Конспект урока применение производной и интеграла к решению практических задач 11 класс алимов
Обновлено: 07.07.2024
Разработала: Франк М.В. – учитель математики ГБОУ РО
Цель урока: организация продуктивной деятельности учащихся, направленной на достижение ими следующих результатов:
1) умение ставить перед собой цель, планировать деятельность;
2) умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;
• Метапредметных : освоение способов деятельности:
1) осуществление переноса знаний в изменённую ситуацию, умение видеть задачу в контексте проблемной ситуации;
2) овладение навыками познавательной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания.
1) умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге, признавать право на иное мнение;
2) умение предвидеть возможные последствия своих действий.
1) умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;
2) овладение навыками самоконтроля и оценки своей деятельности;
3) умение ставить личностные цели и оценивать степень их достижения.
1) формирование умения учащихся применять методы математического анализа при решении физических задач;
2) применение знаний в практической деятельности;
Оборудование: ноутбук, проектор, интерактивная доска, презентация, раздаточный материал (задачи, таблицы).
1. Организационно – мотивационный этап.
Приветствие. Садитесь, пожалуйста. Надеюсь, что сегодня особенный урок, и вы будете внимательными, активными, трудолюбивыми!
II. Этап актуализации знаний.
Учитель математики: Каким математическим понятиям посвящён урок, узнаете, если правильно решите ребусы
- дайте определение производной;
- физический смысл производной;
- как называется операция нахождения производной?
Найдите производную функций (устно):
8. y = 4cosx - x 4
9. y = tg x - ctgx
14. y = x+cosx
15. y = 16 x 3 – 4 tg x
- дайте определение первообразной;
- сформулируйте определение неопределённого интеграла; определённого интеграла.
- как называется операция нахождения неопределенного интеграла?
- запишите на доске формулу Ньютона-Лейбница и дайте объяснение каждой буквы.
Задание 2. Найти первообразные функций:
4) у = 3 х 3 – 5 х 2 + х – 2
7) у = 3 sinx - 2cosx
6) у = 10х 4 + 30х 2
Учащиеся аргументируют свои действия по заполнению таблицы, самостоятельно обращаясь к математическим фактам.
- Молодцы, ребята! Отлично справились с заданием.
Найти неопределённый интеграл.
Один ученик работает на крыльях доски, а остальные - в тетрадках, затем осуществляют проверку, а работающий у доски, объясняет решение. В случае разногласия идет обсуждение.
- Молодцы! Отлично справились с заданием. Переходим к следующему этапу урока.
III. Этап постановки темы и учебной задачи
Учитель: сегодня совместно с учителем физики хотим показать возможности применения производной и интеграла при решении физических задач.
(Записывают тему урока: учащиеся – в тетради, а учитель – на доске).
- Какие цели поставите перед собой? ( возможный ответ: познакомиться с возможностями применения производной и интеграла в физике ).
Учитель физики: Используя имеющиеся у вас знания по физике, давайте решим задачу .
Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - 2+ 4t + 3t 2 . Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 2 с. (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).
1) Формула скорости равноускоренного движения: ʋ = ʋ 0 + a t .
2) Формула координаты равноускоренного движения: x = x 0 + ʋ 0 + .
3) Из закона: x(t) = - 2+ 4t + 3t 2 получаем: x 0 = -2 м , ʋ 0 = 4 м\с, a = 3 •2 = 6 м\с 2 .
Тогда ʋ = 4 + 6 •2 = 16 м/с
Ответ: 16 м/с; 6 м\с 2 .
Учитель математики: Вы решили задачу, используя только знания физики. Вспомните, в чём заключается физический смысл производной.
- Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0 .
- Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки - это производная от расстояния (ʋ (t) = x / (t)) .
- Ускорение – это производная от скорости или вторая производная от расстояния ( a ( t ) =
Вернёмся к задаче и решим с помощью производной.
Задача 1 . Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - 2+ 4t + 3t 2 . Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 2 с. (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).
1. Найдём скорость, т.е. производную от расстояния: ʋ= x / (t) = 4 + 6t
х \ (2) = 4 + 6•2 = 16 м/с
2. Найдём ускорение, т.е. вторую производную от расстояния или производную от скорости: а = ʋ / ( t )= x // (t) = 6.
Ответ: ʋ = 16 м/с; а = 6 м\с 2 .
Учитель математики: Рассмотрите оба решения задачи слайд 8 :
- Какое решение вам больше нравится? Почему?
Вывод: Решение задачи на нахождение скорости и ускорения наглядно продемонстрировало вам преимущество применения производной.
Учитель физики: Давайте решим следующую задачу.
Задача 2. Некоторое тело двигается со скоростью, заданной функцией: ʋ( t ) = t 2 + 1. Найти расстояние пройденное телом за 1 секунду.
- Запишите решение задачи в тетрадь:
Учитель: Молодцы! Отлично справились с заданием.
- Теперь попробуйте обобщить все, что Вы смогли сделать, и высказать кратко одним-двумя предложениями.
- скорость - это производная перемещения;
- ускорение – это производная скорости;
- перемещение за ограниченный интервал времени – это определенный интеграл скорости по времени.
- Использую имеющиеся у вас знания по физике, назовите физические величины, которые можно найти с помощью производной и интеграла.
Возможные ответы: работа, сила, мощность, теплота, электрический заряд.
Совместно ученики и учителя физики и математики заполняют таблицу, заранее начерченную на крыльях доски и сопровождают слайдом из презентации слайд 10 .
A – механическая работа
Q – количество теплоты
q – электрический заряд
V. Этап первичного применения новых знаний. Работа в группах.
Класс заранее объединяется в 5 групп дифференцировано (по 4 человека). Парты расставляются парами в произвольном порядке.
- используя новые знания, выполните задания:
Задачи для работы в группах.
1. Движение определяется уравнением s ( t ) = 2 t 2 – t + 1 ( t в секундах, s в метрах). Найти скорость движения при t = 5 с. В какой момент времени скорость была равна нулю?
2. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t 2 +t+1 (м). Найдите: 1) кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения; 2) силу, действующую на тело в это время.
3. Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг воды от 0 0 C до t 0 C, определяется формулой Q = t + 2•10 - 5 t 2 + 3 a 10 -7 t 3 . Теплоёмкость воды при t = 100 0 C равна 1,013. Найдите значение параметра а.
4.Пружина в недеформированном состоянии имеет длину 20 см. Сила 30 Н растягивает ее на 1 см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть эту пружину от 24 см до 30 см?
5. Имеется неоднородный стержень длины L. Какова масса куска стержня, если линейная плотность стержня выражается законом ρ(x) = 3x – sinx, x ϵ ⌊ 0;1 ⌋ ?
6. Однородный стержень длиной 20 см вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Угловая скорость вращения 10 п Гц. Площадь поперечного сечения 4 см 2 ; плотность материала, из которого изготовлен стержень 7,8 г/см 3 . Найдите кинетическую энергию стержня.
Учителя выступают в роли консультантов.
Итог работы в группах.
Представители групп отчитываются у доски о проделанной работе (один представитель от группы оформляет решение на доске, другой – знакомит с условием и планом решения). Учащиеся слушают ответы и задают вопросы.
VI. Домашнее задание (обязательная часть и вариативная)
1.1. Изучить теорию в тетради, выделить моменты, вызвавшие затруднения.
1.2. Решить задачи:
1. Вычислить работу, которую нужно совершить, чтобы вытащить шарик массой 9 г из бочки, высота которой 3 м.
2. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 15 см, если известно, что для сжатия пружины на 1 см необходима сила в 30 Н.
3. Маховик вращается по закону φ(t)=4t−0,5t 2 (рад). Найдите момент времени, в который маховик остановится.
4. Имеется неоднородный стержень длины L . Какова масса куска стержня, если линейная плотность стержня выражается законом ρ( x ) = 3 x – sinx , x ϵ ?
5. Камень подброшен вертикально вверх с крыши здания высотой 20 м. Какова начальная скорость камня, если через 1 с он находился на высоте 30 м?
6. При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью ʋ0 = 100 м/с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?
2. Вариативная часть (по желанию)
2.1. Найти задачи по физике, решаемые с помощью производной или интеграла.
VII. Подведение итогов урока. Рефлексия.
- Были ли достигнуты поставленные цели?
- Удалось ли во время урока решить все проблемные вопросы?
- Понравилась ли такая форма работы?
Ребята, вы все хорошо поработали! На следующих уроках мы продолжим работу по применению производной и интеграла к решению физических задач.
Спасибо за урок! Удачного дня!
Список литературы :
Е.Н. Эрентраут Прикладные задачи математического анализа для школьников учебное пособие.
Абрамов А.Н., Виленкин Н.Я. и др. Избранные вопросы математики. 10 класс. – М: Просвещение, 1980.
Виленкин Н.Я., Шибасов А.П. За страницами учебника математики. – М:
2. Ввести понятие дифференциального уравнения через физические задачи.
3. Рассмотреть применение производной и интеграла к решению практических задач.
4. Провести самостоятельную работу по теме: “Вычисление площади криволинейной трапеции ”.
Ход урока
1. Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Тест.
1. Закончить предложение:
“Если F - первообразная для f на [a;b], то…”
2. Укажите неверное равенство:
3. Вычислите интеграл:
2. “Смысл” площади криволинейной трапеции - неоднозначен. В зависимости от рассматриваемого явления площадь криволинейной трапеции может выражать различные физические, химические, биологические явления. Математический анализ является средством изучения функции, то тогда и средством изучения окружающих нас явлений. Наглядными примерами применения свойства непрерывности функции могут служить различные законы движения тела S=f(t), выражающие зависимость пути S, пройденного телом, от времени t. Время и пространство непрерывны, при этом тот или иной закон движения S=f(t) устанавливает между ними непрерывную связь: малому приращению времени соответствует малое приращение пути. В дифференциальном исчислении, основоположниками которого были И.Ньютон и Лейбница, существует две задачи:
Задача №1
Пусть скорость заданная функцией времени, точки движущейся по оси ОХ имеет вид V=f(t).Найти закон движения х(t)=х.
Решение: Закон движения зададим формулой х =G(t) . Известно, что х` =f(t), где f(t)- непрерывная функция, тогда G`(t)=f(t) – уравнение в котором производная неизвестна (такие уравнения называются дифференциальными).
(где C находится из дополнительного условия задачи, например при t=0).
Задача №2
Нахождение закона движения по его ускорению:
Второй закон И. Ньютона ma=F,также можно рассматривать, как дифференциальное уравнение, если ускорение записать, как вторую производную координаты по времени:
3. Решение задач.
1. Найдите работу, которую необходимо затратить на растяжение пружины на 2сантиметра, если сила в 2 ньютона растягивает её на 4 сантиметра.
2. Тело массой m движется прямолинейно под действием силы F(t) .Найдите закон его движения, если m=2кг, F(t)=12t-8, и в момент времени t=3с скорость тела равна 10м/с, а координата 21м.
3. Найти работу , которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара, если резервуар имеет форму цилиндра радиусом 1м и глубину 4м.
Задачи решаются учащимися у доски на оценку.
Вывод: Рассмотрев общее решение физических задач и частные задачи, можно сделать вывод, что для нахождения неизвестной функции по условию задачи составляют дифференциальное уравнение, интегрируют и находят неизвестную функцию. При составлении учитывают геометрический и физический смысл производной.
Домашняя работа: по учебнику “Алгебра и начала анализа, 11” С.М.Никольского и др. №6.90, №6.91.
Автор: Воробьева Светлана Николаевна
Организация: КК (СШ) ВИФК
Населенный пункт: г. Санкт-Петербург
Технологическая карта урока
Учитель: Воробьева Светлана Николаевна
Класс: 11 А
Предмет: математика (алгебра)
Тема урока: Применение производной и интеграла к решению практических задач.
Тип урока: урок решения задач.
Цель урока:
-познакомить кадет с применением определенного интеграла к решению некоторых физических и технических задач;
-активизировать познавательную деятельность;
-применять накопленные в процессе обучения знания, умения, навыки в практической деятельности.
-решение прикладных задач имеет большое воспитательное значение, так как воспитывает умение распознать то или иное математическое понятие в различных ситуациях и позволяет знакомить кадет с математическим моделированием как методом научного познания окружающего мира;
-воспитывать сознательную дисциплину;
-воспитывать умение работать в группе, сотрудничество, коллективизм;
-развивать умение выражать свои мысли в форме, доступной окружающим;
-прививать чувство сопереживания и формировать у учащихся “здоровое” соперничество; -формировать интерес к науке через общение к историческому материалу.
- развивать внимание, память, речь, аналитическое и логическое мышление;
-развивать мотивацию познавательной деятельности.
Задачи:
-закрепление полученных знаний и умений на практике;
-установление правильности понимания нового материала, выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция.
Используемые технологии: системно-деятельностный подход в обучении, разноуровневое обучение.
Попробуйте УМНЫЙ ПОИСК по курсам повышения квалификации и профессиональной переподготовки
Войти с помощью:
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Всего 13 материалов
5443955 5146357 5085948 5085893 5068823 4070147 4014376 3872067 3563188 3334981 2702429 2569028 2443507
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
40%
Если Вы не нашли темы для своего учебника, то можете добавить оглавление учебника и получить благодарность от проекта "Инфоурок".
- Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- Для учеников 1-11 классов
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
Время чтения: 2 минуты
Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы
Время чтения: 0 минут
Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса
Время чтения: 1 минута
Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России
Время чтения: 1 минута
В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Читайте также: