Бесконечная десятичная дробь 6 класс дорофеев конспект урока
Обновлено: 07.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
УРОК № 138. Глава 5 . Обыкновенные и десятичные дроби (25 часов )
Тема . Бесконечные периодические десятичные дроби.
Цель . Дать определение периодической десятичной дроби. Научиться представлять обыкновенную дробь в виде периодической дроби.
Организационный момент.
Проверка домашнего задания. (Собрать тетради)
Актуализация опорных знаний.
1. Сформулировать признак делимости на 2, 5, 3, 4, 9, 10, 25.
2. Конечную десятичную дробь записали в виде обыкновенной дроби. Может ли знаменатель этой дроби иметь простые делители, отличные от 2 и 5?
3. Какие делители должен иметь знаменатель обыкновенной несократимой дроби, чтобы она разлагалась в конечную десятичную дробь? Приведите примеры.
4. Какими способами можно разложить обыкновенную дробь в десятичную? Приведите примеры.
Объяснение нового материала.
Итак, мы знаем, что если знаменатель несократимой дроби имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то эта дробь не разлагается в конечную десятичную дробь. Поэтому при делении числителя этой дроби на знаменатель уголком не может получится конечная десятичная дробь.
Определение. Бесконечные десятичные дроби, в которых одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называются периодическими десятичными дробями. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби.
1) Разложите в десятичную дробь число: .
1. Сократима ли дробь?
2. Смотрим на знаменатель несократимой дроби, он имеет простой делитель 3, отличный от 2 и 5, то эта дробь заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь.
3. Разделим числитель на знаменатель уголком.
4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 2. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 0,666. где точки означают, что цифра 6 повторяется бесконечно много раз.
Говорят, что число представлено в виде периодической дроби .
2) Разложите в десятичную дробь число .
1. Сократима ли дробь?
2. Смотрим на знаменатель несократимой дроби, он имеет простой делитель 3 и 11, отличный от 2 и 5, то эта дробь заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь.
3. Разделим числитель на знаменатель уголком.
4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 20. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 0,0202. где точки означают, что цифры 0 2 повторяются бесконечно много раз.
Говорят, что число представлено в виде периодической дроби .
3) Разложите в десятичную дробь число .
1. Сократима ли дробь?
2. Смотрим на знаменатель несократимой дроби, он имеет простой делитель 3, отличный от 2 и 5, то эта дробь заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь.
3. Разделим числитель на знаменатель уголком.
4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 35. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 3,177. где точки означают, что цифра 7 повторяется бесконечно много раз.
Говорят, что число представлено в виде периодической дроби .
Вообще, если числитель положительной несократимой дроби разделить на её знаменатель уголком, то в частном получится, либо конечное, либо бесконечное периодическое её десятичное разложение.
Пример 2 . Разложите в десятичную дробь число:
Приписывая к целому числу (после запятой) или к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы превращаем её в равную ей бесконеч-ную периодическую десятичную дробь с периодом 0.
Пример 2 . Разложите в десятичную дробь число:
Следовательно, любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать периодической дробью с периодом 0.
Итак, любое рациональное число разлагается в периодическую дробь.
Решение упражнений.
Уч.с.194 № 973(1ст.). Запишите число в виде периодической дроби, назовите ее период:
Уч.с.194 № 974(а). Разложите обыкновенную дробь в периодическую делением числителя на знаменатель уголком:
Уч.с.194 № 975(а). Разложите обыкновенную дробь в периодическую:
Уч.с.194 № 976(а). Разложите обыкновенную дробь в десятичную и назовите ее период:
Уч.с.194 № 977(а). Разложите обыкновенную дробь в периодическую:
Подведение итогов урока.
Домашнее задание. § 5.2 (выучить теорию). № 973(б)–977(б), 893(в).
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Конспект урока
Бесконечные периодические десятичные дроби
Перечень рассматриваемых вопросов:
– понятие бесконечной периодической десятичной дроби;
– преобразование обыкновенных дробей в бесконечные периодические дроби;
– действия с периодическими дробями.
Бесконечная периодическая десятичная дробь – это дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.
Любое рациональное число p/q можно разложить в периодическую десятичную дробь.
Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
Список литературы
Обязательная литература:
1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Обыкновенную дробь можно разложить в конечную десятичную, если в знаменателе нет простых множителей, кроме 2 и 5.
Вы уже знаете, как это сделать.
1. Умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы привести к знаменателю 10, 100, 1000 и т. д.;
2. Выполнить деление числителя на знаменатель.
Пример 1. Умножили числитель и знаменатель на 2.
Пример 2. Сначала сократили дробь.
Пример 3. Выполнили деление 3 на 125.
Рассмотрим примеры, когда привести к знаменателю 10, 100 и т. д. нельзя. Возможно только деление числителя на знаменатель.
Заметим, что при делении получаются повторяющиеся остатки и, соответственно, повторяющиеся цифры в частном. Из-за этого процесс деления бесконечен. Отсюда происходит бесконечная десятичная дробь.
Рассмотрим другие примеры.
Повторяющиеся цифры 3; 27; 6 называют периодом дроби. Бесконечные десятичные дроби 0,333…; 0,2727…; 0,1666… называют периодическими.
Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется одна и та же цифра или несколько цифр (период дроби).
Отметим, что любое рациональное число p/q разлагается в периодическую десятичную дробь.
Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
Замечание. При делении уголком десятичное разложение с периодом 9 не возникает.
Далее рассмотрим, как выполняются действия с периодическими дробями?
1. Сравните дроби
Запишем дробь 1/3 в виде бесконечной периодической дроби 0,333…
Запишем дробь 0,3 в следующем виде 0,300… Приписывая бесконечно много нулей, мы превращаем конечную дробь в равную ей бесконечную периодическую дробь с периодом 0.
Теперь можем сравнить: 0,333… > 0,300…
2. Разложите обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь, округлите до десятых.
Разбор заданий тренировочного модуля
Представьте в виде периодической дроби. В ответе укажите её период.
Используя предыдущие задания, запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: 0,(3); 0,(5); 0,(6).
Тема: Бесконечные периодические десятичные дроби.
Тип: урок изучения нового материала.
Основные дидактические цели и задачи: научиться преобразовывать обыкновенные дроби в бесконечные периодические десятичные дроби; рассмотреть примеры преобразования обыкновенной дроби в бесконечную периодическую десятичную дробь; отработать навыки преобразования обыкновенных дробей в бесконечные периодические десятичные дроби; практиковаться в решении математических заданий.
I. Организационный момент
Учитель и ученики приветствуют друг друга. Выявление отсутствующих.
II. Проверка выполнения домашнего задания
Учитель и ученики обсуждают задания, которые вызвали затруднения.
III. Актуализация знаний учащихся
1. Фронтальный опрос
– Какие десятичные дроби называют конечными?
– Всегда ли можно записать конечные десятичные дроби в виде обыкновенной дроби?
– Какие способы разложения обыкновенной дроби в десятичную вы знаете?
2. Проведение самостоятельной работы
– Чтобы закрепить знания, которые вы получили на прошлом уроке, требуется провести самостоятельную работу.
Ученики достают листочки, на которых будут писать работу. Самостоятельная работа проводится в течении 3 – 4 минут.
Вариант I
Вариант II
1. Запишите в виде обыкновенной несократимой дроби:
а) 0,125; б) 2,008; в) 1,4.
2. Разложите обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель уголком:
а) ; б) ; в) .
1. Запишите в виде обыкновенной несократимой дроби:
а) 0,0125; б) 1,045; в) 3,5.
2. Разложите обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель уголком:
а) ; б) ; в) .
IV. Постановка темы и целей урока
Создание проблемной ситуации:
– Ребята, переведите дробь в конечную десятичную.
Учащиеся пробуют осуществить преобразование.
Когда пройдёт 1 минута учитель задаёт вопрос:
– Ребята, получилось ли у вас выполнить моё задание? (Ответ: нет, не получилось.)
– Исходя из этого следует то, что не каждую обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную. В результате деления числителя на знаменатель может получиться бесконечная дробь. Оказывается, что цифры в этой дроби могут повторяться. Как же записывать такие дроби? Сегодня мы с этим разберёмся!
– Какие цели мы можем поставить перед собой на урок? Выслушиваю ответы учащихся.
V . Изучение нового материала
– Можно ли обыкновенную несократимую дробь, в знаменателе которой имеются простые множители, отличные от 2 и 5, записать в виде десятичной?
Рассмотрим примеры, в которых дробь со знаменателем
3 и 9, привести к знаменателю 10, 100 и т.д. нельзя. Возможно
только деление числителя на знаменатель.
Перед нами дроби и .
Нам требуется один разделить на три, а пять разделить на девять. Заметим, что при делении получается бесконечная десятичная дробь, в которой некоторые цифры повторяются.
Рассмотрим другие примеры:
1) = 0,272727… . Как мы видим цифры 2 и 7 повторяются.
2) = 2,454545 … . Цифры 4 и 5 повторяются
3) = 0,83333 … .
В этих примерах мы замечаем, что одна, две или более цифр бесконечно повторяются.
Учитель диктует определение:
Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется одна и та же цифра или несколько цифр. Повторяющиеся цифры в таких дробях называют периодом дроби.
Замечу, что конечную десятичную дробь можно считать периодической с периодом 0. Получается, что при делении натуральных числе a и b всегда получается десятичная конечная или бесконечная периодическая дробь. Делаем вывод:
Любую обыкновенную дробь , где a и b натуральные числа, можно преобразовать в десятичную:
конечную, если знаменатель не имеет простых множителей, кроме 2 и 5;
бесконечную, если знаменатель имеет множители, отличные от 2 и 5.
– Можно выполнить обратное действие – представить периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной.
Например, представим периодическую десятичную дробь 0,(3) в виде обыкновенной дроби.
Обозначим дробь как х = 0,333.
Тогда 10х = 10 0,333 = 3,333…
10х – х = 3,333… - 0,333 … = 3
9х = 3,
значит х = = .
– А теперь давайте посмотрим, как все эти знания пригодятся при решении задач.
Задание 1. Сравним и 0,3.
Решение. Запишем дробь в виде бесконечной периодической.
= 0,333…
0,333… 0,300
Задание 2. Выполните действия и округлите результат до десятых:
а) + 0,3; б) – .
Решение:
а) + 0,3 = 0,333… + 0,3 = 0,633… = 0,6(3) 0,6;
б) – = 0,555… – 0,333… = 0,222… = 0,(2) 0,2.
VI. Закрепление изученного материала. Решение упражнений
Решение № 973 и № 974
VII. Рефлексия учебной деятельности
Учитель проводит фронтальный опрос по №968 - №972 и вопросам учителя:
– Что осталось непонятным?
– Достигли ли мы цели, которые ставили в начале урока?
- развивать грамотную устную математическую речь учащихся, коммуникативные навыки.
1. Организационный этап.
Взаимный опрос - Закончите правило (работа в парах):
а) Чтобы умножить десятичную дробь на десятичную дробь надо …
б) Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число надо…
в) Когда необходимо перенести запятую влево в десятичной дроби?
г) Когда необходимо перенести запятую вправо в десятичной дроби?
д) Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь надо…
После каждого ответа – прослушиваем эталон ответа и оцениваем соседа.
3. Используем правила и вычислим устно примеры.
4. Все ли мы знаем о десятичных дробях?
Рассмотрите дроби и распределите их по группам:
- Назовите равные дроби. Как вы нашли равные дроби?
- Можно ли любую обыкновенную дробь перевести в десятичную?
Как определить можно ли обыкновенную дробь перевести в десятичную?
- Все ли дроби вы сумели представить в виде десятичных дробей?
- Появляется удивление: деление не заканчивается!
Оказывается, что при делении десятичных дробей может возникнуть такая же ситуация.
Выполните деление 0,05:0,3 =0,1666 В учебнике на стр. 88 проверьте ваше деление. Что вас наталкивает на мысль,почему деление не заканчивается? (Один и тот же остаток)
- А как бы вы назвали такие десятичные дроби, у которых невозможно найти конечного разряда?
Придумайте в группах название для таких дробей и предложите от группы лучшее: БЕСКОНЕЧНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
7. Домашнее задание: № 434 (1,2 строки), по вариантам а и б.
Читайте также: