Конспект урока арккосинус 10 класс

Обновлено: 06.07.2024

Краткое описание: Цели урока:1.Обучающие:· ввести понятие арккосинуса числа а; · выработать навык вычисления арксинуса числа а;· вывести формулу корней простейших тригонометрических уравнений формулу cosx = a;· научить применять формулу при решении простейших тригоном

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Тема урока: Арккосинус числа а. Решение уравнений cos x = a.

ввести понятие арккосинуса числа а;

выработать навык вычисления арксинуса числа а;

вывести формулу корней простейших тригонометрических уравнений формулу cos x = a;

научить применять формулу при решении простейших тригонометрических уравнений;

развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;

развивать способность аргументировать свои утверждения;

обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе,

воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, развивать коммуникативные навыки;

Оборудование: компьютер, раздаточный материал, плакат с единичной окружностью.

кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;

сравнивать, анализировать и делать выводы;

2.Актуализация знаний

Точки единичной окружности ,, принадлежат какой четверти?

Точки единичной окружности ,, принадлежат 1четверти

Косинус какого угла есть величина положительная?

Вывод: Косинус острого угла есть величина положительная.

Если угол принадлежит 1 четверти

2. Вычислить значения: cos ; cos; cos

Точки единичной окружности ,, принадлежат какой четверти?

Точки единичной окружности ,, принадлежат 2 четверти.

Косинус какого угла есть величина отрицательная?

Вывод: Косинус тупого угла величина отрицательная

Если угол принадлежит 2 четверти

t = +2πk , где kZ (объяснение ведется по единичной окружности)

не имеет решения т.к. -1≤а≤1

Ответ: t = π + 2πk, k.

4.Изучение нового материала

Теперь решим уравнение cos t =.

на доске ведет запись на основной доске рядом с примером cos t = , все остальные учащиеся слушают (пример и единичная окружность записаны заранее)

Проговаривая алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения, ученик решает уравнение с помощью единичной окружности.

Является ли эта запись ответом решения уравнения?

Эта запись не является ответом решения уравнения, т. к. не определены значения t_1.

Учитель: Что это за число t₁, пока неизвестно, ясно только то, что t₁ . Столкнувшись с такой ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Поэтому был введен на рассмотрение новый символ arcсos а, который читается: арккосинус а.

Сегодня на уроке мы изучим понятие арккосинус числа а, научимся его вычислять и применять при решении простейших тригонометрических уравнений.

Arcus в переводе с латинского значит дуга, сравните со словом арка. Символ arcсosа, введенный математиками, содержит знак (arc), сosа - напоминание об исходной функции

Открываем учебник, определение арккосинуса (ученики открывают учебник и читают по книге определение, выделяя главное)

Закрепление и отработка понятия арккосинус числа а и алгоритма его вычисления (фронтальная работа с классом)

Значит, вычисляя арккосинус числа а, какой нужно себе задать вопрос?

Косинус какого числа равен а?

Применяя изученное определение, найдите значение выражения

arccos ();arcсos( ) arcсos( )

Все значения а принадлежат отрезку от -1 до 0. Какой четверти принадлежат значения арккосинуса а?

Значения arccosа принадлежат отрезку от 0 до

А как же вычислить значение arccos(-а)? Обратимся к учебнику и найдем формулу, по которой вычисляется значение arccos(-а) (читаем и выделяем формулу).

Вычислить: arccos (-); arcсos(- );

Все значения (-а) принадлежат отрезку от -1 до 0. Какой четверти принадлежат значения arccos(-а)?

Значения arcсos(-а) принадлежат отрезку от до π

Вычисляем по слайду на интерактивной доске

5. Самостоятельная работа

2 человека работают у доски самостоятельно, остальные работают в тетрадях, затем проверяют правильность выполнения. Те, кто работал с дом заданием, у доски пишут на листочка, затем сдают их на проверку

Вернемся к уравнению cos t =. Зная понятия арккосинуса, теперь мы можем записать ответ решения этого уравнения следующим образом.

t = ±arccos + 2πk, где kZ .

Ответ: t = ±arccos + 2πk, где kZ

Мы решили уравнение двумя способами: с помощью единичной окружности и с помощью формулы.

Записывают в тетради решение за учителем

Итак, запишем справочный материал и выделим его решением уравнения

cos t = a, где а.

t = ± arcсos а + 2πk, k.

Ответ: t = ± arcсos а + 2πk, k.

Записывают в тетради модель решения уравнения за учителем

6. Закрепление изученного материала

7. Подведение итогов урока

Какие новые понятия вы изучили на уроке?

Мы узнали новое понятие арккосинус а.

Какой новый способ решения простейших тригонометрических уравнений мы рассмотрели на уроке?

Цель: Знать термины и правильно применять понятия: арксинус, арккосинус числа. Знать значения выражений arcsin a и arccosa при заданном значении а.

Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний.

Изложение нового материала.

Определение: Арксинусом числа а называется угол t из отрезка, синус которого равен числу а.

Таким образом, если sin t=a, , то t=arcsin a

Пример: аrcsin , аrcsin

Свойство арксинуса от отрицательного угла:

arcsin (-a) =

Пример: аrcsin , аrcsin

Из определения следует:

sin (arcsin a) = a, если

arcsin (sin t) =t , если

sin (arcsin )=

arcsin (sin ) =

_arcsin (sin ) =

arcsin (-sin ) =

Определение: Арккосинусом числа а называется угол t из отрезка , косинус которого равен числу а.

Таким образом, если cos t=a, , то t=arccos a

Пример: аrccos , аrccos

Свойство арккосинуса от отрицательного угла:

Пример: аrccos ,аrccos

Из определения следует:

cos (arccos a) = a, если

arccos (cos t) =t , если

cos (arccos )=

arccos (cos ) =

arccos (-cos ) =

4.Закрепление изученного материала.

а) аrccos б) аrccos 1 в) аrccos 0 г ) аrcsin 0 д) аrccos (- 1)

Найдите область определения выражения:

а) аrcsin б) аrccos

Найдите значение выражения:

а) аrccos б) аrcsin в) аrccos

Найдите значение выражения:

а) cos б) sin в) cos

Найдите значение выражения:

а) sin (arccos ) б) cos (arcsin ) в) sin (arccos )

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

МЕЖРЕГИОНАЛЬНЫЙ КОМПЬЮТЕРНЫЙ ФЕСТИВАЛЬ – 2017

КОНКУРС "КОМПЬЮТЕРНЫЙ УРОК"

Математика 10 класс

Деменева Алена Васильевна

Учитель математики

Бийского района Алтайского края

с. Первомайское, 2017г

Краткая аннотация к уроку

Урок построен в технологии проблемного диалога. Класс на уроках математики работает в данной технологии 6 год, в классе 16 учеников, на уроке присутствовало 13. Большим плюсом урока, на мой взгляд, является использование интерактивного плаката, подготовленного для урока посредством современных компьютерных технологий и использование интернет-ресурса для организации обратной связи на уроке.

При создании проблемной ситуации использованы затруднения обучающихся в представлении ответа при решении уравнения числом знакомого им вида.

Благодаря использованию модели удалось уменьшить временные затраты на изучение нового материала и задействовать все каналы восприятия обучающихся, что способствовало высокому уровню понимания вводимого понятия. Использование интерактивной модели помогло учащимся в самостоятельном открытии нового знания.

На этапе первичного закрепления использованы ресурсы учебной литературы. В ходе решения проблемы определения значений аркконинуса чисел не входящих в стандартную таблицу обучающиеся использовали интернет-источники, работая с запросами. Эта работа позволила активировать деятельность школьников по развитию ИКТ-компетенций.

На этапе самостоятельной работы был предложен тест, созданный на интернет-площадке ЯКЛАСС. Учащиеся, имеющие доступ в Интернет с сотовых телефонов работали с электронным тестом, для остальных учеников была предложена печатная версия теста. По окончании работы с тестом был проведен совместный разбор ошибок. Включение электронного теста в урок, позволило учителю своевременно (в рамках одного урока) отреагировать на основные затруднения обучающихся

Я, как учитель, на данном уроке достигла поставленной цели. Мне удалось создать комфортные условия, в которых каждый ребенок смог проявить себя и получить знания и навыки предъявляемые по теме. Выполнение творческой части домашнего задания показало, заинтересованность обучающихся поставленной проблемой (6 учеников рассказали, как определить приближенное значение арксинуса на калькуляторе, 2 обучающихся рассказали, как выполнить вычисления значения арккосинуса в электронных таблицах). Последующие уроки показали необходимый уровень усвоения материалы темы для решения тригонометрических уравнений.

Конспект урока

Открытие нового знания

Цели урока для учителя:

Познакомить с понятием арккосинус числа

Развивать представления о многообразии форм записи числа

Отрабатывать навыки упрощения алгебраических выражений

Развивать логическое мышление и кругозор

Развивать коммуникативные способности обучающихся

Развивать навыки саморефлексии

Дидактические средства:

Интерактивный плакат, электронный и печатный тест, учебник

Оборудование:

Доска, компьютер, проектор, интернет

Линии развития

Открытие новой формы числа и его свойств

Развитие навыков упрощения алгебраических выражений

Определять и формулировать цели деятельности

Составлять план по решению проблемы

Действовать согласно намеченному плану

Соотносить результат своей деятельности с поставленной целью

Ориентироваться в своей системе знаний и осознавать необходимость нового знания

Выдвигать гипотезы решения проблемы

Отрабатывать приемы монологической и диалогической речи

Сравнивать самостоятельно полученные результаты с предъявленным образцом

Отрабатывать навыки поиска информации по таблицам величин

Обязательный минимум содержания:

Понятия, правила, закономерности:

Понятие арккосинуса, область определения, область значений, таблица значений

Преобразование выражений, содержащих арккосинус, определение значений по таблице

2 минуты

Здравствуйте! Проверим все ли у нас готово к уроку. Откроем тетради, запишем сегодняшнее число

Начнем наш урок с устного счета:

Cos π /4, cos 60°, cos (– π /3), cos 5 π /6, cos π /2, cos (- π )

Создание проблемной ситуации

3 минуты

Решаем три пары уравнений:

х 3 = 27 и х 5 =12;

7 х+1 = 49 и 4 х = 14;

со s x = 0,5 и cos x = 0,3 на промежетке (0;180°)

Определите что общего имеет каждая пара уравнений и каково отличие в каждой паре

У обучающихся возникнет проблема с последним уравнением – не возможно подобрать угол

Работают в парах

Сходство – уравнения одного итог же типа

Различие - первое имеет целый корень, второе дробный корень

Формулирование проблемы (темы и целей урока)

3 минуты

Давайте попробуем определить этот угол графически

Работаем с интерактивной моделью, определяем угол.

Для конкретного уравнения нам удалось определить угол, этот угол выражен дробным числом и скорее всего это его примерное значение.

Во вторых уравнениях первых двух пар для записи числа, являющегося решением мы воспользовались специальной записью числа, возможно и для уравнения с косинусом есть такие числа?

Какой геометрический объект прячется за переменной х в уравнении:?

Дуга на латыне звучит как arc . Если нас интересует дуга косинуса, то как может звучать ее название?

А что бы вы хотели узнать об этих новых числах?

(фиксирует цели на доску)

Формулируют свои затруднения: Мы не можем определить значение х в уравнении cos x = 0,3, так как не знаем косинус какого угла равен 0,3

Как записать, как определять, какие свойства, как вычислять

Открытие и формулирование нового знания

14 минут

Запись числа arcos a , то есть ответ нерешенного нами первоначально уравнения можно записать так х = arcos 0,3.

А теперь запишите в тетради пример числа содержащего arcos

Все ли записи на доске имеют смысл? Арккосинус любого числа может быть определен?

-1≤а≤1 (демонстрируем этот факт при помощи модели)

А в каких пределах мы можем получить значение арккосинуса числа?

0≤ arccosa≤180, 0≤ arccosa≤π

№ 570 (сравниваем используя модель)

Делаем вывод: а – увеличивается, дуга уменьшается

А как же определить значение?

Воспользуйтесь стандартной таблицей и определите следующие значения

arcos 0; arcos 0,5; arccos 1;

(нет в стандартной таблице)

Аrccos (0,7) (нет в стандартной таблице)

Нужна более полная таблица, давайте поищем ее в Интернете?

Давайте попробуем это сделать на модели:

Выводим формулу arcos (- a ) = π – arccosa (для этого прочерчиваем линию по положительной части, записываем угол и перемещаем линию на отрицательную, замечаем чему равна сумма углов)

Записывают в тетрадь, приводят примеры записи, предлагают свои записи

Да, нет, непонятно

Убираем неверные записи

Выполняем номер из учебника

От 0 до 180 или от 0 до π

По модели и по таблицам

Замечают, что таблица для косинусов, для определения арк ее нужно использовать в обратном порядке (как таблицу квадратов для извлечения корней)

Как найти арк числа отсутствующего с стандартной таблице?

Работают с интернетом, но и там только положительные

Как найти арк отрицательного числа?

Определяем значение по формуле

Первичное применение нового знания

3 минуты

Решают и диктуют с места

12 минут

Проверочная работа на ЯКласс

(дети получают работу по выходу на свой профиль)

Работают в сети или на печатных тестах

Повторение и закрепление изученного

5 минут

Просмотр электронного теста, разбор ошибок

Задают вопросы по непонятным моментам

2 минуты

Посмотрите вопросы, которые вы поставили для изучения темы и оцените уровень своего понимания: зеленый, желтый, красный. Запишите на выбранном вами жетоне количество плюсиков, которые вы заработали за урок и передайте мне жетон

Выбирают и сдают жетон

1 минута

Возможность улучшить отметку за тест

Разберитесь как посчитать значение арккосинуса на вашем калькуляторе или в электронных таблицах, сделайте лист для вычисления значений арккосинуса

Арккосинусом числа m называется такое число α, что: и . Арккосинус числа m обозначают: .

Арксинусом числа m называется такое число α, что: и . Арксинус числа m обозначают: .

Арктангенсом числа m называется такое число α, что: и . Арктангенс числа m обозначают:

Арккотангенсом числа n называется такое число α, что: и .

Арккотангенс числа n обозначают: .

Основная литература:

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы познакомились с понятиями арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса и с самыми простыми тождествами, которые связывают их с тригонометрическими функциями:

для любого значения m:;

для любого значения m;

Однако, эти тождества не позволяют вычислять значения более сложных выражений, например, таких:

На этом уроке мы рассмотрим несколько тождеств, которые позволят нам вычислять значения выражений и преобразовывать достаточно сложные выражения с обратными тригонометрическими функциями.

Попробуйте вычислить значение выражения:

В этом случае мы не можем воспользоваться тождеством, так как . Но в этом случае мы имеем табличные значения:

Ответ:

Вычислим значение выражения

В этом случае мы также имеем табличные значения:

Ответ:

1. Рассмотрим сначала задачи, связанные с вычислением табличных значений обратных тригонометрических функций.

При решении данной задачи будем пользоваться табличными значениями аркфункций тождеством:

Ответ: .

На первый взгляд, использование тождества приводит к получению ответа:. Но заметим, что аргумент синуса не удовлетворяет промежутку . Поэтому ответ является неверным. Таким образом, нужно найти такое значение a , что:. Таким значением является . Значит, ответом является число .

2 вариант. Найдем численное значение . Оно равно . Теперь найдем . Оно равно.

Заметим, что второй вариант решения возможен в том случае, когда мы имеем дело с табличными значениями тригонометрических функций.

Ответ: .

Вычислить:

В этом примере возможен только ход рассуждений по первому варианту, так как мы имеем дело не с табличными значениями косинуса. Очевидно, что число 10 не является правильным ответом, поскольку оно не принадлежит промежутку . Таким образом, нам нужно найти такое число a из промежутка , косинус которого равен косинусу 10. Таким значением a является число , так как значит, и, с учетом формул приведения: .

Ответ: 1

Тождества, связывающие тригонометрические и обратные тригонометрические функции

и , если

2. Рассмотрим некоторые тождества

С использованием тождеств, связывающих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, рассмотрим решение некоторых примеров:

Вычислите: .

При решении этой задачи используется только знание табличных значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций:

Вычислить:

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся тождеством (22):

Вычислить:

Сначала воспользуемся табличными значениями обратных тригонометрических функций и заменим . Теперь воспользуемся для преобразования формулой тангенса двух аргументов:

. Теперь, используя тождества для арктангенса и табличные значения тангенса, получим результат:

Ответ:

Решение задачи 2

Данное выражение вообще не содержит табличных значений тригонометрических функций, поэтому при решении этой задачи будем использовать тождества второй группы. Но сначала воспользуемся формулой косинуса суммы аргументов. Таким образом, получим:

Ответ:.

Решение задачи 3

Вычислить

Воспользуемся для начала формулой синуса двойного аргумента и получим:

Теперь, используя тождества и преобразуя полученное выражение, получим окончательный результат:

Ответ:

3. Рассмотрим более сложные задачи.

Найдем . Для этого воспользуемся формулой тангенса суммы аргументов:

Поэтому сумма арктангенсов – это такое число, тангенс которого равен -1. Для того чтобы найти окончательно это число, определим, какому промежутку оно должно принадлежать. и принадлежат промежутку , поскольку в силу монотонности функции арктангенс (он монотонно возрастает) каждый из рассматриваемых арктангенсов больше чем , который равен . А в силу ее ограниченности каждый из них меньше чем . Поэтому сумма этих арктангенсов принадлежит промежутку . В этом промежутке содержится единственное число, тангенс которого равен -1. Это . Таким образом значение выражения равно: .

Найдите в виде целого числа, если .

Сначала воспользуемся формулой, связывающей значения тангенса и котангенса одного аргумента:

. Это позволяет вычислить . Теперь, подставив найденное значение в выражение, значение которого нужно найти, получим искомый результат:

Вычислить:

При вычислении значения данного выражения прежде всего воспользуемся формулами синуса двойного аргумента, выражающего его через тангенс, и тангенса половинного аргумента:

Теперь воспользуемся тождеством (19) и получим окончательный результат:

Вычислить:

Заметим, что при вычислении значения данного выражения можно использовать формулы котангенса суммы и разности аргументов, а затем формулы котангенса половинного аргумента. Но мы будем использовать другой путь. Один из аргументов и другой . Сумма и разность аргументов представляют собой очень привлекательные выражения: и . Попробуем это использовать. Преобразуем данное выражение, воспользовавшись формулой суммы котангенсов: . И далее используя в знаменателе формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:. Таким образом получим:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Упростить выражение: , где

При выполнении преобразования данного выражения воспользуемся формулой синуса двойного аргумента, а также тождествами, позволяющими выразить и. В результате получим:

2. Упростите выражение: .

Воспользуемся формулой преобразования косинуса суммы аргументов, а затем тождествами:

Ответ: .

3. Найдите значение выражения:

С одной стороны, можно попытаться воспользоваться тождеством: . Но в этом случае мы получим в качестве значения выражения: , значение которого вычислять не очень удобно. Поэтому мы будем действовать другим способом: сначала вычислим значение , а затем – значение косинуса в найденной точке.

Для вычисления воспользуемся выражением косинуса через котангенс половинного аргумента: . Используя этот результат, получим:

Читайте также: