Функции область определения и множество значений график функции построение графиков функций конспект

Обновлено: 08.07.2024

2. Функция – это зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное

значение переменной у.
х – независимая переменная, аргумент функции, абсцисса точки;
у – зависимая переменная, значение функции,
ордината точки.

Если зависимость переменной у от
переменной х является функцией, то коротко
это записывают так:
у = f(х)
Пример.
у = 2х + 3
или
Если х = 5, то f(5)
f(х) = 2х + 3
= 2 5 + 3=10 + 3 = 13
Если f(х) = 0, то 2х + 3 = 0
2х = -3
х = -1,5

Область определения функции – все значения
независимой переменной х.
Обозначение: D(
f)
Область значений функции – все значения
зависимой переменной у.
Обозначение: Е(
f)
Если функция у = f(х) задана формулой и ее
область определения не указана, то считают,
что область определения функции состоит из
всех значений х, при которых выражение f(х)
имеет смысл.

Пример. Найти область определения функции:
f(х) = 2х + 3
D(f)=R или D(f) = (- ; + )
x
2) f(х) = х +
3
5x + 2
3) f(х) =
x-8
х – 8 0
х 8
D(f)=R или D(f) = (- ; + )
1)
2
D(f)= (- ; 8) (8; + )
8

График функции - множество
точек на координатной
плоскости, абсциссы которых
равны значениям аргумента, а
ординаты - соответствующим
значениям функции.
Y
X

Табличный способ заключается в задании
таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Применяется в том случае, когда область определения
функции является конечным множеством.
X -3 -2 -1 0
y 9 4 1 0
1
2
1
4

Аналитический способ заключается в
установлении связи между аргументом и
функцией с помощью формул.
Например, у = 2х + 1 у = 2х² у = ¼х + 8 и
т.д.
Графический способ задания функции не
всегда дает возможность точно определить
численные значения аргумента. Однако он
имеет большое преимущество перед другими
способами - наглядность. В технике и физике
часто пользуются графическим способом
задания функции, причем график бывает
единственно доступным для этого способом.

Словесная формулировка - функция у = f(х)
задана на множестве всех неотрицательных
чисел с помощью следующего правила:
каждому числу х 0 ставится в соответствии
первый знак после запятой в десятичной записи
числа х.
Задание 1. Функция задана таблично. Укажите
ее область определения и множество значений,
постройте ее график.
Аргумент
x
-4
-1
-2
0
3
5
7
Функция
y= f (x)
0
1
4
5
-2
4
6

1
Задание 2. Функция задана аналитически V Sh
3
Выразите каждую переменную через две другие.
Задание 3. Функция задана графически. Найдите область определения yфункции и область
значений функции.
5
1
-7
-2
O 1
-4
5
x

Существует несколько основных видов функций:
линейная функция;
прямая пропорциональность;
обратная пропорциональность;
квадратичная функция;
кубическая функция;
функция корня;
функция модуля.
y
x

функция вида y = k х + b
1. D( f ) = R;
2. E( f ) = R;
3. графиком функции
является прямая
y
k>0
k=0
x
k 0
x

функция вида y = x³;
1. D( f ) = R;
2. E( f ) = R;
3. графиком функции
является кубическая
парабола.
y
x

функция вида y = x ;
1. D( f ) = [0;∞);
2. E( f ) = [0;∞);
3. графиком функции
является ветвь
параболы.
y
x

функция вида y = |x|;
1. D( f ) = R;
2. E( f ) = [0;∞);
3. график функции на
промежутке [0;∞)
совпадает с графиком
функции у = х, а на
промежутке (-∞;0] – с
графиком функции у = -х
y
x

Тема: Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функции, заданных различными способами. Свойства функции.

Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x ). (Читают: у равно f от х .) Символом f(x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х .

Все значения независимой переменной образуют область определения функции . Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции .

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:

1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3. описательный способ (функция задается словесным описанием)

4. графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .

2. Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

3. Возрастание (убывание) функции.

Возрастающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция у = f (x) называется возрастающей на интервале (а; b), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 2 , справедливо неравенство f(x 1 ) 2 ).

Убывающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Функция у = f (x) называется убывающей на интервале (а; b) , если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 2 , справедливо неравенство f(x 1 )>f(x 2 ).

4. Четность (нечетность) функции

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х 2 - четная функция.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х 3 - нечетная функция .

Функция общего вида не является четной или нечетной ( у = х 2 +х ).

Свойства некоторых функций и их графики

1. Линейной функцией называется функция вида , где k и b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b ) и параллельная прямой у = kx.

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции.

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.

2. При k 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.

3. Множеством значений функции y = kx + b(k ≠ 0 ) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.

При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b.

3. При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.

При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b ≠ 0 она является четной.

При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.

Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b ) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох .

5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у 0, если . При k 0 имеем, что у > 0, если и у

2. Функция y = x 2

Область определения этой функции - множество R действительных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x 2 , изображаем график функции.

График функции y = x 2 называется параболой.

Свойства функции у = х 2 .

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2. Если х ≠ 0 , то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции у = х 2 является промежуток [0; + ∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х 2 - четная).

5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х 2 возрастает.

6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х 2 убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Область определения этой функции - промежуток [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле , изображаем график функции.

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2. Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции является промежуток [0;+∞) .

4. Функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Функция возрастающая в области определения.

6. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

4. Функция y = x 3

Область определения этой функции - множество R действительных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х 3 , изображаем график функции.

График функции у= х 3 называется кубической параболой.

Свойства функции y = x 3 .

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2. Если х > 0, то у > 0, а если х 0, то у

3. Множеством значений функции у = х 3 является вся числовая прямая.

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т.е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у = х 3 - нечетная).

4. Функция у = х 3 возрастающая в области определения.

Область определения этой функции - множество R действительных чисел.

Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х у = - х . Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции y = |x|, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции y = |x| является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).

5. На промежутке [0;+∞) функция y = |x| возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x| убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Область определения функции: .

Область значений функции: .

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у х

Если k у х > 0; у > 0 при х

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k > 0, то функция убывает при .

4. Четность (нечетность) функции.

Постройте график функции

Проходит ли график через точку А(-35, -65)?

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Функция. Область определения и множество значений функции

Презентация к уроку.

Конспект урока математики (по новым ФГОС), по теме:Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции.

Конспект урока математики по новым ФГОС.Тема урока: Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции.

Уточнить понятие функции, её основных характеристик - области определения и области (множества) значений.

Понятие функции. Область определения и область значений функции. Возрастание и убывание. Наибольшее и наименьшее значение. Нули функции. Промежутки знакопостоянства.

Цель занятия: организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.Задачи занятия:- расширить понятие о числовых функциях пут.

11 класс. Алгебра. Самостоятельная работа. Область определения и множество значений функции

Самостоятельная работа по теме "Область определения и множество значений функции" составлена в 2 вариантах.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Технологическая карта (план) занятия №37

Предмет

Математика: алгебра и начала математического анализа

Тема занятия

Функции. Область определения и множество значений; график функции. Способы задания.

Вид занятия

(тип урока )

Урок усвоения новых знаний

Время

Цель занятия

Учебная: познакомить с определением функции, области определения и множества значений функции; вспомнить способы задания функции.

Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность

при записи лекции, при построении графиков

Развивающая: развивать умения наблюдать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Компетенции:

общие:

профессиональные

Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.(ОК3)

Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.(ОК4.)

Обеспечение занятия

Раздаточный материал: "Функция, ее свойства и график". конспект - лекция для

Технические средства обучения

Учебные места (для лаб. работ, прак. занятий) аудитория 308

1) Ш.А. Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11 кл. 2006

2) Собственная разрботка. "Функция, ее свойства и график". конспект - лекция для студентов

Содержание занятия

Элементы занятия, учебные вопросы, формы и методы обучения

I 1 1. .1

2 Орг. момент.

-проверка присутствующих на занятии;

-проверка готовности учащихся к занятию;

-формулировка целей занятия. ериала

Изучение нового материала

Почти все, что происходит с нами или вокруг нас связано с понятием "функция", потому что все вокруг взаимосвязано, а "функция" - это зависимость между двумя величинами, которая облает определенным свойством, где каждому значению переменной соответствует единственное значение зависимой. Давайте определим будут ли следующие высказывания являться зависимостью:

- Возраст человека зависит от его роста.

+ Урожайность зависит от количества полезных веществ в почве.

+ Суточный привес теленка зависит от потребляемого молока.

- Количество плохих оценок зависит от количества пасмурных дней в году.

+ Длина волос зависит от промежутка времени между стрижками.

1. Понятие функции

Определение Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью.

Определение Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.

Обозначение:

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y - зависимой. Говорят, что y является функцией от x. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Определение Все значения, которые принимает x, образуют область определения функции; все значения, которые принимает y, образуют множество значений функции.

Пример1. Найти D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ -4; 7],

Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ -4; 4].

D(f) - значения аргумента. E(f) - значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Определение Функция называется числовой ,если она определена на множестве действительных чисел R .

2. График функции

Определение. График функции называется множество всех точек на координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x₀ соответствуют несколько значений (а не одно) y, то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

3. Способы задания функции

1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например,

2) Функция может быть задана таблицей из множества пар (x; y).

3) Функция может быть задана графически. Пары значений (x; y) изображаются на координатной плоскости.

Пример3 . Постройте график функции :

Для этого вычислим значения функции для нескольких значений аргумента, например для

Результаты удобно записать в виде таблицы .

Решение упражнений (из методички)

№1-3, стр 5, № 14(1,2,3,6,10), стр 6, №22, №23

Итог занятия.

Задание на дом: конспект лекции, выучить определения. № 7-8, стр 5, №18 тр 6. стр.44. . Информационное Решение уп

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

у - зависимая переменная, значение функции

Определение

Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).

Определение

Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).

Определение

Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;

для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).

Определение

Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.

Определение

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких, что х₁ у₂.

Основная литература:

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции на примере функции

1) Область определения функции

Знаменатель дроби не равен нулю:

Получили область определения

Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).

Получили

следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение

Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ

у>0 при

у 2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?

1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.

Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x 2 у.е.

Тогда на 2 объект направлено (24 - x) рабочих – суточная заработная плата (24 - x) 2 (у.е.)

Всем рабочим нужно заплатить 4x 2 +(24 - x) 2 = 5x 2 -48x+576 (у.е.)

Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.

Рассмотрим функцию f(x)=5x 2 -48x+576.

Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x₀ = 4,8 .

3 этап. Перевод на язык задачи

Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.

24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.

Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.

Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.

Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Исследуйте функции на четность.

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, - симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.

Данная функция одновременно четна и нечетна.

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x

у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная

логарифмируемое выражение должно быть положительным

Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, - функция общего вида.

Найдем область определения D(f)

Проверим второе условие

Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.

Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, называют функцией.

В определении сказано, что только та зависимость является функцией, у которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Рассмотрим первый график. Видим, что одному значению x может соответствовать несколько значений y. Значит, данная зависимость не является функцией.

Обратимся ко второму случаю. Какие бы значения аргумента мы не брали, каждому из них соответствует только одно значение функции. Можно сказать, что эта зависимость является функцией.

В общем виде любую функцию можно записать так:

Понятно, что функция может принимать различные значения в зависимости от значения аргумента. Найдём значение каждой функции при заданном значении аргумента.

Вы заметили, что в этом задании функции названы разными буквами. Действительно, функцию можно называть любой буквой латинского алфавита.

Ранее вами были изучены несколько важных функций. Вспомним их.

Сейчас попробуем выяснить, как же получается график функции, и дадим определение этому понятию.

Можно записать её в таком виде:

Это линейная функция, графиком как вы помните, является прямая. Для изображения прямой достаточно двух точек.

Получаем точки с координатами (1;3) и (-1;-11).

Проведём прямую через полученные точки.

Мы изобразили график функции.

Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — значениям функции, называют графиком функции.

Все значения аргумента, т.е. переменной x образуют область определения функции, а все значения зависимой переменной, т.е. y, — область значений функции.

В данном случае x и y могут быть любыми числами, т.е. областью определения и областью значений является множество всех действительных чисел.

Потренируемся находить область определения и область значений функции по её графику.

Область определения можно находить не только по графику функции, но и по формуле, с помощью которой задана функция.

Читайте также: