Некоторые сведения из теории множеств 10 класс конспект

Обновлено: 07.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ТЕМА: Множества и операции над ними.

образовательные: знакомство с понятием множества, подмножества и элементами множеств; способами задания множеств; видами множеств; знакомство с операциями, выполняемыми над множествами.

развивающие: развитие познавательного интереса учащихся; развитие интеллектуальной сферы личности, развитие умений сравнивать и обобщать.

воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность при решении заданий.

II этап. Ознакомление с новым материалом.

Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).

Понятие множество связано с таким известным в математике именем как Кантор (Cantor) Георг (1845—1918) — немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19— 20 вв. В семидесятые годы ХIX века немецкий математик Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходимостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших при этом проблем Кантор и выдвинул понятие множества. Это понятие, введенное в достаточно узкой области математики для довольно специальных целей, вскоре стало с успехом применяться в других ее областях. Посвященные ему исследования приобрели самостоятельный интерес и выделились в особый раздел математики – теорию множеств .

Теория множеств появилась на свет 7 декабря 1873 года .

Кантора заинтересовал вопрос, каких чисел больше – натуральных или действительных?

В одном из писем адресованных к своему приятелю Рихарду Дедекинду, Кантор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше, чем натуральных. День, которым было датировано это письмо, математики считают днем рождения теории множеств.

Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах. К сожалению, основному понятию теории – понятию множества – нельзя дать строгого определения. МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Понятие множества поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д.. Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B , C , … , X , Y , … , A ₁ , B _{1, …}

Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.

Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ. Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b , c , … , x , y , … , a _1, b ₁ , … Если элемент х принадлежит множеству М , то записывают х М , если не принадлежит – x M .

Множества можно задать, перечислив все его элементы или указав характеристическое свойство элементов, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Примеры множеств:

множество дней недели ;

множество планет солнечной системы;

множество знаков зодиака;

Приведите свой пример множества.

С множествами связаны различные парадоксы, самый простой из парадоксов - это " парадокс брадобрея ". Появление парадоксов связано с тем, что далеко не всякие конструкции и не всякие множества можно рассматривать.

Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление.

Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. Бриться или не бриться – вот в чём вопрос!

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называется подмножеством В. Обозначение: А Ì В.

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: АВ, где символ  - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение можно записать следующим образом:

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А  В, где  - символ объединения множеств. Определение можно записать с помощью характеристического свойства:

IV этап. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения .

Приведите примеры множества, элементами которого являются: а) животные; б) составные числа; в) простые числа; г) треугольники.

Перечислите элементы множеств: а) частей света; б) деревьев; в) материков; г) цветов радуги.

Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества: а) множество чисел, кратных 11; б) множество делителей числа 5; в) множество океанов; г) множество натуральных чисел; д) множество рек Ростовской области; е) множество корней уравнения х - 3 = 10; ж) множество решений неравенства х + 2

Какие названия применяются для обозначения множеств животных?

Какие названия применяются для обозначения множеств военнослужащих?

Как называется множество цветов, стоящих в вазе?

Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей?

Как называется множество царей (фараонов, императоров и т.д.) данной страны, принадлежащих одному семейству?

Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от обоих полюсов?

Как называется множество картин?

Как называется множество документов?

V этап. Постановка задания на дом.

§ 3, № 3.1., № 3.2., № 3.9.

VI этап. Подведение итогов урока.

Продолжите слова:

сегодня я узнал… теперь я могу… я научился… было интересно…

меня удивило… я приобрел… мне захотелось…

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором, создателем теории множеств.

Немецкий математик, создатель теории множеств

Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Под множеством мы можем понимать: учеников класса, фрукты, деревянные предметы, числа и т. д.

Множество учеников класса

Множество деревянных предметов

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A,B,C,D и т. д.).

Множество можно задать перечислением всех его элементов, заключенных в фигурные скобки:

Из некоторых элементов одного множества можно составить новое. Тогда такое множество Е принято называть подмножеством D:

Для наглядности множества можно изображать в виде окружности, так называемых кругов Эйлера, где элементы, входящие в множество, изображают внутри круга, а остальные вне:

Пересечением множеств называется множество их общих элементов.

Пусть множество A будет состоять из элементов 1,3,6,9,12,15, а множество B из элементов 2,4,6,8,10,12. Тогда в пересечение этих множеств будет входить 2,6,12:

Множество может не содержать элементы, тогда оно будет называться пустым.

Если множества не имеют общих элементов, то их пересечение — пустое множество:

Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов:

Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В:

Если множество А является подмножеством B, то дополнением называется разность множества А и В:

Мощностью множества называется число его элементов: A=

Таким образом, мощность непересекающихся множеств будет являться суммой мощностей каждого множества:

Для вычисления мощности пересекающихся множеств можно использовать принцип включений и исключений:

Для вычисления мощности пересечения трех множеств принцип включений и исключений выглядит так:

В классе 17 пловцов, 8 борцов и 13 футболистов. Известно, что в классе 25 детей, а ребят занимающихся футболом и плаваньем — 10, борьбой и плаваньем — 3, борьбой и футболом — 2 и только один ребенок занимается всеми тремя видами спорта. Сколько детей в классе не занимаются спортом?

по формуле включения:

Таким образом, в классе 24 ребенка занимаются хотя бы одним видом спорта, ответ 1

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.

Информатика. 10 класса. Босова Л.Л. Оглавление

§ 17. Некоторые сведения из теории множеств

17.1. Понятие множества

С понятием множества вы познакомились на уроках математики ещё в начальной школе, а затем работали с ним при изучении математики и информатики в основной школе.

Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое.

Примерами множеств могут служить: множество всех учеников вашего класса, множество всех жителей Санкт-Петербурга, множество всех натуральных чисел, множество всех решений некоторого уравнения и т. п.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (А, В, С, …). Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами.

Множество можно задать следующими способами:

1) перечислением всех его элементов;
2) характеристическим свойством его элементов.

В первом случае внутри фигурных скобок перечисляются все объекты, составляющие множество. Каждый объект, входящий в множество, указывается в фигурных скобках лишь один раз.

Например, запись М = означает, что множество М состоит из чисел 1, 3, 5, 7 и 9. Точно такой же смысл будет иметь запись М = . Иначе говоря, порядок расположения элементов в фигурных скобках значения не имеет. Важно точно указать, какие именно объекты являются элементами множества.

Например:

• число 5 является элементом множества М: 5 ? М 1) ;
• число 4 не является элементом множества М: 4 ? М.

1) Символ ? называется знаком принадлежности.

Это же множество можно задать с помощью характеристического свойства образующих его элементов — такого свойства, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. В нашем примере можно говорить о множестве натуральных однозначных нечётных чисел.

В рассматриваемом множестве М содержится 5 элементов. Это обозначают так: |М| = 5. Можно составить множество, содержащее любое число элементов. Например, множество всех корней уравнения х 2 — 4х — 5 = 0 конечно (два элемента), а множество всех точек прямой бесконечно. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ?.

Первый способ задания множеств применим только для конечных множеств, да и то при условии, что число элементов множества невелико. Вторым способом можно задавать как конечные, так и бесконечные множества.

Из некоторых элементов множества М можно составить новое множество, например Р: Р = .

Если каждый элемент множества Р принадлежит множеству М, то говорят, что Р есть подмножество М, и записывают: Р ? М.

Само множество М является своим подмножеством, т. к. каждый элемент М принадлежит множеству М. Пустое множество также является подмножеством М.

Тогда самым большим множеством, содержащим в себе множества А, В и С, а также другие подобные множества, будет множество целых чисел. Универсальное множество будем обозначать буквой U.

Для наглядного изображения множеств используются круги Эйлера (рис. 4.1). Точки внутри круга считаются элементами множества.

Рис. 4.1. Графическое изображение множеств: 1) х ? М, 2) х ? М

17.2. Операции над множествами

Над множествами, как и над числами, производят некоторые операции.

Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов.

Пересечение множеств обозначают с помощью знака ?: Х ? У. На рисунке 4.2 закрашено множество X ? Y.

Рис. 4.2. Графическое изображение множества X ? Y

Пусть множества X и Y состоят из букв:

Эти множества имеют общие элементы: к, о.

Множества М и X не имеют общих элементов, их пересечение — пустое множество:

Пересечение множеств М и Р есть множество Р, а пересечение множеств М и М есть множество М:

Объединением двух множеств X и Y называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов.

Объединение множеств обозначают с помощью знака ?: X ? У.

На рисунке 4.3 закрашено множество X ? У.

Рис. 4.3. Графическое изображение множества X ? У

Для наших примеров:

М ? Р = М; М ? М = М.

Подумайте, возможно ли равенство: А ? В = А ? В.

Пересечение и объединение выполняются для любой пары множеств. Третья операция — дополнение — имеет смысл не для всех множеств, а только тогда, когда второе множество является подмножеством первого.

Пусть множество Р является подмножеством множества М. Дополнением Р до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в Р.

Дополнение Р до М обозначают

Дополнение М до М есть пустое множество, дополнение пустого множества до М есть

Особый интерес представляет дополнение некоторого множества В до универсального множества U. Например, если В — это множество точек, принадлежащих некоторому отрезку, то его дополнением

до универсального множества U, которым в данном случае является множество всех точек числовой прямой, является множество точек, не принадлежащих данному отрезку.

В общем случае можем записать:

Рис. 4.4. Дополнение множества В до универсального множества

На рисунке 4.5 видно, что множество А ? В будет совпадать с универсальным, если А будет совпадать с множеством

или содержать его в качестве подмножества. В первом случае, т. е. при А =

мы имеем дело с минимальным множеством А, таким что A ? В = U.

Рис. 4.5. Выбор такого множества А, что А ? В = U

Каким должно быть множество А для того, чтобы множество

? В совпадало с универсальным множеством?

Для ответа на этот вопрос воспользуйтесь рисунком 4.6.

Рис. 4.6. Выбор такого множества А, что ? В = U

17.3. Мощность множества

Мощностью конечного множества называется число его элементов.

Мощность множества X обозначается |Х|.

В рассмотренных выше примерах |Х| = 5, |М| = 5.

Число элементов объединения двух непересекающихся множеств равно сумме чисел элементов этих множеств. Так, в объединении множеств М и X содержится 10 элементов: |М ? Х| = 10.

Если же множества пересекаются, то число элементов объединения находится сложнее. Так, X состоит из 5 элементов, множество Y — из 4, а их объединение — из 7. Сложение чисел 5 и 4 даёт нам число 9. Но в эту сумму дважды вошло число элементов пересечения. Чтобы получить правильный результат, надо к числу элементов X прибавить число элементов Y и из суммы вычесть число элементов пересечения. Полученная формула подходит для любых двух множеств: |Х ? Y| = |Х| + |Y| — |Х ? Y|. Это частный случай так называемого принципа включений-исключений.

Принципом включений-исключений называется формула, позволяющая вычислить мощность объединения (пересечения) множеств, если известны их мощности и мощности всех их пересечений (объединений).

Для случая объединения трёх множеств формула имеет вид:

Аналогичные формулы справедливы и для пересечения множеств:

Пример. В зимний оздоровительный лагерь отправляется 100 старшеклассников. Почти все они увлекаются сноубордом, коньками или лыжами. При этом многие из них занимаются не одним, а двумя и даже тремя видами спорта. Организаторы выяснили, что всего кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на лыжах — 28, на коньках — 42. Всего умением кататься на лыжах и сноуборде из них могут похвастаться 8 ребят, на лыжах и коньках — 10, на сноуборде и коньках — 5, но только трое из них владеют всеми тремя видами спорта.

Сколько ребят не умеет кататься ни на сноуборде, ни на лыжах, ни на коньках?

Обозначим через S, L и К множества сноуборд истов, лыжников и любителей коньков соответственно. Тогда |S| = 30, |L| = 28 и |К| = 42. При этом |S ? L| = 8, |К ? L| = 10, |S ? К| = 5, |S ? L ? K| = 3.

Объединение множеств S, L и К — это множество ребят, увлекающихся хотя бы каким-то видом спорта.

По формуле включений-исключений находим:

|S ? L ? К| = 30 + 28 + 42 — 8 — 10 — 5 + 3 = 80.

Таким образом, из 100 старшеклассников 20 не умеют кататься ни на сноуборде, ни на лыжах, ни на коньках.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое.

Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов.

Мощностью конечного множества называется число его элементов.

Формула включений-исключений позволяет вычислить мощность объединения (пересечения) множеств, если известны их мощности и мощности всех их пересечений (объединений).

Вопросы и задания

1. Если множество X — это множество натуральных чисел, делящихся нацело на 2, а У — множество натуральных чисел, делящихся нацело на 3, то что будет:

1) пересечением этих множеств;
2) объединением этих множеств?

2. Пусть множество X — это множество натуральных чисел, делящихся нацело на 18, a Y — множество натуральных чисел, делящихся нацело на 14. Укажите наименьшее число, входящее:

1) в пересечение этих множеств;
2) в объединение этих множеств?

3. Пусть А, В и С — некоторые множества, обозначенные кругами, U — универсальное множество.

С помощью операций объединения, пересечения и дополнения до универсального множества выразите через А, В и С следующие множества:

1) 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6;
2) 2 ? 5;
3) 5;
4) 2 ? 4 ? 5 ? 6;
5) 1 ? 2 ? 3;
6) 8.

5. Старшеклассники заполняли анкету с вопросами об экзаменах по выбору. Оказалось, что выбрали они информатику, физику и обществознание. В классе 38 учеников. Обществознание выбрал 21 ученик, причём трое из них выбрали ещё и информатику, а шестеро — ещё и физику. Один ученик выбрал все три предмета. Всего информатику выбрали 13 учеников, пятеро из которых указали в анкете два предмета. Надо определить, сколько же учеников выбрали физику.

*6. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Сколько человек знают все три языка?

Множество — совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое.

Способы задания множества

Стандартные обозначения

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A, B, C, …). Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами и обозначаются строчными латинскими буквами.

Круги Эйлера

Для наглядного изображения множеств используются круги Эйлера.

Точки внутри круга считаются элементами множества.

Подмножество

Если каждый элемент множества P принадлежит множеству М, то говорят, что P есть подмножество М, и записывают: P ⊂ М

Само множество М является своим подмножеством: М ⊂ М

Пустое множество является подмножеством М:

Универсальное множество содержит все возможные подмножества одной природы.

Обозначается буквой U .

Пересечение множеств

Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов.

Обозначается X ∩ Y.

Множества M и X не имеют общих элементов: M ∩ X = ∅

P подмножество множества М: М ∩ P = P

Пересечение множеств М и М: М ∩ М = М

Объединение множеств

Объединением двух множеств X и Y называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов (X ∪ Y).

P подмножество множества М: М ∪ P = М

Объединение множеств М и М: М ∪ М = М

Примеры пересечения и объединения множеств

Пусть множество P является подмножеством множества М. Дополнением P до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в P. Обозначается не Р или P’.

Дополнение М до М: М’ = ∅

Дополнение пустого множества до М: ∅ ’ = М

Дополнение множества М до универсального: M ∪ M ’ = U

Мощность множества

Мощностью конечного множества называется число его элементов.

Мощность множества X обозначается |X|.

Мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества.

Два множества являются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Формула включений-исключений

Мощность объединения двух множеств:

Мощность объединения трех множеств:

Множества не пересекаются:

Мощность пересечение двух множеств:

Мощность пересечение трех множеств:

В зимний лагерь отправляется 100 старшеклассников. Почти все они увлекаются сноубордом, коньками или лыжами. При этом многие из них занимаются несколькими видами спорта. Всего кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на лыжах - 28, на коньках - 42. Умением кататься на лыжах и сноуборде могут похвастаться 8 ребят, на лыжах и коньках - 10, на сноуборде и коньках - 5, но только трое из них владеют всеми тремя видами спорта. Сколько ребят не умеет кататься ни на сноуборде, ни на лыжах, ни на коньках?

Обозначим через S, L и K множество сноубордистов, лыжников и любителей коньков соответственно. Тогда:

Читайте также: