Расскажите об алгебраической форме комплексного числа кратко

Обновлено: 03.07.2024

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

• вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
• мнимая часть, обозначение $Imz=b$.

В обозначениях действительной и мнимой частей любое комплексное число $z$ можно записать в виде $z=Rez+Imz\cdot i$.

При $Rez=a=0$ получаем чисто мнимое комплексное число $z=0+bi=bi$.

Комплексное число вида $z=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Представление комплексно-сопряженного числа $z=a-bi$ в алгебраической форме записи имеет вид $z=a+(-b)i$.

Комплексно-сопряженное число вида $z=a-bi$ часто приводят к алгебраической форме записи $z=a+(-b)i$, однако при решении задач допускается и запись $z=a-bi$.

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

1) $z=2-3i$; 2) $z=3\cdot (2+3i)$.

Готовые работы на аналогичную тему

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=2,b=-3$.

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом \[z=2+(-3)i.\]

2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления: \[z=3\cdot (2+3i)=3\cdot 2+3\cdot 3i=6+9i\]

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом \[z=6+9i.\]

Представить в алгебраической форме заданные комплексные числа, для которых:

\[1) Rez=0,Imz=5; 2) Rez=4,Imz=0; 3) Rez=10,Imz=\sqrt ; 4) Rez=\frac > ,Imz=-\frac > .\]

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$, где $Rez=a$ и $Imz=b$.

Для $Rez=0,Imz=5$ получаем комплексное число $z=0+5i$.

Для $Rez=4,Imz=0$ получаем комплексное число $z=4+0i$.

Для $Rez=10,Imz=\sqrt $ получаем комплексное число $z=10+\sqrt i$.

Для $Rez=\frac > ,Imz=-\frac > $ получаем комплексное число $z=\frac > +\left(-\frac > \right)i$.

Представить комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z=\frac > $.

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

Следовательно, $z=\frac > +(-\sqrt )i$ - искомая запись комплексного числа.

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt +b^ > $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac $.

Чтобы комплексное число $z$, записанное в тригонометрической форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:

подставить в запись числа соответствующие значения для $\cos \varphi $ и $\sin \varphi $ (использовать таблицы Брадиса);

преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

\[1) z=3\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi ); 2) z=\frac > \cdot (\cos \frac<\pi > +i\sin \frac<\pi > ).\]

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) По таблице косинусов и синусов $\cos 2\pi =1;\sin 2\pi =0$.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления: \[z=3\cdot \left(1+0i\right)=3+0\cdot i.\]

Следовательно, $z=3+0\cdot i$ - искомая запись комплексного числа.

2) По таблице косинусов и синусов $\cos \frac<\pi > =\frac > ;\sin \frac<\pi > =\frac > $.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

Следовательно, $z=\frac +\frac \cdot i$ - искомая запись комплексного числа.

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^ $ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt +b^ > $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac $.

Чтобы комплексное число $z$, записанное в показательной форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:

• записать комплексное число в тригонометрической форме;
• подставить в запись числа соответствующие значения для $\cos \varphi $ и $\sin \varphi $ (использовать таблицы Брадиса);
• преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=3\cdot (\cos \frac<\pi > +i\sin \frac<\pi > )$.

По таблице косинусов и синусов $\cos \frac<\pi > =\frac ;\sin \frac<\pi > =\frac <\sqrt> $.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

Следовательно, $z=\frac +\frac <3\sqrt> \cdot i$ - искомая запись комплексного числа.

2) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=6\cdot (\cos \pi +i\sin \pi )$.

По таблице косинусов и синусов $\cos \pi =-1;\sin \pi =0$.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

\[z=3\cdot \left(-1+0\cdot i\right)=-1+0\cdot i.\]

Следовательно, $z=-1+0\cdot i$ - искомая запись комплексного числа.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что в каком бы виде не было записано комплексное число $z$, его всегда можно представить в алгебраической форме записи $z=a+bi$.

.

.

.

Например:

Также, в зависимости от решаемой задачи, вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или показательную форму.

Задание	Записать число в алгебраической форме, найти его действительную и мнимую части, а также сопряженное число.
Решение	Применяя почленное деление дроби и правило сложения дробей, получаем:

Следовательно, действительной частью комплексного числа -\fraci" width="94" height="22" />
является число z=\frac" width="116" height="22" />
, мнимой частью является число z=-\frac" width="123" height="22" />
.

.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сравнение

Два комплексных числа =x_+iy_" width="106" height="16" />
и =x_+iy_" width="106" height="16" />
называются равными, если =x_,\text < >y_=y_" width="136" height="12" />
, т.е. равны их действительные и мнимые части.

Задание	Определить, при каких и два комплексных числа и являются равными.
Решение	По определению два комплексных числа являются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. .
Ответ

Сложение

Сложение комплексных чисел =x_+iy_" width="106" height="16" />
и =x_+iy_" width="106" height="16" />
выполняется непосредственным суммированием действительных и мнимых частей:

Задание	Найти сумму комплексных чисел .
Решение	Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью является число . Действительная и мнимая части комплексного числа равны и , соответственно.

Следовательно, сумма комплексных чисел равна:

Подробнее про сложение комплексных числе читайте в отдельной статье: Сложение комплексных чисел.

Вычитание

Вычитание комплексных чисел =x_+iy_" width="106" height="16" />
и =x_+iy_" width="106" height="16" />
выполняется непосредственным вычитанием действительных и мнимых частей:

Задание	Найти разность комплексных чисел =17-35i, \text< >z_=15+5i" width="222" height="17" /> .
Решение	Найдем действительные и мнимые части комплексных чисел =17-35i, \text< >z_=15+5i" width="222" height="17" /> :

Следовательно, разность комплексных чисел равна:

Умножение

Умножение комплексных чисел =x_+iy_" width="106" height="16" />
и =x_+iy_" width="106" height="16" />
выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы =-1" width="63" height="17" />
:

Задание	Найти произведение комплексных чисел .
Решение	Произведение комплексных чисел равно:

Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.

Деление

Частное комплексных чисел =x_+iy_" width="106" height="16" />
и =x_+iy_" width="106" height="16" />
находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:

Задание	Разделить число 1 на комплексное число .
Решение	Поскольку мнимая часть вещественного числа 1 равна нулю, частное чисел равно:

Подробнее про деление комплексных чисел читайте в отдельной статье: Деление комплексных чисел.

где a и b− вещественные числа, i− некоторый символ, удовлетворяющий следующему равенству: i 2 =−1.

Комплексное число можно представить как упорядоченная пара вещественных чисел.

Определение 1. Комплексными числами называются упорядоченные пары вещественных чисел, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отожествления некоторых пар с вещестенными числами подчиняются следующим правилам:

1. Пары (a,b) и (c,d) считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты:

2. Суммой пар (a, b) и (c, d) называется пара (a+c, b+d), т.е.

(a,b)+(c,d)= (a+c, b+d).

3. Произведение пар (a, b) и (c, d) называется пара (ac−bd, ad+bc), т.е.

(a,b)(c,d)= (ac−bd, ad+bc).

4. Пара (a, 0) отождествляется с вещественным числом a, т.е. (a, 0)=a.

Правило 4 определения 1 представляет связь между вещественными и комплексными числами. Точнее указывает на то, что множество вещественных чисел является частью комплексных чисел.

Сопоставим правило 4 с 1. Пусть вещественные числа a и c равны, тогда по правилу 4 этим числам соответствуют комплексные числа (a, 0) и (c, 0). Поскольку a=c, имеем (a, 0)=(c, 0), т.е. выполнено правило 1.

Сопоставим правило 4 с 2. Сумма пар (a, 0) и (c, 0) согласно правилу 2 равна (a, 0)+(c, 0)=(a+c, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с суммой вещественных чисел a и c.

Сопоставим правило 4 с 3. Согласно правилу 3 произведение пар (a, 0) и (c, 0) равно (a, 0)(c, 0)=(ac−0·0, a0+0c)=(ac, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с произведением вещественных чисел a и c.

Из правил 3 и 4 вытекает следующая формула

m(a, b)=(ma, mb),

где m− любое вещественное число. Действительно m(a, b)=(m, 0)(a, b)=(ma−0b, mb+0a)=(ma, mb).

Проверим теперь, что привычные свойства вещественных чисел сохраняются при переходе к комплексным числам, т.е. комплексные числа образуют поле.

1.(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b). (коммутативность сложения). Действительно, левая часть равна (a+с,b+d), правая часть равна (с+a,d+b). Из коммутативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны.

2. ((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a,b)+((c,d)+(e,f)) (ассоциативность сложения). Действительно, из ассоциативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны (a+c+e, b+d+f).

3. (a,b)+(0, 0)=(a,b). Следовательно пара (0, 0) (отожествляемая с вещественным числом 0) соответствует нулю при сложении пар.

4. (a,b)+ (−a,−b)=(0, 0). Т.е. для кажддой пары (a,b) существует противоположная пара (−a,−b).

5. (a,b)(c,d)=(c,d)(a,b)(коммутативность множения). Действительно, левая часть равна (ac−bd, ad+bc), правая часть равна (ca−db, da+cb). Следовательно они равны.

6. ((a,b)+(c,d))(e,f)=(a,b)(e,f)+(c,d)(e,f)(левая дистрибутивность).

6'. (e,f)((a,b)+(c,d))=(e,f)(a,b)+(e,f)(c,d)(правая дистрибутивность).

Проверм свойство 6. Левая часть уравнения равна

Правая часть уравнения равна

Следовательно левая и правая части равны.

Из коммутативности умножения следует справедливость свойства 6'.

7. (ассоциативность умножения).

Левая часть равна

Правая часть равна

Левая и правая части равны. Следовательно свойство 7 выполняется.

8. .

Свойство 8 определяет пару (1, 0), которая отожествляется с вещественным числом 1.

Итак из свойств 1−8 следует, что комплексные числа составляют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Введем понятие сопряженных комплексных чисел. Пары называются сопряженными , если отличаются знаком второй компоненты. Пары (a,b) и (a,−b) сопряженные пары (сопряженные комплексные числа).

Умножив сопряженные пары

получим, что их произедение равно неотрицательному числу a 2 +b 2 . Это число, равно нулю тогда и только тогда, когда a=0, b=0, т.е. тогда и только тогда, когда (a,b)=0.

Пусть (a,b)≠0. Тогда

является обратной парой (и обозначается через (a, b) −1 ), т.е. выполняется следующее равенство

Представим следующее свойство.

9. Для любой пары (a,b) отличной от нуля, существует обратная (a, b) −1 :

Итак, свойства 1−9 показывают что комплексные числа образуют поле.

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Представим, теперь, комплексное число в алгебаической форме записи. Комплексное число (a,b) можно представить так:

Из правила 3 определения 1 следует:

Таким образом алгебраическая форма комплексного числа имеет вид:

.

Первая компонента комплексного числа называется вещественной частью комплексного числа α и обозначается Reα, а вторая компонента называется мнимой частью и обозначается Imα. Отметим, что как вещественная часть (a), так и мнимая часть (b) комплексного числа вещественные числа.

Говоря о комплексных числах надо помнить, что вещественные числа являются частным случаем комплексных, которые имеют нулевую вторую компоненту. К примеру a вещественное число, которое соответствует комплексному числу α=a+0i.

Вычитание и деление комплексных чисел

Вычитание и деление определяются как обратные к действиям сложения и умножения.

Утверждение 1. Пусть α и β − комплексные числа. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=(−α)+β так, что α+γ=β.

Доказательство. Возьмем комплексное число γ=(−α)+β и подставим в уравнение α+γ=β. Имеем α+γ=α+(−α)+β=β. Так что γ=(−α)+β удовлетворяет требованию утверждения.

Обратно. Пусть α+γ=β. Добавим в обе части уравнения число −α. Тогда

Таким образом всякое число, отличное от (−α)+β не удовлетворяет требованию утверждения.

Число (−α)+β является разностью чисел β и α и обозначается β−α.

Утверждение 2. Пусть α и β − комплексные числа и α≠0. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=α −1 β так, что αγ=β.

Доказательство. При γ=α −1 β, имеем

Еслиαγ=β, то умножив обе части этого уравнения на α −1 , получим:

Число =α −1 β является частным от деления β на α. Частное обычно записывается так: . Как известно значение дроби не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Поэтому можно записать:

Вычислять частное от деления комплексных чисел удобно умножая числитель и знаменатель на комплексное сопряженное с знаменателем:

.

где вещественное число.

.

Для сложения вычитания умножения и деления комплексных чисел, пользуйтесь онлайн калькулятором комплексных чисел.

Геометрическое представление комплексных чисел

Комплексные числа представляются как точки на плоскости. Горизонтальная ось называется действительной осью и обозначается через R, а вертикальная ось − мнимой осью и обозначается через I. Плоскость, точки которой отожествлены с комплексными числами называется комплексной плоскостью . На рис.1 представлено комплексное число α=a+bi. Свяжем с этой точкой вектор исходящий из начала координат в точку, изображающую это комплексное число (назовем этот вектор радиус-вектором этой точки).

Число, противоположное числу α=a+bi будет точкой комплексной плоскости, симметричной с точкой α относительно начала координат (−α=−a−bi).

Сложение и вычитание комплексных чисел можно представить на комплексной плоскости в виде сложения и вычитания радиус векторов соответствующих точек. Сложение векторов α и β выполняется по правилу параллелограма (рис.2).

Вычитание векторов α и β эквивалентна сложению векторов α и −β, поэтому сначала строится противоположная к вектору β, далее слагаются векторы α и −β (рис.3).

Определение Запись комплексного числа в виде z= а+ bi называется алгебраической формой записи комплексного числа, где а – действительная часть, b – мнимая часть.

Любое действительное число можно представить в виде комплексного числа а+ bi

Определение Комплексное число а- bi называется комплексно сопряженным с числом а+ bi

Определение Комплексное число -а- bi называется противоположным с числом а+ bi

Определение Модулем комплексного числа z= а+ bi называется

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексное число z= а+ bi можно изобразить точкой плоскости с координатами (а;b), ось Ох – действительная, ось Оу – мнимая.

Каждой точки плоскости (а;b) соответствует один и только один вектор плоскости с началом в т О (0;0) и концом в точке М (а;b)

Геометрические свойства:

- Длина вектора равна модулю ;

- Точки z=a+bi и z=a – bi симметрично относительно оси Ох;

- Точки z и –z симметричны относительно начала координат;

- Число z₁+z₂ геометрически изображается, как вектор построенный по правилу сложения векторов соответствующих точкам z₁ и z₂;

- Расстояние между точками z₁ и z₂ равно

Угол φ, отсчитываемый от положительного направления действительной

оси, называется аргументом комплексного числа.

Если отсчет ведется против часовой стрелки, то φ>0, если по часовой

Определение Два комплексных числа а₁+ b₁i а₂+ b₂i называются равными, если а₁= а₂ b₁= b₂

Определение Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число равное а₁+ b₁i + а₂+ b₂i= (а₁+а₂) + (b₁+ b₂) i

Определение Разностью двух комплексных чисел называется комплексное число равное а₁+ b₁i - а₂ - b₂i= (а₁-а₂) + (b₁- b₂) i

Определение Частным двух комплексных чисел называется комплексное число равное

Определение Запись комплексного числа в виде z= а+ bi называется алгебраической формой записи комплексного числа, где а – действительная часть, b – мнимая часть.

Любое действительное число можно представить в виде комплексного числа а+ bi

Определение Комплексное число а- bi называется комплексно сопряженным с числом а+ bi

Определение Комплексное число -а- bi называется противоположным с числом а+ bi

Определение Модулем комплексного числа z= а+ bi называется

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексное число z= а+ bi можно изобразить точкой плоскости с координатами (а;b), ось Ох – действительная, ось Оу – мнимая.

Каждой точки плоскости (а;b) соответствует один и только один вектор плоскости с началом в т О (0;0) и концом в точке М (а;b)

Геометрические свойства:

- Длина вектора равна модулю ;

- Точки z=a+bi и z=a – bi симметрично относительно оси Ох;

- Точки z и –z симметричны относительно начала координат;

- Число z₁+z₂ геометрически изображается, как вектор построенный по правилу сложения векторов соответствующих точкам z₁ и z₂;

- Расстояние между точками z₁ и z₂ равно

Угол φ, отсчитываемый от положительного направления действительной

оси, называется аргументом комплексного числа.

Если отсчет ведется против часовой стрелки, то φ>0, если по часовой

Читайте также:

  
• Основные направления психологического просвещения в школе
  
• Программа вокального кружка в школе по фгос 5 9 класс
  
• Особенности воспитательной работы в начальной школе
  
• Программа социальной адаптации школа жизни
  
• Социальные изменения социальные революции и реформы кратко