Виды задач на движение в начальной школе с примерами

Обновлено: 07.07.2024

1. Воловичева Л.А. Развивающие возможности задач на движение //Нач.шк. 2000. №5.

2. Подходова Н.С. Моделирование как универсальное учебное действие при изучении математики //Нач.шк. 2011.№9.

4. Шикова Р.Н. Методика обучения решению задач, связанных с движением тел //Нач.шк. 2000. №5.

5. Шикова Р.Н. Решение задач на движение в одном направлении //Нач.шк. 2000. №12.

Специфика этих задач обусловлена введением такой величины, как скорость движения, а также использованием при их решении схем, которые отражают не отношения между величинами, а процесс движения.

В этом случае целесообразно предложить им проблемное задание: «Боря до школы идет 10мин, а Лена – 15мин. Подумайте, на какой вопрос вы можете ответить, а на какой нет:

- Кто тратит на дорогу больше (меньше) времени?

- Кто идет быстрее, а кто медленнее?

В процессе обсуждения выясняется, что ответить можно только на первый вопрос. Для ответа на второй нужно знать расстояние, которое проходит каждый.

Важно, чтобы дети осознали обобщенную характеристику скорости как расстояния, пройденного за единицу времени, и в процессе решения использовали разные единицы скорости.

Так как задачи, связанные с движением, это задачи с пропорциональными величинами, внимание ребенка необходимо акцентировать на зависимости между величинами: скорость, время, расстояние. Для этого полезно рассмотреть простые задачи с указанными величинами, записав условие в виде таблицы.

Анализируя таблицу, важно обратить внимание детей на два момента:

а) как связаны между собой величины;

б) как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой, если третья величина не изменяется.

Виды задач, связанных с движением

1. Простые задачи на нахождение:

а) скорости по известным расстоянии и времени;

б) времени по известным расстоянии и скорости;

в) расстоянии по известным скорости и времени

2. Составные задачи на движение могут быть типовыми и нетиповыми:

б) типовые составные задачи на движение двух тел при одновременном выходе:

Обучение решению задач, связанных с движением.

Подготовительный этап к введению задач, связанных с движением, начинается с 1 класса и включает в себя следующую работу:

- знакомство с длиной и единицами измерения длины;

- знакомство с изображением движения на чертеже

- уточнение представления учеников о движении (возможные виды движения, положение движущихся тел, изменение расстояния между телами)

- наблюдение за изменением одной из величин при изменении другой (третья величина постоянна).

Представление о скорости дается как о расстоянии, пройденном за единицу времени. Важно показать уч-кам, что скорость может измеряться в различных единицах (с использованием разных сочетаний единиц длины и времени). Например: 400м/мин – бегун, 5 м/с – лыжник, 6 км/с – ракета, 9 см/мин – улитка.

В процессе решения задач учеников готовят к выводам:

1. Чтобы найти скорость движения, нужно расстояние разделить на время

2. Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время

3. Чтобы найти время движения, нужно расстояние разделить на скорость.

Ознакомление с составными задачами на движение в противоположных направлениях в случае сближения.

До введения этого вида задач необходимо:

- подвести учеников к осознанию того факта, что если объекты начали двигаться одновременно навстречу друг другу, то до встречи они были в пути одинаковое время. Например:

1) Два велосипедиста выехали навстречу друг другу в 9 ч утра и встретились в 11 ч утра. Сколько времени был в пути до встречи каждый велосипедист?

2) Из двух поселков выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Они встретились через 40 мин. Сколько времени был в пути каждый?

Толя и Коля одновременно отплыли навстречу друг другу с двух концов бассейна. Толя плыл со скоростью 4м/с, Коля – 6 м/с. Как ты понимаешь скорость Толи 4 м/с? (За одну секунду проплывает 4 м). Как ты понимаешь скорость Коли 6 м/с? Покажи на чертеже, на сколько уменьшилось расстояние между мальчиками за 1 с. Как узнать расстояние, на которое сблизились мальчики за 1 с?

Расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени, называют скоростью сближения. В задачах на движение в противоположных направлениях скорость сближения находится сложением.

После этой работы вводят задачу на движение в противоположных направлениях в случае сближения и две обратные ей:

1) Два лыжника вышли одновременно навстречу друг другу из двух поселков и встретились через 3 часа. Первый лыжник шел со скоростью 12 км/ч, а второй – 4 км/ч. Найди расстояние между поселками

2) Из двух поселков, расстояние между которыми 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Первый из них шел со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. Через сколько часов лыжники встретились?

3) Из двух поселков, расстояние между которыми 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника и встретились через 3 часа. Первый лыжник шел со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью шел второй лыжник?

Работа над ними введется в соответствии с методикой обучения решению составных задач.

Сначала рассматривается задача на нахождение расстояния, которое пройдут до встречи пешеходы при одновременном выходе, если известны скорость каждого и время движения.

Необходимо показать два способа решения этой задачи:

1 способ. Находим сначала расстояние, которое прошел каждый пешеход до встречи, а потом узнаем общее расстояние между пунктами.

2 способ. Находим общую скорость (скорость сближения), после этого по общей скорости и общему времени находим общее расстояние.

Аналогично проводится работа с задачами других видов

В учебниках математики авторов Истминой Н.Б, Петерсон Л.Г. рассматриваются также задачи на движение вдогонку.

На этапе закрепления умения решать составные задачи, связанные с движением, изменяется работа.

1. Усложняются задачи, например. «В 11 часов с разных станций навстречу друг другу вышли два поезда, в 14 часов они встретились. Скорость первого поезда 60 км/ч, а второго на 40 км/ч больше. Какое расстояние было между поездами в 11 часов?

2. Увеличивается доля самостоятельности учеников в процессе решения задач

Технология обучения младших школьников решению задач,

связанных с движением

1. Воловичева Л.А. Развивающие возможности задач на движение //Нач.шк. 2000. №5.

2. Подходова Н.С. Моделирование как универсальное учебное действие при изучении математики //Нач.шк. 2011.№9.

4. Шикова Р.Н. Методика обучения решению задач, связанных с движением тел //Нач.шк. 2000. №5.

5. Шикова Р.Н. Решение задач на движение в одном направлении //Нач.шк. 2000. №12.

- Кто тратит на дорогу больше (меньше) времени?

- Кто идет быстрее, а кто медленнее?

Анализируя таблицу, важно обратить внимание детей на два момента:

а) как связаны между собой величины;

б) как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой, если третья величина не изменяется.

Виды задач, связанных с движением

1. Простые задачи на нахождение:

а) скорости по известным расстоянии и времени;

б) времени по известным расстоянии и скорости;

в) расстоянии по известным скорости и времени

2. Составные задачи на движение могут быть типовыми и нетиповыми:

б) типовые составные задачи на движение двух тел при одновременном выходе:

Обучение решению задач, связанных с движением.

- знакомство с длиной и единицами измерения длины;

- знакомство с изображением движения на чертеже

- наблюдение за изменением одной из величин при изменении другой (третья величина постоянна).

В процессе решения задач учеников готовят к выводам:

1. Чтобы найти скорость движения, нужно расстояние разделить на время

2. Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время

3. Чтобы найти время движения, нужно расстояние разделить на скорость.

Ознакомление с составными задачами на движение в противоположных направлениях в случае сближения.

До введения этого вида задач необходимо:

Работа над ними введется в соответствии с методикой обучения решению составных задач.

Необходимо показать два способа решения этой задачи:

Аналогично проводится работа с задачами других видов

На этапе закрепления умения решать составные задачи, связанные с движением, изменяется работа.

2. Увеличивается доля самостоятельности учеников в процессе решения задач

Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— решение задач на движение по реке.

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

Примеры простых задач.

Задача 1.

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2.

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3.

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Задача 4.

Задача 5.

Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение:
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение:
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7.

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение:
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8.

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение:
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9.

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение:
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11.

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение:
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Итак, для решения задач на движение:

Основная формула:S=ν*t;
Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время

Заключение.

В статье рассматривается методика решения задач на движение в начальной школе. Представлены виды задач на движение, приведены примеры их решения.

Ключевые слова

Текст научной работы

Решение текстовых задач занимает значительное место в начальном курсе математики. Киричек К.А. отмечает, что текстовые задачи также называют сюжетными в связи с тем, что они описывают реальные жизненные ситуации, процессы, явления, например, такие как: куплю — продажу, производительность труда, движение и т.п. [2].

Задачи на движение — особый вид задач, в котором описывается процесс движения друг относительно друга двух или нескольких тел, перемещаемых в различных (навстречу и в противоположных направлениях) или в одном (вдогонку и с отставанием) направлениях. Они содержат взаимосвязанные величины: преодолеваемый путь, скорость движения и время.

Рассмотрим методику формирования у младших школьников умения решать задачи на движение двух тел в разных направлениях (навстречу или в противоположные стороны) — они являются самыми сложными для усвоения обучающимися. Это актуализирует необходимость создания такой системы учебных задач и методики работы над ними, с помощью которых ученик понял бы особенности способов решения задач этого типа и получил сноровку в их реализации.

В методической литературе описан такой подход к ознакомлению с задачами на одновременное движение в разных направлениях: сначала ученики знакомятся с задачами на одновременное движение навстречу и решают их двумя способами; после этого аналогично обрабатывают задачи на одновременное движение в противоположных направлениях.

Но задачи на нахождение расстояния (времени и скорости) при одновременном движении навстречу и в противоположных направлениях имеют одинаковые способы решения. Поэтому есть смысл рассматривать эти виды задач одновременно [4].

Согласно традиционному подходу, ученики сразу знакомятся с двумя способами решения задач на нахождение расстояния и скорости движения. Однако эти способы принципиально отличные: при решении первым способом рассматривают движение каждого тела в отдельности и только потом отвечают на вопросы задачи; при решении вторым способом рассматривают движение одного тела относительно другого и узнают, насколько меняется расстояние между телами за единицу времени. Именно это является ключом к решению задачи, после чего можно ответить на ее вопросы. Практика показывает, что дети лучше усваивают первый способ рассуждения, тогда как второй вызывает у многих из них трудности.

Во время работы над задачами на движение можно выделить такие основные понятия, без осознания которых невозможно их правильное решение.

1. Встречное движение:

скорость сближения;
время движения до встречи (время сближения), если два тела одновременно (не одновременно) начали двигаться навстречу друг другу с одинаковыми (неодинаковыми) скоростями.

2. Движение в противоположных направлениях:

скорость удаления;
время удаления, если два тела начали одновременно (не одновременно) двигаться из одного пункта в противоположных направлениях с одинаковыми (разными) скоростями.

3. Движение в одном направлении:

скорость сближения (удаления)
время сближения (удаления).

4. Движение по течению или против течения:

собственная скорость катера (моторной лодки и т.д.);
скорость катера по течению;
скорость катера против течения;
скорость сближения и время сближения, когда катер настигает плот;
скорость сближения и время сближения, когда катер движется навстречу плоту;
скорость удаления и время удаления, когда катер и плот двигаются из одного пункта в противоположных направлениях.

5. Средняя скорость движения:

средняя арифметическая величина;
средняя скорость как средняя арифметическая величина [1].

Успешность обучения школьников решать задачи на движение в значительной степени зависит от качественно проведенной подготовительной работы. Ей целесообразно посвятить два урока. Цель подготовительной работы — актуализировать знания о взаимосвязанных величинах (преодоленный путь, скорость и время движения тел), взаимосвязи между ними; организовать наблюдение за одновременным движением двух тел друг относительно друга (навстречу и в противоположных направлениях). Такую деятельность организуют на основе решения простых и составных задач известных детям видов. На этом этапе не только повторяют взаимосвязь между данными величинами, но и уделяют определенное внимание актуализации физического смысла скорости [5].

Рассмотрим на примере актуализацию физического смысла скорости:

Пример 1. Объясни, что означают утверждение: гусеница ползет со скоростью 18 м/ч; самолет летит со скоростью 950 км/ч.

В ходе обсуждения выясняют: скорость гусениц 18 м/ч означает, что за каждый час она преодолевает по 18 м; скорость самолета 950 км/ч означает, что за каждый час он пролетает по 950 км.

Пример 2. Определи, чему равна скорость движения таких объектов: меч-рыбы, если она каждый час проплывает 100 км; верблюда, который каждый час проходит 8 км; велосипедиста, который каждую секунду преодолевает 3 м.

На основе рассуждений дети дают объяснения. Если меч-рыба каждый час проплывает по 100 км, то ее скорость составляет 100 км/ч. Верблюд, который за каждый час проходит по 8 км, движется со скоростью 8 км/ч. Если велосипедист преодолевает каждую секунду по 3 м, то его скорость — 3 м/с.

Пример 3. Выбери скорость, с которой, по твоему мнению, может ехать легковой автомобиль: 60 км/мин; 80 км/ч; 8 км/с.

Эта задача способствует развитию критического мышления обучающихся. Они анализируют эти показатели скорости и оценивают их соответствие реальным техническим характеристикам автомобиля. Делают вывод, что машина может двигаться со скоростью 80 км/ч.

Знание физического смысла скорости как пути, который одолевает тело за единицу времени, ученики используют в решении простых и составных задач.

Пример 4. Задача на нахождение четвертого пропорционального

Самолет за 3 часа пролетел 2700 км. Какой путь он преодолеет за 6 часов, если будет лететь с такой же скоростью?

Составляют план решения задачи:

Находим скорость движения самолета, одинаковую величину, действием деления;
Находим преодоленный путь во втором случае, отвечаем на вопросы задачи действием умножения.

Обучающиеся самостоятельно записывают решение задачи и ответ.

После выполнения упражнений из учебника обучающиеся смогут сравнить скорости живых существ и различных видов транспорта, сделать четкие выводы о зависимости между величинами: скорость, время и расстояние. Именно при решении простых задач, связанных с этими величинами, приемы составления обратных задач и изменения числовых данных определенным образом помогают ознакомить обучающихся с пропорциональной зависимостью между величинами.

Затем учителю следует продемонстрировать ученикам, что произойдет, если одну из величин зафиксировать (не менять), а вторую увеличить или уменьшить в несколько раз. Условия задач, сравниваются, записываются одной таблицей.

Полезно также по готовым таблицам составлять и решать задачи устно, а затем проводить беседы с учениками, сравнивая условия и ответы задач [6].

Таким образом, обучение школьников решению задач — одна из сложнейших методических проблем. Математическая задача на движение создается в результате конструирования реально предполагаемого процесса, с целью решения проблемы бытового, производственного или социального характера. Во время работы над задачами на движение у обучающихся формируются следующие основные понятия: встречное движение (скорость сближения, время сближения) движение в противоположных направлениях (скорость удаления, время удаления), движение в одном направлении (скорость сближения (удаления), время сближения (удаления) движение по течению или против течения (собственная скорость плавсредства, скорость плавсредства по течению, скорость плавсредства против течения, скорость сближения и время сближения, скорость удаления и время удаления), средняя скорость движения.

Головина Е.А.
Бачурина А.К.
Климов А.В.

Список литературы

Цитировать

На уроках в школе по алгебре, геометрии, физике и другим предметам часто встречаются задачи на движение. Такие задания по математике нуждаются в детальном анализе условий. В результате удается корректно определить нужный метод решения и составить математическую модель. Смысл подобных примеров заключается в исследовании реальных жизненных процессов, которые можно охарактеризовать с помощью взаимосвязанных между собой величин.

Процесс решения задачи на движение заключается в последовательном выполнении следующих действий:

Исследование и объяснение условий задания.
Выбор способа решения и подготовка схемы действий.
Реализация намеченного плана.

Классическая методика поиска решений заданий на движение включает такие пункты, как:

Обозначение неизвестных величин переменными.
Формулировка уравнений или неравенств с применением введенных неизвестных относительно данных условий задачи.
Поиск корней уравнений или неравенств.
Отбор решений, удовлетворяющих смыслу задания.

Упростить решение задач можно, благодаря следующим принципам, которые можно сохранить себе в виде памятки:

При отсутствии особых оговорок следует считать движение равномерным, к примеру, по прямой или по окружности.
Величину скорости принято считать больше нуля.
Любой переход на новый тип движения или изменение направления принято считать мгновенным.
Удобно составлять уравнения или неравенства с помощью геометрических иллюстраций, описывающих движение, например, за путь принимают прямой отрезок, место встречи обозначают точкой.
Нередко в условиях задания можно встретить одинаковые величины с разными единицами обозначения. В этом случае следует пересчитать их, чтобы представить в одинаковых единицах.

Наиболее распространены следующие виды задач на движения:

встречное движение;
перемещение в противоположных направлениях;
движение вдогонку и с отставанием;
передвижение по воде и воздуху;
движение по окружности;
движение протяженных тел;
определение средней скорости;
перемещение в гору и обратно.

В процессе решения задач на движение часто используют главную формулу:

Здесь V является скоростью движения, S обозначает путь, а t определяется, как время.

Скорость определяется по следующей формуле:

Формула для времени:

Движение в одном направлении (два варианта)

По условиям задачи некоторые тела могут двигаться в одинаковом направлении. При этом возможно два случая:

Тело с большей скорости приближается к телу, скорость которого меньше. V с б л и ж = V 1 – V 2 , S о = ( V 1 – V 2 ) t .
Тело с большей скоростью удаляется от тела, скорость которого меньше. V у д а л = V 1 – V 2 , S = S о + ( V 1 – V 2 ) t .

Предположим, что водитель двигается со скоростью 60 км/ч, чтобы успеть на работу. Его коллега на автомобиле едет со скоростью 85 км/ч. Первый водитель начал свой путь на расстоянии от второго в 15 км. Попробуем вычислить время, которое потребуется второму водителю, чтобы догнать первого, при условии, что они выехали в одно и то же время.

Подставим значения в формулу, получим:

t = 15 / ( 85 - 60 ) = 3 5 = 36 ( м и н )

Рассмотрим другой пример. Задержка поезда в пути составила 12 мин. После этого поезд преодолел расстояние 60 км, увеличив скорость на 15 км/ч. Требуется определить первоначальную скорость, с которой двигался поезд.

Согласно условию задания, при движении поезда с начальной скоростью после задержки путь занял бы на 12 мин больше времени. Изобразим данные на рисунке:

Обозначим за х начальную скорость. В таком случае:

t 2 = 60 / ( х + 15 )

Воспользуемся записанной ранее формулой:

60 / х – 60 / ( х + 15 ) = 1 / 5

Второй корень является посторонним, так как скорость характеризуется положительной величиной.

Попробуем решить еще один пример на движение. Представим, что первый путешественник ехал на велосипеде со скоростью 16 км/ч в течение 1,5 ч. Затем он сделал остановку на 1,5 ч и продолжает ехать, не меняя скорость. После того, как в путь отправился первый велосипедист, спустя 4 ч, по тому же маршруту начал движение мотоциклист, двигаясь со скоростью 56 км/ч. Требуется вычислить пройденный путь этих путешественников до точки их встречи.

Заметим, что согласно условиям задачи первый путешественник начал свое движение раньше на 4 ч по сравнению со вторым. В некой точке В, отмеченной на рисунке, он остановился на отдых, который по времени занял 1,5 ч. Обозначим точку, в которой второй путешественник на мотоцикле догнал велосипедиста, буквой D. Определим, что на преодоление расстояния АD первому путешественнику потребовалось больше времени на 2,5 ч, так как 4-1,5 = 2,5.

Обозначим за х путь в км от точки А до точки D. Это расстояние первый путешественник проехал за время:

Аналогичный путь второй путешественник проехал за время:

t 1 – t 2 = 2 , 5 ( ч )

Исходя из полученных данных, можно записать уравнение:

x / 16 – x / 56 = 2 , 5

Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях

При удалении тел друг от друга их скорость удаления рассчитывается, как сумма скоростей этих тел:

ν у д а л = ν 1 + ν 2

Разберем наглядный пример. Пусть из одного города в противоположных направлениях движутся два автомобиля. Первая машина едет со скоростью 85 км/ч, а скорость второй составляет 60 км/ч. Попробуем вычислить расстояние, на которое будут удалены друг от друга эти автомобили через 2 часа в пути.

Получим, что первый автомобиль проедет за 2 часа 170 км. Расстояние, которое преодолеет второй автомобиль в течение 2 часов равно 120 км. Тогда расстояние между машинами, спустя 2 часа, составит 290 км.

Если решать задачу другим способом, то получится, что скорость удаления составит 145 км/ч. Расстояние при этом равно:

145 к м / ч · 2 ч = 290 к м

Время, которое тела провели в пути, удаляясь друг от друга, соответствует преодоленному расстоянию, поделенному на сумму скоростей этих тел:

t п у т и = S ν 1 + ν 2

Данный случай предполагает, что в начальный момент времени движущиеся тела удалены друг от друга не некоторое расстояние S 0 . Формула пути примет следующий вид:

S = S 0 + ν 1 + ν 2 · t

Представим, что из разных отправных точек выехали два мотоциклиста. Сначала они были удалены друг от друга на расстояние 86 км. Первый мотоциклист ехал со скоростью 90 км/ч. Скорость второго мотоциклиста составляла 105 км/ч. Требуется определить время, спустя которое расстояние между мотоциклистами станет равно 359 км.

Вычислим путь, который преодолели мотоциклисты:

Скорость удаления составит:

Найдем время, которое провели в пути мотоциклисты:

Нередко можно встретить задачи на движение тел навстречу друг другу. Разберем их решение на конкретном примере. Предположим, что объект А вышел из населенного пункта М навстречу объекту В из населенного пункта К. При этом А начал свой путь позже на 6 ч по сравнению с В. До точки встречи А преодолел расстояние меньше на 12 км, чем В. Из точки встречи А и В продолжили свое движение, не меняя скорость. Объект А достиг точки К, спустя 8 часов. На расстояние до точки М объект В потратил 9 ч. Требуется рассчитать расстояние МК и скорости, с которыми двигались объекты.

Обозначим vА за x (км/ч.), vВ=y(км/ч). Тогда:

В таком случае, расстояние от М до D объект А преодолеет за время:

Время, которое потребуется для В, чтобы из К прийти в D:

По условиям задания:

В связи с тем, что объект А начал свой путь позже на 6 ч, чем В, запишем:

В результате можно составить систему уравнений:

МК = 8*6 + 9*4 = 84 км

Ответ: 84 км; 6 км/ч; 4 км/ч.

Задачи на скорость сближения

При перемещении тел относительно друг друга в распространенных случаях необходимо определить их относительную скорость. Величина зависит от условий задачи:

относительная скорость равна сумме скоростей, когда рассматривается встречное движение тел;
относительная скорость равна разности скоростей, когда рассматривается однонаправленное движение тел.

Скорость сближения является суммой скоростей тел, которые движутся навстречу друг другу.

Предположим, что из двух разных точек А и В выехали два автомобиля и движутся навстречу друг другу. Первый автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. Скорость второго автомобиля составляет 40 км/ч. Встреча двух машин произошла, спустя 1,2 часа после начала пути. Нужно вычислить, на какое расстояние удалены друг от друга пункты А и В.

Логично предположить, что расстояние между точками отправления равно сумме расстояний, которые преодолели автомобили. Первый автомобиль преодолел такой путь:

60 · 1 , 2 = 72 ( к м )

Второй автомобиль преодолел такой путь:

40 · 1 , 2 = 48 ( к м )

Тогда расстояние между точками составит:

Существует второй способ решения этой задачи, который считается наиболее рациональным. В этом случае воспользуемся формулой сложения скоростей:

60 + 40 = 100 (км/ч)

Если автомобили сближаются со скоростью 100 км/ч, то расстояние составит:

100 · 1 , 2 = 120 ( к м )

Когда тела, расстояние между которыми составляет S, движутся навстречу друг другу, они встретятся через время, определяемое по формуле:

t в с т р = S ν 1 + ν 2

Представим, что две точки удалены друг от друга на расстояние 195 км. Из этих точек начали встречное движение два автомобиля. Скорость первой машины составила 50 км/ч, второе транспортное средство перемещалось со скоростью 80 км/ч. Попробуем вычислить время, через которое автомобили встретятся.

Обозначим за х время движения автомобилей. Тогда расстояние, которое проехала первая машина составит 50х. Второй автомобиль преодолел путь 80х. В таком случае точки А и В удалены друг от друга на расстояние:

Найдем корни полученного уравнения:

Попробуем решить задачу более рациональным способом с использованием формулы, записанной ранее. Скорость сближения автомобилей равна:

Время, которое автомобили были в пути:

Задачи на движение по течению и против течения

При решении задач на движение по течению и против течения следует руководствоваться стандартными формулами.

S = v · t v = S t t = S v

В том случае, когда тело с собственной скоростью v c перемещается по течению, скорость которого равна v t , справедливы следующие соотношения:

где v является скоростью движения тела

S = ( v c + v t ) · t

В том случае, когда тело с собственной скоростью v c перемещается против течения, скорость которого равна v t , справедливы следующие соотношения:

где v является скоростью движения тела

S = ( v c - v t ) · t

В задачах принято называть плотом тело с нулевой собственной скоростью. Таким образом, плот может перемещаться лишь по течению и имеет скорость течения.

Ровно в 9 ч самоходная баржа отправилась из точки А вверх по течению реки в точку В. После 2 ч задержки в пункте В транспорт отправляется в обратный путь и достигает точки А в 19 ч 20 мин в этот же день. Известно, что средняя скорость течения реки составляет 3 км/ч, а баржа имеет постоянную собственную скорость. Нужно вычислить время прибытия транспорта в точку В. Пункты А и В удалены друг от друга на 60 км.

Представим, что баржа обладает собственной скоростью х км/ч. Тогда по течению она двигалась такое время:

Путь против течения занял столько времени:

Общее время равно 8 1 3 . Запишем уравнение:

60 / ( х + 3 ) + 60 / ( х - 3 ) = 8 1 3

Второй корень является посторонним.

Тогда время, в течение которого баржа шла против течения реки, составит:

60 / ( 15 - 3 ) = 60 / 12 = 5 ч

В результате время прибытия баржи в точку В составит 14 ч.

Примеры решения задач

Велосипедист двигается с постоянной скоростью из пункта А в пункт В, которые удалены друг от друга на 60 км. После того, как он прибыл в пункт В, путь продолжается в обратном направлении с аналогичной скоростью. Спустя час, велосипедист останавливается на отдых. Остановка занимает по времени 20 мин. Затем движение продолжается, а скорость увеличивается на 4 км/ч. Требуется определить интервал, которому соответствует скорость велосипедиста, обозначенная за v. Зная, что обратный маршрут от В до А длился по времени не дольше, чем путь от А до В.

Обозначим за х (в км/ч) начальную скорость велосипедиста. Согласно условию задания:

t ( A B ) = ( 60 / х ) ч

t ( B А ) = ( 60 - х ) / ( х + 4 ) + 1 1 3 ч

t ( B А ) ≤ t ( A B )

( 60 - х ) / ( х + 4 ) + 1 1 3 ≤ 60 / х

( х 2 + 16 х – 720 ) / ( х ( х + 4 ) ) ≤ 0

( х – 20 ) ( х + 36 ) / х ( х + 4 ) ≤ 0

Два туриста на велосипедах отправились в одно и то же время из разных пунктов в точку назначения. Время в пути первого велосипедиста составило 2 ч. Для того чтобы прибыть в точку назначения одновременно с первым туристом, второму велосипедисту потребовалось проехать каждый последующий км пути на 1 мин быстрее по сравнению с предыдущим. Расстояние, которое преодолел второй турист на велосипеде больше на 6 км, чем путь первого туриста. Требуется определить скорости первого и второго велосипедистов.

Предположим, что первый турист на велосипеде преодолевал каждый км пути за х мин. Тогда его скорость равна 60/х км/ч. В таком случае, скорость второго велосипедиста составит 60/(х-1) км/ч. Составим уравнение:

60 / ( х – 1 ) * 2 – ( 60 / х ) * 2 = 6

Второй корень является посторонним.

Ответ: скорость первого велосипедиста 12 км/ч, второй велосипедист двигался со скоростью 15 км/ч.

Путь моторной лодки против течения равен 120 км. После того, как это расстояние было преодолено, лодка возвращается в точку отправления и тратит на это на 2 ч меньше. Требуется определить собственную скорость лодки при условии, что скорость течения составляет 1 км/ч.

Обозначим собственную скорость лодки за х км/ч. Тогда лодка двигается по течению со скоростью х+1 км/ч, а против течения скорость движения составляет х-1 км/ч. Внесем данные в таблицу и вычислим недостающие величины с помощью формулы t = S V :

Запишем уравнение, согласно условиям задачи:

120 x + 1 + 2 = 120 x - 1

120 ( x - 1 ) + 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 120 ( x + 1 ) , x ≠ ± 1

120 x - 120 + 2 x 2 - 2 = 120 x + 120 , x ≠ ± 1

Так как скорость является положительной величиной, единственный верный корень:

Лодка в 10 ч ровно отправилась из точки А в точку В, которые удалены друг от друга на 15 км. После остановки в пункте В на 1 ч 20 мин лодка продолжила свой путь в обратном направлении и прибыла в точку А в 16 ч ровно. Требуется рассчитать, какова собственная скорость лодки при известной скорости течения реки в 2 км/ч.

Обозначим за х собственную скорость лодки. Тогда по течению она двигалась со скоростью х+2 км/ч. Против течения скорость движения составляет х-2 км/ч. Составим таблицу:

Весь путь лодки занял:

6 ч - 1 ч 20 м и н = 4 ч 40 м и н = 4 2 3 ч

15 x - 2 + 15 x + 2 = 4 2 3

15 x - 2 + 15 x + 2 = 14 3

45 ( x + 2 ) + 45 ( x - 2 ) = 14 ( x - 2 ) ( x - 2 ) , x ≠ ± 2

90 x = 14 x 2 - 56 ; , x ≠ ± 2

7 x 2 - 45 x - 28 = 0

x = 45 ± 45 2 + 28 2 14

Ответ: собственная скорость лодки 7 км/ч.

Из пункта А в пункт В отплыл первый теплоход. Спустя 2 часа после его отправления, свой путь начинает второй теплоход, скорость которого на 2 км/ч больше по сравнению со скоростью первого теплохода. Пункты отправления и назначения удалены друг от друга на 168 км. Требуется определить, с какой скоростью двигался первый теплоход. Известно, что в пункт В оба теплохода прибыли в одно и то же время.

Обозначим за х скорость, с которой двигался первый теплоход. В таком случае скорость движения второго теплохода составит х+2 км/ч. Их пути одинаковы и равны 168 км. Составим таблицу:

По условию задачи время в пути второго теплохода меньше на 2 ч. Запишем уравнение:

Читайте также: