Теорема о работе силы тяжести кратко

Обновлено: 25.06.2024

Рефераты и конспекты лекций по географии, физике, химии, истории, биологии. Универсальная подготовка к ЕГЭ, ГИА, ЗНО и ДПА!

Для того чтобы вычислить работу, которую выполняет сила тяжести при свободном падении тела, необходимо умножить силу тяжести на расстояние, которое проходит тело при падении. Это расстояние можно найти как разность высот, на которых находилось тело в начальный и конечный момент движения.

Работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а определяется только координатами начальной и конечной точки.

На замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Величина, равная произведению массы тела на ускорение свободного падения и на высоту, называется потенциальной энергией тела, поднятого над землей.

Теорема о потенциальной энергии имеет следующий вид: работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком.

Потенциальная энергия тела , на которое действует сила тяжести, равна работе, которую выполняет сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Потенциальную энергию имеют тела, поднятые над поверхностью Земли, потому что энергия тела зависит от взаимного положения его и Земли и их взаимного притяжения. Огромную потенциальную энергию у воды в реках, предназначенный плотины. Падая вниз, вода выполняет работу, благодаря чему работают турбины электростанций. Потенциальную энергию должны упруго деформированы тела. Сжатую пружину используют в механических часах, сжатый газ - в работе тепловых двигателей.

На этом уроке мы рассмотрим различное движение тела под действием силы тяжести и научимся находить работу этой силы. Также введём понятие потенциальной энергии тела, узнаем, как связана эта энергия с работой силы тяжести, выведем формулу, по которой находится эта энергия. С помощью данной формулы решим задачу, взятую из сборника для подготовки к единому государственному экзамену.

З. Весом тела называется сила, с которой тело вследствие притяжения Земли действует на опору (или подвес)?

4. Силы инерции в криволинейном движении.

5. Центробежная и центростремительная силы.

6. Работа и мощность.

Учебный материал: лекция, учебники, видеоматериал.

Опорный конспект лекции

Сила инерции есть вектор, равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный в сторону, противоположную ускорению. Тогда

Это равенство, что является математическим выражением принципа, который носит имя французского ученого Даламбера (1717-1783), можно рассматривать как уравнение равновесия материальной точки. Следует подчеркнуть, что полученное равенство, хотя и названо уравнением равновесия, на самом деле является видоизмененным уравнением движения материальной точки.

Следует отметить, что до Даламбера над общим методом, с помощью которого уравнениям динамики придается форма уравнений статики, работали члены петербургской Академии наук Я. Герман (1716) и Л. Эйлер (1737).

Принцип Даламбера формулируется так: активные и реактивные силы, действующие на материальную точку, вместе с силами инерции образуют систему взаимно уравновешенных сил, удовлетворяющую всем условиям равновесия.

Следует помнить, что сила инерции приложена к данной материальной точки условно, но для связи, что вызывает ускорение, она в определенном смысле является реальной. Обладая свойством инерции, всякое тело стремится сохранять свою скорость по модулю и направлению неизменной, вследствие чего оно будет действовать на связь, что вызывает ускорение, с силой, равной силе инерции. В качестве примера действия сил инерции можно привести случаи разрушения Маховиков при достижении ими критической угловой скорости. Во всяком вращающемся теле действуют силы инерции, поскольку каждая частица этого тела имеет ускорение, а соседние частицы являются для нее связями.

Поясним это на примере (рис. 14.1). Пусть к телу, лежащему на горизонтальной плоскости, привязана нить, способная выдерживать силу тяжести G этого тела. Если к нити приложить силу R статически (постепенно), то тело будет поднято вверх и нить не оборвется; если силу R приложить динамически (внезапно, рывком), то нить оборвется. Это явление объясняется следующим образом.

Чтобы поднять груз, нужно сообщить ему некое ускорение А. Для определения

величины натяжения нити применим принцип Даламбера и составим уравнение равновесия:

В первом случае груз сообщается небольшое ускорение и сила инерции, что увеличивает натяжение нити, небольшая; во втором случае ускорение, сообщается тело, значительное и сила инерции соответственно возрастает. В обоих случаях сила инерции не увеличивает давление на опору, поскольку приложена к телу условно.

Отметим, что весом тела называется сила, с которой тело вследствие притяжения Земли действует на опору (или подвес), удерживающую его от свободного падения. Если тело и опора неподвижны, то вес тела равен его силе тяжести.

§ 14.2. Силы инерции в криволинейном движении.

В криволинейном движении точки полное ускорение ровно векторной сумме касательного и нормального ускорений

Касательное ускорение at = dv/dt , нормальне ускорение a_п = v 2 /δ, полное ускорение

— ;.

Каждому ускорению соответствует своя сила инерции:

Р ин = т•а_τ— касательное, или тангециальное;

F_п = mv 2 /δ— нормальное, или центробежное;

F_пн = та — полное.

В качестве примера рассмотрим равномерное движение по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, камня силой тяжести G, привязанный к невесомой нити длиной г, расположенной в той же плоскости (рис. 14.3, а). Чтобы нить оставалась в плоскости движения камня, предполагается, что он скользит по идеальной гладкой горизонтальной плоскости. Скорость камня обозначим v. Тогда Fп = mv2/δ— центробежная сила инерции (эта сила натягивает нить); R = mv2/r центростремительная сила, приложенная к камню (эта сила удерживает камень на кругу).

Центробежная и центростремительная силы (действие и противодействие) по третьему закону Ньютона равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Очевидно, что касательная сила инерции Fп в этом случае равна нулю, поскольку v = const.

Из опыта известно, что при достаточной скорости нить может разорваться и камень полетит по касательной к окружности, то есть по направлению есть в момент разрыва скорости. Это доказывает, что центробежная сила инерции есть реальная сила для связи, но к телу она приложена условно.

Внутри тел, движущихся с ускорением, также возникают внутренние силы инерции, поскольку для каждой частицы тела соседние частицы являются связями.

Найдем, чему равно натяжение нити, если камень движется по окружности, лежащей в вертикальной плоскости (рис. 14.3, б). Для определения натяжения R нити применим принцип Даламбера, т. е. приложен к камню нормальную силу инерции F"H и касательную силу инерции F,H.

Спроектируем все силы на направление нити, вследствие чего получим

По теореме о проекции скорости на координатную ось

Итак, проекция скорости точки м на ось х все время остается величиной постоянной, равной

Из двух последних формул имеем

По условию, при t = 0 х = 0, следовательно, произвольная постоянная С₂ = 0. Окончательно

Интегрируя уравнение (13.5), находим

Подставив в это уравнение t = 0, найдём свободную постоянную

Интегрируя ещё раз, получим:

По условию при t = 0 y = 0, следовательно, произвольная постоянная С₄ = 0. Окончательно

Таким образом, материальная точка М, брошенная со скоростью v₀ под углом ос к горизонту, движется согласно

Изменением ускорения свободного падения и сопротивлением воздуха пренебрегать. Радиус Земли считать равным R = 6370 км.

Решение.

После того, как ракета-носитель вывела спутник массой т на заданную орбиту и сообщила ему скорость v, касательную к орбите, спутник продолжает движение под действием одной лишь силы тяжести Земли. Для определения скорости г спутника применим принцип Далам-бера, то есть приложенный к спутнику центробежную силу инерции и составим уравнение равновесия, спроецировав силы на ось, что проходит через спутник и центр Земли:

Сократив равенства на т, определим скорость спутника:

Подставив значения, получим:

Сократив равенство на тЦя скорость, при которой спутник Земли находится на круговой орбите на относительно небольшой высоте, называется первой космической скоростью.

Раздел 15 работа и мощность

§ 15.1. Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути

Рассмотрим материальную точку М, к которой приложена в числе прочих сила F. Пусть точка перемещается прямолинейно из положения М0 в положение М1у пройдя путь s (рис. 15.1).

Чтобы установить количественную меру действия силы F на пути s, разложим эту силу на составляет N и R, направлены соответственно перпендикулярно направлению перемещения и вдоль него. Поскольку то, что составляет N не может двигать точку или сопротивляться ее движению в направлении s, то действие силы F на пути s можно определить произведением Rs. Эта новая величина называется работойи обозначается W.

то есть работа силы равна произведению ее модуля на путь и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения. Таким образом, работа является мерой действия силы, приложенной к материальной точке при некотором ее перемещении.

Робота — величина скалярная.

Рассмотрим три отдельные случаи вычисления работы: 1) а = 0, в этом случае W=Fs; 2) а = 90°, в этом случае W=0; 3)a=180°, в этом случае

Итак, работа положительна, если направление силы и направление перемещения совпадают (или а 90°); работа равна нулю, когда направление силы и направление перемещения взаимно перпендикулярное. Так, например, при подъеме тела вверх работа силы тяжести отрицательна, при движении вниз—положительна, а при движении по горизонтальной плоскости работа силы тяжести равна нулю.

Силы, совершающие положительную работу, называются движущими силами, силы совершают отрицательную работу, —силами сопротивления.

Джоуль — это работа силы в один ньютон на пути в один метр (при совпадении направлений силы и перемещения точки ее приложения).

§ 15.2. Работа переменной силы на криволинейном участке пути

На бесконечно малом участке ds криволинейный путь можно считать прямолинейным, а силу — постоянной. Тогда элементарная работа dW на пути ds равна

Работа на конечном перемещении равна сумме элементарных работ:

Построим график, выражающий зависимость между /rcos(F, v) и пройденным расстоянием s (рис. 15.2, а).

Площадь заштрихованной полоски, которую можно принять за прямоугольник, равна элементарной работе на пути ds:

а работа силы F на конечном пути s графически выражается площадью фигуры ОАВС, ограниченной осью абсцисс, двумя ординатами и кривыми АВ, которые называются кривой сил. Если сила совпадает с направлением перемещения и возрастает от нуля пропорционально пути, то работа графически выражается площадью треугольника ОАВ (рис. 15.2, б) и равна половине произведения силы на путь:

§ 15.3. Теорема о работе равнодействующей

Теорема. Работа равнодействующей силы на каком-то участке пути равна сумме алгебры работ сил составляющих на том же участке пути.

Пусть к материальной точке М приложена система сил (Fx, F2, F3 . F"), равнодействующая которых равна F₁. (рис. 15.3).

Система сил, приложенных к материальной точке, есть система сходящихся сил, следовательно

Спроектируем это векторное равенство на касательную к траектории, тогда

Умножим обе части равенства на бесконечно малое перемещение ds и проинтегрируем это равенство в пределах некоего конечного перемещения s:

Что даст равенство

Пример 15.1. Вычислить работу, которая производится при равномерном подъеме груза G — 200 Н по наклонной плоскости на расстояние J = 6M, если угол, образуемый плоскостью с горизонтом α = 30°, а коэффициент трения скольжения равен /=0,01 (рис. 15.4).

Решение. Разложим силу тяжести G груза на две взаимно перпендикулярные составляет G₁ и G₂—соответственно параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости. Согласно второму закону трения скольжения, сила трения F_Tp равна

Применив теорему о работе равнодействующей, вычислим искомую работу как сумму работ сил сопротивления (работа силы G₂ и нормальной реакции N равна нулю, так как эти силы перпендикулярны направлению перемещения s):

Подставив значение, получим

Теорема о работе силы тяжести

Теорема. Работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения.

Пусть материальная точка м движется под действием одной лишь силы тяжести G и за какой-то промежуток времени перемещается из положения М₁ в положение М₂, пройдя путь s (рис. 15.5).

На траектории точки М выделим бесконечно малый участок ds, который считаем прямолинейным, и с его концов проведем прямые, параллельные осям координат, одна из которых вертикальная, а другая горизонтальная. Из заштрихованного треугольника получим, что

Элементарная работа силы G на пути ds равна

Полная работа на пути s равна

Силы, работа которых не зависит от вида траектории, называются потенциальными. К числу таких сил относятся, например, силы тяжести, силы всемирного тяготения, натяжения пружины.

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.023)

Рассмотрим материальную точку М , к которой приложена сила F . Пусть точка переместилась из положения М₀ в положение М₁ , пройдя путь s (рис. 1) .

Чтобы установить количественную меру воздействия силы F на пути s , разложим эту силу на составляющие N и R , направленные соответственно перпендикулярно направлению перемещения и вдоль него. Так как составляющая N (перпендикулярная перемещению) не может двигать точку или сопротивляться ее перемещению в направлении s , то действие силы F на пути s можно определить произведением Rs .
Эта величина называется работой и обозначается W .
Следовательно,

W = Rs = Fs cos α ,

т. е. работа силы равна произведению ее модуля на путь и на косинус угла между направлением вектора силы и направлением перемещения материальной точки.

Таким образом, работа является мерой действия силы, приложенной к материальной точке при некотором ее перемещении .
Работа является скалярной величиной.

Рассматривая работу силы, можно выделить три частных случая: сила направлена вдоль перемещения (α = 0˚) , сила направлена в противоположном перемещению направлении (α = 180˚) , и сила перпендикулярна перемещению (α = 90˚) .
Исходя из величины косинуса угла α , можно сделать вывод, что в первом случае работа будет положительной, во втором – отрицательной, а в третьем случае (cos 90˚ = 0) работа силы равна нулю.
Так, например, при движении тела вниз работа силы тяжести будет положительной (вектор силы совпадает с перемещением), при подъеме тела вверх работа силы тяжести будет отрицательной, а при горизонтальном перемещении тела относительно поверхности Земли работа силы тяжести будет равна нулю.

Силы, совершающие положительную работу, называются движущимися силами , силы, а совершающие отрицательную работу – силами сопротивления .

Единицей работы принят джоуль (Дж):
1 Дж = сила×длина = ньютон×метр = 1 Нм.

Джоуль – это работа силы в один ньютон на пути в один метр.

Работа силы на криволинейном участке пути

На бесконечно малом участке ds криволинейный путь можно условно считать прямолинейным, а силу – постоянной.
Тогда элементарная работа dW силы на пути ds равна

dW = F ds cos (F , v) .

Работа на конечном перемещении равна сумме элементарных работ:

W = ∫ F cos (F , v) ds .

На рисунке 2а изображен график зависимости между пройденным расстоянием и F cos (F , v) . Площадь заштрихованной полоски, которую при бесконечно малом перемещении ds можно принять за прямоугольник, равна элементарной работе на пути ds :

dW = F cos (F , v) ds ,

а работа силы F на конечном пути s графически выражается площадью фигуры ОАВС , ограниченной осью абсцисс, двумя ординатами и кривой АВ , которая называется кривой сил .

Если работа совпадает с направлением перемещения и возрастает от нуля пропорционально пути, то работа графически выражается площадью треугольника ОАВ (рис. 2 б) , которая, как известно, может быть определена половиной произведения основания на высоту, т. е. половиной произведения силы на путь:

Теорема о работе равнодействующей

Теорема: работа равнодействующей системы сил на каком-то участке пути равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же участке пути .

Пусть к материальной точке М приложена система сил (F₁ , F₂ , F₃ . F_n) , равнодействующая которых равна F_Σ (рис. 3) .

Система сил, приложенных к материальной точке, есть система сходящихся сил, следовательно,

Спроецируем это векторное равенство на касательную к траектории, по которой движется материальная точка, тогда:

Умножим обе части равенства на бесконечно малое перемещение ds и проинтегрируем полученное равенство в пределах какого-то конечного перемещения s :

что соответствует равенству:

Теорема о работе силы тяжести

Теорема: работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения .

Пусть материальная точка М движется под действием силы тяжести G и за какой-то промежуток времени перемещается из положения М₁ в положение М₂ , пройдя путь s (рис. 4) .
На траектории точки М выделим бесконечно малый участок ds , который можно считать прямолинейным, и из его концов проведем прямые, параллельные осям координат, одна из которых вертикальна, а другая горизонтальна.
Из заштрихованного треугольника получим, что

Элементарная работа силы G на пути ds равна:

Полная работа силы тяжести G на пути s равна

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh .

Итак, работа силы тяжести равна произведению силы на вертикальное перемещение точки ее приложения:

Пример решения задачи по определению работы силы тяжести

Задача: Однородный прямоугольный массив АВСD массой m = 4080 кг имеет размеры, указанные на рис. 5 .
Определить работу, которую необходимо выполнить для опрокидывания массива вокруг ребра D .

Решение.
Очевидно, что искомая работа будет равна работе сопротивления, совершаемой силой тяжести массива, при этом вертикальное перемещение центра тяжести массива при опрокидывании через ребро D является путем, который определяет величину работы силы тяжести.

Для начала определим силу тяжести массива: G = mg = 4080×9,81 = 40 000 Н = 40 кН .

Для определения вертикального перемещения h центра тяжести прямоугольного однородного массива (он находится в точке пересечения диагоналей прямоугольника), используем теорему Пифагора, исходя из которой:

КО₁ = ОD – КD = √(ОК 2 + КD 2 ) – КD = √(3 2 +4 2 ) - 4 = 1 м .

На основании теоремы о работе силы тяжести определим искомую работу, необходимую для опрокидывания массива:

W = G×КО₁ = 40 000×1 = 40 000 Дж = 40 кДж.

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу

Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6) , точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F₁ – окружная сила, F₂ – осевая сила, F₃ – радиальная сила.

При повороте диска на бесконечно малый угол dφ сила F совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих.

Очевидно, что работа составляющих F₂ и F₃ будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М , поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F₁ :

При повороте диска на конечный угол φ работа силы F равна

где угол φ выражается в радианах.

Так как моменты составляющих F₂ и F₃ относительно оси z равны нулю, то на основании теоремы Вариньона момент силы F относительно оси z равен:

Момент силы, приложенной к диску, относительно оси вращения называется вращающим моментом, и, согласно стандарту ИСО, обозначается буквой Т :

Т = М_z(F) , следовательно, W = Tφ .

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловое перемещение .

Пример решения задачи

Задача: рабочий вращает рукоятку лебедки силой F = 200 Н , перпендикулярной радиусу вращения.
Найти работу, затраченную в течение времени t = 25 секунд , если длина рукоятки r = 0,4 м , а ее угловая скорость ω = π/3 рад/с .

Решение.
Прежде всего определим угловое перемещение φ рукоятки лебедки за 25 секунд :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 рад.

Далее воспользуемся формулой для определения работы силы при вращательном движении:

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 Дж ≈ 2,1 кДж .

Мощность

Работа, совершаемая какой-либо силой, может быть за различные промежутки времени, т. е. с разной скоростью. Чтобы охарактеризовать, насколько быстро совершается работа, в механике существует понятие мощности , которую обычно обозначают буквой P .

Мощностью называется работа, совершаемая в единицу времени.

Если работа совершается равномерно, то мощность определяют по формуле

Если направление силы и направление перемещения совпадают, что эту формулу можно записать в иной форме:

P = W/t = Fs/t или P = Fv .

Мощность силы равна произведению модуля силы на скорость точки ее приложения .

Если работа совершается силой, приложенной к равномерно вращающемуся телу, то мощность в этом случае может быть определена по формуле:

P = W/t = Tφ/t или P = Tω .

Мощность силы, приложенной к равномерно вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловую скорость .

Единицей измерения мощности является ватт (Вт):

Ватт = работа/время = джоуль в секунду.

Понятие об энергии и КПД

Способность тела при переходе из одного состояния в другое совершать работу называется энергией . Энергия есть общая мера различных форм движения материи.

В механике для передачи и преобразования энергии применяются различные механизмы и машины, назначение которых – выполнение заданных человеком полезных функций. При этом энергия, передаваемая механизмами, называется механической энергией , которая принципиально отличается от тепловой, электрической, электромагнитной, ядерной и других известных видов энергии. Виды механической энергии тела мы рассмотрим на следующей странице, а здесь лишь определимся с основными понятиями и определениями.

При передаче или преобразовании энергии, а также при совершении работы, имеют место потери энергии, поскольку механизмы и машины, служащие для передачи или преобразования энергии преодолевают различные силы сопротивления (трения, сопротивления окружающей среды и т. п.). По этой причине часть энергии при передаче безвозвратно теряется и не может быть использована для выполнения полезной работы.

Коэффициент полезного действия

Часть энергии, потерянная при ее передаче на преодоление сил сопротивления, учитывается при помощи коэффициента полезного действия механизма (машины), передающего эту энергию.
Коэффициент полезного действия (КПД) обозначается буквой η и определяется, как отношение полезной работы (или мощности) к затраченной:

Если коэффициент полезного действия учитывает только механические потери, то его называют механическим КПД.

Очевидно, что КПД – всегда правильная дробь (иногда его выражают в процентах) и его значение не может быть больше единицы. Чем ближе значение КПД к единице (100 %) , тем экономичнее работает машина.

Если энергия или мощность передаются рядом последовательных механизмов, то суммарный КПД может быть определен, как произведение КПД всех механизмов:

где: η₁ , η₂ , η₃ , . η_n – КПД каждого механизма в отдельности.

Читайте также: