Волновая функция кратко и понятно

Обновлено: 02.07.2024

В соответствии с корпускулярно -- волновым дуализмом в квантовой физике состояние частицы описывается при помощи волновой функции ($\psi (\overrightarrow,t)$- пси-функция).

Волновая функция -- это функция, которая используется в квантовой механике. Она описывает состояние системы, которая имеет размеры в пространстве. Она является вектором состояния.

Данная функция является комплексной и формально имеет волновые свойства. Движение любой частицы микромира определено вероятностными законами. Распределение вероятности выявляется при проведении большого числа наблюдений (измерений) или большого количества частиц. Полученное распределение аналогично распределению интенсивности волны. То есть в местах с максимальной интенсивностью отмечено максимальное количество частиц.

Набор аргументов волновой функции определяет ее представление. Так, возможно координатное представление: $\psi(\overrightarrow,t)$, импульсное представление: $\psi'(\overrightarrow

,t)$ и т.д.

В квантовой физике целью ставится не точность предсказания события, а оценка вероятности того или иного события. Зная величину вероятности, находят средние значения физических величин. Волновая функция позволяет находить подобные вероятности.

Так вероятность присутствия микрочастицы в объеме dV в момент времени t может быть определена как:

где $\psi^*$- комплексно сопряженная функция к функции $\psi.$ Плотность вероятности (вероятность в единице объёма) равна:

Вероятность является величиной, которую можно наблюдать в эксперименте. В это же время волновая функция не доступна для наблюдения, так как она является комплексной (в классической физике параметры, которые характеризуют состояние частицы, доступны для наблюдения).

Условие нормировки $\psi$- функции

Волновая функция определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Данный факт не оказывает влияния на состояние частицы, которую $\psi$- функция описывает. Однако волновую функцию выбирают таким образом, что она удовлетворяет условию нормировки:

Готовые работы на аналогичную тему

где интеграл берут по всему пространству или по области, в которой волновая функция не равна нулю. Условие нормировки (2) значит то, что во всей области, где $\psi\ne 0$ частица достоверно присутствует. Волновую функцию, которая подчинятся условию нормировки, называют нормированной. Если $<\left|\psi\right|>^2=0$, то данное условие означает, что частицы в исследуемой области наверняка нет.

Нормировка вида (2) возможна при дискретном спектре собственных значений.

Условие нормировки может оказаться не осуществимым. Так, если $\psi$ -- функция является плоской волной де-Бройля и вероятность нахождения частицы является одинаковой для всех точек пространства. Данные случаи рассматривают как идеальную модель, в которой частица присутствует в большой, но имеющей ограничения области пространства.

Принцип суперпозиции волновой функции

Данный принцип является одним их основных постулатов квантовой теории. Его смысл в следующем: если для некоторой системы возможны состояния, описываемые волновыми функциями $\psi_1\ \ $ $\psi_2$, то для этой системы существует состояние:

где $C_и\ C_2$ -- постоянные коэффициенты. Принцип суперпозиции подтверждается эмпирически.

Можно говорить о сложении любого количества квантовых состояний:

где $<\left|C_n\right|>^2$ -- вероятность того, что система обнаруживается в состоянии, которое описывается волновой функцией $\psi_n.$ Для волновых функций, подчиненных условию нормировки (2) выполняется условие:

Стационарные состояния

В квантовой теории особую роль имеют стационарные состояния (состояния в которых все наблюдаемые физические параметры не изменяются во времени). (Сама волновая функция принципиально не наблюдаема). В стационарном состоянии $\psi$- функция имеет вид:

где $\omega =\frac<\hbar >$, $\psi\left(\overrightarrow\right)$ не зависит от времени, $E$- энергия частицы. При виде (3) волновой функции плотность вероятности ($P$) является постоянной времени:

Из физических свойств стационарных состояний следуют математические требования к волновой функции $\psi\left(\overrightarrow\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Математические требования к волновой функции для стационарных состояний

$\psi\left(\overrightarrow\right)$- функция должна быть во всех точках:

непрерывна,
однозначна,
конечна.

Если потенциальная энергия имеет поверхность разрыва, то на подобных поверхностях функция $\psi\left(\overrightarrow\right)$ и ее первая производная должны оставаться непрерывными. В области пространства, где потенциальная энергия становится бесконечной, $\psi\left(\overrightarrow\right)$ должна быть равна нулю. Непрерывность функции $\psi\left(\overrightarrow\right)$ требует, чтобы на любой границе этой области $\psi\left(\overrightarrow\right)=0$. Условие непрерывности накладывается на частные производные от волновой функции ($\frac<\partial \psi><\partial x>,\ \frac<\partial \psi><\partial y>,\frac<\partial \psi><\partial z>$).

Решение:

Запишем условие нормировки для нашего случая в виде:

где $dV=4\pi r^2dr$ (см.рис.1 Из условий понятно, что задача обладает сферической симметрией). Из условий задачи имеем:

Подставим $dV$ и волновые функции (1.2) в условие нормировки:

Проведем интегрирование в левой части:

Из формулы (1.4) выразим искомый коэффициент:

Задание: Каково наиболее вероятное расстояние ($r_B$) электрона от ядра, если волновая функция, которая описывает основное состояние электрона в атоме водорода может быть определена как: $\psi=Ae^/>$, где $r$- расстояние от электрона до ядра, $a$ -- первый Боровский радиус?

Решение:

Используем формулу, которая определяет вероятность присутствия микрочастицы в объеме $dV$ в момент времени $t$:

где $dV=4\pi r^2dr.\ $Следователно, имеем:

В таком случае, $p=\frac$ запишем как:

Для определения наиболее вероятного расстояния производную $\frac$ приравняетм к нулю:

Если Вы вдруг поняли, что подзабыли основы и постулаты квантовой механики или вообще не знаете, что это за механика такая, то самое время освежить в памяти эту информацию. Ведь никто не знает, когда квантовая механика может пригодиться в жизни.

Зря вы усмехаетесь и ехидствуете, думая, что уж с этим предметом вам в жизни вообще никогда не придется сталкиваться. Ведь квантовая механика может быть полезной практически каждому человеку, даже бесконечно далекому от нее. Например, у Вас бессонница. Для квантовой механики это не проблема! Почитайте перед сном учебник – и Вы спите крепчайшим сном странице уже эдак на третьей. Или можете назвать так свою крутую рок группу. Почему бы и нет?

Шутки в сторону, начинаем серьезный квантовый разговор.

С чего начать? Конечно, с того, что такое квант.

Квант

Квант (от латинского quantum – ”сколько”) – это неделимая порция какой-то физической величины. Например, говорят - квант света, квант энергии или квант поля.

Квантовая механика для "чайников"

Как механика может быть квантовой?

Как Вы уже заметили, в нашем разговоре мы много раз упоминали о частицах. Возможно, Вы и привыкли к тому, что свет – это волна, которая просто распространяется со скоростью с. Но если посмотреть на все с точки зрения квантового мира, то есть мира частиц, все изменяется до неузнаваемости.

Квантовая механика – это раздел теоретической физики, составляющая квантовой теории, описывающая физические явления на самом элементарном уровне – уровне частиц.

Действие таких явлений по величине сравнимо с постоянной Планка, а классическая механика Ньютона и электродинамика оказались совершенно непригодными для их описания. Например, согласно классической теории электрон, вращаясь с большой скоростью вокруг ядра, должен излучать энергию и в конце концов упасть на ядро. Этого, как известно, не происходит. Именно поэтому и придумали квантовую механику – открытые явления нужно было как-то объяснить, и она оказалась именно той теорией, в рамках которой объяснение было наиболее приемлемым, а все экспериментальные данные "сходились".

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Немного истории

Зарождение квантовой теории произошло в 1900 году, когда Макс Планк выступил на заседании немецкого физического общества. Что тогда сообщил Планк? А то, что излучение атомов дискретно, а наименьшая порция энергии этого излучения равна

Наименьшая порция энергии излучения атома

Где h - постоянная Планка, ню - частота.

Затем Альберт Эйнштейн, введя понятие “квант света” использовал гипотезу Планка для объяснения фотоэффекта. Нильс Бор постулировал существование у атома стационарных энергетических уровней, а Луи де Бройль развил идею о корпускулярно-волновом дуализме, то есть о том, что частица (корпускула) обладает также и волновыми свойствами. К делу присоединились Шредингер и Гейзенберг, и вот, в 1925 году публикуется первая формулировка квантовой механики. Собственно, квантовая механика – далеко не законченная теория, она активно развивается и в настоящее время. Также следует признать, что квантовая механика с ее допущениями не имеет возможности объяснить все стоящие перед ней вопросы. Вполне возможно, что на смену ей придет более совершенная теория.

При переходе от мира квантового к миру привычных нам вещей законы квантовой механики естественным образом трансформируются в законы механики классической. Можно сказать, что классическая механика – это частный случай квантовой механики, когда действие имеет место быть в нашем с Вами привычном и родном макромире. Здесь тела спокойно движутся в неинерциальных системах отсчета со скоростью, гораздо меньшей скорости света, и вообще - все вокруг спокойно и понятно. Хочешь узнать положение тела в системе координат – нет проблем, хочешь измерить импульс – всегда пожалуйста.

Совершенно иной подход к вопросу имеет квантовая механика. В ней результаты измерений физических величин носят вероятностный характер. Это значит, что при изменении какой-то величины возможно несколько результатов, каждому из которых соответствует определенная вероятность. Приведем пример: монетка крутится на столе. Пока она крутится, она не находится в каком-то определенном состоянии (орел-решка), а имеет лишь вероятность в одном из этих состояний оказаться.

Здесь мы плавно подходим к уравнению Шредингера и принципу неопределенности Гейзенберга.

Уравнение Шредингера

Согласно легенде Эрвин Шредингер, в 1926 году выступая на одном научном семинаре с докладом на тему корпускулярно-волнового дуализма, был подвергнут критике со стороны некоего старшего ученого. Отказавшись слушать старших, Шредингер после этого случая активно занялся разработкой волнового уравнения для описания частиц в рамках квантовой механики. И справился блестяще! Уравнение Шредингера (основное уравнение квантовой механики) имеет вид:

Данный вид уравнения – одномерное стационарное уравнение Шредингера – самый простой.

Здесь x - расстояние или координата частицы, m - масса частицы, E и U - соответственно ее полная и потенциальная энергии. Решение этого уравнения – волновая функция (пси)

Волновая функция – еще одно фундаментальное понятие в квантовой механике. Так, у любой квантовой системы, находящейся в каком-то состоянии, есть волновая функция, описывающая данное состояние.

Например, при решении одномерного стационарного уравнения Шредингера волновая функция описывает положение частицы в пространстве. Точнее говоря, вероятность нахождения частицы в определенной точке пространства. Иными словами, Шредингер показал, что вероятность может быть описана волновым уравнением! Согласитесь, до этого нужно было додуматься!

Принцип неопределенности Гейзенберга

Но почему? Почему мы должны иметь дело с этими непонятными вероятностями и волновыми функциями, когда, казалось бы, нет ничего проще, чем просто взять и измерить расстояние до частицы или ее скорость.

Все очень просто! Ведь в макромире это действительно так – мы с определенной точностью измеряем расстояние рулеткой, а погрешность измерения определяется характеристикой прибора. С другой стороны, мы можем практически безошибочно на глаз определить расстояние до предмета, например, до стола. Во всяком случае, мы точно дифференцируем его положение в комнате относительно нас и других предметов. В мире же частиц ситуация принципиально иная – у нас просто физически нет инструментов измерения, чтобы с точностью измерить искомые величины. Ведь инструмент измерения вступает в непосредственный контакт с измеряемым объектом, а в нашем случае и объект, и инструмент – это частицы. Именно это несовершенство, принципиальная невозможность учесть все факторы, действующие на частицу, а также сам факт изменения состояния системы под действием измерения и лежат в основе принципа неопределенности Гейзенберга.

Приведем самую простую его формулировку. Представим, что есть некоторая частица, и мы хотим узнать ее скорость и координату.

В данном контексте принцип неопределенности Гейзенберга гласит: невозможно одновременно точно измерить положение и скорость частицы. Математически это записывается так:

Принцип неопределенности Гейзенберга

Здесь дельта x - погрешность определения координаты, дельта v - погрешность определения скорости. Подчеркнем – данный принцип говорит о том, что чем точнее мы определим координату, тем менее точно будем знать скорость. А если определим скорость, не будем иметь ни малейшего понятия о том, где находится частица.

На тему принципа неопределенности существует множество шуток и анекдотов. Вот один из них:

Полицейский останавливает квантового физика.
- Сэр, Вы знаете, с какой скоростью двигались?
- Нет, зато я точно знаю, где я нахожусь

Надеемся, что эта статья помогла Вам немного размять мозги, вспомнить хорошо забытое старое, а может быть и узнать что-то новое. Здесь мы постарались рассказать о квантовой механике просто, понятно и по возможности интересно. Конечно, данная тема не может быть раскрыта в рамках одной статьи, поэтому о парадоксах, нерешенных задачах, черных дырах и котах Шредингера мы поговорим в самое ближайшее время. А пока, чтобы закрепить знания, предлагаем посмотреть тематическое видео. Возможно вас также заинтересуют правила оформления чертежей по ЕСКД.

И, конечно, напоминаем Вам! Если вдруг по какой-то причине решение уравнения Шредингера для частицы в потенциальной яме не дает Вам уснуть, обращайтесь к нашим авторам – профессионалам, которые были взращены с квантовой механикой на устах!

Сравнение концепций классического и квантового гармонического осциллятора для одиночной бесспиновой частицы. Эти два процесса сильно различаются. Классический процесс (A — B) представлен как движение частицы по траектории. В квантовом процессе (C — H) такой траектории нет. Движение квантового осциллятора похоже на волновое; здесь вертикальная ось показывает действительную часть (синий цвет) и мнимую часть (красный цвет) волновой функции. Панели (C — F) показывают четыре различных решения уравнения Шредингера для стоячей волны. На панелях (G — H) показаны две разные волновые функции, которые являются решениями уравнения Шредингера, но не являются стоячими волнами.

| ψ ( t ) ⟩ = ∫ Ψ ( x , t ) | x ⟩ d x

Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Волновая функция — это функция степеней свободы, соответствующая некоторому максимальному набору коммутирующих наблюдаемых. Как только такое представление выбрано, волновая функция может быть получена из квантового состояния.

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac<\hbar> $

$\psi \,$

Волнова́я фу́нкция, или пси-функция — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

$\left|\psi(t)\right\rangle=\int \Psi(x,t)\left|x\right\rangle dx$

где — координатный базисный вектор, а — волновая функция в координатном представлении.

Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Содержание

Физический смысл волновой функции

В координатном представлении волновая функция зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату её модуля , который интерпретируется как плотность вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами , x_2=x_, \ldots , x_n=x_" width="" height="" />
в момент времени :

$~\omega = \frac<dP> = \left|\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)\right|^2 = \Psi^\ast\Psi$
.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией , можно рассчитать вероятность того, что частица будет обнаружена в любой области конфигурационного пространства конечного объема : >= <\int\limits_<\omega>dV>=<\int\limits_<\Psi^\ast\Psi>dV>" width="" height="" />
.

Следует также отметить, что возможно измерение и разницы фаз волновой функции, например, в опыте Ааронова — Бома.

Волновая функция в различных представлениях

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полную систему коммутирующих наблюдаемых. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов наблюдаемых, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор величин определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

Принцип суперпозиции квантовых состояний

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями и , то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

при любых комплексных и .

$\! \Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 + \ldots + Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией _N<\Psi>_N=\sum_^ _n<\Psi>_n$
.

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента _n" width="" height="" />
определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией _n" width="" height="" />
.

$~\sum_<n=1> Поэтому для нормированных волновых функций ^\left|c_\right|^2=1$
.

Условия регулярности волновой функции

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.
Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции <\partial x>" width="" height="" />
, <\partial y>" width="" height="" />
, <\partial z>" width="" height="" />
. Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.

Нормированность волновой функции

$\! \Psi$

Волновая функция по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

$<\int\limits_<V> <\Psi^\ast\Psi>dV>=1$

Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо во всём пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.

Матричная и векторная формулировки

Волновая функция одного и того же состояния в различных представлениях — будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов. В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система непрерывных коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система дискретных коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки очевидно математически эквивалентны.

Философский смысл волновой функции

Волновая функция представляет собой метод описания чистого состояния квантовомеханической системы. Смешанные квантовые состояния (в квантовой статистике) следует описывать оператором типа матрицы плотности. То есть, некая обобщённая функция от двух аргументов должна описать корреляцию нахождения частицы в двух точках.

Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика, — это проблема самой сути научного метода познания мира. Если представить себе бильярдный стол, закрытый непроницаемой крышкой, и единственным способом исследования вопроса, есть ли на нём бильярдные шары, предположить закатывание в стол других шаров, то мы и получаем ту самую проблему, для решения которой привлечён метод квантовой механики. Пока вброшенный шар проходит сквозь стол без изменения траектории, предсказуемо, мы можем сделать вывод о том, что на траектории шара других шаров нет. Если в результате взаимодействия шаров на столе мы получаем выкатившиеся несколько шаров с различными конечными импульсами и точками, в которых шары покинули стол, то мы можем лишь предполагать, каким образом происходило взаимодействие в системе. Если же лузы в бильярдном столе ограничивают возможность шаров покидать стол (энергетический барьер), то система запутывается ещё больше. Подобный пример с бильярдом очень наглядно демонстрирует те трудности, с которыми сталкиваются исследователи, разрабатывая инструменты квантовой механики.

Читайте также: