Конспект урока по теме иррациональные уравнения 11 класс
Обновлено: 05.07.2024
Тип урока: урок изучения и закрепления нового материала.
- тесты по теме;
- карточки для разноуровневой самостоятельной работы.
- презентация
Методы обучения: дифференцированный, репродуктивный, частично – поисковый. Тестовая проверка уровня знаний, самопроверка.
Формы организации труда: индивидуальная, фронтальная, групповая.
План урока:
- Оргмомент.
- Устные упражнения по повторению пройденного материала.
- Изучение новой темы.
- Закрепление.
- Работа учащихся с тестами.
- Самооценка.
- Проверочная работа.
- Домашнее задание.
- Итог урока.
ХОД УРОКА.
I. Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний.
Цель: приведение в систему знаний видов уравнений.
Задача: определить тип каждого из перечисленных уравнений, вспомнить алгоритм решения.
III. Изучение нового материала.
Цель: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решений.
Последнее уравнение называется иррациональным, и на этом уроке вы познакомитесь различными методами решения таких уравнений. Тема эта актуальна, так как иррациональные уравнения традиционно встречаются в заданиях ЕГЭ, с их помощью легко диагностируются знания выпускников по таким понятиям, как равносильность уравнений и ОДЗ.
Итак, уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или дробной степени, называются иррациональными.
Задание: какие из следующих уравнений являются иррациональными:
- Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то и корень равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение корня положительно.
- Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.
Напомним, что уравнение f 2n (x)=g 2n (x) является следствием уравнения f(x)=g(x). То есть возведение в четную степень обеих частей уравнения может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать этого, необходимо либо проверить подстановкой, удовлетворяют ли полученные корни исходному уравнению, либо ограничить ОДЗ значениями переменной, при которых обе части уравнения одного знака (неположительны или неотрицательны одновременно).
Основные способы решения иррациональных уравнений:
1. Решение без равносильных преобразований с проверкой.
2. Использование равносильных преобразований. Слайд 4.
Рассмотрим способы решения иррациональных уравнений.
1. Решение уравнения = 1 – х методом возведения в квадрат обеих частей уравнения.
() = (1 – х);
x 2 – 5x = 0.
Решив это уравнение, находим корни .
Проверка: если x = 0, то , 1 = 1 – верно;
если х = 5, то , 4 = 4 – неверно.
Ответ: 0.
2. Решение уравнения = 1 – х методом равносильных переходов:
3. Решение уравнения = 1 – х графическим способом. Слайд 5.
В одной системе координат построим графики функций f(x) = и g(x) = 1 – х
Ответ: 0.
4. Решение уравнения = 1 – х с использованием теоремы о корне.
Так как функция f(x) = возрастает при , а функция g(x) = 1 – х убывает на множестве R, то по теореме о корне уравнение f(x) =g(x) имеет не более одного корня. Подбором находим, что x = 0.
IV. Закрепление.
Решить уравнение: 3– =7.
Так как обе части уравнения неотрицательны, то можно возвести в квадрат:
9(x+3) = x – 2 + 49 + 14, преобразуем уравнение, уединим радикал в правой части: 4x– 10 = 7. Чтобы обе части уравнения были неотрицательны, наложим ограничение: 4x – 100, т.е. x2,5, с учетом ОДЗ: x2,5. Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные: 16x2 – 129x + 198=0. Из его корней x1= 6 и x2 = условию x2,5 удовлетворяет х = 6.
V. Тренировочная работа по заданиям обязательного уровня.
Цель: формирование умений решать иррациональные уравнения способом возведения в степень по алгоритму. Развитие коммуникативной компетентности школьников.
Работа в группах по алгоритму с консультацией учителя. Слайд 6.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Урока в 11 кл
по математике по теме
(групповая технология, технология проблемного обучения)
Учитель математики:
2016-2017 учебный год
- обучающие : закрепить основные способы решения иррациональных уравнений; рассмотреть некоторые приемы решения уравнений нестандартными способами;
- развивающие : развивать у учащихся умения анализировать задачу перед выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения; учить логически мыслить при переходе от частного к общему;
- воспитывающие : воспитывать у учащихся личностную рефлексию: стал ли он сам для себя изменяющимся субъектом деятельности.
Оборудование: компьютер (выход в интернет), интерактивная доска, учебная доска, бланки ЕГЭ, гелевые ручки.
Организационный момент (сообщить учащимся тему урока, поставить перед ними задачи урока)
Сегодня мы с вами продолжим совершенствовать навыки решения
иррациональных уравнений различными способами, а также попытаемся
применить знания при решении новых задач.
Активизация знаний учащихся.
Для того чтобы хорошо работать на уроке, нужен настрой. Начнем с задачи на внимание. Смотрим и запоминаем.
Учитель несколько секунд показывает карточку с заданием классу, а затем убирает её и задаёт вопросы:
Перечислите все корни, которые вы видели.
В какой геометрической фигуре расположен ?
Какого цвета эта окружность?
Квадратный корень из какого числа находится в квадрате?
Какого цвета этот квадрат?
Каким цветом записан ?
В какой геометрической фигуре он расположен?
1)Что такое уравнение?
Что называется корнем уравнения?
Что значит решить уравнение?
Какие уравнения называются равносильными?
Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)
Назовите методы решения иррациональных уравнений.
Проверка домашнее работы образовательный ресурс tatar.edu- е-КМ-Школа-Обучение –ЕГЭ-Математика-Тренинг-Решение иррациональных уравнений (решить 10 уравнений). Учамся оказывалась on-line консультации
Отметим, что при решении иррациональных уравнений необходимо придерживаться правила: не бросайся решать уравнение сразу, проанализируй его вид, используй ОДЗ, найди самый рациональный прием его решения или докажи, что решений нет. Ответы к заданиям записываем в бланки ЕГЭ.
1. Найдите корни уравнения .
1. 2 2. -6 3. 14 4. корней нет
2. Решите уравнение .
1. -3 2. 4 3. 9 4. корней нет
3. Найдите корни уравнения .
1. 0;10 2. 0;-9 3. 0 4. корней нет
4. Решите уравнение
1. -3 2. 3 3. 0;3 4. корней нет
5. Найдите корни уравнения
1. 5 2. -3;5 3. -5;3 4. корней нет
6. Решите уравнение 3
1. 0;-1 2. 0;-1 3. -1 4. корней нет
7. Найдите корни уравнения
8. Решите уравнение
9. Найдите корни уравнения
1. -10; 2. -10;10 3. 4. -10;
10. Решите уравнение
1. -16;-2;0 2. -16 3. 0;-2 4. -16;-2
1. Найдите корни уравнения .
1. 5 2. 96 3. -6 4. корней нет
2. Решите уравнение .
1. 1,5 2. 4 3. 2. 4. корней нет
3. Найдите корни уравнения .
1. 0 2. 0;9 3. 9 4. корней нет
4. Решите уравнение
1. -3 2. 3 3. 1 4. корней нет
5. Найдите корни уравнения
1. 5 2. -3;5 3. -5;3 4. корней нет
6. Решите уравнение
1. 0;3 2. 0;-3 3. корней нет 4. 3
7. Найдите корни уравнения
1. 15 2. 3. 4. корней нет
8. Решите уравнение
1. 36 2. 24; 36 3. 24 4.
9. Найдите корни уравнения
1. 11; 2. 11;-11 3. -11 4. -11;
10. Решите уравнение
1. -7 2. 0 3. -7;0 4. корней нет
1. Найдите корни уравнения .
1. 2. -5 3. 5 4. корней нет
2. Решите уравнение .
1. 2. 3. 9 4. корней нет
3. Найдите корни уравнения .
1. 0;-7 2. 0; -13 3. 0 4. корней нет
4. Решите уравнение
1. -3 2. 3 3.-3;3 4. корней нет
5. Найдите корни уравнения
1. 5 2. -3;5 3. -5;3 4. корней нет
6. Решите уравнение 5
1. 0,2 2.-0,2 3. -0,1 4. корней нет
7. Найдите корни уравнения
8. Решите уравнение
1. -10 2. -10;-9 3. -9 4.
9. Найдите корни уравнения
1. -12; 2. -12;12 3. 4. -12;
10. Решите уравнение
1. -15;-2;0 2. -15 3. 0;-2 4. -15;-2
1. Найдите корни уравнения .
1. 2. 3. 2 4. корней нет
2. Решите уравнение .
1. 0,5 2. 4 3. -2. 4. корней нет
3. Найдите корни уравнения .
1. 0 2. 0;21 3. 21 4. корней нет
4. Решите уравнение
1. -1 2. 0 3. 1 4. корней нет
5. Найдите корни уравнения
1. 8 2. -3;8 3. -8;3 4. -3
6. Решите уравнение
1. -6 2. 3;-6 3. корней нет 4. 3
7. Найдите корни уравнения
1. 90 2. 3. 4. корней нет
8. Решите уравнение
1. 87 2. 27; 87 3. 27 4.
9. Найдите корни уравнения
1. 14; 2. 14;-14; 3. -14 4. -14;
10. Решите уравнение
1. -13 2. -3 3. -13;-3 4. корней нет
Для тех, кто решил тест очень быстро, можно предложить на отдельном листе решить следующие уравнения:
IV Взаимопроверка тестовой работы.
Ответы к тестам
Решение задачи (групповая работа)
VI . Проблемная ситуация (групповая работа)
Учащимся предлагается решить иррациональные неравенства (обсуждение проблемы)
Пояснения учителя - При решении большинства уравнений множество их корней как правило конечно, в неравенствах же чаще всего бесконечно много решений. Решая иррациональные неравенства возведением обеих его частей в какую-либо степень, проверка всех найденных решений подстановкой в исходное неравенство невозможна, нам придется все время заботиться о том, чтобы выполняемые нами переходы были равносильными.
Для этого давайте вспомним свойства простейших неравенств, а именно, при каких условиях возведение в квадрат обеих частей верного неравенства является равносильным преобразованием.
Это возможно только в том случае, если обе части неравенства
положительны, т.е. если 0 2 2 , или если а > в > 0, то а 2 > в 2 .
( при разборе решений данных неравенств нужно воспользоваться рассмотренным выше свойством числовых неравенств и областью допустимых значений переменной в неравенстве)
Групповая работа. (Проблемное обучение) Учащиеся предлагаются обсудить решения неравенств. Если возникают трудности, учитель предлагает обратиться к учебнику стр. 244
Обобщение полученных результатов для неравенств общего вида.
Неравенство первого вида:
Аналогично, можно записать равносильный переход для неравенство с нестрогим знаком:
Неравенство второго вида:
Аналогично, для неравенства нестрогого:
Рассмотренные нами методы и приемы решения иррациональных уравнений и неравенств позволяют решать огромное количество различных задач. На последующих уроках мы продолжим поиски более рациональных способов решения систем уравнений, вспомним, что для решения неравенств применяется метод интервалов; попробуем применить его для иррациональных неравенств.
Домашнее задание: учебник стр 244 Иррациональные неравенства.
Задачник стр 196 №30.45,30.46.
И – Интересные, запоминающиеся моменты урока
Т – трудные, тяжелые моменты урока
О – оценка работы группы и своего вклада в общее дело
Г – главный вывод по сегодняшнему уроку
Каждая группа готовит свое мнение
Мне было интересно…. Мне было трудно… Мне было непонятно… Я бы оценил работу нашей группы как… Свою работу я оцениваю как …Я понял… Я научился… Я надеюсь… Я думаю…. Я считаю…
Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.
Кальней С.Г., Олейник Т.А., Прокофьев А.А. Сборник задач по математике для подготовительных курсов. Часть 1. Алгебра и начала анализа. – 4-е изд. – М.: МИЭТ, 2009.
II. Устная работа
Какие уравнения являются иррациональными: (Слайд №3).
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ?
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Найдите область определения функции: (Слайд №5).
а) ; б) ; в) .
III. Решение иррациональных уравнений.
1. При решении иррациональных уравнений проверка не делается, если используются следующие равносильные преобразования:
А) уравнение вида где n N,
равносильно системе f(x)=g(x),
Б) уравнение вида где n N,
равносильно системе f(x)=g 2 n (x),
2. Кроме стандартного приема возведения в квадрат (n-ую степень) обеих частей уравнения, при решении иррациональных уравнений иногда очень удобен прием замены переменной, который значительно сокращает время решения.
Пример1 (решение у доски)
х 2 +5х+5=(х+2) 2 , х 2 +5х+5= х 2 +4х+4, х = -1,
2х-3=х-2 , х=1,
Ответ: решений нет.
Пример3 (решение у доски)
Добавим к обеим частям уравнения по 5, получим
Пусть , где t ≥0, t 2 =х 2 -3х+5.
Получим новое уравнение: t 2 + t -12=0.
Корни уравнения: t1=3; t2=-4 – не подходит, так как t ≥0.
Вернемся к замене:
Проверка подстановкой показывает, что оба корня подходят.
Цель урока: обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений, формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов решения более сложных типов иррациональных уравнений.
Содержимое разработки
Методическая информация
Урок обобщения и систематизации знаний
Цель урока: обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений, формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов решения более сложных типов иррациональных уравнений.
образовательные:
выработать алгоритмы решения различных видов уравнений, правильно отбирать способы решения рассмотреть примеры иррациональных уравнений в том числе и при выполнении заданий ЕГЭ.
развивающие:
• развитие внимания, памяти, умения рассуждать и аргументировать свои действия через решение проблемной задачи;
• развитие познавательного интереса к предмету;
• формирование эмоционально-положительного настроя у учащихся путем применения активных форм ведения урока;
• развитие рефлексивных умений через проведение анализа результатов урока и самоанализа собственных достижений.
воспитательные:
• развитие коммуникативных умений учащихся через организацию групповой, фронтальной работы на уроке.
Используемые педагогические технологии, методы и приемы
Применяемая технология:
технология деятельностного метода обучения
Методы организации работы:
- словесные методы (беседа, чтение),
- наглядные (интерактивная доска),
-метод рефлексивной самоорганизации (деятельностный метод).
Формы организации работы:
Время реализации урока
Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/
закрепят/др. учащиеся в ходе урока
Знания, умения, навыки:
Учащиеся должны знать и уметь применять свойства арифметического корня, решать квадратные уравнения.
- ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, использовать различные языки математики (словесный, символический), свободно переходить с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
- проводить доказательные рассуждения, аргументировать, выдвигать гипотезы и их обосновывать;
- осуществлять поиск, систематизировать, анализировать и классифицировать информацию, использовать информационные источники, включая учебную литературу.
Перечень универсальных учебных действий:
- познавательные (общеучебные и логические) (П),
Необходимое оборудование и материалы
Компьютер, проектор, интерактивная доска.
Дидактическое обеспечение урока
- карточки с заданиями,
- карточки с практическим заданием по теме.
Список учебной и дополнительной литературы
Алгебра и начала математического анализа: Учебник для 11 кл. базовый уровень/ Колмогоров А. Н., М.: Просвещение, 2010.
Ход и содержание урока
деятельность учителя и учеников
1. Самоопределение к деятельности
Цели для преподавателя:
-включение в учебную деятельность.
Запишите в тетрадях число, классная работа, пустая строка – тема урока.
Минутка знаний: Слайд № 4
Решить уравнения: (Три человека решают на доске).
х 2 -24=-5х (-8;3)
х 2 -5=0 (-5;5)
=2 (Оставить решение на доске) (9)
Последнее уравнение отличается от первых двух. Чем?
Каким методом мы его решили?
2. Актуализация теоретических знаний
Цели для преподавателя:
-актуализация изученных способов действий, достаточных для построения нового знания, их обобщение и знаковая фиксация;
-актуализация соответствующих мыслительных операций и познавательных процессов;
-мотивирование учащихся к пробному учебному действию и его самостоятельное осуществление.
-фиксирование индивидуальных затруднений в выполнении пробного учебного действия или его обосновании.
Преподаватель:
-Каким еще методом мы решали иррациональные уравнения? (Методом введения новой переменной или метод подстановки)
Преподаватель: Сейчас вам предлагается решить ещё 1 иррациональное уравнение методом подстановки:
- = 2;
На доске 1 человек решение.
Преподаватель: Какое из двух иррациональных уравнений вызывает наибольшие затруднения? (предполагаемый ответ учащихся – 2)
Как вы думаете какова будет тема нашего урока?
3.Постановка учебной задачи.
Цели для преподавателя:
-создание условий для постановки учебной задачи.
-выявление места и причины затруднения, постановка цели урока
Методы решения иррациональных уравнений.
Преподаватель: запишем тему урока на доске и в тетрадях.
Слайд № 7. И цель нашего урока - систематизация методов решения иррациональных уравнений, решение более сложных типов иррациональных уравнений.
Сегодня именно знание методов решения иррациональных уравнений станет для нас теми кирпичиками, с помощью которых мы сможем решать более сложные уравнения.
4. Групповая работа
Цели для учащихся:
-выбор способа решения учебной задачи;
-выдвижение и обоснование гипотезы.
Для преподавателя:
- создание условий для фиксирования в речи учащихся и знаково нового способа действий, помогает найти правильный путь решения.
Преподаватель: А сейчас предлагается работа по группам. Я приготовила для вас карточку - информатор, чтобы вы воспользовавшись ею, смогли решить, предложенные вам уравнения. Время ____
Задание. Решите уравнения методом введения новой переменной: Слайд № 8
+2 =3
+ 6 – = 0;
= 30-
Ответы: на экране. Слайд № 9
Преподаватель: У доски один учащийся предлагает своё решение из любой группы. Класс принимает участие, по необходимости задают вопросы. Остальные 2 решения появляются на слайде. Слайды № 10, 11,12
1.Введём новую переменную. Пусть = а, а , тогда = а 2 . Получим уравнение 2а -3 + =0. Корни: -3 и 1.
По условию подходит а =1. = 1. х -1=1; х=2.Ответ:2.
2.Введём новую переменную. Пусть = а, а , тогда = а 2 . Получим уравнение а + 6 - =0. Корни: -2 и 3.
По условию подходит а =3. = 3. х - 3= 81; х= 84. Ответ: 84.
3.Введём новую переменную. Пусть = а, а , тогда = а 2 . Получим уравнение а = 30 - . Корни: -6 и 5.
По условию подходит а =5. = 5. х - 5= 625; х= 630. Ответ:630.
Давайте еще раз сделаем общий вывод: вспомним алгоритм решения иррациональных уравнений введением новой переменной. Слайд № 13
Алгоритм решения методом введения новой переменной:
Введём новую переменную
Решим полученное уравнение
Найдём значение искомой переменной
Преподаватель обобщает: итак, вы вспомнили основные методы решения иррациональных уравнений, которые обогатили ваш математический арсенал. В каждом методе есть свои тонкости, о которых надо помнить.
Физминутка. (Музыка). Слайд № 14 (Карточки крупным шрифтом)
Если уравнение линейное – руки вверх, если – квадратное – приседаем, если иррациональное – руки на поясе.
х=23
х= 7
5. Первичное закрепление
Цели для преподавателя:
-создание условий для первичного закрепления.
-усвоение нового способа действий.
Преподаватель: Давайте решим ещё одно уравнение. Обратите внимание на столах другого цвета карточки – информаторы, которые вам помогут.
Слайд № 15. Выполнить задание из учебника № 425 (б) с комментарием у доски: Слайд № 16
2 + 6 – 3х – 2 = 3.
(один учащийся озвучивает решение у доски с обязательным проговариванием вслух правила)
6. Включение в систему знаний и повторение.
Цели для преподавателя:
Преподаватель: Конечно, недостаточно просто научиться решать иррациональные уравнения. Необходимо знать, где их можно ещё применить. Рассмотренные сегодня примеры взяты из экзаменационных заданий ЕГЭ. А сейчас вам предлагается разобрать задачу, в которой полученные сегодня знания пригодятся для практического применения. Решаем задачу, 1 человек выходит к доске. Слайд 17, 18
Решить задачу: При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где м – длина покоящейся ракеты, км/с – скорость света, а – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с
Найдём, при какой скорости длина ракеты станет равной 4м. Задача сводится к решению уравнения
Длина покоящейся ракеты =5м.
Скорость света с=3 км/c.
Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 4 м. Задача сводится к решению уравнения при заданном значении длины покоящейся ракеты м и известной величине скорости света км/с:
Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 4 метров, поэтому минимальная необходимая скорость равна км/с.
7. Самостоятельная работа в форме ЕГЭ с заполнением бланка
На экзамене вам придется ответы записывать в бланк. Давайте выполним задание и занесём в бланк ответы. Каждый учащийся берет свой бланк, заранее подписанный. Время _____ Слайд 19
Читайте также: