Прямая и обратная геодезические задачи кратко

Обновлено: 30.06.2024

При производстве строительных работ создается разбивочная основа в виде строительной сетки. Пункт Государственной геодезической сети выносится на территорию строительства для обеспечения исходными данными всех геодезических работ. Решение прямой геодезической задачи позволяет определить координаты всех точек, расположенных в зоне строительства.

В геодезии принята система плоских прямоугольных координат, в которой относительно оси XX , совпадающей с направлением меридиана, и оси YY , перпендикулярной к оси XX , определяют положение каждой точки, т. е. её координаты х и у; при этом счет четвертей идет по ходу часовой стрелки, согласно возрастанию азимутов и дирекционных углов .

При составлении планов ситуацию накладывают от опорных точек и линий, их соединяющих. Поэтому на бумагу сначала наносят опорные точки по их координатам. Так как число этих точек весьма велико, то при геодезических работах часто решают прямую задачу на координаты. Она состоит в том, что по известным координатам данной точки, а также дирекционному углу и горизонтальному проложению линии от этой точки до определяемой вычисляют координаты определяемой точки.

Решить прямую геодезическую задачу, т.е Пример

определить прямоугольные координаты точки 2 через координаты точки 1 по следующим данным:

Кординаты точки 1 - X, = 4250 м. У,=6730 м;

Расстояние между точками d =120,10 м; направление линии, т.е дирекционный угол 48°30' =r.

Для определения координат точки 2 сначала нужно найти приращение координат –ΔХ и ΔУ,затем сами координаты Х₂;У_{2 .}

1.Определяем приращение координат ΔХ =d . cosr = 120,10 . 0,6626 =79,51 м

ΔУ= d . sinr =12,10 . 0,7490 =89,95 м

Основной профиль компании БРИГС – геодезические работы в строительстве. Мы стараемся предоставлять информацию о нашей деятельности в как можно более доступной форме. Довольно часто нас спрашивают о геодезической задаче – что это, какими методами она решается и какие результаты приносит ее выполнение? На эти вопросы мы постараемся ответить в данном обзоре.

Что такое геодезическая задача?

Итак, геодезическая задача заключается в определении взаимного положения заданных точек на поверхности земли. В том или ином виде она возникает при обработке триангуляции и полигонометрии, то есть в процессе создания сети опорных пунктов геодезии. Геодезическая задача бывает прямой и обратной.

Прямая геодезическая задача решается методом вычисления широты и долготы конкретной точки, которая лежит на условном земном эллипсоиде. При этом необходимо знать координаты другой точки, а также длину и дирекционный угол направления, соединяющего обе эти позиции. Обратная геодезическая задача заключается в определении длины и дирекционного угла направления между точками на земном эллипсоиде с исходными геодезическими координатами.

Прямая геодезическая задача.

Решение задач данного типа проводится с помощью формул нахождения приращений и определения координат. Возможность и точность расчета координат точек зависит от корректности исходных данных, а также применяемой методики. Решение прямой геодезической задачи может осуществляться косвенными или прямыми методами.

Что касается первых, они являются весьма чувствительными к исходным данным и не работают при наличии значительных расстояний и изменений азимута, в частности, в северных широтах. Прямые же методы позволяют получить достаточно точные координаты по соотношениям сфероидической геодезии.

Обратная геодезическая задача.

В данном случае искомые величины рассчитываются с помощью вычисления румба и расстояния между заданными точками. При этом угол дирекции находится по четверти системы координат, в которой размещены искомые позиции.

Решение обратной геодезической задачи проводится с учетом знаков приращений. В свою очередь последние свойственны той или иной четверти. Правильность решения определяется сходимостью результатов вычислений, которые проводятся несколько раз в зависимости от свойств горизонтального проложения между расчетными точками.

Математика в действии

По своей сути геодезические задачи — это математика в чистом виде. Основная задача состоит в определении взаимного положения точек принадлежащих какой-либо поверхности. Наиболее часто приходится иметь дело с прямыми и обратными геодезическими задачами, но на этом математические вычисления не заканчиваются. В зависимости от поставленных условий могут применяться и другие виды. Например, решение треугольника по измеренным углам и сторонам. Интересный исторический факт: с геодезическими задачами исследователи этой темы работают уже больше трех веков, а споры относительно методов дальше продолжаются.

Что такое прямая геодезическая задача

Эта разновидность предполагает вычисление координат, то есть широты и долготы определенной точки. А она, в свою очередь, лежит на математически правильной поверхности — земном эллипсоиде. Вычисления производятся по координатам другой точки, по длине и азимуту геодезической линии. Точность решения зависит от корректности исходных данных. Для проведения вычислений используют формулы нахождения приращений и определения координат.

Специалисты применяют разные методы для получения результатов. Наиболее востребованными считаются косвенный и прямой. Они отличаются тем, что в основе лежит точность исходных данных. Косвенные методы решения очень чувствительны к ним. Если в исходнике есть значительные расстояния, изменения по азимуту, то вычисления не получится сделать, или они будут с большими погрешностями. Прямые методы работают по соотношениям сфероидической геодезии, поэтому результаты можно получить более точные. Кстати, прямой тип геодезических задач применяется при вычислении координат в теодолитном ходе.

Что такое ОГЗ: суть обратной геодезической задачи

При работе над обратной геодезической задачей вычисления проводятся по известным координатам двух точек на земном эллипсоиде. Это нужно для получения значений горизонтального положения линий между ними, а также дирекционного угла этой самой линии. В этом состоит суть. Для получения искомых величин используется вычисление румба и расстояние между координатами точек. Нужно помнить, что дирекционный угол при этом находится по четверти системы координат, которая и является объектом, где размещены искомые позиции. Для решения нужно учитывать знаки приращения, которые свойственны для определенных четвертей. В этом типе задач уделяют большое значение сходимости результатов, поэтому расчеты могут проводиться несколько раз. На это влияют свойства горизонтального положения между точками. В каких случаях применяется обратная геодезическая задача? В тех, когда по известным двум точкам и их координатам определяют расстояние не только между ними, но и дирекционный угол линии.

В том или ином виде геодезические задачи возникают и в других направлениях — в полигонометрии, триангуляции, но на этом не заканчивается востребованность. Используется также, когда стоит задача определения взаимного положения точек по исходным данным длины и направления соединяющей линии. Есть ряд случаев, когда геодезические задачи решают с использованием формул аналитической геометрии в пространстве. Речь идет о пространственных прямоугольных координатах. Для этого используют пространственные компоненты направления прямой линии между этими точками.

Обратный тип геодезической задачи — не просто математическая проверка и вычисления. Она имеет практическое значение, ведь используется при вычислении длин проектных линий. Кроме этого, используется при выполнении привязки теодолитных ходов к пунктам геодезической сети, съемочных сетей и сетей сгущения. Еще одно практическое назначение — определение направления с пункта на пункт при отсутствии видимости. Обратная геодезическая задача используется в промышленном и гражданском строительстве.

А как решать обратные задачи, если в исходнике большие расстояния? В этом случае рекомендуется использовать метод итерации. Его можно использовать при расстояниях до 20 000 км. Итерация основана на решении прямой геодезической задачи любым выбранным методом — численным или аналитическим. И точность решения именно ОГЗ определяется решением ПГЗ.

Прямая геодезическая задача формулируется следующим образом: даны координаты некоторой начальной точки А, а также направление и расстояние от точки А к точке В. Необходимо определить координаты точки В.

При этом в геодезии всегда имеется в виду, что задано направление кратчайшей линии и минимальное расстояние между точками. В навигации в аналогичной задаче, называемой счислением пути, обычно подразумеваются заданными направление локсодромии и ее длина. Кроме того, в обеих интерпретациях, в зависимости от величины заданного расстояния S₀ и требуемой точности расчета координат φ₁ и λ₁, эта задача может решаться на эллипсоиде (с учетом сферичности Земли), на сфере или на плоскости.

Рисунок 2.5 – Направления и расстояния на сфере или сфероиде

При больших расстояниях между точками прямая геодезическая задача решается на эллипсоиде или сфере. В геодезии координаты пунктов и азимуты вычисляются с точностью до 0,001΄. Это возможно лишь с учетом сфероидичности Земли на основе применения численных методов интегрирования системы уравнений (2.16)÷(2.18). В судовождении, как правило, достаточная точность (до 0,1') обеспечивается использованием формул сферической тригонометрии.

Рассмотрим сферический треугольник АРВ (рис.2.5), образованный дугами меридианов в начальной и конечной точек, равными 90 0 -φ₀ и 90 0 -φ₁, а также соединяющей длиной D₀. Сферический угол при полюсе Р_N равен разности долгот λ₁ – λ₀, а угол между северной частью меридиана начальной точки и ортодромией

равен А₀ (иногда его обозначают П₀ или ). Известными являются величины φ₀, λ₀, Α₀ и D₀.

Для определения широты φ₁ можно воспользоваться теоремой косинуса стороны сферического треугольника, согласно которой

Долгота λ₁может быть найдена как с использованием уже рассчитанной широты φ₁, так и независимо от φ₁. Рассмотрим независимое решение, которое выполняется с помощью теоремы котангенсов.

Для расчетов на калькуляторе эта формула преобразуется так, чтобы использовались только функции синуса, косинуса и тангенса:

В задаче счисления пути, близкой по сути к прямой геодезической задаче, заданы координаты начальной точки φ₀ и λ₀, направление пути и пройденное расстояние S₀. Определение координат φ₁ и λ₁ конечной (или текущей точки производится исходя из уравнений локсодромии на сфере где главные радиусы кривизны Ν1 и Ν для любой точки поверхности равны радиусу сферы R (см. уравнения (23) и (24)):

Интегрирование уравнения (2.24) не представляет затруднений, так как его правая часть является постоянной величиной

Если расстояние Ѕ₀ выражено в морских милях, то разность широт по этой формуле получается в радианах. Для перехода к угловым минутам необходимо это значение разделить на arc1´, а так как R arc1´=1, то разность широт в минутах находят по формуле

Уравнение (32) содержит в правой части переменную величину φ. Интегрирование его можно выполнить по аналогии с выводом уравнения локсодромии (см. п.3.4.). В результате получается формула (2.21) с вместо А и без второго слагаемого в квадратных скобках:

При значениях близких к 90 0 или 270 0 этой формулой воспользоваться нельзя, т.к. tg -¥. Но при этом величина φ практически не изменяется. Считая φ постоянным, равным φ₀, получаем следующее решение уравнения (2.25)

причем sin = 1 при = 90 0 и sin = -1 при = 270 0 .

Обе последние формулы дают разность долгот в радианах. Переход к угловым минутам производится делением этих значений на arc1´=1/3437,75, поэтому для практического использования эти формулы записываются в виде:

λ₁ – λ₀ = S₀ / cosφ₀ при |K₀-90| 0 . Переход от к углу курса производится исходя из соотношения широт и долгот начальной и конечной точек:

= +180 0 при j₁ 0 при j₁ > φ₀; l₁ 0 , то во всех приведенных соотношениях нужно увеличить западную долготу на 360 0 . Например, если движется в западном направлении и λ₀ = -170 0 , то нужно считать λ₀ = 190 0 ; если судно движется в восточном направлении иλ₁ = -160 0 , то нужно принимать λ₁ = 200 0 .

При j₀ = φ₁ расчет по формуле (2.30) приводит к неопределенности, т.к. аргумент арктангенса стремится к бесконечности. В таких случаях локсодромический курс с точностью до 0,5 0 принимается равным 90 0 при движении судна на восток (l₁ > l₀) и = 270 0 при движении на запад (l₁ 0 |cos | → 0 и при расчетах по формуле (35) и (36), вычислять S₀ по формуле

На основании сравнения локсодромического и ортодромического расстояния между заданными точками делается вывод о целесообразности плавания по ортодромии и выбирается более рациональный путь судна.

Читайте также: