Понятие об эпюре монжа кратко

Обновлено: 30.06.2024

Начертательную геометрию называют также теорией изображений. Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов изображения пространственных фигур на плоском чертеже и способов решения пространственных геометрических задач на плоском чертеже.Стереометрические (трехмерные) объекты обсуждаются в ней с помощью планиметрических (двухмерных) изображений этих объектов, проекций.

Говорят, что чертеж – язык техники, а начертательная геометрия – грамматика этого языка. Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели конкретных инженерных изделий.

Правила построения изображений, излагаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекций.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного представления и воображения, конструктивно геометрического мышления, развитию способностей к анализу и синтезу пространственных форм и отношений между ними. Освоению способов конструирования различных геометрических пространственных объектов, способов получения их чертежей на уровне графических моделей и умению решать на этих чертежах задачи, связанные с пространственными объектами и их геометрическими характеристиками.

Основание начертательной геометрии как науке было положено французским ученым и инженером Гаспаром Монжем (1746-1818) в его труде “Начертательная геометрия”, Париж, 1795 г. Гаспар Монж дал общий метод решения стереометрических задач геометрическими построениями на плоскости, то есть на чертеже, с помощью чертежных инструментов.

Принятые обозначения.

А, В, С, D, -точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита;

a, b, с, d - линии - строчными буквами латинского алфавита;

p1 – горизонтальная плоскость проекций,

p2 – фронтальная плоскость проекций,

p3 - профильная плоскость проекций,

p4, p5, . - дополнительные плоскости проекций.

Оси проекций - строчными буквами латинского алфавита: х, y и z. Начало координат - цифрой 0.

Проекции точек, прямых, плоскостей обозначаются: на p1 с одним штрихом, на p2 с двумя, на p3 – с тремя штрихами.

p1 – А I , В I , C I . a I , b I , . ,a I , b I ,

p2 – А II , В II , C II . a II , b II , . ,a II , b II ,

p3 – А III , В III , C III . a III , b III , . ,a III , b III .

Образование проекций.

1 Центральное проецирование.

Аппарат центрального проецирования состоит из центра проецирования S, плоскости проекций π, проецирующих лучей.


π1 - плоскость проекций

S – центр проецирования

A, B, C - точки в пространстве

A', B', C' - проекции точек на плоскость π'

Проекция – это точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

2. Параллельное проецирование.

Проецирующие лучи проводятся параллельно S и друг другу. Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. При косоугольном проецировании лучи расположены под углом к проецирующей плоскости.


При прямоугольном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 1.3). Прямоугольное проецирование является основным способом проецирования, принятым при построении технических чертежей


Основные свойства ортогонального проецирования

1. Проекция точки - есть точка;

2. Проекция прямой (в общем случае) – есть прямая линия или точка(прямая перпендикулярна плоскости проекций);

3. Если точка лежит на прямой, то проекция этой точки будет принадлежать проекции прямой: А l ® A' l';

4. Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции также параллельны: a || b ® a` || b`;

5. Если две прямые пересекаются в некоторой точке, то их одноименные проекции пересекаются в соответствующей проекции этой точки: m ∩ n = K ® m' ∩ n' = K';

6. Пропорциональность отрезков, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых, сохраняется и на их проекциях (рис.1.3): АВ:СD = А'B': C'D'

7. Если одна из двух взаимно перпендикулярных прямых параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость прямым углом (рис.1.4).


Комплексный чертеж точки или эпюр Монжа.

Самый употребительный на практике метод начертательной геометрии предложил Гаспар Монж. В основе этого метода лежит ортогональное проектирование.

Ортогональной (или прямоугольной) проекцией точки А на плоскость π1 называют основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость π1 (рис.1.5)


Получаемый при этом на плоскости π1 чертеж необратим, соответствие между оригиналом А и проекцией A' однозначно только в одну сторону: от оригинала к проекции. Оригиналу соответствует единственная проекция, оригиналом чертеж определен однозначно, но для проекции A' существует бесчисленное множество соответствующих ей оригиналов, а именно все точки проецирующей прямой A A'. Точный перевод с языка чертежа на язык натуры невозможен. Поэтому Монж вводит вторую плоскость проекций.



На рис. 6. изображена прямоугольная система координат.

Совмещая теперь плоскости π1 и π2 с построенными в них проекциями поворотом π1 вокруг оси Х на 90 0 так, чтобы передняя полуплоскость π1 совпала с нижней полуплоскостью π2, получаем комплексный чертеж точки или эпюр Монжа. (рис. 1.7).

Построенный по таким правилам чертеж, состоящий из пары проекций, расположенных в проекционной связи, обратим, то есть соответствие между оригиналом и чертежом однозначно в обе стороны. Или иначе говоря, чертеж дает исчерпывающую информацию об оригинале. Расшифровка этой информации и составляет предмет начертательной геометрии.

Из комплексного чертежа точки можно сделать выводы:

1. две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве;

2. проекции точек всегда лежат на линии связи, перпендикулярной оси проекции.

Линии, соединяющие проекции точек, называются линиями связи и изображаются сплошными тонкими линиями.

В ряде построений и при решении задач оказывается необходимым вводить в систему π1 (горизонтальная плоскость) π2 (Фронтальная плоскость) и другие плоскости проекций. Плоскость, перпендикулярная и к π1 и к π1, - это профильная плоскость. π3. Линия пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей дают ось Х, линия пересечения горизонтальной и профильной плоскостей дают ось У, и линия пересечения фронтальной и профильной плоскостей – ось Z. (рис.1. 8)



Новой информации об оригинале третья проекция не добавляет. Она лишь делает имеющуюся информацию более удобоваримой. (Рис. 1.10)


Расстояние от точки А до плоскости π3 (А A"') в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A'AY = A"AZ = AX0 = X

Расстояние от точки А до плоскости π2 (А A") в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A'AX = A"'AZ = AY0 = Y

Расстояние от точки А до плоскости π1 (А A') в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A"AX = A"'AY = AZ0 = Z

Пример. Построить проекции точек А(10, 10,30), В(30,20,10)


Конкурирующие точки.

Точки, у которых совпадает одна пара одноименных проекций (а другие не совпадают), называются конкурирующими точками.

Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция B' ближе к наблюдателю, чем A', и на π2 видимой будет проекция B'' а проекция А'' будет невидимой (рис. 1.12).


Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция А'' ближе к наблюдателю, чем В'', и на π1 видимой будет проекция А' а проекция В' будет невидимой (рис. 1.13).


Чем дальше проекция точки от оси Х, тем точка выше или ближе к наблюдателю.

Пример оформления методической разработки: Методическая разработка - разновидность учебно-методического издания в помощь.

Чертежи в начертательной геометрии строятся главным образом на основании операции ортогонального, то есть прямоугольного, проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций: фронтальную и горизонтальную плоскости. Полученные таким образом два изображения позволяют однозначно определять положение того или иного геометрического образа (фигуры) в пространстве. (рис.1.5).

Путем вращения одной из этих плоскостей проекций вокруг линии пересечения - оси х, до совмещения в единую плоскость получается плоское изображение, которое называют эпюром Гаспара Монжа или комплексным чертежом. Покажем это на примере изображения точки А (рис.1.5 и 1.6). Плоскости p1 и p2 делят пространство на четыре четверти, отмеченные римскими цифрами.



Иногда бывает необходимо ввести третью плоскость проекций p3, перпендикулярную к первым двум плоскостям проекций. Такие три плоскости разделят пространство на восемь частей, называемых октантами. Их нумерация показана на рис.1.7.



Положительные направления осей координат указаны стрелками, фронтальная плоскость проекций - p2, горизонтальная - p1 и профильная - p3.

На рис.1.9 изображены точки А, В, С, D и Е, расположенные в различных октантах и на плоскостях и осях проекций. А - II - второй октант; В - p1; С - p3; D - III октант; Е - ось Х.

Пример (рис.1.10). Найти проекции точек: А (10,15,20), В(25,-5,35); С(-25,5,10) и D(55,20 и удаленную от оси X на 45 мм).


Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой прямоугольной системы координатных осей - системы трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (рис. 1.12).

Эти координатные плоскости обозначаются:

1. Горизонтальная плоскость проекций - π1;

2. Фронтальная плоскость проекций - π2;

3. Профильная плоскость проекций - π3.

Линии пересечения этих плоскостей образуют координатные оси: ось абсцисс – Х; ось ординат – Y; ось аппликат – Z. Точка О пересечения координатных осей принимается за начало координат и обозначается буквой О. Положительными направлениями осей считают: для оси x − влево от начала координат, для оси Y − в сторону зрителя от плоскости π2, для оси z – вверх от плоскости π1; противоположные направления считают отрицательными.


.

Рис. 1.12. Изображение системы трех плоскостей проекций

Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать только часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекций π3.

При таком допущении три координатные плоскости проекций образуют четыре пространственных угла – октанта ( в общем случае – 8 октантов).

Из рис. 1.12 видно, что ось абсцисс Х делит горизонтальную плоскость проекций π1 на две части: переднюю полу π1 (оси Х и Y) и заднюю полу π1 (оси Х и - Y).

Ось абсцисс Х делит фронтальную плоскость проекций π2 также на две части: верхнюю полу π2 (оси Х и Z) и нижнюю полу π2 (оси Х и - Z).

Оси ординат Y и аппликат Z делят профильную плоскость проекций π3 на четыре части:

  1. Верхнюю переднюю полу π3 (оси Y и Z)
  2. Верхнюю заднюю полу π3 (оси –Y и Z)
  3. Нижнюю переднюю полу π3 (оси Y и –Z)
  4. Нижнюю заднюю полу π3 (оси – Y и –Z)

Для того, чтобы получить плоскую (двухмерную) модель пространственных координатных плоскостей проекций, горизонтальную π1 и профильную π3 плоскости совмещают с фронтальной π2 в том порядке как это показано стрелками на рис. 1.12.


.

Рис. 1.13. Пространственная модель точки А

При этом горизонтальная плоскость проекций π1 вращается вокруг оси Х на 90°, а профильная плоскость проекций π3 вращается вокруг оси Z также на 90° (направление вращения показано на рис. 1.12).

Полученное таким образом совмещение трех плоскостей проекций (рис. 1.13) является плоской моделью системы трех пространственных координатных плоскостей

Для построения плоской модели пространственной геометрической фигуры каждая ее точка проецируется ортогонально на плоскости проекций π1, π2 и π3, которые затем совмещаются в одну плоскость. Полученная таким образом плоская модель пространственной геометрической фигуры называется эпюром Монжа.

Порядок построения эпюры точки, расположенной в первом октанте.

На рис. 1.13 изображена пространственная точка А, координаты которой (x, y, z) показывают величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.

Для того чтобы получить ортогональные проекции точки А, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций.

Точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостями проекций образуют проекции точки А:

А1 – горизонтальную проекцию точки;

А2 – фронтальную проекцию точки;

А3 – профильную проекцию точки.


.

Рис. 1.14. Эпюр точки А

На рис. 1.14 плоскости проекций π1 и π3 совмещены с плоскостью чертежа ( с плоскостью проекции π2), а вместе с ними совмещены с плоскостью чертежа и проекции точки А (А1, А2, А3) и таким образом получена плоскостная модель координатных плоскостей проекций и плоскостная модель пространственной точки А – ее эпюра.

Положение проекций точки А на эпюре однозначно определяется ее тремя координатами (рис. 1.14).

На рис. 1.13 и рис. 1.14 также видно, что на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси Х, а также фронтальная и профильная проекции – на одном перпендикуляре к оси Z:

А1А2 Х, А2А3 Z.

Из рис 1.12 видно, что точки, расположенные в различных октантах, имеют определенные знаки координат.

В таблице приведены знаки координат точек, расположенных в различных октантах

§ 12. Прямоугольное проецирование на две плоскости проекций. Метод Монжа

Прямоугольное проецирование на две плоскости проекций. Метод Монжа


Одна проекция не всегда однозначно определяет форму изображаемого предмета. Различные по форме предметы могут образовывать одинаковые проекции (см. р ис. вверху справа).

Проецирование на две плоскости проекций. Для того чтобы получить представление о форме объемного предмета, проецирование выполняют на две плоскости проекций: горизонтальную Н и фронтальную V (рис. 42).
Плоскости проекций Н и V в пространстве размещают под прямым углом друг к другу. Линию пересечения этих плоскостей (ее обозначают х) называют осью проекций

Чтобы получить чертеж предмета на плоскости, обе плоскости Н и V совмещают в одну. Для этого горизонтальную плоскость проекций поворачивают на угол 90° так, чтобы она совпала с фронтальной плоскостью проекций. Плоскости проекций пересекаются осью проекций х (рис. 43, а).

Помните! При построении чертежа горизонтальную проекцию предмета Н всегда располагают под фронтальной V (рис. 43, б). Соединяют эти проекции линиями проекционной связи, которые являются проекциями проецирующих лучей.


Определите, какая проекция предмета является горизонтальной, а какая фронтальной. Свой ответ объясните.

Памятка 6. Алгоритм построения двухпроекционного
комплексного чертежа детали

Для того чтобы облегчить понимание последовательности проецирования на две плоскости проекций, построение двухпроекционного чертежа детали будет
показано на бумаге в клетку


Сначала выполняется проецирование детали на фронтальную плоскость V. На наглядном изображении эта грань окрашена в голубой цвет
1. В соответствии с размерами проводятся вспомогательные линии
2. Сплошной основной толстой линией обозначается контур детали

3. Чтобы проекции находились одна под другой, проводятся линии проекционной связи, перпендикулярные к оси х, и определяется длина детали

4. Затем выполняется проецирование детали на фронтальную плоскость Н (светло-голубая плоская и голубая наклонная грани). Они имеют одинаковую ширину. Ширина детали 15 мм, ее ограничивают по бокам две грани голубого цвета, которые при взгляде сверху будут проецироваться в прямую линию

5. Если посмотреть сверху на деталь, то можно увидеть две грани под углом (голубую и светло-голубую), которые разделяет линия. Опускается соответствующая линия проекционной связи с фронтальной проекции на горизонтальную
6. Обводятся контуры детали сплошной основной толстой линией
7. Наносится осевая линия и проставляются размеры детали


1. Из точки А на плоскости V и H опускают перпендикуляры и получают проекции точки А: а′ — горизонтальная проекция и а″ — фронтальная проекция.
2. Мысленно удаляют точку А и поворачивают плоскость Н вокруг оси Ох на угол 90° вниз до совмещения с плоскостью V.
3. Проекции а′ и а″ расположились на одной прямой а′а″. Линия а′а″ называется линией проекционной связи.

Помните! Фронтальная и горизонтальная проекции точки всегда находятся на перпендикуляре к оси проекций ох.
Отрезок а′ах — расстояние точки А до плоскости V. Отрезок а″ах — расстояние точки А до плоскости Н.



Основы начертательной геометрии возникли еще в глубокой древности. Греческий геометр Евклид и римский архитектор Витрувий внесли большой вклад в развитие методов построения изображений пространственных форм на плоскости. Бурное развитие архитектуры, живописи и скульптуры в эпоху Возрождения создало условия для развития методов построения изображений пространственных форм на плоскости. В это время вводится целый ряд основных понятий: центральное проецирование, картинная плоскость, дистанция, главная точка, линия горизонта, дистанционные точки и т. д. Одним из первых, кто применял перспективу в своих работах, был итальянский архитектор и ученый Ф. Брунеллески. В трактате по перспективе Леонардо да Винчи приводятся примеры применения перспективных изображений, сведения о воздушной и линейной перспективе и теории светотени. Большой вклад в теорию перспективы внесли Альбрехт Дюрер, Гвидо Убальди, Жерар Дезарг. Но только в 1798 г. французский инженер и ученый Гаспар Монж сформулировал главные элементы теории построения графических изображений.

Читайте также: