Сущность закона больших чисел в статистике кратко

Обновлено: 07.07.2024

Иллюстрация закона больших чисел с использованием определённой серии бросков одной игральной кости. По мере увеличения количества бросков в серии среднее значение всех исходов (выпавших значений) стремится к 3,5. В то время как разные серии бросков дадут различный профиль этой линии при небольшом количестве бросков (слева), после значительного количества бросков (справа) они окажутся очень похожи

Закон больших чисел (ЗБЧ) в теории вероятностей — принцип, описывающий результат выполнения одного и того же эксперимента много раз. Согласно закону, среднее значение конечной выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.

Закон больших чисел важен, поскольку он гарантирует устойчивость для средних значений некоторых случайных событий при достаточно длинной серии экспериментов.

Важно помнить, что закон применим только тогда, когда рассматривается большое количество испытаний.

Энциклопедичный YouTube

Субтитры

Взаимодействуя ежедневно в работе или учебе с цифрами и числами, многие из нас даже не подозревают о том, что существует очень интересный закон больших чисел, применяемый, например, в статистике, экономике и даже психолого-педагогических исследованиях. Он относится к теории вероятностей и говорит о том, что среднее арифметическое какой-либо большой выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.

Вы, наверное, заметили, что понять сущность этого закона непросто, особенно тем, кто не особо дружит с математикой. Исходя из этого, мы бы хотели рассказать о нем простым языком (насколько это возможно, конечно), чтобы каждый мог хотя бы примерно уяснить для себя, что это такое. Эти знания помогут вам лучше разобраться в некоторых математических закономерностях, стать более эрудированным и положительным образом повлиять на развитие мышления.

Понятия закона больших чисел и его трактовка

Помимо рассмотренного нами выше определения закона больших чисел в теории вероятностей, можно привести и его экономическое толкование. В этом случае он представляет собой принцип, согласно которому частоту финансовых потерь конкретного вида можно предсказать с высокой степенью достоверности тогда, когда наблюдается высокий уровень потерь подобных видов вообще.

Помимо этого, в зависимости от уровня сходимости признаков можно выделить слабый и усиленный законы больших чисел. О слабом речь идет, когда сходимость существует по вероятности, а об усиленном – когда сходимость существует практически во всем.

Если интерпретировать несколько иначе, то следует сказать так: всегда можно найти такое конечное число испытаний, где с любой запрограммированной наперед вероятностью меньше единицы относительная частота появления какого-то события будет крайне мало отличаться от его вероятности.

Таким образом, общую суть закона больших чисел можно выразить так: результатом комплексного действия большого количества одинаковых и независимых случайных факторов будет такой результат, который не зависит от случая. А если говорить еще более простым языком, то в законе больших чисел количественные закономерности массовых явлений будут явно проявляться только при большом их числе (поэтому и называется закон законом больших чисел).

Отсюда можно сделать вывод, что сущность закона состоит в том, что в числах, которые получаются при массовом наблюдении, имеются некоторые правильности, обнаружить которые в небольшом количестве фактов невозможно.

Сущность закона больших чисел и его примеры

Определенные посредством закона больших чисел закономерности сильны только тогда, когда представляют массовые тенденции, и они не могут быть законами для отдельных случаев. Так, вступает в силу принцип математической статистики, говорящий, что комплексное действие ряда случайных факторов способно стать причиной неслучайного результата. И наиболее яркий пример действия данного принципа – это сближение частоты наступления случайного события и его вероятности, когда возрастает количество испытаний.

Давайте вспомним обычное бросание монетки. Теоретически орел и решка могут выпасть с одной и той же вероятностью. Это означает, что если, к примеру, бросить монетку 10 раз, 5 из них должна выпасть решка и 5 – орел. Но каждый знает, что так не происходит практически никогда, ведь соотношение частоты выпадения орла и решки может быть и 4 к 6, и 9 к 1, и 2 к 8 и т.д. Однако с увеличением количества подбрасываний монетки, например, до 100, вероятность того, что выпадет орел или решка, достигает 50%. Если же теоретически проводить бесконечное количество подобных опытов, вероятность выпадения монетки обеими сторонами всегда будет стремиться к 50%.

На то, как именно упадет монетка, влияет огромное число случайных факторов. Это и положение монетки на ладони, и сила, с которой совершается бросок, и высота падения, и его скорость и т.д. Но если опытов много, вне зависимости от того, как воздействуют факторы, всегда можно утверждать, что практическая вероятность близка к вероятности теоретической.

А вот еще один пример, который поможет понять сущность закона больших чисел: предположим, что нам нужно оценить уровень заработка людей в каком-то регионе. Если мы будем рассматривать 10 наблюдений, где 9 человек получают 20 тыс. рублей, а 1 человек – 500 тыс. рублей, среднее арифметическое составит 68 тыс. рублей, что, естественно, маловероятно. Но если мы возьмем в расчет 100 наблюдений, где 99 человек получают 20 тыс. рублей, а 1 человек – 500 тыс. рублей, то при расчете среднего арифметического получим 24,8 тыс. рублей, что уже ближе к реальному положению дел. Увеличивая число наблюдений, мы будем заставлять среднее значение стремиться к истинному показателю.

Именно по этой причине для применения закона больших чисел в первую очередь необходимо набрать статистический материал, чтобы получать правдивые результаты, изучая большое число наблюдений. Потому-то и удобно использовать этот закон, опять же, в статистике или социальной экономике.

Подведем итоги

Значение того, что закон больших чисел работает, сложно переоценить для любой области научного знания, и особенно для научных разработок в области теории статистики и методов статистического познания. Действие закона также обладает большим значением и для самих изучаемых объектов с их массовыми закономерностями. На законе больших чисел и принципе математической статистике основываются практически все методы статистического наблюдения.

Но, даже не беря во внимание науку и статистику как таковые, можно смело сделать вывод, что закон больших чисел – это не просто явление из области теории вероятностей, но феномен, с которым мы сталкиваемся практически каждый день в своей жизни.

Надеемся, теперь сущность закона больших чисел стала вам более понятна, и вы сможете легко и просто объяснить его кому-то другому. А если тема математики и теории вероятностей вам интересна в принципе, то рекомендуем почитать о числах Фибоначчи и парадоксе Монти Холла. Также познакомьтесь с приближенными вычислениями в жизненных ситуациях и самыми популярными числами. И, конечно же, обратите внимание на наш курс по когнитивистике, ведь, пройдя его, вы не только овладеете новыми техниками мышления, но и улучшите свои когнитивные способности в целом, в том числе и математические.

Впервые статистику как науку стал преподавать немецкий ученый профессор философии и права Готфрид Ахенваль, который рассматривал политическое состояние государств и их особенности. Дальнейшее развитие дисциплина получила в трудах Г. Конринга, А. Шлецера и др. Основоположниками английской школы стали Э. Галлей, В. Петти, Д. Граунт, которые разработали основы демографической и страховой статистики. В статистико – математическое направление науки значительный вклад внес А. Кетле, обосновавший закономерности, действующие в массе социально-экономических явлений. Значительный вклад в развитие науки внесли Ф. Гальтон, К. Пирсон, Р. Фишер.

В качестве представителей российской школы статистики можно назвать И.К. Кириллова, В.Н. Татищева, М.В. Ломоносова, А.И. Чупрова, А.А. Чупрова, П.П. Чебышева, А.А. Маркова, А.М. Ляпунова, В.С. Немчинова, Б.С. Ястремского, Я.И. Лукомского.

В настоящее время разработкой статистической методологии в России занимаются С.А. Айвазян, О.Э. Башина, Б.И. Башкатов, И.К. Беляевский, Г. Л. Громыко, А. М. Дубров, М. Р. Ефимова, С. Д. Ильенкова, Г. Д. Кулагина, В. С. Мхитарян, Л. И. Нестеров, Б.Т. Рябушкин, А. А. Френкель, Р. А. Шмойлова.

Статистика связана со многими науками, которые изучают с количественной и качественной сторон происходящие социально-экономические (демография, экономическая теория, финансы организаций, страхование, государственные финансы, рынок труда и др..) биологические (агрономия, биология) и иные процессы и явления (математика, физика, информатика, математика, теория вероятностей, технические науки и др.).

Как у каждой науки, у статистики есть свои особенности, предмет и понятия.

Основными чертами статистики как науки является её массовость, количественная оценка явлений и неразрывность анализа с сущностью самого процесса или явления.

Статистика – это наука, которая изучает количественную сторону массовых социально – экономических явлений в неразрывной связи с их качественной стороной, а также количественное выражение закономерностей развития процессов в конкретных условиях места и времени.

Предмет, метод и задачи статистики

Предметом статистикиявляется количественная сторона массовых социально – экономических явлений и процессов, которая изучается неразрывно с их качественной стороной.

Особенность статистики как науки:

характеризует структуру социально – экономических явлений;
изучает явления во взаимосвязи с другими явлениями и обнаруживает причины такой взаимосвязи;
изучает общественные явления, как в статике, так и в динамике;
исследует не отдельные факты, а массовые социально – экономические процессы и явления;
изучает количественную сторону в конкретных условиях места и времени, т.е. размеры явлений и тенденции их развития.

Предмет статистики исследуется с помощью специальных приемов, способов и методов, направленных на количественное изучение массовых общественных социальных и экономических явлений и процессов.

Методы статистики:

метод массовых наблюдений (сбор первичных данных по единицам совокупности);
сводка и группировка заключаются в классификации, обобщении полученных первичных данных;
методы анализа обобщающих показателей – позволяют дать характеристику изучаемому явлению при помощи статистических величин: абсолютных, относительных и средних, установить взаимосвязи и закономерности развития процессов.

Статистика позволяет дать всестороннюю количественную оценку социально-экономического положения Российской Федерации. В связи с реформированием российской статистики перед ней поставлены новые задачи.

Задачи статистики:

совершенствование статистической информационной базы на основе разработки системы статистических показателей и внедрения государственных статистических стандартов с целью обеспечения органов государственного управления и других структур статистическими данными;
отражение социального и экономического положения страны и происходящих изменений, их объективная оценка;
переход к общей технологии сбора, обработки, передачи и представления статистической информации с обеспечением безопасности ее передачи и хранения

Основные понятия статистики. Закон больших чисел

Статистическая совокупность - определенное множество единиц совокупности, которые количественно отличаются друг от друга своими характеристиками, но объединены какой – либо качественной основой. Могут быть однородными и разнородными. Степень однородности совокупности обусловлена рядом причин и условий, как правило заданных исследователем. Например, численность населения с доходами ниже прожиточного минимума будет являться однородной совокупностью с точки зрения уровня бедности, но разнородной с точки зрения распределения населения по территории, пола, возраста и т.д.

Единица совокупности – первичный элемент статистической совокупности, который является носителем признака, подлежащего регистрации, т.е. основой ведущегося при обследовании счета.

Первичные признаки получают непосредственно в ходе статистического обследования, вторичные – в ходе последующих этапов исследования.

По форме внешнего выражения признаки подразделяют на атрибутивные (качественные) и количественные. Атрибутивные признаки могут быть альтернативными (если имеются только два значения). Например пол, качество изделий (стандартные и брак), результат подбрасывания монеты (орёл, решка) и т.д.

Вариация признака - степень количественного отличия индивидуальных значений признака у различных единиц совокупности.

Статистический показатель – эта категория, отображающая количественную характеристику или размеры соотношения признаков общественного или экономического явления. Таким образом, собранные сведения об объемах производства на уровне отдельного предприятия будут являться признаком, данные об объемах производства по всей отрасли (предприятиям) выступают в качестве показателя, который отражает размеры экономической деятельности отрасли.

Изучение статистических показателей позволяет дать обобщающую характеристику объема и состава явления, выявить и изучить статистические закономерности. Такие закономерности обнаруживаются при массовом наблюдении благодаря действию закона больших чисел.

Закон больших чисел – объективный закон, согласно которому одновременное действие большого числа случайных факторов приводят к результату почти независимо от каждого случая.

Текст лекции

Для студентов всех специальностей

Автор: к.э.н., доцент Демидова Л.Н.

План лекции	стр.
1. Исторические предпосылки статистики, её взаимосвязь с другими науками
2. Предмет, метод и задачи статистики
3. Основные понятия статистики. Закон больших чисел
4. Организация системы государственной статистики на современном этапе
Контрольные вопросы
Список использованной литературы

Исторические предпосылки статистики, её взаимосвязь с другими науками

Как у каждой науки, у статистики есть свои особенности, предмет и понятия.

Предмет, метод и задачи статистики

Особенность статистики как науки:

характеризует структуру социально – экономических явлений;
изучает явления во взаимосвязи с другими явлениями и обнаруживает причины такой взаимосвязи;
изучает общественные явления, как в статике, так и в динамике;
исследует не отдельные факты, а массовые социально – экономические процессы и явления;
изучает количественную сторону в конкретных условиях места и времени, т.е. размеры явлений и тенденции их развития.

Методы статистики:

метод массовых наблюдений (сбор первичных данных по единицам совокупности);
сводка и группировка заключаются в классификации, обобщении полученных первичных данных;
методы анализа обобщающих показателей – позволяют дать характеристику изучаемому явлению при помощи статистических величин: абсолютных, относительных и средних, установить взаимосвязи и закономерности развития процессов.

Задачи статистики:

совершенствование статистической информационной базы на основе разработки системы статистических показателей и внедрения государственных статистических стандартов с целью обеспечения органов государственного управления и других структур статистическими данными;
отражение социального и экономического положения страны и происходящих изменений, их объективная оценка;
переход к общей технологии сбора, обработки, передачи и представления статистической информации с обеспечением безопасности ее передачи и хранения

Основные понятия статистики. Закон больших чисел

Зако́н больши́х чи́сел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.

Всегда найдётся такое количество испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью относительная частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности.

Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.

Содержание

Слабый закон больших чисел

Пусть есть бесконечная последовательность (последовательное перечисление) одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин _^<\infty>" width="" height="" />
, определённых на одном вероятностном пространстве ,\mathbb)" width="" height="" />
. То есть их ковариация (X_i,X_j) = 0,\; \forall i \not=j" width="" height="" />
. Пусть X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb" width="" height="" />
. Обозначим выборочное среднее первых членов:

$S_n = \frac<1> \sum\limits_^n X_i,\; n \in \mathbb$
.

$S_n \to^<\!\!\!\!\!\! \mathbb Тогда > \mu$
.

Усиленный закон больших чисел

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин _^<\infty>" width="" height="" />
, определённых на одном вероятностном пространстве ,\mathbb)" width="" height="" />
. Пусть X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb" width="" height="" />
. Обозначим выборочное среднее первых членов:

$S_n = \frac<1> \sum\limits_^n X_i,\; n \in \mathbb$
.

$S_n \to \mu$

Тогда почти наверное.

См. также

Литература

Ширяев А. Н. Вероятность, — М .: Наука. 1989.
Чистяков В. П. Курс теории вероятностей, — М ., 1982.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Закон больших чисел" в других словарях:

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — (law of large numbers) В том случае, когда поведение отдельных представителей населения отличается большим своеобразием, поведение группы в среднем более предсказуемо, чем поведение любого ее члена. Тенденция, в соответствии с которой группы… … Экономический словарь

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — см. БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

Закон Больших Чисел — принцип, согласно которому количественные закономерности, присущие массовым общественным явлениям, наиболее явным образом проявляются при достаточно большом числе наблюдений. Единичные явления в большей степени подвержены воздействию случайных и… … Словарь бизнес-терминов

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — утверждает, что с вероятностью, близкой к единице, среднее арифметическое большого числа случайных величин примерно одного порядка будет мало отличаться от константы, равной среднему арифметическому из математических ожиданий этих величин. Разл.… … Геологическая энциклопедия

закон больших чисел — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN law of averageslaw of large numbers … Справочник технического переводчика

закон больших чисел — didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. law of large numbers vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. закон больших чисел, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к рез ту, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… … Российская социологическая энциклопедия

Закон больших чисел — закон, гласящий, что совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая … Социология: словарь

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — статистический закон, выражающий связь статистических показателей (параметров) выборочной и генеральной совокупности . Фактические значения статистических показателей, полученные по некоторой выборке, всегда отличаются от т.н. теоретических… … Социология: Энциклопедия

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — принцип, по которому частота финансовых потерь определенного вида может быть предсказана с высокой точностью тогда, когда есть большое количество потерь аналогичных видов … Энциклопедический словарь экономики и права

Читайте также: