Объем пирамиды усеченной пирамиды конспект

Обновлено: 07.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Задача.docx

В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в отношении 3 : 4 (от вершины к основанию), а площадь сечения меньше площади основания на 200 см 2 . Найдите площадь основания.

Выбранный для просмотра документ Конспект урока.docx

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 45

Разработка урока по теме

геометрия, 10 класс.

Автор: учитель математики

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Борисова Алла Николаевна.

2016 – 2017 учебный год

Автор – Борисова Алла Николаевна

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 города Калининграда

Предмет – математика (геометрия)

Учебно-методическое обеспечение:

Геометрия, 10 - 11: учебник для общеобразовательных учреждений/ Л. С. Атанасян и др., - 22 - е изд., - М.: Просвещение, 2015 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы - Microsoft Office Power Point 2010

Задачи урока:

Образовательные:

учащиеся знакомятся с усеченной пирамидой, знакомятся с её элементами, выводят формулу боковой поверхности усеченной пирамиды;

дать понятие усеченной пирамиды и её элементов;

рассмотреть различные виды усеченных пирамид;

доказать формулу нахождения площади поверхности усеченной пирамиды; научиться применять полученные знания при решении задач.

Развивающие:

развивать логическое мышление; пространственное воображение учащихся, умение самостоятельно мыслить, делать выводы, поддержание интереса к математике, развитие познавательного интереса к предмету.

развивать у учащихся навыки самостоятельной работы и работы в парах.

Воспитательные:

воспитание познавательной активности, культуры общения, ответственности, самостоятельное развитие зрительной памяти;

воспитывать у учащихся самостоятельность, любознательность, сознательное отношение к изучению математики;

обоснование выбора методов, средств и форм обучения;

оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм, направленных на получение высокого результата за время урока.

Оборудование и материалы для урока : проектор, экран, презентация для сопровождения урока.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Структура урока:

1) Учитель организует учащихся к уроку.

2) Объявляется план урока.

2. Открытие новых знаний.

3) Собираются тетради с домашней работой для проверки.

II . Актуализация знаний (слайды 2 - 3).

1) Теоретический опрос.

Дайте определение пирамиды.

Назовите элементы пирамиды.

Какая пирамида называется правильной?

Как находится площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

Вспомним определение трапеции

Какие виды трапеций вам известны?

Как найти площадь трапеции?

2) Устное решение задач (слайды 4 - 5).

II I. Введение нового материала.

1 ) Учитель показывает слайды 6 - 11 с изображением архитектурных сооружений в виде усечённой пирамиды.

Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность данной темы.

2) Объяснение материала проходит в форме беседы, учащиеся в тетрадях делают соответствующие записи. Один ученик работает на доске.

Изобразите произвольную пирамиду РА ₁ А ₂ …А _n . Проведем секущую плоскость α , параллельную плоскости β основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В ₁ , В ₂ ,…,В _n (слайд 12).

Плоскость параллельная основанию пирамиды, разбивает её на два многогранника. Один из них является пирамидой, а другой называется усечённой пирамидой .

Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды (слайд 13).

Определение. Усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются два n – угольника А ₁ А ₂ … А _n и В ₁ В ₂ … В n , расположенные в параллельных плоскостях, и n – четырёхугольников А ₁ В ₁ В ₂ А ₂ , А ₂ В ₂ В ₃ А ₃ , … ,А _n В _n В ₁ А _1.

Многоугольники А ₁ А ₂ А ₃ … А _n и В ₁ В ₂ В ₃ … В _n - нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды (слайд 14).

Отрезки А ₁ В ₁ , А ₂ В ₂ , А ₃ В ₃ … - боковые ребра усечённой пирамиды

Четырёхугольники А ₁ В ₁ В ₂ А ₂ , А ₂ В ₂ В ₃ А ₃ … - боковые грани усечённой пирамиды.

Отрезок РН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды (слайд 15).

Рассмотрим виды усечённых пирамид (слайд 16).

3) Работа в парах.

Докажите, что боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями .

После обсуждения доказательства на доске и в тетрадях записать формулировку и конспект. К доске вызывается один человек.

Доказательство (слайд 17).

Рассмотрим четырехугольник А ₁ В ₁ В ₂ А ₂ .

( S А ₂ А ₃ ) ∩ α = А ₂ А ₃

( S А ₂ А ₃ ) ∩ β = В ₂ В ₃

Значит, А ₂ А ₃ ║ В ₂ В ₃

2. А ₂ S ∩ А ₃ S = S , значит А ₂ В ₂ ║ А ₃ В ₃

Т.о. А ₁ В ₁ В ₂ А ₂ – трапеция по определению

Аналогично доказывается и про остальные боковые грани.

4) Правильная усечённая пирамида.

Учитель показывает натуральные модели правильных пирамид и правильных усечённых пирамид. Как вы думаете, какая усечённая пирамида будет правильной? Что лежит в её основаниях?

Определение. Усеченная пирамида называется правильной , если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Высота боковой грани называется апофемой (слайд 18).

Давайте посмотрим на модели правильных усечённых пирамид, что вы можете сказать об их основаниях? А о боковых гранях? Сравните их.

Таким образом, правильная призма обладает следующими свойствами. Основания - правильные многоугольники.

Боковые грани – равные равнобедренные трапеции (слайд 19).

Как вы думаете, что называют площадью полной поверхности усечённой пирамиды?

Площадью полной поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей всех её граней: оснований и всех боковых граней.

А что такое площадь боковой поверхности усечённой пирамиды?

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.

Вспомним, как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

А как найти площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды? (слайд 19).

Посмотрим на правильную усечённую пирамиду, изображённую на слайде 21 .

И поставим перед собой задачу: найти площадь её боковой поверхности.

Один ученик работает на доске.

Какими фигурами являются боковые грани правильной n-угольной усечённой пирамиды? (Равнобедренными трапециями)

Найдем площадь одной из граней правильной n -угольной усечённой пирамиды.

Сколько таких граней? ( n )

Т.к. эта усечённая пирамида правильная, то

Итак, мы доказали, что

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

I V. Физкультминутка.

Один учащийся выходит к доске и предлагает простые упражнения для шеи, рук и спины.

V . Закрепление изученного материала.

1) Первичное закрепление.

1 уч-ся с комментированием решает № 268 на доске

Дано: MABCD - правильная пирамида, А ₁ В ₁ С ₁ || АВС, МО ₁ : O ₁ O =1: 3, NK - апофема, NK = 4 дм, S _yc.пиp. = 186 дм 2

Рассмотрим ΔМКО. Так как NO1 || KO, то МО ₁ : МО = O ₁ N : OK, значит, стороны В ₁ С ₁ : ВС = МО ₁ : МО. В ₁ С ₁ = 1 : 3.

Пусть В ₁ С ₁ = х, ВС = 3х. Имеем

( не удовлетворяет условию задачи);

В ₁ С ₁ = 3 (см), NО = 1,5 (см); ВС = 9 (см), ОК = 4,5 (см); KF = OK – NO ₁ = 3. Из ΔKNF по теореме Пифагора

2) Самостоятельное решение задач (дифференцированный подход)

Учащимся предлагаются на выбор разноуровневые задания.

1 уровень . Выполняют самостоятельную работу по вариантам. Учитель при необходимости консультирует учащихся, анализирует результаты выполнения учащимися заданий.

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 22см и 6см, а высота-13см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 24см и 8см, а высота-15см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

2 уровень. Работают самостоятельно в микрогруппах (по необходимости пользуются помощью учителя).

VI . Подведение итогов урока, рефлексия деятельности

Давайте подведем итог.

- Итак, что вы узнали сегодня на уроке?

- Чему научились сегодня на уроке?

- Что такое усеченная пирамида?
- Какая усеченная пирамида называется правильной?

Объём усечённой пирамиды равен суме объёмов трёх пирамид, которые имеют высоту, одинаковую с высотой усечённой пирамиды, а основания: одно – нижнее основание данной пирамиды, второе – верхнее, а третья – основание, площадь которого равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего основания.

Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований 30 и 20 м, а боковая поверхность равна сумме площадей оснований.

Рассматривая равносторонние ∆ АВС и ∆ А ₁ В ₁ С ₁ , центры которых находятся в точках О и О ₁ , найдём О N и О ₁ М как радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники :

Найти объём правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований равны 4 см и 2 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45 ° .

На рисунке изображена правильная усечённая пирамида, в которой по условию,

A ₁ D ₁ = 2 см,
AD = 4 см.

Комментариев нет:

Уроки математики и физики (RU + UA)

I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ (RU + UA + EN)
II. ПРОПОРЦИИ ПРОЦЕНТЫ МАСШТАБ (RU + UA)
III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (RU + UA)
IV. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ (RU + UA)
V. КОРНИ (RU + UA)
VI. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ (RU + UA + EN)
VII. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (RU + UA)
VIII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
IX. НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
X. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (RU + UA)
XI. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
XII. ПЛАНИМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
XIII. ПЛАНИМЕТРИЯ (площади фигур) (RU + UA)
XIV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
XV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (2) (RU + UA)
XVI. КОМБИНАТОРИКА (RU + UA)
XVII. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (RU + UA)
XVIII. ВЕКТОРЫ (RU + UA)
XIX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ (RU + UA)
XX. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (RU + UA)
КИНЕМАТИКА
ДИНАМИКА
WATCH YOUR MONEY!

О сайте

На сайте размещена минимальная информация по математике, позволяющая сдать тесты любому ученику с положительной отметкой, если конечно он решит все предложенные уроки.
Также данный сайт поможет ученику, начинающему изучать математику и бабушкам, которые захотят помочь своим внукам в изучении математики.

Каждый урок содержит краткие сведения по теоретической части и три практических задания по 12 примеров или задач в каждом задании. При желании Вы можете написать ответы заданий для проверки в комментариях. Сайт находится в постоянной доработке. Возможны методические и математические ошибки.

В этом уроке мы вспомним, какие фигуры мы называли пирамидой, усеченной пирамидой. Назовем основные элементы пирамиды, усеченной пирамиды. Затем выведем формулу для вычисления объема пирамиды и формулу для вычисления объема усеченной пирамиды.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Объем пирамиды"

Сегодня на уроке мы вспомним, какую фигуру мы назвали пирамидой, основные элементы пирамиды, выведем формулу для вычисления объёма пирамиды.

Давайте начнём с того, что вспомним, какую фигуру мы назвали пирамидой.

Определение:

Итак, рассмотрим многоугольник и точку , не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединим точку отрезками с вершинами многоугольника. В итоге получим треугольников: , , … , . Многогранник, составленный из -угольника и этих треугольников, называется пирамидой.

Многоугольник называется основанием пирамиды.

Треугольники , , … , называются боковыми гранями пирамиды.

Точка – вершиной пирамиды, а отрезки , , … , – её боковыми рёбрами.

Пирамиду с вершиной и основанием называют -угольной пирамидой и обозначают так: .

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Теперь давайте сформулируем и докажем теорему.

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство. Сначала давайте докажем теорему для треугольной пирамиды.

Рассмотрим треугольную пирамиду с объёмом , площадью основания и высотой .

Давайте проведём координатную ось так, чтобы она проходила через высоту пирамиды.

Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной к оси и, значит, параллельной плоскости основания.

Обозначим через точку точку пересечения плоскости с осью , через обозначим площадь сечения.

Выразим площадь сечения через площадь основания пирамиды и высоту пирамиды .

По рисунку нетрудно увидеть, что . Это действительно так. Это подобие вытекает из того факта, что сечение параллельно плоскости основания.

Раз треугольники подобны, значит, отношения .

Рассмотрим прямоугольные треугольники и . Так как сечение , значит, отрезки , отсюда, углы как соответственные углы. Значит, треугольники . Поэтому отношения . Длина отрезка , то есть отношения равны.

Поскольку в обоих равенствах присутствует отношение , то можно записать, что

То есть мы получили, что коэффициент подобия для треугольников
и равен . Тогда площади этих треугольников относятся .

Теперь давайте применим основную формулу для вычисления объёмов тел.

Границами интегрирования будут числа 0 и .

Получим, что объём равен .

Теперь давайте докажем эту теорему для произвольной пирамиды с высотой и площадью основания . Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой , например, пятиугольную пирамиду можно разбить так.

Выразим объём каждой треугольной пирамиды по доказанной формуле.

Мы знаем, что если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел. Значит, объём пятиугольной пирамиды будет равен сумме объёмов треугольных пирамид.

Вынесем за скобку , в скобках получим сумму площадей оснований треугольных пирамид, а это есть ничто иное как площадь основания пятиугольной пирамиды.

Таким образом, объём произвольной пирамиды равен . Что и требовалось доказать.

Следствием из этой теоремы будет формула для вычисления объёма усечённой пирамиды.

Прежде чем сформулировать это следствие, давайте вспомним, какую пирамиду мы называем усечённой.

Пусть нам дана пирамида . Проведём секущую плоскость , параллельную плоскости основания пирамиды и пусть эта плоскость пересекает боковые рёбра в точках , , …, . Плоскость разбивает пирамиду на две фигуры: пирамиду и многогранник.

Определение:

Многогранник, гранями которого являются и , расположенные в параллельных плоскостях и четырехугольников , и так далее называется усечённой пирамидой.

-угольники и называются соответственно верхним и нижним основанием.

Четырёхугольники , и так далее называются боковыми гранями.

, и так далее называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.

Усечённую пирамиду обозначают так .

Возьмём на верхнем основании произвольную точку и из этой точки опустим перпендикуляр на нижнее основание. Этот перпендикуляр называется высотой усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды, высота которой равна , а площадь оснований равны и , вычисляется по формуле:

Решим несколько задач.

Задача: найти объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна , а сторона основания равна .

Решение: поскольку пирамида правильная, значит, в основании лежит правильный, то есть равносторонний треугольник.

Площадь равностороннего треугольника со стороной 13 см равна .

Применим формулу для вычисления объёма, подставим числа, выполним элементарные преобразования и получим, что объём призмы равен .

Задача: в правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны основания равны и , а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна . Найти объём усеченной пирамиды.

Решение: воспользуемся формулой для вычисления объёма усечённой пирамиды.

Площадь оснований этой пирамиды найти нетрудно, эти площади равны и .

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Этим сечением будет трапеция, причем высота этой трапеции будет высотой усечённой пирамиды, потому что высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный на нижнее основание.

Высоту мы найдём пользуясь формулой для вычисления площади трапеции.

Основания трапеции – диагонали квадратов, то есть основания трапеции соответственно равны и . Получим, что высота трапеции равна .

Подставив найденные значения в формулу для вычисления объёма усечённой пирамиды, мы получим, что объём усечённой пирамиды равен .

Сегодня на уроке мы вспомнили такие фигуры как пирамида, усечённая пирамида, вывели формулы для вычисления объёма пирамиды, усечённой пирамиды. Решили несколько задач.

V = 1 3 H ⋅ S 1 + S 1 ⋅ S 2 + S 2 , где S 1 и S 2 − площади оснований .

Рис .1. Правильная усечённая треугольная пирамида ABCKNV. © ЯКласс.
Рис.2. Правильная усечённая четырёхугольная пирамида ABCDZVNK. © ЯКласс.
Рис. 3. Апофема правильной треугольной усечённой пирамиды. © ЯКласс.

Читайте также: