Символический метод расчета цепей переменного тока кратко
Обновлено: 02.07.2024
Метод основан на символическом изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами.
Комплексное число С характеризуется следующими параметрами:
с – модуль комплексного числа , ;
a – аргумент комплексного числа, .
– алгебраическая форма записи;
– тригонометрическая форма записи;
– форма Эйлера (показательная форма);
– мнимая единица.
Арифметические операции над комплексными числами:
, ;
Изображение синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными числами. Пусть комплексное число . Вектор вращается, т.е. ; ,
Для имеем . Для того чтобы перейти от комплексного числа к мгновенному значению, нужно выразить это комплексное число в тригонометрической форме с учетом вращения вектора и взять коэффициент при мнимой части. Для перехода от мгновенного значения к комплексу в качестве модуля берется амплитуда, а в качестве аргумента – начальная фаза.
Комплекс действующего значения , а сопряженный комплекс тока .
Изображение сопротивлений и мощностей в комплексной форме (таблица). Есть и , причем . Тогда векторная диаграмма имеет вид рис. 1.23.
Возьмем два участка цепи a - b и c - d (см. рис. 1) и составим для них уравнения в комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительных направлений напряжений и токов.
Объединяя оба случая, получим
или для постоянного тока
Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС , согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, если их направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если их направление противоположно направлению тока.
Основы символического метода расчета цепей
синусоидального тока
Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.
Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.
Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.
1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:
2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:
или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС
3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:
§ первый закон Кирхгофа:
§ второй закон Кирхгофа
| Определить: | 1) полное комплексное сопротивление цепи ; |
| 2) токи | |
| Рис. 2 |
4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:
5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то
7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме
или после подстановки численных значений параметров схемы
Специальные методы расчета
Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета , к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.
Метод контурных токов
Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа . Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми . Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.
Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.
Пусть имеем схему по рис. 3.
Выразим токи ветвей через контурные токи:
Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем
Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:
совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.
Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:
При составлении уравнений необходимо помнить следующее:
- сумма сопротивлений, входящих в i- й контур;
- сумма сопротивлений, общих для i- го и k- го контуров, причем ;
члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”;
знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление i- й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае ставится знак “-”;
если i- й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то ;
в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, и “-”, если не совпадает.
В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:
Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали.
Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий через ветвь с k- м источником тока равен этому току .
Метод узловых потенциалов
Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева .
Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем .
Допустим, что и известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС
Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а :
и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:
Сгруппировав соответствующие члены, получим:
Аналогично можно записать для узла b :
Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:
1. В левой части i- го уравнения записывается со знаком “+”потенциал i- го узла, для которого составляется данное i- е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i- му узлу, и со знаком “-”потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к i- му и k- му узлам.
Из сказанного следует, что все члены , стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”, причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.
2. В правой части i- го уравнения записывается так называемый узловой ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i- му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i- му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к i- му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.
В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью.
1. Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
1. В ветви на рис. 1 . Определить ток .
2. В чем заключается сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока?
3. В чем состоит сущность метода контурных токов?
4. В чем состоит сущность метода узловых потенциалов?
5. В цепи на рис. 5 ; ; ; . Методом контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей.
6. В цепи на рис. 6 . Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов.
Для расчета цепей переменного тока, а также для аналнза процессов в электрических машинах широкое примененне получил так называемый символический метод, основанный на использовании комплексных чисел. Поэтому символический метод часто называют еще комплексным методом.
Как известно, комплексное число А (рис. 1-28) может быть записано в трех формах: алгебраической, тригонометрической и показательной:
где — модуль комплексного числа; — аргумент, показывающий ориентировку вектора на числовой плоскости, и
Если аргумент а изменяется со временем, например то точка на числовой плоскости, соответствующая комплексному числу описывает окружность радиуса А с центром в начале координат. Поэтому комплексное число может быть представлено вектором А, вращающимся против часовой стрелки с угловой скоростью . Эта особенность комплексных чисел и дает возможность применять их к гармонически изменяющимся величинам.
Пусть в некоторой цепи напряжение и ток изменяются по закону синуса с разностью фаз :
Так, в активно-индуктнвной цепи (рис. 1-29, а и б), где за основной вектор выбран вектор тока комплекс тока будет равен вектор совпадает с вектором тока поэтому комплекс падения напряжения на активном сопротивлении равен
Вектор (длина которого опережает вектор тока на поэтому комплекс этого вектора равен
так как поворот вектора против часовой стрелки на — соответствует его умножению на
По второму закону Кирхгофа приложенное напряжение U равно
или в комплексной форме
где — комплекс полного сопротивления (не вектор!) для активно-индуктивной цепи; фаз.
Тогда закон Ома для цепи переменного тока в комплексной форме имеет вид
а для активно-индуктивной цепи можно получить
Комплекс полного сопротивления может быть выражен и в показательной форме:
где модуль полного сопротивления.
В активно-емкостной цепи (рис. 1-30, а и б) вектор модуль которого отстает от вектора тока на поэтому
так как поворот вектора по часовой стрелке на — соответствует его умножению на
Для этой цепи напряжение в комплексной форме равно
где комплекс полного сопротивления активно-емкостной цепи; фаз; — модуль полного сопротивления.
Для активно-емкостной цепи можно получить:
получения мощности в комплексной форме принято брать произведение комплекса напряжения U на сопряженный комплекс
Здесь вещественная часть представляет собой активную мощность, а мнимая множителя ) — реактивную. Модуль комплекса мощности дает полную (кажущуюся) мощность:
В заключение в качестве примера рассмотрим порядок расчета сложной цепи (рис. 1-31) переменного тока на основе символического метода.
Пусть известно приложенное напряжение и все сопротивления, включенные в цепь. Необходимо найти токи.
Чарльз Протеус Штейнмец (Steinmetz, Charles Proteus) (1865–1923), американский инженер-электротехник. Родился 9 апреля 1865 в Бреслау в Германии (ныне Вроцлав, Польша). Учился в университете Бреслау, окончил Высшую техническую школу в Цюрихе. В 1889 эмигрировал в США.
Работал на небольшой электротехнической фирме в Йонкерсе (шт. Нью-Йорк). Под влиянием владельца фирмы Р. Айкемейера заинтересовался электротехникой. Организовал лабораторию, где и выполнил большинство своих исследований. Прежде всего он занялся определением потерь мощности в магнитных материалах, использующихся в электрооборудовании, и получилэмпирическую формулу для расчета потерь на гистерезис (1890–1892). Это позволяло заранее учитывать потери мощности при расчетах трансформаторов, электродвигателей, генераторов переменного тока и других электрических устройств.
В 1892 Штейнмец сделал два доклада на эту тему на конференции в Американском институте инженеров-электриков. Работа сразу получила признание, а вычисленные им коэффициенты потерь на гистерезис были включены в электротехнические справочники.
Второе важное достижение Штейнмеца – разработка основ символического метода расчета цепей переменного тока, о котором он сделал доклад на Международном электрическом конгрессе в 1893. Метод быстро нашел практическое применение, чему немало способствовали многочисленные лекции на эту тему, прочитанные Штейнмецем, и его книгаМатематика для инженеров (Engineering Mathematics, 1910).
Вначале он участвовал в создании мощных генераторов для новой гидроэлектростанции на Ниагарском водопаде, предложив множество усовершенствований. Затем, занявшись изучением кратковременных изменений в электрических цепях, исследовал природу молнии и предложил способ защиты от нее линий электропередачи. Кроме того, он занимался проектированием и расчетами светотехнических устройств и крупных электрических машин.
Анализ электромагнитных процессов в электрических цепях переменного тока в общем случае возможен только с использованием представления токов, напряжений и параметров цепи комплексными числами. Это позволяет исключить тригонометрические функции из уравнений, описывающих электрическую цепь и сделать их линейными. Так как при этом все величины заменяются их изображениями или символами, то этот метод носит название символического.
Последовательность операций в символическом методе в общем случае следующая:
· преобразование всех величин и параметров электрической цепи в их изображения комплексными числами;
· преобразование исходной электрической цепи в символическую схему замещения, где все величины и параметры представлены изображениями;
· эквивалентные преобразования схемы замещения (если требуется);
· определение искомых величин в области изображений;
· преобразование искомых величин в оригиналы (если требуется).
Последняя операция не является обязательной, т.к. некоторые величины (амплитудные и действующие значения токов и напряжений, активные и реактивные составляющие и т.п.) не изменяются при обратном преобразовании.
Соединим последовательно лампу накаливания с сопротивлением R, батарею конденсаторов с емкостью С и катушку с большой индуктивностью L. Если данную цепь присоединить к зажимам генератора переменного тока, то лампа загорится, что свидетельствует о наличии электрического тока в цепи, несмотря на разрыв, существующий между изолированными друг от друга обкладками конденсатора.
Для цепи переменного тока с последовательным соединением R, L, С (см. рисунок) дифференциальные уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:
Здесь ток во всех трех участках один и тот же:
Разности потенциалов на всех трех сопротивлениях имеют вид:
Решение системы дифференциальных уравнений можно существенно упростить, если перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Это можно сделать, изображая синусоидальные величины (i, u) в комплексной форме, т.е. в виде вектора на комплексной плоскости.
Рис 1 Вектор Um и его проекции.
Расположим под углом относительно оси абсцисс вектор Um, длина которого в масштабе равна амплитуде изображаемой величины. Положительные углы будем откладывать в направлении против часовой стрелки.
Проекции вектора на вертикальную ось мнимых величин в комплексной плоскости равны мгновенному значению напряжения.
Система векторов на комплексной плоскости называется векторной диаграммой. Вектора вращаются относительно центра координат с одной и той же скоростью и поэтому относительно друг друга их положение не меняется. Векторная диаграмма изображается неподвижной в заданный момент времени, определяемый начальной фазой какой-либо величины, например, для идеальных элементов R, L, С.
Рис 2.Векторные диаграммы для идеальных элементов R, L, C.
Сложение двух функций в тригонометрической форме трудоемко, но легко производится в векторной форме.
Рис 3.Векторные диаграммы сложения двух напряжений
В расчетах применяют три формы записи комплексных величин:
1) алгебраическая
2)тригонометрическая
3) показательная, учитывая
Символ j перед мнимой частью комплексного числа в алгебраической форме означает, что мнимая часть повернута по отношению к вещественной на угол 90° в положительном направлении (против часовой стрелки).
Переходы из одной формы записи в другие:
где
где
Представленная ранее система дифференциальных уравнений для цепи переменного тока с R, L, С в комплексном виде записывается следующим образом:
Используя выражения , запишем выражение для полного напряжения цепи:
где
- комплексное сопротивление;
- комплексная амплитуда напряжения;
- комплексная амплитуда тока.
При замене амплитудных значений на действующие получим закон Ома в комплексной форме:
Величину Z называют полным сопротивлением цепи переменного тока.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:
Векторная диаграмма напряжений для цепи с последовательным соединением R, L, C будет представлять собой прямоугольный треугольник.
Рис 4.Треугольник напряжений
Треугольники токов, сопротивлений и мощностей строятся аналогично
Рис. 5. Активная и реактивная мощности
Полная мощность S = UI;
активная мощность
реактивная мощность ,где
В треугольниках напряжений, токов, сопротивлений и мощностей угол сохраняет свое значение.
Читайте также: