Сформулируйте определение прямой пропорциональности кратко

Обновлено: 05.07.2024

Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:

$$<\left\< \begin- \infty \lt x \lt + \infty - аргумент, \quad любое \quad действительное \quad число \\ k = const ≠ 0 \quad - параметр, \quad константа \\ y = kx \quad - функция\end \right.>$$

Функция такого вида называется прямой пропорциональностью .

Если $k \gt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция возрастает.

Если $k \lt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция убывает.

График прямой пропорциональности

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Значит, положение прямой на плоскости полностью определяется двумя точками . Получаем:

3 Как расположен в координатной плоскости график функции у = kx при к > 0 и при к *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
х = 1 * 30 : 12/8
х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным. [1] . Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно, длина стороны квадрата зависит от его площади.

Содержание

Пример

Масса керосина пропорциональна его объёму: 2 л керосина весят 1,6 кг, 5 л весят 4 кг, 7 л весят 5,6 кг. Отношение массы к объёму всегда будет равно плотности:

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т. д.

Коэффициент пропорциональности

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой [1] .

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность — функциональная зависимость, при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально, в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.

Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:

f(x) = ax,a = const

Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат.

Обратная пропорциональность

Обра́тная пропорциона́льность — это функциональная зависимость, при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).

Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:

$y=\frac <k></p> <p> , k\neq 0$

Свойства функции:

См. также

Источники

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Прямая пропорциональность" в других словарях:

прямая пропорциональность — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN direct ratio … Справочник технического переводчика

прямая пропорциональность — tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. прямая пропорциональность, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — (от лат. proportionalis соразмерный, пропорциональный). Соразмерность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ отлат. proportionalis, пропорциональный. Соразмерность. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, пропорциональности, мн. нет, жен. (книжн.). 1. отвлеч. сущ. к пропорциональный. Пропорциональность частей. Пропорциональность телосложения. 2. Такая зависимость между величинами, когда они пропорционально (см. пропорциональный … Толковый словарь Ушакова

Пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности … Википедия

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. пропорциональный. 2. В математике: такая зависимость между величинами, при к рой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз. Прямая п. (при к рой с увеличением одной величины… … Толковый словарь Ожегова

пропорциональность — и; ж. 1. к Пропорциональный (1 зн.); соразмерность. П. частей. П. телосложения. П. представительства в парламенте. 2. Матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент пропорциональности. Прямая п. (при которой с… … Энциклопедический словарь

пропорциональность — и; ж. 1) к пропорциональный 1); соразмерность. Пропорциона/льность частей. Пропорциона/льность телосложения. Пропорциона/льность представительства в парламенте. 2) матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент… … Словарь многих выражений

Обратная пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно,… … Википедия

линейная зависимость — прямая пропорциональность. множитель. см. константа … Идеографический словарь русского языка

Пропорциональностью в алгебре называют зависимость между парой величин, при которой изменение одной из них приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность бывает двух видов:

Предположим, что скорость движения автомобиля составляет 50 км/ч. По определению, скоростью является расстояние, преодолеваемое за единицу времени. В данном случае транспортное средство проезжает 50 километров в течение 1 часа.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Если автомобиль движется в течение еще одного часа с такой же скоростью 50 км/ч, то он преодолеет расстояние в 100 км.

Согласно примеру, увеличение времени в 2 раза сопровождается увеличением пройденного расстояния во столько же раз, то есть в 2 раза. Величины времени и расстояния будут прямо пропорциональными. Они обладают взаимосвязью, которую называют прямой пропорциональностью.

Прямая пропорциональность – это взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них приводит к увеличению другой во столько же раз и, наоборот, при уменьшении одной величины в какое-то число раз, другая величина уменьшается во столько же раз.

Предположим, что вначале водитель планировал проехать 100 км за 2 часа, но после того, как он преодолел 50 км, произошла остановка. В таком случае, уменьшая расстояние в 2 раза, получим, что время уменьшится тоже в 2 раза.

Особенностью прямо пропорциональных величин является стабильность их отношений. Таким образом, во время изменения значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается постоянным. Рассмотренная ситуация характеризуется изменением расстояния с 50 км при значении времени в 1 час. Отношение расстояния ко времени равно 50 и определяется формулой:

После увеличения времени движения автомобиля в 2 раза, оно составит 2 часа. Таким образом, расстояние также увеличилось в 2 раза до 100 км. Отношение 100 км к 2 часам равно числу 50:

Число 50 представляет собой коэффициент прямой пропорциональности. Эта величина демонстрирует, какое расстояние соответствует одному часу движения. В условиях рассматриваемого примера данный коэффициент является скоростью движения автомобиля, исходя из ее определения.

С помощью прямо пропорциональных характеристик можно составлять пропорции. Например, записанные ранее отношения составляют пропорционально:

Представленное выражение читают таким образом: 50 км так относятся к 1 часу, как 100 км относятся к 2 часам.

Линейное уравнение относительно двух переменных x и y имеет такой вид:

Известно, что график записанного равенства является прямая линия, любая точка на которой имеет два числа в виде координат x и y, то есть абсциссы и ординаты. Каждая точка этой прямой соответствует заданному уравнению. Если выразить y через x, получим:

Принимая во внимание, что $b\neq 0$ , можно поделить на него две части выражения:

Сделать уравнение более удобным можно с помощью следующих обозначений:

Данным способом была выведена линейная функция y от x в общем виде. В этом случае были применены новые обозначения:

x — в виде независимой переменной или аргумента;
y — представляет собой зависимую переменную или функцию;
k и m — являются параметрами, полностью и однозначно определяющими конкретную линейную функцию.

В том случае, когда m = 0, уравнение примет вид:

Данная функция представляет собой прямую пропорциональность. Она определяется с помощью единственного параметра k.

Исследование функции прямой пропорциональности и ее график

Функция, которая обладает видом y = kx, где k — число (k≠0), является функцией прямой пропорциональности.

Число k представляет собой коэффициент пропорциональности. Переменная y пропорциональна переменной x. Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции

y = kx + m, если m=0

График прямой пропорциональности изображают в виде прямой, которая пересекает начало координат или точку O (0;0). Для того чтобы построить график прямой пропорциональности, требуется взять одну точку, вторая – будет точкой O.

Прямая пропорциональность характеризуется следующими свойствами:

областью определения является множество действительных чисел: D(y): x∈(-∞;+∞) (или x∈R);
областью значений является множество действительных чисел: D(y): y∈(-∞;+∞) (или y∈R);
нуль функции (y=0) при x=0;
если k>0, функция y = kx возрастает, а при k 0, график функции пересекает первую и третью координатные четверти. Функция будет обладать положительными значениями, если значения аргумента положительные:

Функция будет обладать отрицательными значениями, если значения аргумента отрицательные:

Если k 0 при x 0.

Величина k представляет собой угловой коэффициент прямой y = kx. С другой стороны, k является тангенсом угла α, образованного прямой и положительным направлением оси Ох.

В качестве примера можно рассмотреть такие функции:

y = 2x в виде прямой пропорциональности;
y = 2x + 1 в виде линейной функции;
y = 2x – 1 в виде линейной функции.

Можно построить график рассматриваемых функций. Каждая из них обладает коэффициентом k = 2. Для первой функции m = 0, для второй: m = 1, для третьей: m = -1. Данные величины вытекают из стандартной записи линейного уравнения:

Необходимо представить данные в виде таблицы:

График примет такой вид:

Прямые, которые были построены, параллельны. Это объясняется равенством их угловых коэффициентов. Согласно теореме, если y = kx является графиком прямой пропорциональности, тогда график y = kx + m будет ему параллелен, так как коэффициентом k определяется угол наклона к оси x, и данный коэффициент y функций будет обладать равными значениями.

Примеры задач на прямую пропорциональность

Требуется определить соотношение между угловыми коэффициентами, согласно графику:

Требуется построить график прямой пропорциональности при том, что на данном графике есть точка с координатами (2;8).

Построить прямую можно через пару точек. Первая будет обладать координатами (0;0), исходя из того, что любой график прямой пропорциональности пересекает точку (0;0). Вторая точка дана в условии задачи (2;8).

Задачу можно решить другим способом. Согласно координатам точки (2;8), получим:

Читайте также: