Предел функции двух переменных кратко

Обновлено: 07.07.2024

При рассмотрении предела функции одной переменной было введено понятие окрестности точки. Под окрестностью точки там понимался интервал , содержащий эту точку. При дении понятия предела для функции двух переменных мы будем рассматривать окрестность точки в плоскости

Окрестностью точки называется внутренность круга с центром в этой точке. Если радиус этого круга равен , то говорят - окрестность точки (рис. 215). Очевидно, что любая точка принадлежащая -окрестности точки находится от этой точки на расстоянии, меньшем .

Определение. Число b называется пределом функции двух переменных при если для любого числа найдется такая b - окрестность точки что для любой точки этой окрестности (за исключением, быть может, точки ) имеет место неравенство

При этом пишут или так как при очевидно,

Функция двух переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Заметим, что если число b есть предел функции то, как это следует из определения предела, разность является бесконечно малой, когда точка Р произвольным образом неограниченно приближается к точке

Решение. Предел функции находится при т. е. при где расстояние между точками . В данном случае точка есть начало координат. Следовательно, . Таким образом,

Следует обратить внимание на то, что в разобранном примере функция у не определена в точке но имеет предел

Пример 2. Функция определена и непрерывна на всей плоскости, за исключением начала координат. Покажем, что при приближении точки к началу координат функция не имеет предела. Действительно, приближаясь к началу координат по оси , где получим . Если же приближаться к началу координат по оси , где то .

Таким образом, при приближении точки к началу координат по различным направлениям функция имеет различные предельные значения и, следовательно, не имеет предела при

Определение предела функции переменных при будет тождественным определению предела функции двух переменных, если ввести понятие -окрестности точки пространства измерений. Назовем расстоянием между двумя точками в пространстве измерений выражение, равное Очевидно, что при это выражение совпадает с известными формулами расстояния между двумя точками на плоскости и в пространстве.

Определение. -окрестностыо точки в пространстве измерений называется множество всех точек расстояние каждой из которых от точки меньше :

Очевидно, что в пространстве трех измерений () -окрестностью точки будет множество всех внутренних точек шара с центром в точке и радиусом .

Для функций нескольких переменных остаются справедливыми правила предельного перехода, установленные для функций одной переменной (см. гл. V, § 1, п. 6).

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется d-окрестностью точки . Другими словами, d-окрестность точки – это все внутренние точки круга с центром и радиусом d (рис. 2).

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции при (или, что то же самое, при ), если для любого существует такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Записывают:

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремиться к М₀ (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной по двум направлениям: справа и слева).

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число , найдется d-окрестность точки , что во всех её точках , отличных от , аппликаты соответствующих точек поверхности отличаются от числа А по модулю меньше, чем на e.

Пример 1. Найти предел

Решение: Будем приближаться к 0(0;0) по прямой , где k – некоторое число. Тогда

Функция в точке 0(0;0) предела не имеет, т. к. при разных значениях k предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствами предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции определены на множестве D и имеют в точке этого множества пределы А и В соответственно, то и функции имеют в точке М₀ пределы, которые соответственно равны

Непрерывность функции двух переменных

Функция (или f(M)) называется непрерывной в точке , если она: а) определена в этой точке и некоторой её окрестности;

в) этот предел равен значению функции z в точке М₀, т. е.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции в точке. Обозначим . Величины называются приращениями аргументов х и у, а – полным приращением функции в точке .

Функция называется непрерывной в точке если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой очке стремится к нулю, когда приращения её аргументов х и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям – подобные теоремы имели место для функций одной переменной.

Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области

Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной). Предварительно уточним понятие области.

Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.

Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

Точка N₀ называется граничной точкой области D, если она не принадлежит D, но в любой окрестности её лежат точки этой области. Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается . Область называется ограниченной, если все её точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной – -окрестность точки .

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. существует такое число R > 0, что для всех точек N в этой области выполняется неравенство б) имеет точки, в которых принимает наименьшее m и наибольшее M значения; в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенной между m и M (дается без доказательства).

2.1. Предел функции

Пример 1. Найти предел

Решение: Будем приближаться к 0(0;0) по прямой , где k – некоторое число. Тогда

Непрерывность функции двух переменных

в) этот предел равен значению функции z в точке М₀, т. е.

Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области

Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.

Напомним, что окрестностью $O(x^0)$ точки $x^0$ в метрическом пространстве $X$ называется любое множество, для которого точка $x^0$ является внутренней. Проколотая окрестность $\dot(x^0)$ получается из $O(x^0)$ удалением самой точки $x^0$, то есть $\dot(x^0)=O(x^0)\backslash\$.

Будем рассматривать функции $f: \ M\rightarrow R$, где $M$ есть некоторое множество, принадлежащее метрическому пространству $X$. Если $X=R^n$, то функция $f: \ M\rightarrow R$ называется функцией многих переменных и обозначается обычно следующим образом:
$$
f(x)=f(x_1,\ldots,x_n),\quad x\in M.\nonumber
$$
Например, функция $\displaystyle \sqrt$ определена в единичном круге пространства $R^2$ с центром в точке $(0,0)$, а функция $\operatorname(x_1^2+x_2^2)$ определена в любой проколотой окрестности точки $(0,0)$.

Пусть функция $f(x)$ определена в проколотой окрестности $\dot(x^0)$ точки $x^0$ метрического пространства $X$. Говорят, что число $A$ есть предел функции $f(x)$ при $x\rightarrow x_0$, если $\forall\ \varepsilon > 0 \ \exists \ \delta > 0$ такое, что для $\forall \ x\in\dot(x^0)$, удовлетворяющего условию \(\rho(x,x^0) Определение 2.

Говорят, что функция $f(x)$, определенная в $\dot(x^0)$, имеет при $x\rightarrow x_0$ предел $A$, если для любой последовательности $x^\in\dot(x^0)$ такой, что $\displaystyle\lim_x^=x^0$, выполнено равенство $\displaystyle\lim_f(x^)=A$.

Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной.

Если число $A$ есть предел функции $f(x)$ при $x\rightarrow x_0$, то будем писать
$$
A=\lim_f(x).\nonumber
$$

Если функция двух переменных $f(x,y)$ определена в $\dot((a,b))$, a число $A$ есть ее предел при $(x,y)\rightarrow(a,b)$, то пишут
$$
A=\lim_f(x,y)\nonumber
$$
и называют иногда число $A$ двойным пределом.

Аналогично, для функции $n$ переменных наряду с обозначением $A=\displaystyle\lim_f(x)$ будем использовать обозначение
$$
A=\lim_f(x_1,\ldots,x_n).\nonumber
$$

Пусть функции $f(x)$ и $\varphi(x)$ определены в $\dot(x^0)$ и $|f(x)|\leq \varphi(x)$ в $\dot(x^0)$. Если $\displaystyle\lim_\varphi(x)=0$, то и $\displaystyle\lim_f(x)=0$.

$\circ$ Так как $\displaystyle\lim_\varphi(x)=0$, то для любого $\varepsilon > 0$ найдется шар $S_(x^0)$ такой, что для всех $x\in S_(x^0)$ выполнено неравенство \(|\varphi(x)| Пример 1.

$\triangle$ Возьмем любое $\varepsilon > 0$. Положим $\delta=\varepsilon^$. Пусть $(x,y)\in S_\delta(0, 0)$, тогда
$$
(x^2+y^2)^a Пример 2.

В силу примера выше $\displaystyle\lim_\varphi(x,y)=0.$, так как $\alpha+\beta-2\gamma > 0$. Применяя лемму 1, получаем, что
$$
\lim_f(x,y)=0.\nonumber
$$
Что и требовалось доказать. $\blacktriangle$

$\triangle$ Рассмотрим последовательность точек $(x_n,y_n)=\displaystyle\left(\frac,\frac\right)$. Тогда $f(x_n,y_n)=1$ и, следовательно, $\displaystyle \lim_f(x_n,y_n)=1$. Если же взять последовательность точек $(x_n’,y_n’)=\displaystyle\left(\frac,-\frac\right)$, то $\displaystyle \lim_f(x_n’,y_n’)=-1$.

Так как при любом $n\in \mathbb$ точки $(x_n,y_n)$ и $(x_n’,y_n’)$ не совпадают с точкой $(0,0)$, а последовательности точек $(x_n,y_n)$ и $(x_n’,y_n’)$ сходятся к точке $(0,0)$, то, используя определение 2 предела, получаем, что функция $f(x,y)$ не имеет предела при $(x,y)\rightarrow (0,0)$. $\blacktriangle$

не имеет предела при $(x,y)\rightarrow (0,0)$.

$\triangle$ Повторяя рассуждения примера 3, построим две последовательности точек $(x_n,y_n)=\displaystyle\left(\frac,\frac\right)$ и $(x_n’,y_n’)=\displaystyle\left(\frac,\frac\right)$. Так как $(x_n,y_n)\rightarrow(0,0)$ и $(x_n’,y_n’)\rightarrow(0,0)$, а $\displaystyle\lim_f(x_n,y_n)=0$ и $\displaystyle\lim_f(x_n’,y_n’)=1$, то двойной предел функции $f(x,y)$ при $(x,y)\rightarrow(0,0)$ не существует. $\blacktriangle$

Предел по множеству.

Предел $\displaystyle\lim_f(x)$ был определен ранее для функции, заданной в $\dot(x^0)$. Расширим определение предела, введя понятие предела по множеству.

Пусть $M$ есть подмножество области определения функции $f(x)$, $x^0$ — предельная точка множества $M$. Будем говорить, что число $A$ есть предел функции $f(x)$ по множеству $M$ при $x\rightarrow x^0$, если $\forall\varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0$ такое, что $\forall x\in_\delta(x^0)\cap M$ выполнено неравенство \(|f(x)-A| Пример 5.

Показать, что предел функции $f(x,y)=\displaystyle \frac$ в точке $(0,0)$ по любому направлению $l=(\cos\alpha, \ \sin\alpha)$ существует и равен $\sin 2\alpha$.

$\triangle$ Так как при $t > 0$ выполнено равенство
$$
f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha,\nonumber
$$
то
$$
\lim_f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=\sin 2\alpha.\quad\blacktriangle\nonumber
$$

Показать, что предел функции $f(x,y)=\displaystyle \frac$ в точке $(0,0)$ по любому направлению $l=(\cos\alpha, \ \sin\alpha)$ существует и равен нулю.

Если $\sin\alpha=0$, то $f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=0$ и, следовательно,
$$
\lim_f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=0.\nonumber
$$

Если $\sin\alpha\neq 0$, то
$$
\lim_f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=0.\quad\blacktriangle\nonumber
$$

Ясно, что из существования $\displaystyle\lim_f(x)$ следует существование $\displaystyle\lim_f(x)$ для любого подмножества $M’\subset M$, для которого $x’$ есть предельная точка. В частности, из существования двойного предела функции $f(x,y)$ при $(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)$ следует существование предела функции $f(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$ по любому направлению и равенство этих пределов двойному пределу функции $f(x,y)$ при $(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)$.

Из результатов примеров 4 и 6 следует, что из существования и равенства пределов по любому направлению в точке $(x_0,y_0)$ не вытекает существование в этой точке предела функции.

Предел функции $f(x)$ в точке $x^0\in R^n$ по направлению $l=(l_1,\ldots,l_n)$, где $l_1^2+\ldots+l_n^2=1$, определяется по аналогии со случаем функции двух переменных.

Повторные пределы. Бесконечные пределы.

Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на множестве
$$
\Pi= <(x,y):\quad 0 0\) число $\delta >0$, что для всех $x$ из проколотой окрестности $\dot(x^0)$ точки $x^0$ выполнено неравенство $f(x) > C$.

Читайте также: