Производные функции школьная программа

Обновлено: 30.06.2024

Одной из важнейших областей приложения понятия производной являются экстремальные задачи. Однако производная может быть с успехом использоваться при решении и доказательстве различных уравнений и неравенств. С помощью производной можно производить также оценку числа корней того или иного уравнения. Аппарат дифференциального счисления позволяет решать широкий класс экономических задач.

Данная тема рассчитана на 16 часов. Формой итоговой отчетности учащихся является деловая игра. Предлагается для учащихся базовой школы. Включенный в программу материал может применяться для разных групп школьников вследствие своей практической направленности. Выявление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов производится благодаря использованию практикумов, самостоятельных работ, тестов. Программу курса можно расширить введением уравнения наклонной асимптоты, уравнением нормали, правилом Лопиталя, нахождением угла между графиками функций.

Цель данного курса: ооружить учащихся системой знаний по применению производной и показать широту применения данной темы.

  • познакомить учащихся с новой математической моделью – производной функции;
  • показать физический и геометрический смысл производной для решения физических и геометрических задач;
  • показать применение производной для исследования функции и построения ее графика;
  • научить отыскивать наибольшие и наименьшие значение непрерывной функции на промежутке, решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин;
  • показать применение производных при решении уравнений и неравенств, доказательстве неравенств;
  • показать несколько примеров приложения методов математического анализа для решения широкого класса экономических задач.

Теоретический и практический материал, запланированный программой курса, способствует формированию познавательного интереса и мотивации к математике, развитию творческих способностей учащихся, развивает навыки работы с учебной и справочной литературой; является возможностью дополнительно подготовить к государственной итоговой аттестации по материалам и в форме ЕГЭ.

Требования к результатам усвоения материала курса

  • знать/понимать
    • значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе.
    • вычислить производные элементарных функций, применяя правила вычисления производных, используя справочные материалы;
    • исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа; решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции; решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;
    • решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, задач на нахождение скорости и ускорения, в том числе задач на наибольшее и наименьшее значения с применением аппарата математического анализа.

    За основное учебное пособие можно взять учебник для общеобразовательных учреждений по алгебре и началам анализа для 10-11 класса под редакцией Мордковича А.Г.

    Содержание курса

    Тема 1. Введение.Цели и задачи курса. Историческая справка об открытии производной, об ученых-математиках, внесших огромный вклад в становление и развитие этого раздела математика. Функции одной переменной.

    Тема 2.. Понятие о пределе функции в точке. Поведение функции на бесконечности. Асимптоты. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций.

    Тема 3. Непрерывность функции. Понятие о непрерывности функции. Односторонние пределы. Понятие о точках разрыва и их классификация.

    Тема 4. Производная функции. Формулы производных элементарных функций. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Вторая производная.

    Тема 5. Физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику. Самостоятельная работа №1.

    Тема 6. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Монотонность функции, точки экстремума и экстремумы функции (локальные экстремумы), выпуклости функции, точки перегиба, поведения функции на бесконечности. Общая схема исследования функции.

    Тема 7 Наибольшие и наименьшие значение функции. Глобальный экстремум. Алгоритмический подход к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Решение текстовых, физических и геометрических задач, нахождение наибольших и наименьших значений. Задачи на оптимизацию.

    Тема 8. Использование производных при решении уравнений и неравенств, доказательстве неравенств.

    Тема 9. Решение экономических задач с использованием производной.

    Урок на тему: "Что такое производная? Определение производной"

    Что будем изучать:
    1. Введение в понятие производной.
    2. Чуть-чуть истории.
    3. Определение производной.
    4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной.
    5. Алгоритм нахождения производной функции.
    6. Дифференцирование функции.
    7. Примеры.

    Введение в понятие производной

    Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:

    а) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет.
    б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет.
    в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии.
    г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной.
    Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной.

    Чуть-чуть истории

    Термин производная ввел великий математик – Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.
    Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно.
    Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная.

    Определение производной

    Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0).


    Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком:
    На математическом языке: производная - предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
    На обычном языке: производная – скорость изменения функции в точке x0.
    Давайте посмотрим на графики трех функций:

    Ребята, как вы думаете, какая из кривых растет быстрее?
    Ответ, кажется, очевиден всем 1 кривая растет быстрее остальных. Мы смотрим, насколько круто идет вверх график функции. Другими словами — насколько быстро меняется ордината при изменении х. Одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

    Производная на графике функции. Геометрический смысл производной

    График производной

    Теперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:

    Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

    Определение. Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

    Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
    И так производная нашей функции равна:

    Производная


    И так производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной.

    Алгоритм нахождения производной функции

    Алгоритм нахождения производной функции y=f(x).
    а) Зафиксировать значение x, найти f(x).
    б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx).
    в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x).
    г) Составить соотношение: Δy/Δx
    д) Вычислить

    Производная


    - это и есть производная нашей функции.

    Дифференцирование функции

    Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).
    Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную.
    И так запишем выше сказанное как определение:
    Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
    Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует.

    Производная

    Примеры производной

    Найти производную функции: y=3x
    Решение:
    Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
    1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3x
    2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx

    3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δx

    Соотношение

    4) Составим соотношение:

    Предел производной

    5)Найдем предел:

    Ответ: f' (x)=3

    Найти производную функции y=5x 2

    Решение:
    Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

    1)Для фиксированного значения x, значение функции y=5x 2

    2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=5(x+ Δx)^ 2 =5(x 2 +2xΔx+Δx 2 )

    3)Найдем приращение функции:

    Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 5x 2 +10xΔx+5Δx 2 -5x 2 =10xΔx+5Δx 2

    4) Составим соотношение:

    Производная


    5)Найдем предел:

    Производная


    Ответ: f' (x)=10x

    Найти производную функции y=2x 2 -x+1

    Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

    1)Для фиксированного значения x, значение функции

    2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=2(x+ Δx) 2 -(x+ Δx)+1= =2(x 2 +2xΔx+Δx 2 )-(x+ Δx)+1

    Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= = 2x 2 +4xΔx+ 5Δx 2 -(x+ Δx)+1-2x 2 +x-1= =4xΔx+5Δx 2 -Δx
    3) Составим соотношение:

    Производная


    5)Найдем предел:

    Производная


    Ответ: f' (x)=4x-1

    Задачи для самостоятельного решения

    Найти производную функции:
    а) $y=5$;
    б) $y=10x$;
    в) $y=2x^2+x$;
    г) $y=3x^3$.

    Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

    Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

    Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

    Геометрический и физический смысл производной

    Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

    Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.


    Иначе это можно записать так:


    Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

    Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


    Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

    Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:


    Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:


    Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

    Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:


    Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:


    Правила нахождения производных

    Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

    Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.


    Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

    Правило первое: выносим константу

    Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

    Пример. Вычислим производную:


    Правило второе: производная суммы функций

    Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.


    Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

    Найти производную функции:



    Правило третье: производная произведения функций

    Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:


    Пример: найти производную функции:



    Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

    В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:


    В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

    Правило четвертое: производная частного двух функций

    Формула для определения производной от частного двух функций:




    Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

    С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

    Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.


    О чем эта статья:

    10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

    Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
    Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
    (в правом нижнем углу экрана).

    Что такое производная и зачем она нужна

    Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

    Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

    Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

    Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:



    Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

    Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

    Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.

    Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

    Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

    Быстрее освоить производные поможет обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

    Производные основных элементарных функций

    Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.

    Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

    Правило 1 (производная от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

    где c – любое число.

    Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

    Правило 2 (производная суммы функций) . Производная суммы функций вычисляется по формуле

    то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

    Правило 3 (производная разности функций) . Производная разности функций вычисляется по формуле

    то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

    Правило 4 (производная произведения двух функций) . Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

    Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

    Правило 5 (производная частного двух функций) . Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

    При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.

    Правило 6 (производная сложной функции) . Производная сложной функции вычисляется по формуле

    Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .

    Таблица производных часто встречающихся функций

    В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

    Читайте также: