Закон целых чисел кратко

Обновлено: 17.05.2024

Сумма двух целых чисел не зависит от порядка слагаемых.

Чтобы к сумме двух целых чисел прибавить третье целое число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего – результат будет тот же.

Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы рассмотрим законы сложения целых чисел, а также свойства нуля при сложении.

Рассмотрим переместительный закон сложения.

Сумма двух целых чисел не зависит от порядка слагаемых.

а + b = b + a, где a и b – целые числа

Рассмотрим теперь сочетательный закон сложения.

а + (b + с) = (а + b) + с, где a, b и с – любые целые числа.

Теперь сформулируем свойства нуля.

Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю.

Значит, для любого целого числа имеем:

С помощью переместительного и сочетательного законов сложения можно показать, что сумму нескольких целых слагаемых:

можно записывать без скобок;
любые слагаемые в ней можно менять местами;
некоторые слагаемые в ней можно заключать в скобки.

a + b + c + k = (c + k) + (a + b)

Используем переместительный и сочетательный законы сложения, получаем:

a + b + c + k = (a + b + c) + k = k + (a + b + c) = k + ((a + b) + c) = k + (c + (a + b)) = (k + c) + (a + b) = (c + k) + (a + b)

Применим эти правила для упрощения вычислений.

5 + (– 7) + (– 3) + 7 + (– 4) + 3 = (5 + (– 4)) + ((– 7) + 7) + (3 + (– 3)) = 1 + 0 + 0 = 1

Найдите значение выражения

c + 3 + (– 7) при c = 23

Подставим в наше выражение вместо c число 23, получим:

23 + 3 + (– 7) = 26 + (– 7) = 26 – 7 = 21

Таким образом, на этом уроке мы сформулировали законы сложения и научились решать примеры, используя эти правила.

Интересная задача

Посмотрим, когда можно применить правила сложения.

– 399 + (– 398) + (– 397) + … + 397 + 398 + 399 + 400 + 401 = ?

А оказывается, нужно было просто использовать законы сложения, и всё решилось бы гораздо быстрее.

Так как сумма противоположных чисел равна 0, то

– 399 + (– 398) + (– 397) + …+ 397 + 398+ 399 + 400 + 401 =

= 401 + 400 + (– 399 + 399) + (– 398 + 398) + (– 397 + 397) + … + (– 1 + 1) + 0 = 401 + 400 + 0 = 801

Ответ: сумма всех целых чисел от (– 399) до 401 равна 801.

Тренировочные задания

Разместите нужные подписи под изображениями.

Какие законы сложения записаны в формулах?

а + (b + с) = (а + b) + с

Свойства нуля при сложении

Сочетательный: а + (b + с) = (а + b) + с

Переместительный: а + b = b + a

Вставьте в текст нужные слова.

Чтобы к сумме двух целых чисел прибавить третье целое число, можно к … числу прибавить … второго и … – результат будет тот же.

Варианты слов для вставки:

первому

Законы сложения целых чисел нужны для того, чтобы упростить сложения чисел. Ведь, прибавить все подряд числа не всегда легко, иногда лучше их сгруппировать. Для этого и нужны законы сложения целых чисел.

Переместительный закон сложения.

Правило и формула переместительного закона сложения.

Сложение двух целых чисел не зависит от их порядка.
a+b=b+a

Сочетательный закон сложения.

Правило и формула сочетательного закона сложения.

К сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего, и результат не измениться.
(a+b)+c=a+(b+c)

Рассмотрим пример:
(3+5)+9=8+9=17
3+(5+9)=3+14=17
От сочетания слагаемых сумма не поменялась.

Делаем вывод на основе переместительного и сочетательного законов:

Можно слагаемые менять местами.
Записывать пример со слагаемыми без скобок. Скобки в сложении нужны для удобства восприятия примера.
Записывать пример со слагаемыми со скобками, для более простого вычисления суммы.

a+b+c+d=(c+d)+(a+b)

Вопросы по теме:
Какие законы сложения вы знаете?
Ответ: переместительный и сочетательный закон.

Можно ли менять местами слагаемые?
Ответ: да по переместительному закону.

Обязательно ли при сложении числа заключать в скобки?
Ответ: нет.

Пример №1:
Вычислите, применяя законы сложения: а) 12+479+88 б) 3+154+16

Решение:
а) 12+479+88=(12+88)+479=100+479=579
б) 3+154+16=3+(154+16)=3+170=173

Пример №2:
Примените переместительный закон сложения: а) 4+5 б) 1298+34

Решение:
а) 4+5=5+4=9
б) 1298+34=34+1298=1332

Пример №3:
Примените сочетательный закон сложения: а) 2+(-4+5) б) (-1+3)+(-8)
Решение:
а) 2+(-4+5)=(2+(-4))+5=(-2)+5=3
б) (-1+3)+(-8)=-1+(3+(-8))=-1+(-5)=-6

Пример №4:
Вычислите, применяя законы сложения: а) 23+((-23)+50) б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2
Решение:
а) 23+((-23)+50)=(23+(-23))+50=0+50=50
б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2=(-2+2)+(-4+4)+(-8+8)=0

Целые числа — расширение множества натуральных чисел N, которое получается путем добавления к N 0 и отрицательных чисел типа ? n. Множество целых чисел обозначают Z.

Целые числа – это натуральные числа, а также противоположные им числа и нуль.

Целые числа — расширение множества натуральных чисел N, которое получается путем добавления к N 0 и отрицательных чисел типа − n. Множество целых чисел обозначают Z.

Сумма, разность и произведение целых чисел дают снова целые числа, т.е. целые числа составляют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Целые числа на числовой оси:

Сколько целых чисел? Какое количество целых чисел? Самого большого и самого маленького целого числа нет. Этот ряд бесконечен. Наибольшее и наименьшее целое число не существует.

Ни обыкновенные, ни десятичные дроби не являются целыми числами. Но существуют дроби с целыми числами.

Примеры целых чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 и так далее.

Говоря простым языком, целые числа - это (∞. -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. + ∞) – последовательность целых чисел. То есть те, у которых дробная часть (<>) равна нулю. Они не имеют долей.

Натуральные числа - это целые, положительные числа. Целые числа, примеры: (1,2,3,4. + ∞).

Операции над целыми числами.

1. Сумма целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с одинаковыми знаками, необходимо сложить модули этих чисел и перед суммой поставить итоговый знак.

2. Вычитание целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с разными знаками, необходимо из модуля числа, которое больше вычесть модуль числа, которое меньше и перед ответом поставить знак большего числа по модулю.

3. Умножение целых чисел.

Для умножения двух целых чисел, необходимо перемножить модули этих чисел и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (–) – если разного.

Когда умножаются несколько чисел, знак произведения будет положительным, если число неположительных сомножителей чётное, и отрицателен, если нечётное.

(–2) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–3) ∙ (+4) = –360 (3 неположительных сомножителя).

4. Деление целых чисел.

Свойства целых чисел.

Z не замкнуто относительно деления 2-х целых чисел (например, 1/2). Ниже приведенная таблица показывает некоторые основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c.

Среди множества разных чисел, чаще всего мы используем целые числа. Ими можно считать, как в положительную, так и в отрицательную сторону. В этом материале узнаем подвиды таких чисел, их свойства и как их использовать.

О чем эта статья:

Определение целых чисел

Что такое целое число — это натуральное число, а также противоположное ему число и нуль. Примеры целых чисел: -7, 222, 0, 569321, -12345 и др.

Что важно знать о целых числах:

Сумма, разность и произведение целых чисел в результате дают целые числа.
Не существует самого большого и самого маленького целого числа. Этот ряд бесконечен. Наибольшего и наименьшего целых чисел — не бывает.
Обыкновенные и десятичные дроби нельзя назвать целыми числами. Но иногда в задачах можно встретить целые числа, у которых дробная часть равна нулю и при этом нет долей.

Целые числа на числовой оси выглядят так:

На координатной прямой начало отсчета всегда начинается с точки 0. Слева находятся все отрицательные целые числа, справа — положительные. Каждой точке соответствует единственное целое число.

В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, если отложить от начала координат данное количество единичных отрезков.

Натуральные числа — это целые, положительные числа, которые мы используем для подсчета. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 + ∞.

Целые числа — это расширенное множество натуральных чисел, которое можно получить, если добавить к ним нуль и противоположные натуральным отрицательные числа. Множество целых чисел обозначают Z.

Выглядит эти ребята вот так:

Последовательность целых чисел можно записать так:

∞ + . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 … + ∞

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Свойства целых чисел

Таблица содержит основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c:

Читайте также: