Конспект по векторной алгебре
Обновлено: 06.07.2024
Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.
· Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А - начало вектора, а, В — его конец, то вектор обозначается символом или .
· Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается .
· Длинойили модулемвектора называется длина отрезка и обозначается .
· Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектороми обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичнымвектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .
· Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают || .
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
· Два вектора и называются равными ( = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.
· Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если среди трех поизвольных векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.
2. Линейные операции над векторами
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Пусть и — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор = . От точки А отложим вектор .
· Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммойвекторов и : (см. рис. 1).
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма(см. рис. 2).
На рисунке 3 показано сложение трех векторов , и .
Получившийся многоугольник называют векторным многоугольником; если суммируемые вектора образуют замкнутый многоугольник, то их сумма равна нулю.
· Под разностьювекторов и понимается вектор = - такой, что + = (см. рис. 4).
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая — разностью (см. рис. 5).
Можно вычитать векторы по правилу: , т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .
· Произведением вектора на скаляр (число) λ называется вектор λ· (или ·λ), который имеет длину |λ|·| |, коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если λ > 0 и противоположное направление, если λ π/2 (φ ≤ π), то прl = -| | = -| |·cos(π-φ) = | | · cos φ (см. рис. 10).
ü Если φ = π/2, то прl = 0 = |a|cos φ.
Рис. 10.
Следствие 1.Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.
Следствие 2.Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
С 2.Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
Пусть, например, = + + . Имеем прl = +| | = +| | + | | - | |, т. е. прl ( + + ) = прl + прl + прl (см. рис. 11).
Рис. 11.
С 3. При умножении вектора на число λ его проекция на ось также умножается на это число, т. е. прl (λ· ) = λ· прl
При λ > 0 имеем прl (λ· ) = |λ |·сos φ = λ·| |·cos φ = λ· прl· .
При λ 2 = | | 2 · cos 2 α + | | 2 · cos 2 β + | | 2 · cos 2 γ.
Сократив на | | 2 ≠ 0, получим соотношение:
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1,
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа cos α, cos β, cos γ, т. е. = (cos α; cos β; cos γ)
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т. е. сам вектор.
5. Действия над векторами, заданными проекциями
Пусть векторы = (ах; ау; az) и = (bх; bу; bz) заданы своими проекциями на оси координат Ох, Оу, Oz или, что то же самое
Читайте также: