Конспект урока вписанные и описанные четырехугольники 9 класс
Обновлено: 07.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Глазырина М.В.
Тема: Вписанные и описанные четырехугольники.
Цель: ввести понятия вписанного и описанного многоугольника, изучить теоремы о сумме противоположных углов вписанного четырехугольника (прямая и обратная), о сумме противоположных сторон в описанном четырехугольнике.
Образовательные: ввести понятия: вписанного и описанного многоугольника, изучить теоремы о сумме противоположных углов вписанного четырехугольника (прямая и обратная), о сумме противоположных сторон в описанном четырехугольнике.
Развивающие: развивать самостоятельность, активность, логическое мышление, навыки построения и вычисления.
Воспитывающие: воспитывать математическую культуру, внимание.
Форма: Урок ознакомления с новым материалом.
Структура и план урока.
Ознакомление с темой урока, постановка его целей и задач.
Давайте поставим для себя цель. Что мы должны сделать сегодня на уроке? (формулировка цели)
П одготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний;
(5: х=100, 6:х=28, 7: х=110, 8:х=101)
Найдите многоугольник
(почему?тип?)
Ознакомление с новым материалом
1) 2)
3 ) Теорема 2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 . Давайте ее докажем.
4) Теорема 3. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 , то около этого четырехугольника можно описать окружность.
5)Теорема 4. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
6) Теорема 5. Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.
Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения.
А)Определите вписанный многоугольник.
Б)1 вариант начертите у себя в тетрадях вписанный пятиугольник, 2 вариант – вписанный семиугольник.
А)Определите описанный около окружности многоугольник.
Б)1 вариант начертите у себя в тетрадях описанный семиугольник, 2 вариант – описанный четырехугольник.
Оценить 4832 0
Тема: ( 1 ) Вписанные в окружность и описанные около окружности
четырехугольники.
Цель: Определить понятие вписанного и описанного окружностей. Дать свойства вписанных и описанных четырехугольников и сформировать навыки применения этих свойств в решении задач.
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания.
III. Актуализация опорных знаний.
Что такое многоугольник?
Какие из многоугольников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми? Обозначьте вершины одного из выпуклых многоугольников буквами и назовите его углы.
Что такое угол выпуклого многоугольника при данной вершине?
Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?
Чему равна сумма углов многоугольника?
Назовите выпуклый четырехугольник, у которого все внешние углы прямые.
Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна сумме внешних?
Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если его внешние углы тупые?
IV. Новая тема:
Теорема
Если около произвольного многоугольника можно описать окружность, то ее центр будет расположен на пересечении всех серединных перпендикуляров ко всем сторонам многоугольника.
Чтобы определить для треугольника радиус описанной окружности, можно воспользоваться формулой:
Или следствием из теоремы синусов:
Свойства биссектрисы, вписанная окружность и треугольник
В любой треугольник можно вписать окружность.
Вся теория вписанных окружностей базируется на свойстве биссектрисы угла. Точки, принадлежащие биссектрисе угла, обладают следующим свойством: любая точка биссектрисы и только точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
Для нас важен тот факт, что в один угол можно вписать окружность, таких окружностей бесчисленное множество, и их центры находятся на биссектрисе угла (см. Рис. 3).
Рис. 3 Рис. 4
Для треугольника мы доказывали теорему о пересечении биссектрис, в которой говорится, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, такая точка единственная, и она является центром вписанной в треугольник окружности (см. Рис. 4).
Теорема: Если в многоугольник можно вписать окружность, то ее центр находится в точке пересечения биссектрис всех углов многоугольника.
Для вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности можно выразить его из формулы:
, где S – площадь треугольника, р – его полупериметр.
Рассмотрим соотношения окружностей и четырехугольников.
Рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника.
Задана окружность с центром О и произвольный четырехугольник ABCD (см. Рис. 5). Рассмотрим свойства этого четырехугольника. Все четыре серединных перпендикуляра данного четырехугольника пересекаются в одной точке: эта точка – центр описанной окружности.
Доказать, что все четыре серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, было бы утомительно. Есть другой признак. Рассмотрим угол ے А, это вписанный угол окружности, он опирается на дугу и измеряется половиной градусной меры данной дуги. Обозначим угол ے А за , тогда дуга . Аналогично обозначим противоположный угол ے С за , он вписан в окружность и опирается на дугу . Отсюда дуга .
Дуги и составляют полную окружность. Отсюда:
Поделим полученное выражение на два, получаем:
Итак, мы доказали прямую теорему.
Теорема: Если около четырехугольника описана окружность, сумма его противоположных углов составляет 180 0 . (Справедлива обратная теорема.)
Описанный четырехугольник
Теорема: Если сумма противоположных углов четырехугольника составляет 180 0 , около этого четырехугольника можно описать окружность.
Перейдем к вписанной в четырехугольник окружности (см. Рис. 6).
Рассмотрим окружность, вписанную в некий четырехугольник, и свойства этого четырехугольника.
Напомним, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Проведем биссектрисы углов заданного четырехугольника. Все они пересекаются в одной точке – точке О, центре вписанной окружности.
Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки K, L, M, N и определяем точки касания.
Из каждой вершины выходит пара равных касательных:
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это легко доказать:
Раскроем скобки:
Таким образом, мы доказали простую, но важную теорему.
Правильный n-угольник и окружность
Теорема: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. (Справедлива обратная теорема).
Теорема: Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
На основании приведенных теорем можно сделать следующие выводы:
- в произвольный параллелограмм нельзя ни вписать окружность, ни описать ее вокруг него;
- в четырехугольники, являющиеся частным случаем параллелограмма, можно вписать или описать окружность. Например, около прямоугольника можно описать окружность, так как сумма его противоположных углов составляет 180 0 . В ромб можно вписать окружность, так как суммы его противоположных сторон равны;
- иногда в трапецию можно вписать окружность, а около равнобедренной трапеции – описать окружность.
Рассмотрим правильный n-угольник, заданный длиной стороны а п . Центры вписанной и описанной окружностей в нем совпадают, и полученная точка называется центром n-угольника (см. Рис. 7).
Заданы длина стороны n-угольника и количество сторон.
Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.
Радиусом описанной окружности будет
Радиусом вписанной окружности будет расстояние
Найдем угол :
Угол составляет половину угла , т.к. треугольник равнобедренный ( ), а ОК – его высота, проведенная к основанию, а значит, биссектриса и медиана: .
Далее все сводится к решению одного из прямоугольных треугольников, например, треугольника , в котором нам известны угол и катет .
Итак, мы рассмотрели соотношение окружностей и многоугольников. Мы вспомнили, что теория описанной окружности базируется на свойстве серединного перпендикуляра, тогда как теория вписанной окружности основана на свойстве биссектрисы. Кроме того, мы вспомнили признаки, по которым можно судить, можно ли около четырехугольника описать окружность или вписать ее. Наконец, мы вывели длину радиусов вписанной и описанной окружностей для правильных n-угольников в общем случае.
V. Закрепление: №№ 410, 414
VI. Домашнее задание: №№ 411, 413
Тема: ( 2 ) Вписанные в окружность и описанные около окружности
четырехугольники.
Цель: Определить понятие вписанного и описанного окружностей. Дать свойства вписанных и описанных четырехугольников и сформировать навыки применения этих свойств в решении задач.
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания.
III. Актуализация опорных знаний.
Какой многоугольник называют правильным?
формула для вычисления угла ?
1) найдите углы правильного 12-ти угольника
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен
найдите углы правильного 20-ти угольника
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Конспект урока по теме: описанная и вписанная окружности четырехугольника, вписанный четырехугольник, описанный четырехугольник, описанная окружность четырехугольника и ее свойства, вписанная окружность четырехугольника и ее свойства.
Описанная окружность четырехугольника.
Вписанный четырехугольник
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого принадлежат данной окружности. Окружность называют описанной. Центр окружности, описанной около четырехугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных ко всем его сторонам.
Свойства и признаки вписанного четырехугольника
Свойства описанной окружности четырехугольника:
1. Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°.
2. Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.
Признак вписанного четырехугольника:
Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
Вписанная окружность четырехугольника.
Описанный четырехугольник
Описанный четырехугольник — четырехугольник, каждая сторона которого касается данной окружности. Окружность называют вписанной. Центр окружности, вписанной в четырехугольник,— точка пересечения биссектрис всех его углов.
Свойства и признаки описанного четырехугольника
Свойства вписанной окружности четырехугольника:
1. Если четырехугольник описан около окружности, то сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон.
2. Точка пересечения диагоналей описанного с четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон данного четырехугольника со вписанной окружностью.
Признак описанного четырехугольника:
Если в четырехугольнике сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон, то в четырехугольник можно вписать окружность.
Деятельностная: научить детей структуризации полученного знаний об окружности, ее элементах, связи окружности с различными фигурами: прямыми, углами, треугольниками, четырехугольниками, научить видеть новое знание, выдвигать гипотезы и доказывать их истинность, решать задачи по изученной теме.
Содержательная: научить обобщению, развивать умение строить теоретические предположения о дальнейшем развитии темы, научить видению нового знания в структуре общего курса, его связь с уже приобретенным опытом и его значение для последующего обучения.
обеспечить в ходе урока повторение понятий окружность, центральный и вписанный углы, вписанная и описанная окружность.
создать условия для доказательства свойств об отрезках секущих и касательных
создать условия для развития коммуникативных навыков, памяти, внимания
создать условия для развития таких аналитических способностей, как умение анализировать , сопоставлять, сравнивать, обобщать, делать выводы
содействовать формированию самостоятельной познавательной деятельности
содействовать развитию умений осуществлять рефлексивную деятельность
способствовать развитию умения отстаивать свою точку зрения
способствовать развитию культуры взаимоотношений при работе в парах, повышение уровня мотивации и интереса к математике
Планируемые результаты:
Личностные: формирование коммуникативной компетенции в общении со сверстниками
Познавательные: структурирование знаний
Регулятивные: умеют анализировать и делать выводы, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности
Коммуникативные: высказывают свою точку зрения, умеют слушать и вступать в диалог
Планируемые результаты обучения, в том числе и формирование УУД:
Предметные: знать определение описанной окружности, рассмотреть теорему об окружности, описанной около треугольника и показать ее применение при решении задач
Личностные: мотивация учебной деятельности
Метапредметные: уметь оценивать результаты своей деятельности, анализировать собственную работу
Основные понятия темы:
Эвристический метод, работа в парах, учебная дискуссия, беседа
Организационный момент
Учитель. Здравствуйте! Сегодня у нас открытый урок и я надеюсь, что он пройдет интересно, с большой пользой для все. У нас присутствуют гости. Обернитесь назад, улыбнитесь, и вперед к знаниям!
Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в ходе деятельности учащихся.
Предполагаемый ответ учащихся
Какую тему мы с вами изучили?
Перечислите свойства параллелограмма
В параллелограмме противолежавшие углы и стороны равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам
Вспомните определение квадрата
Параллелограмм, у которого все стороны и углы равны, называется квадратом
Назовите отличительные свойства ромба
Все стороны равны, диагонали пересекаются под прямым углом
Дайте определение трапеции
Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие нет, называются трапецией
Перечислите свойства прямоугольника
Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам
Какую темы мы с вами изучаем?
Расскажите о свойствах вписанного угла
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Свойство дуги, на которую опирается центральный угол
Дуга, на которую опирается центральный, угол равна градусной мере центрального угла.
Решение задач по готовым чертежам
З адача. 1 В С
Угол А = 60 0 , найти угол В
А Д
Задача 2 В Дуга ВС=100 0 , дуга АС = 60 0
Найти градусную меру углов треугольника
А С
Задача 3 Определите вид треугольника.
Точка О – центр окружности.
С В
Учитель. А как еще можно назвать такой треугольник?
Учитель.Верно. Тогда какое прилагательное можно применить к окружности?
Ученик.Описанная окружность.
Учитель. Сделаем вывод. Мы уже знаем свойства четырехугольников, начали изучение тему Окружность. Как вы думаете, связав эти темы, какова тема нашего урока?
Ученик. Описанная окружность.
Учитель. Запишем тему урока.
Изучение нового материала.
Учитель. Учитель. У вас на столах лежат карточки с задачами. Вам предстоит работа в парах. На карточках записаны задачи, которые необходимо решить, используя уже имеющиеся у вас знания, и попробовать вывести новые.
Учитель. Какой вывод можно сделать, решив предложенные задачи?
Ученик. Если четырехугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180 0
Учитель. Есть ли у кого другие выводы?
Если есть то заслушиваются предположения учащихся, обсуждаются и приходят к уже озвученному выводу.
Учитель. Вы все молодцы! Только сейчас доказали свойство вписанного четырехугольника. Но справедливо и обратное утверждение. (работа с учебником с. 62, теорема 10.2). Запишите признак вписанного четырёхугольника к себе в тетрадь.
Первичное закрепление с проговариванием в устной речи.
Задачи на готовых чертежах.
Задание. Определите, можно ли описать окружность около данных четырехугольников.
А В Угол А = 56 0 , угол С = 126 0
D
А Угол А = 64 0 , угол С = 106 0
Найдите в четырехугольнике угол В, если угол D= 120 0 , 30 0
А В Запишите решение в тетрадь, проговаривая
Физкультминутка.
Условия: если утверждение, которое вы услышите истинно, то вы встаёте, если ложно, то сидя за партой закрываете глаза и поднимаете руки вверх.
Параллелограмм- это четырехугольник, у которого каждые две противолежащие стороны параллельны. (истинно)
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ей. (ложно)
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и ровна их полсуммы. (истинно)
Вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу равны. (истинно)
Вписанный угол, опирающийся на диаметр – тупой (ложно)
Самостоятельная работа. Задачи из открытого банка ОГЭ по математике.
Читайте также: