Конспект урока первообразная и интеграл

Обновлено: 06.07.2024

Загрузить презентацию (378 кБ)

Технологическая карта урока алгебры 11 класс.

Количество часов по разделу: 10 часов.

Тема блока: Первообразная и неопределенный интеграл.

Ведущая тема урока: формирование знаний и обще учебных умений через систему типовых, приближенных и разно - уровненных заданий.

Цели урока:

Образовательные: сформировать и закрепить понятие первообразной, находить первообразные функции разного уровня.
Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях анализа, сравнениях , обобщения, систематизации.
Воспитательная: формировать мировоззренческие взгляды учащихся, воспитывать от ответственности за полученный результат, чувство успеха.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: словесный, словесно – наглядный, проблемный, эвристический.

Формы обучения: индивидуальная, парная, групповая, обще-классная.

Средства обучения: информационные, компьютерные, эпиграф, раздаточный материал.

Ожидаемые результаты обучения: ученик должен

определение производной
первообразная определяется неоднозначно.

находить первообразные функции в простейших случаях
проверять, является ли первообразная для функции на данном промежутке времени.

СТРУКТУРА УРОКА:

Постановка цели урока(2 мин)
Подготовка к изучению нового материалов(3 мин)
Ознакомление с новым материалом(25 мин)
Первичное осмысление и применение изученного (10 мин)
Постановка домашнего задания(2 мин)
Подведение итогов урока(3 мин)
Резервные задания.

Ход урока

На доске записи :

***Производная –« производит « на свет новую функцию. Первообразная - первичный образ.

2. Актуализация знаний, систематизация знаний в сравнении.

Интегрирование - по заданной производной восстановление функции.

Знакомство с новыми символами:

* устные упражнения: вместо точек поставьте какую-нибудь функцию, удовлетворяющую равенству.( см. презентацию) –индивидуальная работа.

(в это время 1 ученик записывает на доске формулы дифференцирования, 2 ученик -правила дифференцирования).

выполняется самопроверка учащимися.(индивидуальная работа)
корректировка знаний учащихся.

3. Изучение нового материала.

А) Взаимно-обратные операции в математике.

Учитель: в математике существуют 2 взаимно-обратные операции в математике. Рассмотрим в сравнении.

ПРЯМАЯ.	ОБРАТНАЯ.
* возведение в квадрат.	*извлечение из квадратного корня.
*синус угла.	*арксинус угла.
*дифференцирование.	*интегрирование.

Б) Взаимно-обратные операции в физике.

Рассматриваются две взаимно-обратные задачи в разделе механике. Нахождение скорости по заданному уравнению движения материальной точки(нахождение производной функции) и нахождение уравнения траектория движения по известной формуле скорости.

Пример 1 страница 140 – работа с учебником(индивидуальная работа).

Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию т.е процесс отыскания функции по заданной производной- интегрированием.

В) Вводится определение первообразной.

работа с учебником: прочитать определение, постараться запомнить, проговорить определение в парах. (парная работа)

Учитель: чтобы задача стала более определенной, нам надо зафиксировать исходную ситуацию.

Задания на формирование умения находить первообразную – работа в группах. (смотри презентацию)

Задания на формирование умения доказывать, что первообразная является для функции на заданном промежутке – парная работа. (смотри презентацию)..

4. Первичное осмысление и применение изученного.

Вывод: при выполнении этих заданий легко заметить, что первообразная определяется неоднозначно.

5. Постановка домашнего задания

Прочитать объяснительный текст глава 4 параграф 20, выучить наизусть определение 1.первообразной, решить № 20.1 -20.5 (в,г)-обязательное задание для всех № 20.6 (б), 20.7 (в,г), 20.8 (б), 20.9 (б)- 4 примера по выбору.

6. Подведение итогов урока.

В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подводятся итоги урока, осознанное осмысление понятие нового материала, можно виде смайликов.

все понял( а), все успел(а).

частично не понял(а), не все успел(а).

7. Резервные задания.

В случае досрочного выполнение всем классом предложенных выше заданий для обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся планируется использовать также задачи № 20.6(а), 20.7 (а), 20.9(а)

В данном видеоуроке мы вспомним, что называют первообразной функции. Вспомним основное свойство первообразных. Приведём таблицу первообразных и повторим правила нахождения первообразных. Скажем, что называют определённым интегралом, и напомним формулу Ньютона-Лейбница. Вспомним геометрический и физический смысл определённого интеграла.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Первообразная и интеграл"

Напомним, что функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех из этого промежутка .

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратную ей операцию – нахождение первообразной – называют интегрированием.

Вспомним основное свойство первообразных. Каждая первообразная для функции на некотором промежутке может быть записана в виде , где – одна из этих первообразных для функции на том же промежутке, а – произвольная постоянная.

На следующем слайде приведена таблица первообразных.

Отметим, что множество всех первообразных функции называют неопределённым интегралом этой функции и обозначают так:

То есть, если – первообразная для функции , а – произвольная постоянная, то .

Вспомним правила нахождения первообразных.

Если функции и – первообразные соответственно для функций и на некотором промежутке, то функция является первообразной для функции .

Если функция – первообразная для функции , а – постоянная, то функция является первообразной для функции .

Если функция – первообразная для функции , а и – постоянные, причём , то функция является первообразной для функции .

Теперь вспомним, как вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции , осью и прямыми , . Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Итак, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле

где – любая первообразная функции .

Разность называют интегралом функции на отрезке и обозначают .

То есть . Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.

На практике формулу записывают следующим образом: .

Запись вида называют определённым интегралом. Числа и называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, функцию – подынтегральной функцией, переменную – переменной интегрирования.

Напомним два свойства определённого интеграла.

Геометрический смысл определённого интеграла заключается в том, что площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле .

Физический смысл определённого интеграла. При прямолинейном движении перемещение за промежуток времени от до вычисляется по формуле , где – скорость движения.

Ещё одно физическое истолкование определённого интеграла. Масса прямолинейного неоднородного стержня с плотностью вычисляется по формуле , где – координата начала стержня, – координата конца стержня.

Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задание первое. Найдите все первообразные функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание второе. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Задание третье. Вычислите интегралы:

а) . б) в)

Задание четвёртое. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью и параболой .

Задание пятое. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью , прямыми , и графиком функции .

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 11 класс

Цель урока: обобщение и систематизация знаний по теме

Задачи урока:

образовательные:

углубление понимания сущности определенного интеграла путем применения его для получения новых знаний;

развитие умений и навыков применять определенный интеграл при решении задач;

воспитательные:

воспитание познавательного интереса к учебному предмету;

воспитание у учащихся культуры мышления;

формирование умений осуществлять самоконтроль;

развивающие:

формирование умений строить доказательства, логическую цепочку рассуждений;

формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию

Учебно-методическое обеспечение : Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб.пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Г.К.Муравин, О.В.Муравина. – 2-е изд. – М.: Дрофа, 2016.

Время реализации урока: 1 урок (45 минут)

Авторский медиапродукт:

1. редактор Microsoft Power Point , текстовый редактор Microsoft Word .

2. вид медиа продукта: наглядная презентация учебного материала в Microsoft Power Point и для интерактивной доски Smart Board .

Необходимое оборудование и материалы для урока-занятия: компьютер, мультимедийный проектор, ИАД, слайды, карточки.

Структура урока:

1 этап - мотивационно - ориентировочный : разъяснение целей учебной деятельности учащихся , мотивация учащихся: выйти на результат .

2 этап - подготовительный: актуализация опорных знаний, необходимых для решения задач

3 этап - основной: осмысление последовательности выполнения действий согласно правилу (работа с проговариванием правил); совершенствование или коррекция умений учащихся в зависимости от успешности выполнения предыдущего этапа (кто быстро справился – работает с более сложными заданиями; кто испытывал затруднения – продолжает работать с заданиями стандартного уровня); отчёт учащихся о выполнении заданий .

4 этап – компьютерное тестирование. Контроль знаний обучающихся через тестирование в тестовой оболочке КРАБ 2

5 этап - заключительный : подведение общих итогов, инструкция по выполнению домашнего задания, рефлексия.

План проведения урока:

Этапы урока

Временная реализация

Вступительное слово учителя

Проверка домашней работы

Работа с классом

Подведение итога урока

Инструктаж по домашнему заданию

I . Организационный момент.

У вас на столах лежат листы достижений. К концу урока вы их заполните и вернете мне.

Скажите, какие темы в последнее время мы изучили? Производная. Дифференцирование. Построение графиков функций. Первообразная. Интеграл. Интегрирование. Площадь криволинейной трапеции.

Таким образом, сегодня мы еще раз вспомним о пройденном и цель нашего урока : закрепить навыки нахождения первообразных и вычисления интегралов.

II . Проверка домашней работы.

На экране демонстрируются слайды с домашним заданием.

Учащиеся на экране видят правильное решение и оформление домашних задач. Те, кто допустил ошибки, исправляют их.

№ 1. Вычислить интеграл

№ 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 - 2 x +2 и y = - x 2 +6

Построить фигуру, ограниченную y = x 2 - 2 x +2 и y = - x 2 +6

Найти абсциссы точек пересечения графиков данных функций

x 2 - 2 x +2 = - x 2 +6

2 x 2 - 2 x - 4 =0

x 2 – x - 2=0

х ₁ = - 1, х ₂ = 2

III . Работа с классом. Применение приобретенных знаний, умения и навыков.

Всем известно, что ключ к практике – это теория. нам необходимо вспомнить теоретические основы по теме (фронтальный опрос). Для этого давайте ответим на следующие вопросы.

Какую функцию можно назвать первообразной для функции f (х) на [а; b] ?

Сформировать основные свойства первообразной.

Как называется операция нахождения первообразной функции?

Как называется действие, обратное интегрированию?

Какие геометрические задания приводят к понятию первообразной?

Какая фигура называется криволинейной трапецией?

Как найти площадь криволинейной трапеции?

Какие из данных фигур являются криволинейными трапециями?

Запишите площадь заштрихованной фигуры .

Выберите первообразную для функции .

_{Найдите общий вид первообразных для функции} .

Запишите в виде определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями

y = x 2 + 1, x =1, x =2, y =0

Вычислите площадь заштрихованной фигуры

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

у=х 2 -4х+5, у=х+5, y=0, х=-3, х=3.

IV . Компьютерное тестирование в тестовой оболочке КРАБ

Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка…

Правильность интегрирования можно проверить:

Операция нахождения неопределённого интеграла от некоторой функции называется…

Чему равен

Множество всех первообразных функции имеет вид …

Выберите правильный вариант ответа:…

Выберите правильный вариант ответа

Написать правильное продолжение формулы

Выберите правильное продолжение решения

Написать правильное продолжение формулы

Чему равен интеграл

Множество всех первообразных функции имеет вид …

V . Из истории.

Символ ydx был введен немецким математиком Готфридом Лейбницем в 1686 году. Существует версия о том, что он букву S, используемую для обозначения суммы писал слегка удлиненной. Так постепенно и родился новый символ. Термин интеграл (от латинского integer-целый) был предложен в 1696 году учеником Лейбница - Иоганном Бернулли. Лейбниц, хотя и неохотно согласился с этим. Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.)

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции.

Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница.

Как вы думаете, где находит применение интеграл? А зачем обычному среднестатистическому человеку нужен интеграл? Все ли мы используем знания, полученные на уроке, где-то в повседневной жизни или в ближайшем будущем? Поднимите руки, у кого дома есть телевизор; у кого есть сотовый телефон; у кого дома есть компьютер. Так вот даже обычный сельский житель, который не имеет общего с наукой, в повседневной жизни пользуется знаниями об интеграле. Естественно, некоторые люди, которые пользуются этими приборами, могут и не знать, как вычисляется интеграл и что это вообще такое. Но каждый из нас пользуется предметами быта, даже не подозревая, что, чтобы эти приборы работали, какие-то ученые составляли интегральные схемы, проводили исследования. И в каждом вашем сотовом телефоне находится интегральная схема.

А знаете ли вы?

Что интегралы используются при:

решении задач из области физики;

решении экономических задач (на оптимизацию работы фирмы в условиях конкуренции, расчет о доходности потребительского кредита);

решении социально - демографических задач (математическая модель народонаселения Земли и др.).

Доказать: .

С помощью определенного интеграла мы будем в дальнейшем выводить формулы объемов тел вращения.

VI . Подведение итога урока.

- обобщили знания и отработали навыки решения задач на нахождение первообразных и вычисления интеграла, провели подготовку к ЕГЭ;

- развили чувство самостоятельности и ответственности за качество своих знаний;

- развили навыки самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий.

- За работу у доски

- За активное участие на уроке

Этапы урока

Оценка работы

Повторение ранее изученного

*Знание формул, правил

*Применение формул и правил на практике

Закрепление ранее изученного материала

Оценка за работу на уроке

Выразите свое отношение к уроку. Постройте на листах контроля графики функций y=х 2 и у= 4, поставьте смайлик в том месте графика, которое отражает ваши ощущения на уроке: чувствовали ли вы себя на гребне волны или же, наоборот, в самой нижней точке.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков по Н.П. Гузику, интегрированный (математика, информатика).

Вид урока: урок – повторение с элементами презентации.

Метод обучения: репродуктивный.

Форма обучения: групповая.

Организационный этап.

Организация внимания учащихся к уроку.

Определение целей и задач.

Этап закрепления изучаемого материала.

Теоретическая разминка.

На экране демонстрируются вопросы:

Дайте определение первообразной.

Сформулируйте основное свойство первообразной.

Запишите три правила нахождения первообразных (формулы).

Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

Задача учащихся, в рабочих тетрадях ответить письменно. За каждый правильный ответ получают по 1 баллу.

Работа с тестом.

Для класса выдаётся тест по вариантам ( I и II ). Учащиеся решают и определяют правильный ответ. Правильный ответ оценивается также в 1 балл.

I вариант

Найти F (х)

II вариант

Найти F (х)

Вычисление площади фигуры.

На экране демонстрируются варианты вычисления площади фигуры, ограниченной линиями.

I вариант

II вариант

, , ,

Учащиеся вычисляют письменно в тетрадях. Максимальное количество баллов – 5.

Подведение итогов.

В завершении урока на экран выводятся демонстрационные слайды с правильными ответами. Учащиеся обмениваются тетрадями для проверки, выполненных заданий. Самостоятельно выставляют оценки по критериям:

IV . Домашнее задание.

Повторить пройденный материал и подготовиться к контрольной работе.

1) Дайте определение первообразной.

2) Сформулируйте основное свойство первообразной.

3) Запишите три правила нахождения первообразных (формулы).

4) Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

5) Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

у=0, x=-2 , х=1
у=0, x=-2 , х=1
у=0, x=-2 , х=1
у=0, x=-2 , х=1

II вариант

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F ′(x)=f(x)

Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F ( x ) +С, где F ( x ) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I , а С – произвольная постоянная.

Читайте также: