Переходный процесс в rc цепи кратко

Обновлено: 02.07.2024

Переходные процессы в цепи с одним накопителем энергии и произвольным числом резисторов

Как отмечалось в предыдущей лекции, линейная цепь охвачена единым переходным процессом. Поэтому в рассматриваемых цепях с одним накопителем энергии (катушкой индуктивности или конденсатором) – цепях первого порядка – постоянная времени будет одной и той же для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение.

Общий подход к расчету переходных процессов в таких цепях основан на применении теоремы об активном двухполюснике: ветвь, содержащую накопитель, выделяют из цепи, а оставшуюся часть схемы рассматривают как активный двухполюсник А (эквивалентный генератор) (см. рис.1, а) со схемой замещения на рис. 1,б.

Совершенно очевидно, что постоянная времени здесь для цепей с индуктивным элементом определяется, как:

и с емкостным, как:

где - входное сопротивление цепи по отношению к зажимам 1-2 подключения ветви, содержащей накопитель энергии.

Например, для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 2 можно записать

где в соответствии с вышесказанным

Переходные процессы при подключении последовательной
R-L-C-цепи к источнику напряжения

Рассмотрим два случая:

Согласно изложенной в предыдущей лекции методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 3 можно записать

Тогда для первого случая принужденная составляющая этого напряжения

Характеристическое уравнение цепи

решая которое, получаем

В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:

1. или , где - критическое сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер.

2. - предельный случай апериодического режима.

В этом случае и

3. - периодический (колебательный) характер переходного процесса.

В этом случае и

где - коэффициент затухания; - угловая частота собственных колебаний; - период собственных колебаний.

Для апериодического характера переходного процесса после подстановки (2) и (3) в соотношение (1) можно записать

Для нахождения постоянных интегрирования, учитывая, что в общем случае и в соответствии с первым законом коммутации , запишем для t=0 два уравнения:

решая которые, получим

Тогда ток в цепи

и напряжение на катушке индуктивности

На рис. 4 представлены качественные кривые , и , соответствующие апериодическому переходному процессу при .

Для критического режима на основании (2) и (4) можно записать

Для колебательного переходного процесса в соответствии с (2) и (5) имеем

Для нахождения постоянных интегрирования запишем

На рис. 5представлены качественные кривые и , соответствующие колебательному переходному процессу при .

При подключении R-L-C-цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения принужденных составляющих тока в цепи и напряжения на конденсаторе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым

Здесь также возможны три режима:

Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой . При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные варианта: 1 - ; 2 - ; 3 - , - которые представлены на рис. 6,а…6,в соответственно.

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

Как можно определить постоянную времени в цепи с одним накопителем энергии по осциллограмме тока или напряжения в какой-либо ветви?
Определить, какой процесс: заряд или разряд конденсатора в цепи на рис. 2 – будет происходить быстрее?

Переходными процессами, возникающими в электрических цепях, называют явления (процессы), которые происходят в них после того как один из параметров испытал быстрое изменение. Например, включение и выключение ЭДС в цепи с сопротивлением и индуктивностью.

RC цепь

RC цепью называется электрическая цепь, которая состоит из конденсатора (конденсаторов) (емкость C), сопротивления (сопротивлений) (R) и источника ЭДС (рис.1). В такой цепи могут происходить только релаксационные непериодические процессы.

Присутствие в цепи конденсатора исключает возможность существования в ней постоянного тока. Разность потенциалов между обкладками конденсатора полностью компенсирует действие сторонней ЭДС (источника). Переменный же ток в такой сети возможен благодаря переменному заряду на конденсаторе. Разность потенциалов на обкладках не компенсирует действия сторонней ЭДС, в результате чего поддерживается некоторая сила тока.

Закон Ома для RC цепи имеет вид:

где $q$ -- заряд на обкладке конденсатора, $\frac$ -- разность потенциалов между обкладками конденсатора, $U_0$- постоянное напряжение. Иногда уравнение (1) используют в виде:

Включение (выключение) постоянной ЭДС в RC цепи

Допустим, что постоянное напряжение ($U_0$) включают в момент времени, который мы принимаем за начальный ($t=0$). Из уравнения (1) следует, что:

Уравнение (2) при $t>0\ $запишем как:

Решением уравнения (4) при заданном начальном условии (3) является функция:

Из формулы (5) следует, что при $t\to \infty ,\ I\to 0.\ $ $I_=\frac$. Время убывания силы тока ($\tau $) равно:

Готовые работы на аналогичную тему

График функции $I\left(t\right)$ представлен на рис.2.

Если в RC цепи емкость конденсатора велика, то ток после того как выключили источник постоянного напряжения может течь в цепи продолжительное время. Если в цепь включить лампу, то она сначала вспыхнет, за тем постепенно погаснет.

В момент времени, когда в RC цепи ток упал до нулевого значения, конденсатор зарядился максимально, разность потенциалов его обкладок равна величине сторонней ЭДС с противоположным знаком. Эти две величины компенсируют друг друга. Если каким-либо образом в этот момент выключить стороннюю ЭДС, то в цепи начнет течь ток, который возникает за счет некомпенсированной разности потенциалов на обкладках конденсатора. Начальная сила такого тока будет равна $\frac$, закон изменения тока. При этом закон изменения тока совпадет с функцией (5).

LC цепь

$LC$ цепью называют цепь, которая состоит из катушки индуктивности и емкости (рис.3).

В подобной цепи, не имеющей активного сопротивления, можно создать электрические колебания. Для этого сообщают обкладкам конденсатора начальный заряд или возбуждают ток в индуктивности (например, включая внешнее магнитное поле, которое пронизывает витки катушки). Допустим, что мы зарядили конденсатор. На обкладках конденсатора имеются заряды $q$ и $-q$. Между обкладками конденсатора появляется электрическое поле, энергия ($W_q$) которого равна:

Составили цепь из катушки и заряженного конденсатора. Конденсатор начнет разряжаться, в контуре возникнет ток. При этом энергия электрического поля уменьшается, энергия магнитного поля, которое порождается током, который течет через индуктивность, растет. Энергия магнитного поля ($W_m$) равна:

Так как активное сопротивление контура считается равным нулю, потерь энергии нет, то электрическая энергия постепенно переходит в магнитную, за тем магнитная переходит в электрическую. В момент, когда напряжение на конденсаторе равно нулю (следовательно, $W_q=0$), магнитная энергия максимальна, следовательно, ток в цепи максимален. Ток уменьшается, заряд растет. Весь цикл повторяется бесконечно.

Уравнение колебаний в контуре без активного сопротивления

Уравнение, которое описывает процесс изменения заряда в $LC$ контуре, имеет вид:

где $\frac=<\omega >_0$ -- собственная частота $LC$ -- контура. Решением уравнения (9) служит функция:

Из (10) видно, что заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой $<\omega >_0$.

Задание: Запишите функцию зависимости напряжения на конденсаторе от времени ($U(t)$) после замыкания ключа на рис. 4. Считать, что конденсатор был заряжен до напряжения $U_0$.

Решение:

Используем второе правило Кирхгофа, запишем, что после того как ключ в цепи замкнули, выполняется равенство:

где $U_R$ -- напряжение на сопротивлении, $U_C$ -- напряжение на конденсаторе. При этом можно положить, что:

\[U_R=RI_R,\ I_C=C\frac,\ I\left(t\right)=I_C=I_R\left(1.2\right),\]

где $I_C,I_R$ токи, текущие через конденсатор и сопротивление. Используем выражения (1.2) преобразуем уравнение (1.1), получим:

Решение уравнения (1.3) запишем в виде:

Постоянную А найден их начального условия задачи ($U_C\left(0\right)=U_0$), следовательно А=$U_0$.

Ответ: $U_C\left(t\right)=U_0exp\left(-\frac\right).$

Задание: Приведите пример, как получить в примере 1 режим зарядки и разрядки конденсатора?

Решение:

Заданный режим можно получить, если в качестве источника постоянного напряжения использовать генератор прямоугольных импульсов (поставить его на место ключа рис. 4). При этом ЭДС источника ($\varepsilon (t$)) должна выглядеть как:

где $T_i$ -- длительность импульса, причем это время должно быть существенно больше, чем время релаксации для того, чтобы напряжение на конденсаторе успело стать равным $<<\mathcal E>>_0$.

15.2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЕЙШЕЙ RC -ЦЕПИ

При анализе подключения RC -цепи к источнику напряжения u 0 ( t ) (рис. 15.1, а ), согласно сказанному выше, из уравнений, составленных для цепи после коммутации,

при замкнутом ключе

исключим ток и сведем их к одному уравнению относительно переменной состояния u C :

Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид суммы частного решения неоднородного и общего решения однородного уравнений

Для нахождения второго из них составим характеристическое уравнение RC l + 1 = 0, корнем которого является l = – 1/ RC . Общее решение однородного уравнения свободная составляющая напряжения u " C соответствует цепи с исключенным источником

где A пока неопределенная константа; t = RC величина, имеющая размерность времени, характеризующая скорость протекания переходного процесса, так называемая постоянная времени .

Характер частного решения вынужденной составляющей u ' C определяется видом воздействующего на цепь напряжения источника u 0 ( t ). В простейших случаях подключения цепи к постоянному источнику u 0 ( t ) = U 0 = const и замыкания конденсатора на резистор, когда u 0 ( t ) = 0, составляющую u ' C можно найти, руководствуясь следующими соображениями. Вид общего решения u C = u ' C + A e – t / t показывает, что u ' C представляет собой значение напряжения на конденсаторе, которое будет достигнуто в установившемся режиме после окончания переходного процесса. Действительно, при t ® ¥ u C ( t ) ® u ' C , так как свободная составляющая u " C с течением времени затухает. Рассмотрим перечисленные случаи.

1. Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения u 0 ( t ) = U 0 . К концу переходного процесса на конденсаторе установится напряжение источника U 0 , т. е. u ' C = U 0 . Отсюда

Для определения постоянной A используем начальное условие. Согласно закону коммутации, напряжение на конденсаторе в момент замыкания ключа остается непрерывным. Поэтому если в исходном состоянии до замыкания ключа конденсатор не был заряжен ( u C (– 0) = 0), то это же нулевое значение u C сохранит и непосредственно после замыкания. Из последнего выражения при t = 0 имеем

Отсюда найдем A = – U 0 и запишем окончательно

u C (t) = U₀(1 - e - t/ t ).

Из исходных уравнений цепи получим для тока:

Характер изменения тока и напряжения при подключении RC -цепи к источнику постоянного напряжения изображен на рис. 15.1, б .

2. Разряд конденсатора на резистор (рис. 15.2, а ).

Для расчета тока при разряде и напряжения u C исходном уравнении следует положить u 0 ( t ) = 0, что приводит его к однородному уравнению:

а напряжения и токи содержат лишь свободные составляющие. Поэтому его общее решение имеет вид

где константы A и t сохраняют прежний смысл.

Для определения значения A используем начальное условие значение напряжения u C (0) = U 0 , до которого конденсатор был заряжен к моменту замыкания ключа. При t = 0 имеем

и окончательно для напряжения u C запишем

Значение тока разряда определим из исходных уравнений

Соответствующие кривые изображены на рис. 15.2, б . Напряжение на конденсаторе непрерывно в момент коммутации и уменьшается по экспоненциальному закону от начального значения U 0 . Скорость протекания разряда определяется постоянной времени t = RC .

3. Включение RL -цепи к источнику синусоидального напряжения u 0 ( t ) = U m 0 sin ( w t + y ). В этом случае общие уравнения переходного процесса сохраняются; для напряжения u C имеем уравнение

Его общее решение имеет ту же форму, что и ранее:

Теперь для определения частного решения u ' C рассмотрим установившийся синусоидальный процесс при t ® ¥ , когда свободная составляющая u " C исчезает. Для определения напряжения u ' C ( t ) воспользуемся комплексным методом. Передаточная функция рассматриваемой цепи

где q = – arctg ( w RC ), а амплитуда напряжения источника . Множитель, учитывающий начальную фазу y , здесь не опущен, так как за начало отсчета t = 0 принимается момент коммутации замыкания ключа, а фаза y в этот момент может иметь произвольное значение.

Запишем далее выражение комплексной амплитуды напряжения на конденсаторе

и его мгновенное значение u ' C ( t )

где амплитуда установившегося напряжения на конденсаторе. Теперь для определения значения постоянной A в общем решении имеем условие

Если в момент включения конденсатор не был заряжен, то

Это позволит записать окончательно

Значения тока в цепи определим дифференцированием

где I m = U mC w C амплитуда тока в цепи в установившемся режиме.

Оба выражения для u C и i в общем случае имеют периодическую вынужденную (первое слагаемое) и апериодическую свободную составляющие (второе слагаемое). При этом характер переходного процесса существенно зависит от двух факторов начальной фазы напряжения источника в момент включения y и соотношения частоты w и параметров цепи, выражаемого безразмерным множителем wt = w RC = R / X C . Проанализируем характерные ситуации.

Если в выражении для постоянной A аргумент синуса y + q = y – arctg wt равен нулю, то и A = 0, т. е., если включение цепи при нулевом начальном условии производится в момент, когда y = arctg wt , то переходный процесс в цепи вообще не возникает, а сразу устанавливается синусоидальный режим.

С другой стороны, влияние начальной фазы в момент включения на процесс наиболее сильно, если рассмотренный аргумент синуса y + q = p /2. В этом случае апериодическая составляющая максимальна, и выражения для u C и i после преобразования тригонометрических функций принимают вид:

Соответствующие зависимости изображены на рис. 15.3, а , б , где также отдельно приведены периодическая u ' C и апериодическая u " C составляющие. Последняя построена для двух значений параметра wt .

При больших wt влияние апериодической составляющей существенно в течение ряда начальных периодов процесса результирующая кривая напряжения на конденсаторе u C имеет несимметричное относительно оси абсцисс расположение экстремумов, которые постепенно приближаются к симметричной кривой u ' C установившегося режима. Вследствие этого экстремальные значения этого напряжения u max в начальные периоды могут превышать амплитуду установившегося значения. Это наиболее сильно проявляется в первом полупериоде. Так, при w t = p (или t = p / w ) имеем u C ( p / w ) = U mC (– 1 – e – p / wt ), т. е. | u max |/ U mC @ 1 + e – p / wt . Отсюда следует, что максимальное значение u max не может превысить амплитуду установившегося режима U mC более чем в два раза.

Если же, наоборот, значение wt малó постоянная времени существенно меньше периода, то оказывается заметным всплеск тока в момент включения, показанный на рис. 15.3, б штриховой линией. Согласно приведенному выше выражению для i ( t ), этот всплеск может многократно превысить амплитуду установившегося тока: i (0) = I m / wt . Однако этот начальный всплеск тока является кратковременным он затухает в течение первого полупериода. Этот факт необходимо учитывать при подключении конденсаторов, обладающих весьма малым сопротивлением R, к источникам синусоидального напряжения, имеющим также малое внутреннее сопротивление (например, к сети). При других значениях начального значения напряжения источника в момент включения при 0 + q p /2 начальные всплески тока и напряжения выражены не столь резко.

Рассмотрим переходный процесс при включении rC-цепи на постоянное напряжение U (рис. 14.13).
Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, или с учетом (14.19) . Соответствующее однородное уравнение, т. е. уравнение для свободного процесса, совпадает с (14.20). Поэтому свободное напряжение на емкости

Переходное напряжение на емкости

Так как конденсатор не был заряжен, т. е. при t = 0 напряжение , то А = — U и

Для тока получим

Начальное значение тока i (0+) может быть получено и непосредственно.

Так как , то все напряжение источника U при t = 0 равно напряжению .
Кривые изменения (рис. 14.14) показывают, что напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгновенно. Напряжение возрастает, и ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи t , т. е. чем медленнее затухает свободное напряжение .

Отметим аналогию законов изменения тока в rL-цепи и напряжения в rC-цепи при включении их на постоянное напряжение. Она следует из сравнения равенств (14.14) и (14.25) и кривых на рис. 14.6 и 14.14. Аналогично также изменение величин и i в тех же цепях. Аналогия распространяется и на случаи включения r L и r С-цепей на синусоидальное напряжение.
К исследованию процессов зарядки и разрядки конденсатора через резистор сводятся многие важные практические задачи, возникающие при расчете переходных процессов в цепях автоматики, телемеханики, электроники и связи.
Как будет показано ниже, энергия, переходящая в тепло при включении rC-цепи, не зависит от значения r .

Читайте также: