Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач кратко

Обновлено: 02.07.2024

Перечислим свойства скалярного, векторного и смешанного произведений, применяемые при решении геометрических задач.

Предполагается, что координаты векторов , указанные в формулах, найдены относительно стандартного базиса в пространстве:

Напомним, что в стандартном базисе скалярное, векторное, смешанное произведения векторов вычисляются по формулам (1.10),(1.16),(1.17):

1. Вектор тогда и только тогда, когда

2. Ненулевые векторы

4. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда

5. Длина вектора

6. Угол между ненулевыми векторами

7. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора , находится по формуле:

8. Ортогональная проекция вектора :

9. Направляющие косинусы вектора

10. Единичный вектор , одинаково направленный с вектором

11. Площадь параллелограмма, построенного на векторах

12. Объём параллелепипеда, построенного на векторах , вычисляется по формуле: .

13. Тройка некомпланарных векторов — правая (левая) тогда и только тогда, когда (соответственно, .

14. Высота параллелограмма, построенного на векторах , вычисляется по формуле (см. рис. 1.42,6):

15. Высота параллелепипеда, построенного на векторах , находится по формуле (см. рис. 1.47):

16. Угол между вектором между вектором , перпендикулярным плоскости (рис.1.59,а), и вычисляется по формуле:

17. Угол и соответственно, вычисляется как угол между векторами перпендикулярными данным плоскостям, по формуле (рис. 1.59,6):

1. Указанные формулы применяются также для векторов на плоскости, полагая, что их аппликаты равны нулю.

2. Площадь треугольника можно найти как половину площади параллелограмма, построенного на векторах , т.е. .

3. Объем треугольной пирамиды параллелепипеда, построенного на векторах , т.e. поскольку объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту, а площадь треугольника (основания пирамиды) в два раза меньше площади параллелограмма (основания параллелепипеда).

Пример 1.28. На векторах и построен треугольник (рис. 1.60). Требуется найти:

а) длины сторон треугольника;

б) длину медианы ;

в) длину биссектрисы ;

д) площадь треугольника;

е) координаты вектора — высота треугольника.

Решение. Для решения поставленной задачи используем приведенные в данном разделе свойства с учетом п.1 замечаний 1.14.

а) Длины сторон и

Чтобы найти длину стороны , а затем — его длину .

б) Найдем координаты вектора — середина отрезка

а затем его длину .

в) По свойству биссектрисы точка делит отрезок . Поэтому для вектора

Теперь находим длину этого вектора .

г) Величину угла Следовательно, .

д) Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и (см. пункт 2 замечаний 1.14). Чтобы найти площадь параллелограмма, воспользуемся формулой пункта 11. Добавляя к векторам и вычисляем их векторное произведение:

Значит, площадь треугольника .

е) Найдем вектор , находим по формуле пункта 8:

Отсюда , следовательно, его координаты . Вычислим длину этого вектора, т.е. высоту треугольника: . Заметим, что площадь треугольника , поэтому высоту можно вычислить по формуле . Результаты совпадают.

Пример 1.29. На векторах построена треугольная пирамида (рис.1.61). Требуется найти:

б) величину угла треугольника ;

г) объем пирамиды ;

д) высоту пирамиды , опущенную из вершины треугольника , опущенную из вервершины между ребром и плоскостью грани ;

и) радиус-вектор — точка пересечения медиан треугольника ;

к) радиус-вектор делит отрезок в отношении ;

л) направляющие косинусы вектора на направление вектора на прямую, перпендикулярную грани ;

о) единичный вектор (орт), имеющий направление вектора .

Решение. а) Длины ребер и

б) Величину угла и т.е.

в) Сначала вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах и

а затем его модуль: .

Искомая площадь треугольника в 2 раза меньше: (см. пункт 2 замечаний 1.14).

г) пло формуле пункта 12 найдем объем параллелепипеда, построенного на векторах :

Искомый объем пирамиды в 6 раз меньше: (см. пункт 3 замечаний 1.14).

д) Высоту пирамиды находим по формуле пункта 15: .

е) Высоту треугольника , опущенную из вершины

ж) Сначала найдем вектор :

Затем вычислим угол между вектором и плоскостью грани по формуле пункта 16:

з) Найдем вектор , перпендикулярный плоскости грани :

Вектор , найден в пункте "ж". Искомый угол

л) Направляющие косинусы вектора

м) Алгебраическое значение длины проекции находим по формуле пункта 7 :

н) Искомую ортогональную проекцию найдем по формуле пункта 8 , используя вектор

При выяснении вопроса о применимости векторного метода к решению той или иной задачи, необходимо установить возможность выражения всех данных соотношений между известными и искомыми величинами на языке векторов. Если это можно сделать без больших затруднений, то есть смысл при решении такой задачи использовать векторы.

Решение геометрических задач с помощью векторов протекает успешнее, если вы будете придерживаться общих правил поиска решения. Полезно использовать девять таких правил:

1. Начиная решать задачу, посмотрите, что дано и что требуется доказать; отделите условие задачи от ее заключения; запишите условие и заключение задачи через общепринятые обозначения.

2. Выясните все (по возможности) соотношения, из которых следует заключение задачи; запишите их в векторной форме.

3. Сопоставьте каждое из рассматриваемых соотношений с тем, что дано, и с рисунком и посмотрите, какое из них лучше выбрать для доказательства.

4. Из того, что дано, получите следствия, которые связаны (или могут быть связаны) с выбранным вами соотношением.

6. Если для выражения вектора через другие нужно сделать дополнительные построения на рисунке, сделайте их так, чтобы это выражение было наиболее простым.

7. Постоянно помните, что дано в условии задачи, и в случае затруднений проверьте, не упустили ли вы что-либо из условия.

8. Так как затруднения могут быть связаны также с тем, что вы не применили какую-либо задачу или теорему, то в случае затруднения постарайтесь мысленно перебрать известные вам теоремы и решенные задачи и подумать, нельзя ли воспользоваться какой-нибудь из них.

9. Если выбранное вами соотношение (по правилу 2) не удалось доказать, применив все правила 4-8, то выберите другое и снова выполняйте правила 4-8 уже относительно него.

I. Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. Например:

а) Равенство = k (k –некоторое число) , означает, что прямые АВ и СД параллельны.

б) Равенства = m/n и = n/(m+n) + m/(m+n) , (m,n –некоторые числа, Q –произвольная точка плоскости) означают, что точка С делит некоторый отрезок АВ в отношении m к n, т. е. AC : CB = m : n. При этом точка Q может быть выбрана так, чтобы последнее равенство доказывалось наиболее просто (это равенство следует из теоремы о делении отрезка в данном отношении) .

в) Каждое из равенств = k1 , = k2 , = k3 , = p +q (где k1, k2, k3, p, q - некоторые числа, p+q=1, Q – произвольная точка плоскости) , a +b +g = 0 (a, b, g - некоторые числа, a+b+g = 0, Q -произвольная точка плоскости) означает принадлежность трех точек А, В, С одной прямой (два последних равенства следуют из теоремы о принадлежности трех точек одной прямой) .

г) . Равенство . = 0, где A ¹ B; C¹D, означает, что прямые АВ и СД перпендикулярны. (Указанное равенство следует из свойств скалярного произведения векторов.)

Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.

Если это можно сделать без больших затруднений, то есть смысл при решении такой задачи использовать векторы.

Решение геометрических задач с помощью векторов протекает успешнее, если вы будете придерживаться общих правил поиска решения.

Полезно использовать девять таких правил :

Начиная решать задачу, посмотрите, что дано и что требуется доказать ; отделите условие задачи от ее заключения ; запишите условие и заключение задачи через общепринятые обозначения.

2. Выясните все (по возможности) соотношения, из которых следует заключение задачи ; запишите их в векторной форме.

5. Выделяя на рисунке векторы, входящие в выбранное вами соотношение, постоянно задавайте себе вопрос : «Через какие векторы можно их выразить?

8. Так как затруднения могут быть связаны также с тем, что вы не применили какую - либо задачу или теорему, то в случае затруднения постарайтесь мысленно перебрать известные вам теоремы и решенные задачи и подумать, нельзя ли воспользоваться какой - нибудь из них.

9. Если выбранное вами соотношение (по правилу 2) не удалось доказать, применив все правила 4 - 8, то выберите другое и снова выполняйте правила 4 - 8 уже относительно него.

а) Равенство = k (k –некоторое число) , означает, что прямые АВ и СД параллельны.

Б) Равенства = m / n и = n / (m + n) + m / (m + n) , (m, n –некоторые числа, Q –произвольная точка плоскости) означают, что точка С делит некоторый отрезок АВ в отношении m к n, т.

При этом точка Q может быть выбрана так, чтобы последнее равенство доказывалось наиболее просто (это равенство следует из теоремы о делении отрезка в данном отношении) .

В) Каждое из равенств = k1 , = k2 , = k3 , = p + q (где k1, k2, k3, p, q - некоторые числа, p + q = 1, Q – произвольная точка плоскости) , a + b + g = 0 (a, b, g - некоторые числа, a + b + g = 0, Q - произвольная точка плоскости) означает принадлежность трех точек А, В, С одной прямой (два последних равенства следуют из теоремы о принадлежности трех точек одной прямой) .

= 0, где A ¹ B ; C¹D, означает, что прямые АВ и СД перпендикулярны.

(Указанное равенство следует из свойств скалярного произведения векторов.

Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.

Если это можно сделать без больших затруднений, то есть смысл при решении такой задачи использовать векторы.

Полезно использовать девять таких правил :

2. Выясните все (по возможности) соотношения, из которых следует заключение задачи ; запишите их в векторной форме.

8. Так как затруднения могут быть связаны также с тем, что вы не применили какую - либо задачу или теорему, то в случае затруднения постарайтесь мысленно перебрать известные вам теоремы и решенные задачи и подумать, нельзя ли воспользоваться какой - нибудь из них.

9. Если выбранное вами соотношение (по правилу 2) не удалось доказать, применив все правила 4 - 8, то выберите другое и снова выполняйте правила 4 - 8 уже относительно него.

а) Равенство = k (k –некоторое число) , означает, что прямые АВ и СД параллельны.

= 0, где A ¹ B ; C¹D, означает, что прямые АВ и СД перпендикулярны.

(Указанное равенство следует из свойств скалярного произведения векторов.

Читайте также: