Конспект урока угол между скрещивающимися прямыми 10 класс

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Учитель математики Головина Ирина Анатольевна

Урок геометрии в 10 классе

- формирование умения применять теоретические знания при решении задач;

- развивать пространственное и логическое мышление;

- воспитывать у учащихся интерес к предмету.

I . Организационный момент.

Учитель. Сегодня на уроке нам с вами нужно решить задачу части С предлагаемую выпускникам на ЕГЭ.

II . Вводная часть (10 мин)

Учитель. Познакомьтесь с условием задачи.

С2.1. В кубе A . D 1 точки Е, F - середины ребер соответственно A 1 B 1 и В 1 С ₁ . Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF .

Учитель. Каково взаимное расположение прямых

А Е и BF .

- Дайте определение скрещивающихся прямых.

- Назовите пары скрещивающихся прямых по рисунку куба.

- Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

- Как найти угол между скрещивающимися прямыми.

III .Тренировочные упражнения (1 5 мин)

Учитель. Постройте угол между скрещивающимися прямыми.

Учитель. Для решения задачи нам потребуется теорема косинусов. Сформулируйте эту теорему.

( Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.)

Как ещё можно найти косинус угла треугольника?

(Косинус угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе)

Запишите теорему косинусов для треугольника

Найдите со s C , если AB=7см BC=9см AC=10см.

(Решение: AB 2 = BC 2 + AC 2 – 2* BC* AC* со s C ;

49=81+100- 180 со s C ;

со s C =132/180; со s C =11/15.)

IV . Решение задачи С2.1

V . Задание на дом:

С2.2. В кубе A . D 1 точки E , F - середины ребер соответственно А ₁ В ₁ и C ₁ D ₁ Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF .

Итог урока: Какие знания по стереометрии вам пригодились на этом уроке?

Краткое описание документа:

Урок с использованием ИКТ. К нему предлагается презентация.

МОУ Шекшемская средняя общеобразовательная школа.

КОНСПЕКТ УРОКА

Класс: 10 Предмет: геометрия Автор учебника: Погорелов А.В

Тип урока: урок открытия нового знания.

Тип нового знания: понятие.

Технология: урок разработан в системе традиционного обучения с опорой на технологию деятельностного метода с элементами проблемного и наглядного приёмов образования.

Тип проблемной ситуации: практическое задание, не сходное с предыдущими.

Цель урока: способствовать овладению способом определения угла между скрещивающимися прямыми; систематизации знаний об углах; применению знаний при решении задач; рефлексии собственной деятельности; воспитанию аккуратности, прилежания, культуры взаимоотношений; развитию логического мышления, познавательного интереса.

Оборудование: рисунки на доске, презентация к уроку, проектор, экран, компьютер, на столе ученика карточки с заданиями, таблица рефлексии.

Обучающие: организовать деятельность, направленную на формирование понятия угла между скрещивающимися прямыми и закрепление полученных знаний при решении задач.

Развивающие: способствовать развитию пространственного воображения учащихся, умений обосновывать или опровергать выдвигаемые предположения при решении геометрических задач, создать условия для формирования ключевых компетенций учащихся.

Воспитательные: средствами урока воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества личности, умение работать в коллективе.

Тип урока: Изучение нового материала.

2. Актуализация знаний.

4. Изучение нового материала.

6. Первичная проверка понимания темы.

8. Подведение итогов. Рефлексия.

9. Информация о домашнем задании.

I. Организационный момент.

· Приветствие. Психолого-педагогическая настройка учащихся на предстоящую деятельность.

· Проверка домашнего задания. Ответы на возникшие вопросы.

· Мотивация изучения нового материала.

Эпиграфом к нашему уроку послужит народная мудрость:

Жизнь не спросит, что ты учил,
Жизнь спросит, что ты знаешь.

II. Актуализация знаний.

Метод – мозговой штурм

(Вопросы выводятся на презентацию и открываются ответы)

- Какие темы мы прошли на предыдущих уроках?

- Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?

- Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) пересекаться?

б) быть скрещивающимися?

- Могут ли скрещивающиеся прямые a и b быть параллельными прямой с?

- Даны две скрещивающиеся прямые а и b . Точки А и А₁ лежат на прямой а, точки В и В₁ лежат на прямой b . Как будут расположены прямые АВ и А₁В₁?

- Прямая а скрещивается с прямой b , а прямая b скрещивается с прямой с. Следует ли из этого, что прямые а и с - скрещиваются?

Поисковый метод

Работа с интерактивной доской:

1. Изобразите пары параллельных, пересекающихся и скрещивающихся прямых на готовых моделях многогранников.

2. Найдите пары параллельных, пересекающихся, скрещивающихся прямых на изображении города.

III. Целеполагание.

Метод – эвристическая беседа

Учащимся задаются наводящие вопросы по теме урока. Эти вопросы являются целеполаганием для учащихся.

- Каково взаимное расположение прямых в пространстве?

- Все ли аксиомы и теоремы планиметрии применимы в стереометрии?

- Какую тему мы еще не прошли?

Учащиеся сами формулируют тему урока : "Угол между прямыми"

- Какой из четырех углов, полученных при пересечении двух прямых, мы называем углом между пересекающимися прямыми?

- Чему равен угол между двумя параллельными прямыми?

- Чему равен угол между двумя скрещивающимися прямыми?
Учащиеся формулируют цель и задачи урока.

(Учитель ещё раз проговаривает тему, конкретизирует цель и задачи урока.)

IV. Изучение нового материала.

Наглядно-иллюстративный метод, эвристическая беседа

Использование интерактивной доски.

Расположение прямых в пространстве и угол между ними.

1. Пересекающиеся прямые.

2. Параллельные прямые.

3. Скрещивающиеся прямые.

Любые две пересекающие прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла.

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен 90°.

Угол между двумя параллельными прямыми равен 0°.

Проговорить метод параллельного переноса при нахождении угла между скрещивающимися прямыми.

Проблемный метод

Использование интерактивной доски.

Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a и b .

Угол между скрещивающимися прямыми, как и между прямыми одной плоскости, не может быть больше 90°. Две скрещивающиеся прямые, которые образуют угол в 90°, называются перпендикулярными.

Пусть AB и CD – две скрещивающиеся прямые.

Возьмём произвольную точку М₁ пространства и проведём через неё прямые А₁В₁ и C ₁ D ₁ , соответственно параллельные прямым AB и CD .

Если угол между прямыми А₁В₁ и C ₁ D ₁ равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ.

Постановка проблемы : Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми AB и CD в качестве точки M ₁ можно взять любую точку пространства?

Учащиеся выдвигают гипотезу : угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки.

Исследовательский метод.

Учащиеся самостоятельно доказывают, зависит ли угол между скрещивающимися прямыми от выбора точки.

Делают вывод: угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки.

V. Физкультминутка (демонстрация видеоролика)

VI. Первичная проверка понимания темы.

VII. Закрепление нового материала

Работа в парах с самопроверкой. Ответы выводятся по завершении работы. Работа по готовым чертежам.

Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b.

а) 90°; б) 45°;

в) 60°; г) 90°;

д) 90°; е) 90°.

Решение задач: №1. Индивидуальная работа.

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC . Найдите угол между прямыми AD и BE .

Искомый угол равен углу CBE .Треугольник SBC – равносторонний.

В E – биссектриса угла 60 ° . Угол CBE равен 30 ° .

DABC – тетраэдр, точка О и F – середины ребра AD и CD соответственно, отрезок TK – средняя линия треугольника ABC .

a) Чему равен угол между прямыми OF и CB ?

b) Верно ли, что угол между прямыми OF

c) Чему равен угол между прямыми TF и DB ?

Дано: DABC -пирамида, О – середина AD , F – середина CD ,

ТК – средняя линия ∆АВС.

a) В плоскости АВС через точку С проходит прямая АС, параллельная прямой OF (т.к. OF – средняя линия ∆АВС, поэтому АСВ – угол между скрещивающимися прямыми OF и СВ. ∆АВС – правильный, поэтому АСВ=60°.

b) Т.к. OF || AC и TK || CB , то угол между прямыми OF и TK равен углу между прямыми AC и CB , т.е. 60°.

c) Т.к. TF || AD (по свойству средней линии), то ADB =60°.

Решения выводятся на экран для проверки

VIII. Подведение итогов. Рефлексия.

· Что мы узнали нового?

· Справились ли мы с теми задачами, которые были заданы в начале урока?

· Какие задачи мы научились решать?

Выставление отметок за урок.

IX. Информация о домашнем задании.

§4 (стр. 85-89). Уметь объяснить понятие угла между скрещивающимися прямыми. Решить задачи №269, №275. Повторить теорему косинусов .

В данном видеофрагменте мы рассмотрим углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми. А также решим несколько задач на нахождение скрещивающихся углов.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Угол между прямыми"

· рассмотрим углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми в пространстве.

Напомню, что два луча ОА и O₁A₁ в пространстве, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОO₁. Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны.

Как вы уже знаете, любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла.

Определение. Если пересекающиеся прямые образуют тупые и острые углы, то углом между этими прямыми называется тот, который не превосходит любой из трех остальных углов, т.е. наименьший из углов.

Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен девяносто градусов.

Пусть α – тот из углов, который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен α. Очевидно, что угол альфа между двумя пересекающимися прямыми удовлетворяет условию: .

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые а и b. Возьмем произвольную точку М₁ в пространстве и проведем через нее прямые A₁B₁, параллельные прямым а и b соответственно.

Тогда углом между скрещивающимися прямыми а и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми A₁B₁. Т. е. если угол между прямыми A₁B₁ равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми а и b равен φ.

Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М₁.

Возьмем любую другую точку М₂ и проведем через нее прямые a₂ и b₂, параллельные прямым а и b соответственно. Пусть угол между прямыми a₁ и b₁ равен α₁, а угол между прямыми a₂ и b₂ равен α₂.

Если прямые a₁, b₁, a₂, b₂ лежат в одной плоскости, то по свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых угол α₁ равен углу φ и равен углу α₂.

Пусть теперь прямые a₁ и b₁, пересекающиеся в точке М₁, лежат в одной плоскости. А прямые a₂ и b₂, пересекающиеся в точке М₂ лежат в другой плоскости.

Так как прямая a₁ параллельна прямой а и прямая a₂ параллельна прямой а, то по признаку параллельности прямых в пространстве прямые a₁ и a₂ также параллельны. Так как прямая b₁ параллельна прямой b и прямая b₂ параллельна прямой b, то по признаку параллельности прямых в пространстве прямые b₁ и b₂ параллельны.

Отметим на прямых a₁ и a₂ точки A₁ и A₂ так, чтобы отрезки М₁А₁ и М₂А₂ были равны. На прямых b₁ и b₂ отметим точки B₁ и B₂ так, чтобы отрезки M₁B₁и M₂B₂ были равны.

Тогда стороны угла A₁M₁B₁ и угла A₂M₂B₂ попарно сонаправлены. По теореме о равенстве углов с сонаправленными сторонами получаем, что угол A₁M₁B₁ равен углу A₂M₂B₂. Т. е. имеем, что угол α₁ равен углу α₂.

Таким образом, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки M₁.

Замечание. Угол между параллельными прямыми в пространстве считается равным 0º.

Рассмотрим пример. Пусть у нас есть треугольная пирамида DABC. На ее ребре DB взята точка Т.

Тогда угол между скрещивающимися прямыми BC и АТ равен углу между прямой АТ и прямой TF, которая проходит через точку Т параллельно прямой BC в плоскости BDC.

Рассмотрим еще пример. Пусть есть параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. И пусть точка О – точка пересечения диагоналей грани A₁B₁C₁D₁, а точка F – точка пересечения диагоналей грани AA₁B₁B.

Тогда угол между скрещивающимися прямыми C₁D и OF равен углу между прямыми OF и прямой OK, проходящей через точку О и параллельной прямой C₁D в плоскости C₁DA₁.

Задача. Дана правильная пирамида . – средняя линия грани . Найдите угол между прямыми и .

Запишем ответ: 90º

Задача. Дан куб . Найдите угол между прямыми и .

Подведем итоги урока. На этом уроке мы рассмотрели углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми. А также решили несколько задач на нахождение скрещивающихся углов.

Читайте также: