Школьный чемпионат по настольному теннису проводили по олимпийской системе
Обновлено: 02.07.2024
3) В викторине участвуют 5 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых двух играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет третий раунд?
4) Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира. Всего в турнире участвует 10 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга - Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
5) Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью р = 20/23 на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 — р на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен —1?
Ответ. 16.
Решение. Так как в каждом туре для каждого игрока нашлась пара и в каждой паре один из игроков выбывал, то общее количество игроков после каждого тура уменьшалось в два раза. Победитель участвовал в каждом туре и побеждал, значит, всего туров было шесть. Так как после шестого тура победитель определился однозначно, то всего участников было 26=64. Проигравшие в первом туре имеют одно поражение и ноль побед, проигравшие во втором туре имеют одну победу и одно поражение. Все вышедшие в третий тур будут иметь по итогам турнира не менее двух побед и не более одного поражения (после которого они выбыли), то есть у них количество побед больше количества поражений. Так как после каждого тура количество участников уменьшалось в два раза, то в третий тур вышло 16 участников.
Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность проигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом?
Решение:
Если в турнире участвуют 16 игроков, то в 1 туре будет сыграно 8 партий, во 2 туре – 4 партии, в 3 туре – 2 партии и в 4 туре (финал) – 1 партия.
– вероятность победы игрока;
Иван и Алексей могут сыграть друг с другом в 1 туре .
Рассмотрим возможных соперников Ивана. Их 15 человек. По результатам жеребьевки 1 тура Иван будет играть с Алексеем с вероятностью:
Таким образом, вероятность сыграть Ивану и Алексею в 1 туре между собой равна:
Если Иван и Алексей не сыграли между собой в 1 туре, то они могут сыграть между собой во 2 туре . Для этого должны быть выполнены два условия: 1) они не сыграли друг с другом в 1 туре (вероятность этого события ) И 2) оба должны победить каждый в своей партии.
Вероятность того, что Иван и Алексей окажутся во 2 туре, равна:
Во 2 туре играет 8 человек, то есть 7 возможных соперников для каждого. По результатам жеребьевки 2 тура Иван будет играть с Алексеем с вероятностью:
Значит, играть Иван и Алексей между собой во 2 туре будут с вероятностью:
Если Иван и Алексей не играли между собой во 2 туре, то они могут выйти в 3 тур . Это произойдет с вероятностью:
В 3 туре играет 4 человека, то есть 3 возможных соперника для каждого. По результатам жеребьевки 3 тура Иван будет играть с Алексеем с вероятностью:
Значит, Иван и Алексей сыграют между собой в 3 туре с вероятностью:
Вероятность выхода Ивана и Алексея в 4 тур :
Если Иван и Алексей вышли в 4 тур, то есть в финал, то они обязательно сыграют друг с другом:
Вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом:
Задание 10 № 508870
Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Заметим, что поскольку в турнире участвуют 16 игроков, всего будет четыре тура, в каждом из которых будут играть 16, 8, 4 и 2 человека соответственно. Пусть событие A — Иван с Алексеем сыграли друг с другом в первом туре, событие B — они не сыграли друг с другом в первом туре, но выиграли свои игры в первом туре и встретились во втором, событие C — они не сыграли друг с другом в первом и втором туре, но выиграли свои игры в первом и втором туре и встретились в третьем, D — они не сыграли друг с другом в первом, втором и третьем туре, но выиграли свои игры в первом, втором и третьем туре и встретились в четвёртом.
Вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в первом туре, равна Вероятность события, при котором Иван с Алексеем не сыграли друг с другом в первом туре, но оба выиграли в первом туре и встретились во втором туре, равна
Аналогично, вероятность события C:
Осталось найти вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в четвёртом туре:
Читайте также: