Асимптоты дробно линейная функция конспект урока 11 класс

Обновлено: 05.07.2024

15. Замечание. Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты

y=ax+b
Если а=0, то наклонная асимптота становится горизонтальной.
Поэтому горизонтальные асимптоты можно не искать,
сразу искать наклонные.

16. Общая схема исследования функций.

1. Область определения.
2. Исследование на четность-нечетность.
3. Асимптоты.
4. Экстремумы и интервалы монотонности.
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости.
6. Точки пресечения с осями координат.
7. График функции.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
А) вертикальные
x=3 – точка разрыва
x 2 6 x 13 4
lim
x 3
x 3
0
x=3 – вертикальная асимптота

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
б) горизонтальные и наклонные y=ax+b
f ( x)
x 6 x 13
a lim
lim
x
x
x
( x 3) x
2

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
в) наклонные y=ax+b
f ( x)
x 6 x 13
x 6 x 13
a lim
lim
lim
2
x
x
x
x
( x 3) x
x 3x
2
6 13
1 2
x x 1
lim
3
x
1
x
2

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
в) наклонные y=ax+b
x 2 6 x 13
b lim f ( x) ax lim
x
x
x
x 3
x 2 6 x 13 x 2 3 x
3 x 13
lim
lim
x
x 3
x x 3
13
x 3
lim
3
x
1
x
3
y=x-3 – наклонная асимптота,
горизонтальных асимптот нет

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
( x 2 6 x 13) ( x 3) ( x 3) ( x 2 6 x 13)
f x
2
( x 3)

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
( x 2 6 x 13) ( x 3) ( x 3) ( x 2 6 x 13)
f x
2
( x 3)
(2 x 6)( x 3) ( x 2 6 x 13)
2
( x 3)
2 x 2 6 x 6 x 18 x 2 6 x 13 x 2 6 x 5
2
2
( x 3)
( x 3)

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
x2 6 x 5
0
2
( x 3)
f x 0
+
1
т. max
f 1
x 1, x 5
+
3
5
т. min
f 5

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
x2 6 x 5
0
2
( x 3)
f x 0
+
1
x 1, x 5
+
3
т. max
1 6 13 8
f 1
4
1 3
2
5
т. min
25 30 13 8
f 5
4
5 3
2

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости
2
2
2 2
x 6 x 5 ( x 6 x 5) ( x 3) ( x 3) ( x 6 x 5)
f x
2
4
( x 3)
( x 3)
(2 x 6)( x 3) 2 2( x 3)( x 2 6 x 5)
4
( x 3)
(2 x 6)( x 3) 2( x 2 6 x 5)
3
( x 3)
2
2 x 2 6 x 6 x 18 2 x 2 12 x 10
8
3
3
( x 3)
( x 3)

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости
f x 0
8
0
3
( x 3)
-
Точек перегиба нет
3
Решений нет
+

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OX y=0
x 2 6 x 13
0
x 3
D 0
Точек пересечения с OX нет

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
7. График функции. Отмечаем точки пересечения с осями и строим
график
x=3
y=x-3
4
1
-3
-4
4
1
3
3
5

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Асимптоты. Дробно-линейная функция. 11 класс Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя школа № 2 г. Котельниково Волгоградской области Выполнила: учитель математики И.С Морунаш

Актуализация знаний Что называется асимптотой функции? Перечислите свойства функции. Охарактеризуйте каждое из них. Что называется производной функции? Что называется касательной к графику функции? Чему равен угловой коэффициент касательной?

Назовите график какой функции изображен на рисунке? Как вы можете охарактеризовать данную функцию? Назовите ее область определения и область значения?

Давайте, теперь попробуем дать четкое определение вертикальной и горизонтальной асимптот. Построим графики функций Что вы можете сказать об этих графиках? Куда стремятся графики этих функций?

Построим график функции Что вы можете сказать об этом графике? К чему стремится график этой функции?

Пример 1: Найдите асимптоты графика функции Откройте стр 153 учебника, рассмотрим примеры 4 и 5

Пример 2: Найти асимптоты и построить график функции

Закрепление материала № 5.106 (устно) № 5.104 в,г,д № 5.107 № 5.110 № 5.112 б,г

Подведем итог Что называется асимптотой графика функции? С какими видами асимптот мы познакомились сегодня на уроке? Охарактеризуйте каждый вид асимптоты. Что называется дробно-линейной функцией?

Домашнее задание № 5.104 а,б,е № 5.108 № 5.112 а,в

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 608 124 материала в базе

Материал подходит для УМК

5.10. Асимптоты. Дробно-линейная функция

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

02.01.2021 528
PPTX 711.9 кбайт
96 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Морунаш Ирина Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

- развивающая: Формирование приемов логического мышления, развитие интереса к предмету; развить нахождение области определеиия, области значения дробно – линейной функции и формирование навыков построения её графика;

- мотивационная цель: воспитание математической культуры учащихся, внимательности, сохранение и развитие интереса к изучению предмета через применение различных форм овладения знаниями.

Ход урока.

1. Мотивация к учебной деятельности.

Добрый день, ребята! (Слайд 1)

Встаньте прямо, расправьте плечи, приподнимите голову, подарите мне свою улыбку. Улыбнитесь друг другу, улыбка - хороший настрой на работу.

На уроке мы будем рассуждать, мыслить, решать, раскроем еще один секрет математики. Я желаю вам успехов на уроке!

2. АОЗ. (слайд 2)

– Внимание на доску, сейчас мы вычислим устно и к каждому полученному ответу припишем букву из данной таблицы:

– Итак, каков результат? Да, все верно! Значит, тема сегоднешнего урока, как вы уже догадались.

– Дробно – линейная функция. (Слайд 3)

– Пожалуйста, запишите тему урока в рабочих тетрадях.

3. Изучение новой темы.

– Итак дробно-линейная функция – это функция вида. (Слайд 4)

– Графиком дробно-линейной функции является гипербола. (Слайд 5)

– А чтобы ее построить нужно. (алгоритм) (Слайд 6)

– Рассмотрим пример: (Слайд 7-8)

4. Первичное закрепление.

5. Физминутка (на слайде). (Слайд 11-14)

6. Самостоятельная работа (работа по вариантам). (Слайд 15)

7. Проверка (обменяться тетрадями). (Слайд 16)

8. Рефлексия. (Слайд 17)

– Итак, ребята, ответьте на вопрос по слайду.

– А какая это функция?

– Как называется график данной функции?

9. Домашнее задание. (Слайд 18)

10. Итог урока, оценки.

Весь материал - в архиве.

-75%

Призрак асимптоты давно бродил по сайту чтобы, наконец, материализоваться в отдельно взятой статье и привести в особый восторг читателей, озадаченных полным исследованием функции. Нахождение асимптот графика – одна из немногих частей указанного задания, которая освещается в школьном курсе лишь в обзорном порядке, поскольку события вращаются вокруг вычисления пределов функций, а они относятся всё-таки к высшей математике. Посетители, слабо разбирающиеся в математическом анализе, намёк, думаю, понятен ;-) …стоп-стоп, вы куда? Пределы – это легко!

Примеры асимптот встретились сразу же на первом уроке о графиках элементарных функций, и сейчас тема получает детальное рассмотрение.

Итак, что такое асимптота?

Примечание: определение содержательно, если вам необходима формулировка в обозначениях математического анализа, пожалуйста, обратитесь к учебнику.

На плоскости асимптоты классифицируют по их естественному расположению:

2) Наклонные асимптоты традиционно записываются уравнением прямой с угловым коэффициентом . Иногда отдельной группой выделяют частный случай –горизонтальные асимптоты . Например, та же гипербола с асимптотой .

Резво пошло-поехало, ударим по теме короткой автоматной очередью:

Сколько асимптот может быть у графика функции?

Ни одной, одна, две, три,… или бесконечно много. За примерами далеко ходить не будем, вспомним элементарные функции. Парабола, кубическая парабола, синусоида вовсе не имеют асимптот. График экспоненциальной, логарифмической функции обладает единственной асимптотой. У арктангенса, арккотангенса их две, а у тангенса, котангенса – бесконечно много. Не редкость, когда график укомплектован и горизонтальными и вертикальными асимптотами. Гипербола, will always love you.

Что значит найти асимптоты графика функции?

Это значит выяснить их уравнения, ну и начертить прямые линии, если того требует условие задачи. Процесс предполагает нахождение пределов функции.

Вертикальные асимптоты графика функции

Вертикальная асимптота графика, как правило, находится в точке бесконечного разрывафункции. Всё просто: если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением является вертикальной асимптотой графика.

Примечание: обратите внимание, что запись используется для обозначения двух совершенно разных понятий. Точка подразумевается или уравнение прямой – зависит от контекста.

Таким образом, чтобы установить наличие вертикальной асимптоты в точке достаточно показать, что хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. Чаще всего это точка, где знаменатель функции равен нулю. По существу, мы уже находили вертикальные асимптоты в последних примерах урока о непрерывности функции. Но в ряде случаев существует только один односторонний предел, и, если он бесконечен, то снова – любите и жалуйте вертикальную асимптоту. Простейшая иллюстрация: и ось ординат (см. Графики и свойства элементарных функций).

Обратное утверждение в общем случае неверно: так, функция не определена на всей числовой прямой, однако совершенно обделена асимптотами.

Наклонные асимптоты графика функции

Общее практическое правило:

Если существуют два конечных предела , то прямая является наклонной асимптотой графика функции при . Если хотя бы одиниз перечисленных пределов бесконечен, то наклонная асимптота отсутствует.

Покажем, что у параболы нет наклонных асимптот:

Предел бесконечен, значит, наклонная асимптота отсутствует. Заметьте, что в нахождении предела необходимость отпала, поскольку ответ уже получен.

Очевидно, что у любой квадратичной, кубической функции, многочлена 4-й и высших степеней также нет наклонных асимптот.

А теперь убедимся, что при у графика тоже нет наклонной асимптоты. Для раскрытия неопределённости используем правило Лопиталя:
, что и требовалось проверить.

При функция неограниченно растёт, однако не существует такой прямой, к которой бы её график приближался бесконечно близко.

Переходим к практической части урока:

Как найти асимптоты графика функции?

Именно так формулируется типовое задание, и оно предполагает нахождение ВСЕХ асимптот графика (вертикальных, наклонных/горизонтальных). Хотя, если быть более точным в постановке вопроса – речь идёт об исследовании на наличие асимптот (ведь таковых может и вовсе не оказаться). Начнём с чего-нибудь простого:

Найти асимптоты графика функции

Решение удобно разбить на два пункта:

1) Сначала проверяем, есть ли вертикальные асимптоты. Знаменатель обращается в ноль при , и сразу понятно, что в данной точке функция терпит бесконечный разрыв, а прямая, заданная уравнением , является вертикальной асимптотой графика функции. Но, прежде чем оформить такой вывод, необходимо найти односторонние пределы:

А вот в знаменателе получается бесконечно малое отрицательное число:
, оно и определяет судьбу предела.

Левосторонний предел бесконечный, и, в принципе уже можно вынести вердикт о наличии вертикальной асимптоты. Но односторонние пределы нужны не только для этого – они ПОМОГАЮТ ПОНЯТЬ, КАК расположен график функции и построить его КОРРЕКТНО. Поэтому обязательно вычислим и правосторонний предел:

Вывод: односторонние пределы бесконечны, значит, прямая является вертикальной асимптотой графика функции при .

2) Проверим наличие наклонных асимптот:

Второй предел тоже конечен.

Таким образом, наша асимптота:

Вывод: прямая, заданная уравнением является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Для нахождения горизонтальной асимптоты
можно пользоваться упрощенной формулой:

Если существует конечный предел , то прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Нетрудно заметить, что числитель и знаменатель функции одного порядка роста, а значит, искомый предел будет конечным:

По условию не нужно выполнять чертёж, но если в самом разгаре исследование функции, то на черновике сразу же делаем набросок:

Найти асимптоты графика функции

Это пример для самостоятельного решения. Процесс, напоминаю, удобно разбить на два пункта – вертикальные асимптоты и наклонные асимптоты. В образце решения горизонтальная асимптота найдена по упрощенной схеме.

На практике чаще всего встречаются дробно-рациональные функции, и после тренировки на гиперболах усложним задание:

Найти асимптоты графика функции

Решение: Раз, два и готово:

1) Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва, поэтому нужно проверить, обращается ли знаменатель в ноль. Решим квадратное уравнение:

Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два действительных корня, и работы значительно прибавляется =)

Перепишем функцию в виде

Найдём односторонние пределы в точке :

Таким образом, прямые являются вертикальными асимптотами графика рассматриваемой функции.

2) Если посмотреть на функцию , то совершенно очевидно, что предел будет конечным и у нас горизонтальная асимптота. Покажем её наличие коротким способом:

Таким образом, прямая (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика данной функции.

Найденные пределы и асимптоты дают немало информации о графике функции. Постарайтесь мысленно представить чертёж с учётом следующих фактов:

Схематично изобразите вашу версию графика на черновике.

Конечно, найденные пределы однозначно не определяют вид графика, и возможно, вы допустите ошибку, но само упражнение окажет неоценимую помощь в ходе полного исследования функции. Правильная картинка – в конце урока.

Найти асимптоты графика функции

Это задания для самостоятельного решения. Оба графика снова обладают горизонтальными асимптотами, которые немедленно детектируются по следующим признакам: в Примере 4 порядок роста знаменателя больше, чем порядок роста числителя, а в Примере 5 числитель и знаменатель одного порядка роста. В образце решения первая функция исследована на наличие наклонных асимптот полным путём, а вторая – через предел .

Найти асимптоты графика функции

Решение: классика жанра:

1) Поскольку знаменатель положителен, то функция непрерывна на всей числовой прямой, и вертикальные асимптоты отсутствуют. …Хорошо ли это? Не то слово – отлично! Пункт №1 закрыт.

2) Проверим наличие наклонных асимптот:

Второй предел тоже конечен, следовательно, у графика рассматриваемой функции существует наклонная асимптота:

Таким образом, при график функции бесконечно близко приближается к прямой :

Найти асимптоты графика функции

Решение: комментировать особо нечего, поэтому оформлю примерный образец чистового решения:

1) Вертикальные асимптоты. Исследуем точку .

Прямая является вертикальной асимптотой для графика при .

2) Наклонные асимптоты:

Прямая является наклонной асимптотой для графика при .

Найдённые односторонние пределы и асимптоты с высокой достоверностью позволяют предположить, как выглядит график данной функции. Корректный чертёж в конце урока.

Найти асимптоты графика функции

Это пример для самостоятельного решения, для удобства вычисления некоторых пределов можно почленно разделить числитель на знаменатель. И снова, анализируя полученные результаты, постарайтесь начертить график данной функции.

Но в жизни происходят и другие чудеса:

Исследовать график функции на наличие асимптот

Решение: функция непрерывна на всей числовой прямой, значит, вертикальные асимптоты отсутствует. Но вот наклонные вполне могут быть. Проверяем:

Вспоминаю, как ещё в ВУЗе столкнулся с похожей функцией и просто не мог поверить, что у неё есть наклонная асимптота. До тех пор, пока не вычислил второй предел:

Строго говоря, здесь две неопределённости: и , но так или иначе, нужно использовать метод решения, который разобран в Примерах 5-6 статьи о пределах повышенной сложности. Умножаем и делим на сопряженное выражение, чтобы воспользоваться формулой :

Пожалуй, самая популярная наклонная асимптота.

Исследовать график функции на наличие асимптот

Решение: подкоренное выражение положительно, значит, область определения – любое действительно число, и вертикальных палок быть не может.

Проверим, существуют ли наклонные асимптоты.

Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика при .

Ответ:
, если ;
, если .

Не удержусь от графического изображения:

Это одна из ветвей гиперболы .

Не редкость, когда потенциальное наличие асимптот изначально ограничено областью определения функции:

Исследовать график функции на наличие асимптот

Решение: очевидно, что , поэтому рассматриваем только правую полуплоскость, где есть график функции.

1) Функция непрерывна на интервале , а значит, если вертикальная асимптота и существует, то это может быть только ось ординат. Исследуем поведение функции вблизи точки справа:

Обратите внимание, здесь НЕТ неопределённости (на таких случаях акцентировалось внимание в начале статьи Методы решения пределов).

Таким образом, прямая (ось ординат) является вертикальной асимптотой для графика функции при .

2) Исследование на наклонную асимптоту можно провести по полной схеме, но в статьеПравила Лопиталя мы выяснили, что линейная функция более высокого порядка роста, чем логарифмическая, следовательно: (см. Пример 1 того же урока).

Вывод: ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Ответ:
, если ;
, если .

Чертёж для наглядности:

Интересно, что у вроде бы похожей функции асимптот нет вообще (желающие могут это проверить).

Два заключительных примера для самостоятельного изучения:

Исследовать график функции на наличие асимптот

Читайте также: