Заметим, что если высоту в формуле объема шарового сегмента заменить на , то получим формулу для нахождения объёма шара:

А если заменить высоту на радиус , то получим формулу для нахождения объёма полушара.

Кстати, в жизни нас также окружают некоторые объекты, имеющие форму очень близкую к форме шарового сегмента.

В современной авиации наиболее популярны парашюты в виде сегмента.

Форму шарового сегмента нередко используют и в архитектуре, интерьере, декоре.

Перейдём к шаровому слою.

Определение:

Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.

На экране вы видите изображение шарового слоя.

Нетрудно заметить, что объём шарового слоя можно вычислить, как разность объёмов двух шаровых сегментов.

Объём шарового слоя, изображённого на экране, равен разности объёмов шаровых сегментов, высоты которых равны и .

Декоративная свеча может служить примером шарового слоя в жизни.

И теперь перейдём к шаровому сектору.

Определение:

Обратите внимание, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Причём шаровой сегмент имеет высоту , а конус высоту , где – радиус шара.

Понятно, что шаровая поверхность пересекается с конусом по окружности. Радиус этой окружности равен .

Если радиус шара равен , а высота шарового сегмента равна , то объем шарового сектора можно найти по формуле:

Для того чтобы получить данную формулу необходимо сложить объём конуса (с вершиной O), лежащего под плоскостью, и объём шарового сегмента, лежащего над плоскостью.

Большой воздушный шар имеет форму близкую к форме шарового сектора в жизни.

Перейдём к задачам.

Задача: радиус шара равен см. Вычислите объем шарового сегмента, если его высота равна см.

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сегмента.

И подставим в неё радиус шара и высоту шарового сегмента.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

Не забудем записать ответ

Задача: радиус шара равен см. Найдите объем шарового сектора, если высота шарового сегмента равна см.

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сектора.

На этом уроке мы ввели понятия шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. Узнали, что шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Шаровым сектором называется тело, которое получается при вращении кругового сектора с углом, меньшим 90 о , вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. А также вывели формулы для вычисления объёмов этих тел.

Читайте также: