Понятие условного экстремума кратко

Обновлено: 05.07.2024

В § 6 гл. 12 мы занимались отысканием локальных экстремумов функции, аргументы которой не связаны никакими дополнительными условиями. Вместе с тем в математике и в ее приложениях часто встречается задача об отыскании экстремумов функции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным условиям связи. Экстремумы такого рода мы будем называть условными, чтобы отличить их от (безусловных) экстремумов, изученных в § 6 гл. 12.

Приведем пример задачи об отыскании условного экстремума. Пусть требуется найти экстремумы функции при условии, что аргументы этой функции удовлетворяют условию связи Таким образом, экстремумы функции ищутся не на всей плоскости а лишь на прямой Для решения поставленной задачи подставим в выражение функции значение у, определяемое из условия связи Таким путем мы сведем поставленную задачу к задаче об отыскании безусловного экстремума функции

Последний экстремум находится без труда: поскольку то функция имеет мщшмум при Таким образом, функция с условием «связи имеет условный минимум в точке (1/2, 1/2). Отметим, что безусловный минимум функции

достигается в точке (0,0) и равен . Впрочем, даже из наглядных соображений (рис. 13.6) очевидно, что минимум функции (графиком которой служит параболоид вращения) на всей плоскости не совпадает с ее минимумом на прямой

Переходим к общей постановке задачи об отыскании условного экстремума. Пусть требуется найти экстремум функции переменных

при наличии условий связи

Прежде всего уточним само понятие условного экстремума функции (13.40) при наличии связей (13.41). Будем говорить, что функция (13.40) при наличии связей (13.41) имеет условный максимум (минимум) в точке координаты которой удовлетворяют условиям связи (13.41), если найдется такая окрестность точки в пределах которой значение функции (13.40) в точке является наибольшим (наименьшим) среди ее значений во всех точках, координаты которых удовлетворяют условиям связи (13.41).

Для нахождения условного экстремума функции (13.40) при наличии связей (13.41) предположим, что функции, стоящие в левых частях равенств (13.41), дифференцируемы в некоторой окрестности рассматриваемой точки причем в самой точке частные производные указанных функций по непрерывны, а якобиан

отличен от нуля.

В таком случае в силу теоремы 13.2 для достаточно малых положительных чисел найдется такая окрестность точки пространства переменных что всюду в пределах этой окрестности определены функций

удовлетворяющих условиям и являющихся при наличии этих условий единственным и дифференцируемым

решением системы уравнений (13.41). Подставляя найденные функции (13.43) в (13.40), мы сведем вопрос о существовании условного экстремума в точке функции (13.40) при наличии связей (13.41) к вопросу о существовании безусловного экстремума в точке сложной функции аргументов

Вопрос о существовании безусловного экстремума функции (13.44) может быть решен методами, указанными в § 6 гл. 12. Изложенная нами общая схема сведения условного экстремума к безусловному была реализована рассмбтрейнйм выше частном примере. Постараемся теперь, не прибегая к решению системы (13.41), установить по крайней мере необходимые условия существования условного экстремума в точке Итак, пусть функция (13.40) дифференцируема в точке и имеет в этой точке условный экстремум при наличии связей (13.41) или, что то же самое, функция (13.44) имеет в точке безусловный экстремум. Согласно установленному в § 6 гл. 12 необходимым условием безусловного экстремума функции в точке является равенство нулю в этой точке дифференциала этой функции

тождественное относительно . В силу инвариантности формы первого дифференциала и равенства (13.44) формулу (13.45) можно переписать в виде

(В этой формуле все частные производные берутся в точке Подчеркнем, однако, что в равенстве (13.46) представляют собой дифференциалы функций (13.43), так что равенство (13.46) не является тождеством относительно Предположим, что в уравнения связи (13.41) мы подставили функции (13.43), являющиеся решением системы (13.41). При этом уравнения (13.41) обратятся в тождества, и мы получим, дифференцируя эти тождества,

Так как якобиан (13.42), по предположению, отличен от нуля в точке то из линейной системы могут быть выражены как линейные функции Если найти эти выражения и подставить их в (13.46), то, собирая в полученном равенстве члены, содержащие мы будем иметь

где через обозначены некоторые рациональные функции частных производных в точке Так как в равенстве (13.48) фигурируют лишь дифференциалы независимых переменных, то из этого равенства заключаем, что Присоединяя к указанным равенствам условий связи (13.41), мы получим необходимые условия существования условного экстремума функции (13.40) при наличии связей (13.41) в виде

Равенства (13.49) представляют собой систему уравнений для определения координат точки возможного экстремума.

Сегодня на уроке мы научимся находить условные или, как их ещё называют, относительные экстремумы функций нескольких переменных, и, прежде всего, речь пойдёт, конечно же, об условных экстремумах функций двух и трёх переменных, которые встречаются в подавляющем большинстве тематических задач.

Сначала проанализируем само понятие и заодно осуществим экспресс-повторение наиболее распространённых поверхностей. Итак, что же такое условный экстремум? …Логика здесь не менее беспощадна =) Условный экстремум функции – это экстремум в обычном понимании этого слова, который достигается при выполнении определённого условия (или условий).

Вопрос: как найти этот условный экстремум? Простейший способ решения состоит в том, чтобы из уравнения (которое так и называют – условием или уравнением связи) выразить, например: – и подставить его в функцию:

Далее проще всего использовать второе достаточное условие экстремума:

запишем точку условного минимума , удостоверимся, что она действительно лежит в плоскости (удовлетворяет уравнению связи):

Найти условные экстремумы функции при указанном уравнении связи на аргументы .

Узнаёте поверхности? ;-) …Я рад видеть ваши счастливые лица =)

Кстати из формулировки данной задачи становится ясно, почему условие называют уравнением связи – аргументы функции связаны дополнительным условием, то есть найденные точки экстремума должны обязательно принадлежать круговому цилиндру.

Решение: на первом шаге нужно представить уравнение связи в виде и составить функцию Лагранжа:
, где – так называемый множитель Лагранжа.

В нашем случае и:

Составим и решим следующую систему:

Клубок распутывается стандартно:
из первого уравнения выразим ;
из второго уравнения выразим .

Подставим в уравнение связи и проведём упрощения:

В результате получаем две стационарные точки. Если , то:

Проверим выполнение достаточного условия экстремума для найденных стационарных точек. Я разберу три подхода к решению данного вопроса:

1) Первый способ – это геометрическое обоснование.

Вычислим значения функции в стационарных точках:

Далее записываем фразу примерно такого содержания: сечение плоскости круговым цилиндром представляет собой эллипс, в верхней вершине которого достигается максимум, а в нижней – минимум. Таким образом, бОльшее значение – есть условный максимум, а меньшее – условный минимум.

По возможности лучше применять именно этот метод – он прост, и такое решение засчитывают преподаватели (большим плюсом идёт то, что вы показали понимание геометрического смысла задачи). Однако, как уже отмечалось, далеко не всегда понятно, что с чем и где пересекается, и тогда на помощь приходит аналитическая проверка:

2) Второй способ основан на использовании дифференциала второго порядка . Если окажется, что в стационарной точке , то функция достигает там максимума, если же – то минимума.

и составим этот дифференциал:

При , значит, функция достигает максимума в точке ;
при , значит, функция достигает минимума в точке .

Но что делать, когда форма знакопеременная, то есть когда знак зависит от значений ? Например ?

В этом случае берём дифференциал от уравнения связи, проведём формальное решение для нашей задачи:

, откуда выражаем, например, , и подставляем его в полный дифференциал :

, после чего для и точки получаем:
;
и для :

и составим следующую симметричную матрицу:

Если в стационарной точке , то функция достигает там (внимание!) минимума, если – то максимума.

Запишем матрицу для значения и соответствующей точки :

Вычислим её определитель:
, таким образом, функция имеет максимум в точке .

Аналогично для значения и точки :

, таким образом, функция имеет минимум в точке .

Ответ: при условии :

После обстоятельного разбора материала просто не могу не предложить вам пару типовых задач для самопроверки:

Найти условный экстремум функции , если её аргументы связаны уравнением

Найти экстремумы функции при условии

И вновь настоятельно рекомендую разобраться в геометрической сути заданий, особенно, это касается последнего примера, где аналитическая проверка достаточного условия – не подарок. Вспомните, какую линию 2-го порядка задаёт уравнение , и какую поверхность эта линия порождает в пространстве. Проанализируйте, по какой кривой цилиндр пересечёт плоскость и где на этой кривой будет минимум, а где – максимум.

Решения и ответы в конце урока.

Рассматриваемая задача находит широкое применение в различных областях, в частности – далеко ходить не будем, в геометрии. Решим всем понравившуюся задачу о поллитровке (см. Пример 7 статьи Экстремальные задачи) вторым способом:

Каковы должны быть размеры консервной банки цилиндрической формы, чтобы на изготовления банки пошло наименьшее количество материала, если объем банки равен

Решение: рассмотрим переменный радиус основания , переменную высоту и составим функцию площади полной поверхности банки:
(площадь двух крышек + площадь боковой поверхности)

Требуется найти минимум этой функции, при условии, что объём банки равен . Таким образом, функция Лагранжа получается прямо из словесной формулировки задачи!

Удобнее начать со второго уравнения:

Нулевой радиус не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи и поэтому для исследования остаётся 2-й множитель, из которого выражаем:
– подставим в 1-е уравнение:

В результате получаем, что высота оптимальной банки должна быть в 2 раза больше радиуса основания:

Подставим в уравнение связи:

Осталась маленькая проблемка – проверить достаточное условие экстремума. А то вдруг в найденной точке функция наоборот – достигает максимального значения?

Возможно, здесь существует лаконичное геометрическое обоснование, но с ходу мне его отыскать не удалось, и поэтому частные производные второго порядка:

Для нашей критической точки :

Легко убедиться, что данная квадратичная форма является знакопеременной, т.е. знак зависит от значений и .

Поэтому находим дифференциал от уравнения связи. В соответствии с правилом дифференцирования произведения:

, откуда выражаем – и подставляем в полный дифференциал 2-го порядка:
, значит, функция площади достигает минимума в точке (при заданном объёме консервной банки).

составить симметричную матрицу:

аккуратно подставить в неё и вычислить определитель
, с тем же самым выводом об условном минимуме в критической точке.

Если честно, хотел вообще опустить 3-й способ ввиду его трудоёмкости, но мало ли кому понадобится.

Ответ: радиус основания оптимальной банки: , её высота:

На практике выбор того или иного пути решения определяется темой, которую вы проходите, и сложностью выбранного метода. Кстати, первый способ (см. Пример 7 статьи Экстремальные задачи) с технической точки зрения ничуть не приятнее. Также следует отметить, что существует много задач, в которых без метода множителей Лагранжа уже не обойтись, и с таким геометрическим примером мы встретимся в следующем параграфе:

Условные экстремумы функции трёх переменных

Переключаем внимание на функцию трёх переменных , задачи с которой не менее популярны. Принципиальный алгоритм решения остаётся прежним:

Найти условный экстремум функции относительно уравнения связи

Решение: представим уравнение связи в виде и составим функцию Лагранжа:

Приравниваем частные производные к нулю и присоединяем к системе уравнение связи:

Из первых трёх уравнений выразим:
– подставим в уравнение связи:

Таким образом, стационарная точка:

Напоминаю, что в целях проверки будет не лишним подставить её координаты и значение во все уравнения системы. Здесь это легко сделать устно.

Достаточное условие экстремума. С геометрией дела плохи и поэтому в нашем распоряжении остаются аналитические методы. Составим дифференциал второго порядка функции трёх переменных:

И перед нами не что иное, как квадратичная форма относительно .

Если в стационарной точке , то функция достигает в ней максимума, если – то минимума; если же окажется знакопеременным, то потребуются дополнительные действия.

Надо сказать, большое везение ~~чего я буду мучиться~~ – даже подставлять ничего не пришлось:
, значит, функция достигает условного минимума в точке :

Ответ: при условии :

Найти условный экстремум функции относительно уравнения связи

Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Найти экстремумы функции при условии

Казалось бы, ничто не предвещает сложностей, и решение начинается как обычно:

Запишем функцию Лагранжа и найдём её частные производные 1-го порядка:

Составим стандартную систему:

Примечание: если и / или , то и уравнение связи фактически перестаёт играть таковую роль, поэтому данные случаи исключаем из рассмотрения.

Теперь подставим в третье уравнение:

подставим в уравнение связи:

Теперь найдём частные производные 2-го порядка:

и аккуратно, ВНИМАТЕЛЬНО составим соответствующий полный дифференциал:

Вычислим значение дифференциала в точке :

Используя критерий Сильвестра (да и просто анализируя слагаемые), легко убедиться, что данная квадратичная форма знакопеременна, т.е. знак зависит от значений . Поэтому используем уже знакомую схему действий. Найдём дифференциал от уравнения связи, здесь он элементарен:

после чего раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

В результате получена квадратичная форма уже от двух переменных, запишем её матрицу:

и вычислим угловые миноры:

Таким образом, квадратичная форма определена отрицательно:
, а значит, функция достигает условного максимума в точке :

Есть ли другой способ проверки достаточного условия? Есть.

Составляем симметрическую матрицу:

где, – частные производные уравнения связи.

Далее рассчитываем угловые миноры 3-го и 4-го порядка в стационарной точке:

Если окажется, что , то функция достигает условного минимума в стационарной точке; если – то условного максимума.

и для точки получаем следующую матрицу:

Желающие могут провести вычисления, найти (рациональнее именно в таком порядке) и сделать тот же самый вывод о наличии условного максимума.

Разумеется, матричный способ более громоздкий, но возможно, кому-то придётся по вкусу.

Ответ: при условии :

Обещанная геометрическая задача:

Определите размеры прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину, высоту) максимального объема, если известно, что сумма длин всех его рёбер равна .

Постарайтесь не только найти решение, но и добросовестно проверить достаточное условие экстремума.

Исследовать на экстремум функции при условиях

Решите этот пример самостоятельно – и вы очень удивитесь, как всё легко!

Задача отыскания условных экстремумов реализуема и для функций бОльшего числа переменных, причём условий может быть тоже сколько угодно. Общий алгоритм, думаю, понятен: находим частные производные по всем переменным, приравниваем их к нулю и добавляем в систему все уравнения связи. При проверке достаточного условия экстремума выгоднее использовать теорию квадратичных форм, при необходимости уменьшая количество входящих в неё переменных (отыскивая и выражая дифференциалы из уравнений связи). Однако существует и общая матричная форма достаточного условия, частные случаи которой мы тоже разобрали.

Надеюсь, вы отлично провели время! . правда, не очень хорошо, что я научил вас спиливать водосточные трубы =) …но зато вдруг стало понятно, почему в стране разруха…. Потому что испокон веков на Руси были такие учителя!

Жду от вас свежих идей =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: из уравнения связи выразим – подставим в функцию:

Найдём критические точки:

– критическая точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

В частности: , значит, функция достигает максимума в точке .

– точка условного максимума.

Ответ: при условии :

Пример 3: Решение: составим функцию Лагранжа:

и найдём её частные производные 1-го порядка:

Найдём критические точки:

Из 1-го уравнения:
Из 2-го уравнения:
Подставим в уравнение связи:

Если , то
Если , то
Проверим выполнение достаточного условия экстремума.

Способ первый: гиперболический цилиндр , параллельный оси , пересекает плоскость по гиперболе. Вершина нижней ветви этой гиперболы будет максимумом, а вершина верхней ветви – минимумом. Вычислим значения функции в стационарных точках:

Поскольку , то – условный максимум, а – условный минимум.

Способ второй: найдём частные производные второго порядка:

и составим соответствующий дифференциал:

Полученная квадратичная форма является знакопеременной (знак зависит от значений ), поэтому найдём дифференциал от уравнения связи:

, откуда выразим и подставим в полный дифференциал 2-го порядка:
.
Для :
, значит, функция достигает условного минимума в точке .
Для :
, значит, функция достигает условного максимума в точке .

Способ третий: продифференцируем уравнение связи:

и составим следующую матрицу:

Запишем матрицу для значения и точки :

и вычислим её определитель:
, таким образом, функция имеет минимум в точке .
Запишем матрицу для , точки :

и вычислим её определитель:
, таким образом, функция имеет максимум в точке .

Ответ: при условии :

Пример 6: Решение: составим функцию Лагранжа:

Найдём частные производные 1-го порядка:

Найдём стационарные точки:

Из первых трёх уравнений выразим:
– подставим в уравнение связи:

Если , то
Если , то
Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Составим дифференциал второго порядка:

Найдём частные производные второго порядка:

Таким образом:
При , значит, функция достигает условного максимума в точке .
При , значит, функция достигает условного минимума в точке .

Ответ: при условии :

Пример 8: Решение: обозначим через – длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда. По условию: . При данном условии требуется найти максимальное значение объёма параллелепипеда.
Составим функцию Лагранжа и найдём её частные производные:

Найдём стационарные точки:

Из первых трёх уравнений следуют соотношения:

Таким образом:

– стационарная точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Найдём частные производные 2 порядка

и составим соответствующий полный дифференциал:

Для точки :

Очевидно, что данная квадратичная форма знакопеременна. Найдём дифференциал от уравнения связи:

, откуда выразим, например, – подставим в полный дифференциал 2 порядка и проведём упрощения:

В результате получена квадратичная форма уже двух переменных, запишем её матрицу:

и вычислим угловые миноры:

Согласно критерию Сильвестра, , значит, функция достигает усл. максимума в точке :

Ответ: оптимальный параллелепипед представляет собой куб с ребром , при этом максимальный объём:

Пример 9: Решение: из 1-го уравнения связи выразим – подставим во 2-е уравнение связи:

– подставим в выражение :

Подставим и в функцию:

Найдём критические точки:

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
, в частности:
, значит, функция достигает минимума в точке
Вычислим две другие координаты:

– точка условного минимума функции .

Ответ: при условиях :

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Пусть на открытом множестве $G \subset \boldsymbol^$ заданы функции $f_(x)$, $f_(x), \ldots, f_(x)$, причем \(m Определение 1.

Точка $x^ = (x_^, \ldots, x_^) \in G$ называется точкой условного минимума функции $f_(x)$ при наличии связей \eqref, если найдется такая окрестность $S_(x^)$, что для всех $x \in G \cap S_(x^)$ выполнено неравенство $f_(x) \geq f_(x^)$.

Точка $x^ \in G$ называется точкой строгого условного минимума функции $f_(x)$ при наличии связей \eqref, если найдется такая окрестность $S_(x^)$, что для всех $x \in \dot_(x^) \cap G$ выполнено неравенство $f_(x) \geq f_(x^)$.

Аналогично определяются точки условного максимума. Точки условного максимума и минимума называются точками условного экстремума.

Прямой метод отыскания точек условного экстремума.

Предположим, что из системы уравнений \eqref можно выразить какие-либо $m$ переменных $x_$ через остальные переменные. Тогда, подставив вместо соответствующих переменных $x_$ их выражения через остальные $n-m$ переменных в функцию $f_(x)$, получим функцию $F$ от $n-m$ переменных.

Задача о нахождении точек экстремума функции $f_(x)$ при наличии связей \eqref сведется к задаче нахождения обычного (безусловного) экстремума функции $F$, зависящей от $n-m$ переменных.

Найти точки условного экстремума функции $z = 1-x^-y^$, если $x+y = 1$.

$\vartriangle$ Уравнение связи $x+y = 1$ легко разрешается относительно переменной $y$, а именно $y = 1-x$. Подставив это выражение для $y$ в функцию $z = 1-x^-y^$, получаем, что $z = 1-x^-(1-x)^ = 2x-2x^$. Функция $2x-2x^$ имеет максимум при $x = \frac$. Точка $(\frac, \frac)$ является точкой условного максимума функции $z(x, y)$ при наличии связи $x+y = 1$, причем $z_ <\max>= \displaystyle\frac$. $\blacktriangle$

Прямой метод нахождения условного экстремума редко бывает эффективным ввиду трудности разрешения уравнений связей относительно какой-либо группы переменных.

Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию $n+m$ переменных
$$
L(x, \lambda) = f_(x)+\lambda_f_(x)+\ldots+\lambda_f_(x),\nonumber
$$
где $x \in G$, а $\lambda = (\lambda_, \ldots, \lambda_) \in \boldsymbol^$. Числа $\lambda_, \ldots, \lambda_$ называются множителями Лагранжа, а функция $L(x, \lambda)$ называется функцией Лагранжа.

(Теорема Лагранжа).

Пусть $x^$ — точка условного экстремума функции $f_(x)$ при наличии связей \eqref, и пусть функции $f_(x)$, $i = \overline$, непрерывно дифференцируемы в окрестности точки $x^$, причем в точке $x^$ ранг матрицы Якоби
$$
A = \begin\displaystyle\frac<\partial f_<1>><\partial x_<1>>(x)&\ldots&\displaystyle\frac<\partial f_<1>><\partial x_>(x)\\………&…..&…….\\\displaystyle\frac<\partial f_><\partial x_<1>>(x)&\ldots&\displaystyle\frac<\partial f_><\partial x_>(x)\end\label
$$
равен $m$.

Тогда найдутся такие множители Лагранжа $\lambda_^, \ldots, \lambda_^$, что $(x^0,\ \lambda^0)$ будет стационарной точкой функции Лагранжа.

$\circ$ Так как \(m Теорема 2.

Пусть $x^$ есть точка условного минимума функции $f_(x)$ при наличии связей \eqref, и пусть функции $f_(x)$, $i = \overline$, имеют непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки $x^$, причем в точке $x^$ ранг функциональной матрицы \eqref равен $m$.

Тогда найдутся множители Лагранжа $\lambda_^, \ldots, \lambda_^$ такие, что $(x^, \lambda^)$ есть стационарная точка функции Лагранжа, a $d^L(x^, \lambda^) \geq 0$ при $(dx_, \ldots, dx_) \in E_$.

$\circ$ Так как выполнены все условия теоремы 1, то найдутся множители Лагранжа $\lambda_^, \ldots, \lambda_^$ такие, что $(x^, \lambda^)$ будет стационарной точкой функции Лагранжа, то есть выполняются условия \eqref. Повторяя рассуждения теоремы 1, рассмотрим сложную функцию \eqref, имеющую безусловный экстремум в точке $(x_^, \ldots, x_^)$. Так как эта функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то, в силу теоремы о необходимом условии минимума должно быть выполнено условие $d^F(x_^, \ldots, x_^) \geq 0$.

Воспользовавшись правилом нахождения второго дифференциала сложной функции и формулой \eqref, находим, что
$$
\sum_^ \sum_^ \frac <\partial^f_(x^)> <\partial x_\partial x_> dx_ dx_+\sum_^ \frac <\partial^f_><\partial x_>(x^) d^x_ \geq 0.\label
$$

Если умножить каждое из равенств \eqref на соответствующий множитель Лагранжа $\lambda_^$ и сложить с неравенством \eqref, то получаем неравенство
$$
d_^L(x^, \lambda^)+\sum_^ \frac<\partial L(x^, \lambda^)><\partial x_> d^x_ \geq 0.\label
$$
Последняя сумма в неравенстве \eqref равна нулю, так как $(x^, \lambda^)$ есть стационарная точка функции Лагранжа и в ней выполняются условия \eqref. Таким образом, $d_^L(x^, \lambda^) \geq 0$ при $(dx_, \ldots, dx_) \in E_$. $\bullet$

(Достаточные условия условного экстремума).

Пусть функции $f_(x)$, $i = \overline$, имеют непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки $x^ \in \boldsymbol^$, причем в точке $x^$ ранг функциональной матрицы (3) равен $m$, и пусть $(x^, \lambda^)$ есть стационарная точка функции Лагранжа $L(x, \lambda)$.

Тогда если $d_L(x^, \lambda^)$ есть положительно определенная квадратичная форма при $dx \in E_$, то $x^$ является точкой условного строгого минимума функции $f_(x)$ при наличии связей \eqref. Если $d_L(x^, \lambda^)$ есть отрицательно определенная квадратичная форма при $dx \in E_$, то $x^$ — точка условного строгого максимума. Если $d_L(x^, \lambda^)$ есть неопределенная квадратичная форма при $dx \in E_$, то $x^$ не есть точна условного экстремума функции $f_(x)$ при наличии связей \eqref.

$\circ$ Пусть
$$
E = $x) = 0, i = \overline\>.\label
$$
По условию теоремы функции \(f_(x)$, $i = \overline$, имеют непрерывные частные производные второго порядка, а ранг функциональной матрицы \eqref равен $m$. Повторяя рассуждения теоремы 1, можем без ограничения общности считать, что выполнено условие \eqref и что найдется такая окрестность $K(x^) = K_(x_^, \ldots, x_^) \times K_(x_^, \ldots, x_^)$, что множество $E \cap K(x^)$ можно задать формулой \eqref. На $E \cap K(x^)$ функция $f_(x)$ становится функцией $n-m$ переменных $F(x_^, \ldots, x_^)$, определенной формулой \eqref и имеющей непрерывные частные производные второго порядка.

Рассмотрим функцию $L(x, \lambda^)$ на множестве $E \cap K(x^)$. Очевидно, что
$$
L(x, \lambda^) = f_(x) = F(x_, \ldots, x_)\ \mbox\ x \in E \cap K(x^).\label
$$
В силу инвариантности формы первого дифференциала из формулы \eqref следует, что
$$
dF(x_^, \ldots, x_^) = d_L(x^, \lambda^) = 0.\label
$$

Пусть $d_^L(x^, \lambda^) > 0$ при $dx \in E_$, $dx \neq 0$. Так как множество $E \cap K(x^)$ можно задать в форме \eqref, то, выбирая $dx_, \ldots, dx_$ произвольным образом, получим, что дифференциалы $dx_,…, dx_$ зависят от $(dx_, \ldots, dx_)$. Дифференцируя тождества \eqref в точке $x^$, получаем соотношения \eqref, которые означают, что $dx \in E_$.

Из \eqref и \eqref получаем, что $(x_^, \ldots, x_^)$ есть точка строгого минимума функции $F(x_, \ldots, x_)$, то есть $x^$ есть точка строгого минимума функции $f_(x)$ на множестве $E \cap K(x^)$. Таким образом, $x^$ есть точка строгого условного минимума функции $f_(x)$ при наличии связей \eqref.

Аналогично рассматривается случай, когда \(d_^L(x^, \lambda^) Замечание.

Если окажется, что $d_^L(x^, \lambda^)$ есть положительно определенная квадратичная форма на всем пространстве $\boldsymbol^$, то $d_^L(x^, \lambda^) > 0$ при $dx \in E_$, $dx \neq 0$. Поэтому в этом случае в квадратичной форме $d_^L(x^, \lambda^)$ не нужно исключать зависимые дифференциалы.

Найти экстремумы функции $x-2y+2z = u$ и на сфере $x^+y^+z^ = 1$.

$\vartriangle$ Строим функцию Лагранжа
$$
L(x, y, z, \lambda) = x-2y+2z+\lambda(x^+y^+x^-1)\nonumber
$$
Стационарные точки функции Лагранжа находим, решая систему уравнений
$$
\frac<\partial L> <\partial x>= 1+2\lambda x = 0,\quad \frac<\partial L> <\partial y>= -2+2\lambda y = 0,\quad \frac<\partial L> <\partial z>= 2+2\lambda z = 0,\nonumber
$$
$$
\frac<\partial L> <\partial \lambda>= x^+y^+z^-1 = 0.\nonumber
$$
Исключая из этой системы $x, y, z$, получаем $\displaystyle\left(\frac<2\lambda>\right)^+\left(\frac<\lambda>\right)^+\left(\frac<\lambda>\right)^-1 = 0$, откуда $\lambda_ = \displaystyle\frac$, $\lambda_ = -\displaystyle\frac$.

У функции Лагранжа есть две стационарные точки,
$$
M_ = \left(-\frac, \frac, -\frac, \frac\right)\quad \mbox\quad M_ = \left(\frac, -\frac, \frac, -\frac\right).\nonumber
$$

Так как $d^L(M_) = 3(dx^+dy^+dz^) > 0$, a $d^L(M_) = -3(dx^+dy^+dz^) 0$, тo $\displaystyle\left(-\frac, \frac, -\frac, \frac\right)$ — точка условного минимума, a $\displaystyle\left(\frac, -\frac, \frac, -\frac\right)$ — точка условного максимума функции $u = x-2y+2x$ при наличии ограничения $x^+y^+z^-1 = 0$, Причем $u_ <\min>= -3$, $u_ <\max>= 3$. $\blacktriangle$

Найти условные экстремумы функции $f_(x, y) = e^$, $a \neq 0$, при наличии ограничения $f_(x, y) = x^+y^+x+y-4 = 0$.

$\vartriangle$ Построим функцию Лагранжа:
$$
L(x, y) = e^+\lambda(x^+y^+x+y-4).\nonumber
$$
Стационарные точки функции Лагранжа определяются из системы уравнений
$$
\begin
& \displaystyle\frac<\partial L> <\partial x>= aye^+\lambda(3x^+1) = 0,\\
&\\
& \displaystyle\frac<\partial L> <\partial y>= axe^+\lambda(3y^+1) = 0,\\
&\\
& \displaystyle\frac<\partial L> <\partial \lambda>= x^+y^+x+y-4 = 0.
\end\label
$$

Умножая первое уравнение на $x$, а второе на $y$ и вычитая, получаем
$$
\lambda(3x^-3y^+x-y) = \lambda(x-y)(3x^+3xy+3y^+1) = 0.\label
$$

Если $\lambda = 0$, то из первых двух уравнений \eqref получаем $x = y = 0$. Но $x = y = 0$ не удовлетворяет уравнению связи. Итак, $\lambda \neq 0$, поэтому из \eqref следует, что $x = y$ (второй сомножитель всегда положителен: $3(x^+xy+y^)+1 > 0$). Подставляя $x = y$ в уравнение связи, получаем $x^+x = 2$, $x = y = 1$. Первое из уравнений \eqref дает при $x = y = 1$ значение $\lambda = -\displaystyle\frac e^$.

Поэтому при $a 0$ — условный максимум функции $f_(x, y)$ при наличии связи $x^+y^+x+y = 4$, причем экстремальное значение функции равно $e^$. $\blacktriangle$

Уравнение связи $x^+y^+x+y = 4$ было бы затруднительно разрешить относительно одной из переменных. Метод Лагранжа для примера 2 более эффективен, чем прямой метод исключения зависимых переменных.

Несколько замечаний о методе множителей Лагранжа.

Задачи об отыскании экстремумов функций (как числовых, так и функций более общей природы) при наличии ограничений являются весьма распространенными. Теория экстремальных задач интенсивно развивается и находит широкий круг приложений. Здесь были рассмотрены ограничения типа равенств, задаваемые достаточно гладкими функциями (гладкие связи). Метод множителей Лагранжа имеет глубокие обобщения и на более общий случай, когда ограничения задаются системой равенств и неравенств при помощи недифференцируемых в обычном смысле функций.

В конкретных прикладных вопросах множители Лагранжа имеют содержательную интерпретацию. Так, в механике множители Лагранжа задают реакции связей, а в математической экономике — цены на продукты производства. Широко развиты приближенные методы решения экстремальных задач, использующие современную вычислительную технику.

Для случая, когда число переменных n не меньше двух (n≥2) вводится понятие условного экстремума. Экстремум функции многих переменных, достигаемый по какой-то отдельной переменной x_j, называется условным экстремумом данной функции. Достигается этот условный экстремум в точке , в которой . Точка Х 0 =( , , , … ), в которой все частные производные функции Z=f(X) равны 0, называется стационарной точкой.

Необходимое условие экстремума. Если в точке Х* функция Z=f(X) имеет экстремум, то все частные производные функции в этой точке равны нулю:

Следовательно, точки экстремума функции Z=f(X) удовлетворяют системе уравнений:

Таким образом, любая точка экстремума ФМП есть точка стационарная, то есть, Х * =Х 0 . Обратное верно не всегда.

Как и в случае одной переменной, необходимое условие не является достаточным для того, чтобы стационарная точка была точкой экстремума: это может быть точкой изгиба функции. Для получения условий достаточности экстремума ФМП следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Если от частной производной найти частную производную по переменной x_j, то получим частную производную второго порядка по переменным x_i, x_j, которая обозначается . Дифференциал второго порядка обозначается d 2 f(х₁, х₂, …, х_n)=d 2 f(X) и равен сумме произведений частных производных второго порядка по всем переменным (аргументам) на соответствующие приращения этих переменных, то есть

Достаточные условия экстремума:

а) в стационарной точке Х о функция Z=f(X) имеет максимум, если d 2 f(X 0 ) 2 f(X о )>0, при любых Δх_i и Δх_j, не обращающихся в нуль одновременно (в этих случаях Х о = Х*);

б) если d 2 f(X о ) может принимать в зависимости от Δх_i и Δх_j и положительные, и отрицательные значения, то в точке Х о функция Z=f(X) экстремума не имеет (может иметь место изгиб функции);

в) если d 2 f(X о ) может обращаться в нуль не только при нулевых приращениях Δх_i и Δх_j_, то вопрос об экстремуме остается открытым.

Для функции двух переменных Z=f(x₁,x₂) достаточные условия еще не очень сложны. Существуют четыре частные производные второго порядка: . Из них две смешанные производные , если непрерывны, то равны.

Найдем значения частных производных второго порядка в стационарной точке и обозначим:

Обозначим через Δ определитель, составленный из a_ij для i, j = 1, 2:

Тогда достаточные условия экстремума для функции двух переменных примут вид:

а) если Δ>0 и а₁₁ 0 функция имеет максимум; если Δ>0 и а₁₁>0 (a₂₂>0), то в точке Х 0 – минимум (в этих случаях Х 0 = Х * );

б) если Δ>0, то функция в этой точке экстремума не имеет;

в) если Δ=0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

Схема определения экстремума функции n переменных совпадает с правилами определения локального экстремума функции одной переменной.

Как правило, в практических задачах необходимо определить наибольшее и наименьшее значения функции (глобальный экстремум) в некоторой области.

Говорят, что функция Z=f(X) в точке Х 0 заданной области D имеет глобальный максимум (наибольшее значение) или глобальный минимум (наименьшее значение), если неравенство f(X)≤ f(X 0 ) или f(X)≥ f(X 0 ), соответственно, выполняется для любой точки XЄD.

Теорема Вейерштрасса(Weierstras, Карл Теодор Вильгельм-нем. математик, 1815-1897).Если область D замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция Z=f(X) достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.

Следовательно, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значения функции Z=f(X) в области D, нужно:

1) найти все стационарные точки внутри области D и вычислить значения функции в них;

2) исследовать функцию на экстремум на границе области D и вычислить значения функции на границах области D;

3) сравнить значения функции, полученные в п.1 и 2: наибольшее (наименьшее) из этих чисел и будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области.

Граница области D аналитически может быть задана системой уравнений (условий) относительно переменных х₁, х₂, …, x_n. Поэтому, исследуя экстремальные свойства функции на границах области D, необходимо решить задачу определения условного экстремума.

Следовательно, точки экстремума функции Z=f(X) удовлетворяют системе уравнений:

Таким образом, любая точка экстремума ФМП есть точка стационарная, то есть, Х * =Х 0 . Обратное верно не всегда.

Достаточные условия экстремума:

Найдем значения частных производных второго порядка в стационарной точке и обозначим:

Обозначим через Δ определитель, составленный из a_ij для i, j = 1, 2:

Тогда достаточные условия экстремума для функции двух переменных примут вид:

б) если Δ>0, то функция в этой точке экстремума не имеет;

в) если Δ=0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

Следовательно, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значения функции Z=f(X) в области D, нужно:

1) найти все стационарные точки внутри области D и вычислить значения функции в них;

2) исследовать функцию на экстремум на границе области D и вычислить значения функции на границах области D;

Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $\varphi (x,y)=0$.

Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметр $\lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_^dx^2+2F_^dxdy+F_^dy^2$. Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z=f(x,y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F 0$, то $d^2F 0$, т.е. имеем условный минимум функции $z=f(x,y)$.

Примечание относительно формы записи определителя $H$. показать\скрыть

Некоторые авторы записывают определитель $H$ в иной форме (с знаком "-"):

В этой ситуации сформулированное выше правило изменится следующим образом: если $H > 0$, то функция имеет условный минимум, а при $H m$):

Обозначив множители Лагранжа как $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, составим функцию Лагранжа:

Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:

Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F 0.$$

Следовательно, в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x,y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_<\max>=z(1;3)=10$.

Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем:

$$H=8\cdot\left| \begin 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end \right|= 8\cdot\left| \begin 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end \right|=-40$$

Так как $H 0$. Следовательно, знак $H$ противоположен знаку $\lambda$. Можно и довести вычисления до конца:

Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:

Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т.е. $\left( dx \right)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $\lambda_1=-\frac$ получим $d^2F 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_<\max>=\frac$.

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:

Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

Так как $ d^2F \Bigr|_=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ является точкой условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$. Аналогично, $d^2F \Bigr|_=-10 dx^2 0$, то $M_1$ – точка минимума функции $u(x)$, при этом $u_<\min>=u(0)=0$. Так как $u_^(M_2) 0; \; y > 0. \end \right. $$

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; \; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $\lambda=-\frac$ и подставим найденное значение в первое уравнение: $5y-\frac\cdot \frac=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Подставляя $x=2y$ в третье уравнение, получим: $\frac+\frac-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.

Так как $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $\lambda=-10$, получив при этом:

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

Подставляя $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получим:

Ответ: в точке $(2;1)$ функция имеет условный максимум, $z_<\max>=6$.

В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Читайте также: