Понятие сложной и обратной функции в средней школе

Обновлено: 05.07.2024

Понятие сложной функции, или функции от функции, определяется следующим образом. Пусть $u = \phi(x)$ — некоторая функция от $x$; рассмотрим другую функцию $y = f(u)$ такую, чтобы ее область определения совпадала или хотя бы имела общую часть с областью значений функции $u = \phi(x)$. Тогда можно рассматривать $y = f(u) = f(\phi(x))$ как функцию от $x$: задание $x$ определяет $u = \phi(x)$, а значение $u$, если оно попадет в область определения функции $y = f(u)$, определит $y$. Таким образом, в конечном счете заданием $x$ определяется значение $y$, т. е. $y$ становится функцией $x$. Заданная таким способом функция

$y = f(u) = f(\phi(x)) = F(x)$

называется сложной функцией от $x$ (заданной через посредство промежуточного аргумента $u$).

Пример. Функция $y = \sqrt$ естественно представляется как сложная функция так: $y = \sqrt, u = \sin x$.

Схематически сущность понятия сложной функции поясняется рис.1

т. е. представить ее как сложную функцию.

Рассмотрим функцию $y = f(x)$, областью определения которой служит, например, сегмент $[a, b]$ (рис.2), а областью изменения — сегмент $[c, d]$. Функция $y = f(x)$ ставит каждой точке сегмента $[a, b]$ в соответствие некоторую точку сегмента $[c, d]$. Для изображенной на рис. функции (благодаря тому, что она монотонна) можно установить и обратное соответствие: каждому значению $y_<0>$ из сегмента $[c, d]$ соответствует единственное значение $x_<0>$ из сегмента $[a, b]$ такое, что $y_ <0>= f(x_<0>)$. Тем самым $x$ можно рассматривать как функцию от $y$ с областью определения $[c, d]$ и областью изменения $[a, b]$. Функцию $x = g(y)$ назовем обратной по отношению к функции $y=f(x)$ (можно эти две функции назвать взаимно обратными).

При схематическом изображении взаимно обратные функции $f$ и $g$ представятся стрелками, как показано на рис. 3. При этом, однако, существенно, чтобы данному $y$ могло отвечать лишь одно значение $x$ такое, что $y = f(x)$, тогда мы и пишем: $x = g(y)$. Записи $y = f(x)$ и $x = g(y)$ имеют здесь равнозначный смысл: $x = g(y)$ в том и только в том случае, если $y = f(x)$.

Поэтому пары чисел $(x, y)$, определяемые любым из двух соотношений $y = f(x)$ и $x = g(y)$, будут одними и теми же. Это означает, что графики функций $y = f(x)$ и $x = g(y)$ совпадают. Первая из этих функций имеет своим аргументом переменную $x$, изменяющуюся на сегменте $[a,b]$, вторая — переменную $y$ с областью изменения аргумента $[c, d]$. Следует заметить, что во втором случае мы значения аргумента изображаем на оси ординат, а значения функции — на оси абсцисс. Такое изображение является непривычным и потому менее удобным. Представим себе, что произойдет, если теперь и для обратной функции $x = g(y)$ мы станем значения аргумента обозначать через $x$ и изображать на оси $Ox$, а значения функции будем обозначать через $y$ и изображать на оси ординат (напомним, что мы условились обозначать для разных функций разными буквами законы соответствия, символизируемые здесь буквами $f$ и $g$; зависимые же и независимые переменные для разных функций допустимо обозначать одинаково). При таком изменении обозначений запись обратной по отношению к $y = f(x)$ функции будет уже иметь вид $y = g(x)$.

Теперь график функции $y = g(x)$ будет получаться из графика $y = f(x)$ (или $x = g(y)$) с помощью преобразования зеркальной симметрии относительно биссектрисы первого — третьего координатных углов (рис. 4). В самом деле, пусть точка $(x_, y_)$ лежит на графике данной функции; тогда точка $(y_, x_)$ с переставленными координатами должна лежать на графике обратной функции. Но такие две точки расположены симметрично относительно указанной биссектрисы, а отсюда и следует наше утверждение: графики двух взаимно обратных функций расположены симметрично относительно биссектрисы I — III координатных углов.

Пример. Найти функцию, обратную по отношению к функции $y = 4 \sqrt[3] – 1$.

Решение. Из равенства, определяющего данную функцию, выразим $x$ через $y$:

В последнем равенстве поменяем местами $x$ и $y$ и получим выражение для функции

обратной по отношению к данной функции.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Лекция: Сложная функция. Обратная функция.

Преподаватель: Горячева А.О.

Функция – соответствие между множествами (Х и У), при котором каждому элементу первого множества (Х) соответствует не более одного элемента другого множества (У).

Представим это наглядно:

Сложную функцию можно рассмотреть как композицию двух функций, то есть как последовательное выполнение двух соответствий. По рисунку можно проследить, как некоторому элементу множества Х соответствует элемент множества Т, этот закон устанавливается внутренней функцией. А затем для элемента множества Т внешняя функция указывает соответствующее значение элемента из множества У. Таким образом, для первоначального х ₀ мы находим t ₀ , а затем у ₀ . Устанавливается зависимость: x ₀ t ₀ у ₀ _.

Формула для задания сложной функции:

где g ( x ) – внутренняя функция, f ( t ) – внешняя функция.

g ( x ) = х 2 - 4 – внутренняя функция, f ( t ) = – внешняя функция

Задание 1: В указанных сложных функциях назовите внешнюю и внутреннюю функции:

1). y = sin2x; 2) y = (x 3 – 1 ) 5 ; 3) y = cos(7x + 2); y = sin 2 x + 5sinx.

Обратная функция .

Привести пример с законом Ома для участка цепи: знаем напряжение – находим силу тока. Как зная силу тока найти напр.?

Пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x), определенная на некотором отрезке [a; b]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично).

Рассмотрим два различных значения х1 и х2. Пусть y1=f(x1), y2=f(x2). Из определения возрастающей функции следует, что если x1

Эта функция называется обратной для функции y=f(x). Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у).

Обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х.

Не каждая функция имеет обратную.

Функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точки области определения, называют обратимой .

Замечание : монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима

Убедиться, что функция монотонна.

Выразить переменную х через у.

Переобозначить переменные. Вместо х=f -1 (y) пишут y=f -1 (x)

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x 2 , х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

10.4.1.7 уметь распознавать сложную функцию f(g(x)) и составлять композицию функций.

-знает понятие композиции функций (сложной функции);

-находит композицию двух функций;

- применяет полученные знания при выполнении заданий.

Критерии оценивания

Учащийся достиг цели, если:

- знает и применяет понятие композиции функций (сложной функции);

- использует изученный материал при решении задач.

Языковые цели

Предметная лексика и терминология:

описывает свойства функций по заданному графику;

объясняет алгоритм нахождения функции, обратной заданной;

- комментирует составление композиции функций;

Серия полезных фраз для диалога/письма

чтобы найти функцию, обратную данной, надо…;

данная сложная функция составлена из …;

если функция возрастает (или убывает) на некотором промежутке, то она называется … на этом промежутке;

функция называется четной, если…;

функция называется нечетной, если…;

график четной (нечетной) функции симметричен…;

чтобы построить график четной (нечетной) функции, надо;….

Привитие ценностей

Умение учиться, добывать самостоятельно информацию, анализировать ситуацию, адаптироваться к новым ситуациям, ставить проблемы и принимать решения, работать в команде, отвечать за качество своей работы, умение организовывать свое время

Привитие ценностей осуществляется посредством работ, запланированных на данном уроке.

Межпредметные связи

У учащихся закладываются базовые знания в определении понятия функции, исследования их, построения и преобразования графиков функций.

Навыки использования ИКТ

Предварительные знания

Функция и способы задания функции. Свойства функции.

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Организационный момент. Приветствие, проверить готовность учащихся к уроку. Ознакомление с целью обучения, целью урока и ожидаемым результатом.

Цель работы: повторение пройденного материала, актуализация знаний.

1. Повторение пройденного материала.

2. Изучение нового материала.

Для введения понятия сложной функции можно рассмотреть пример:

Если и , найдите .

Дана функция , где .

Попросите учащихся ответить на вопрос:

Учащиеся должны понимать запись , .

3.Практическая работа по теме.

Объедините учащихся в пары. Предложите учащимся карточки с заданиями. Пары могут обмениваться заданиями и проводить взаимопроверку по готовым ответам.

Дана функция и . Найти .

Составьте сложные функции и , если

Найдите область определения сложной функции

, если и .

5. На каких рисунках показаны функции:

Презентация

Виленкин Н.Я.и др. Алгебра для 9 класса. – М.: Просвещение, 1996.

Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. – М.: Просвещени

Пусть функция y = f(x) определена на множестве Х и имеет множество значений У.

О.4.1.Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения У и множеством значений Х. Такая функция называется обратнойк функции y = f(x).

Про функции y = f(x) и говорят, что они являются взаимно обратными.

Если использовать стандартные обозначения, то обратную функцию можно записать в виде

Пример 5. Функции и являются взаимно обратными.

Графики взаимно обратных функций y = f(x) и симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Сложная функция (суперпозиция функций)

Пусть даны функции:

1) с областью определения U и множеством значений У;

2) с областью определения Х и множеством значений , причем .

О.4.2.Функция , заданная на множестве Х, называется сложной функцией от х или суперпозицией функций и . Переменная называется промежуточным аргументомсложной функции.

Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Вопрос 5. Основные элементарные функции

Наиболее простые приложения математического анализа ограничиваются кругом так называемых элементарных функций.

Обратная функция