Основные свойства неопределенного интеграла кратко
Обновлено: 05.07.2024
Свойство 1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Доказательство.
Свойство 2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
Доказательство.
Свойство 3.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Доказательство.Прежде всего подчеркнем, что данное равенство имеет условный характер: его следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого, поскольку каждый из интегралов определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Действительно, пусть – первообразная для функции , т.е. . Тогда – первообразная для функции , так как . Отсюда следует, что
где – произвольная постоянная.
Свойство 4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций:
Доказательство. Данное равенство (как и в предыдущем свойстве) следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого, поскольку каждый из интегралов определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Действительно, пусть и – первообразные для функций и соответственно, т.е. . Тогда функция является первообразной для функции , так как
где – произвольная постоянная.
Отметим, что данное свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых функций.
Таблица основных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов, которая непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием первообразных. Интегралы, содержащиеся в этой (или подобной ей) таблице, принято называть табличными.
Таблица интегралов в силу инвариантности формы дифференциала функции оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой её дифференцируемой функцией ( ).
Отметим, что если операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям, то операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям, т.е. функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций.
Например, доказано, что следующие интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными функциями:
Свойство 1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Доказательство.
Свойство 2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
Доказательство.
Свойство 3.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Доказательство.Прежде всего подчеркнем, что данное равенство имеет условный характер: его следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого, поскольку каждый из интегралов определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Действительно, пусть – первообразная для функции , т.е. . Тогда – первообразная для функции , так как . Отсюда следует, что
где – произвольная постоянная.
Свойство 4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций:
Доказательство. Данное равенство (как и в предыдущем свойстве) следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого, поскольку каждый из интегралов определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Действительно, пусть и – первообразные для функций и соответственно, т.е. . Тогда функция является первообразной для функции , так как
где – произвольная постоянная.
Отметим, что данное свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых функций.
Таблица основных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов, которая непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием первообразных. Интегралы, содержащиеся в этой (или подобной ей) таблице, принято называть табличными.
Таблица интегралов в силу инвариантности формы дифференциала функции оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой её дифференцируемой функцией ( ).
Отметим, что если операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям, то операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям, т.е. функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций.
Например, доказано, что следующие интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными функциями:
Определение 1. Пусть функция f (x) определена на некотором интервале (a, b) и для всех x ∈ (a, b) существует такая функция F(x), что F'(x) = f (x). Тогда F(x) называется первообразной для f (x) на (a, b) .
Например, одной из первообразных функций для функции cos x будет sin x .
Первообразная не единственна, т. к. (cosx + 2)' =(cosx)' + 2'=sin x , (cosx - 3)' = sin x , а поэтому cos x + 2, cos x - 3 также являются первообразными для sin x .
Теорема. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на
Следствие. Прибавляя к какой-либо первообразной F(x) для данной функции f (x), определенной на промежутке (a, b) , всевозможные постоянные C , мы получим все первообразные для функции f (x) .
Определение 2. Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x)dx .
При этом f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.
Согласно определению неопределенного интеграла можно написать:
∫ f (x)dx = F(x)+ C , где F¢(x)= f (x), постоянная C может принимать любое значение и называется произвольной постоянной.
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (1,2).
Замечание. В формулах (1) и (2) знаки и уничтожают друга. В этом смысле интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными математическими операциями.
Свойства линейности неопределенного интеграла.
т. е. любая формула интегрирования не изменяет свой вид, если вместо независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию . Поэтому таблицу интегралов от сложной функции запишем в виде:
Таблица интегралов
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал f (x)dx, а затем в таблице
интегралов найти первообразную.
Пример 1.
Выражение cos xdx заменили на d (sin x) . Получили интеграл
который можно отыскать в таблице интегралов, где u(x) = sin x.
Пример 2.
Здесь мы умножили подынтегральную функцию и разделили на 2, затем внесли 2 под знак дифференциала. Заменим 2dx =d (2x +1) и получим табличный интеграл
Проверим результат дифференцированием:
Пример 3.
В данном примере мы применили прием подведения под знак дифференциала cosx и постоянной 1. cos xdx = d(1+ sin x).
Пример 4.
Метод подстановки
Пример 6.
Здесь удобно применить тригонометрическую подстановку x = sint , с помощью которой мы избавимся от корня. Отсюда dx = costdt .
Метод интегрирования по частям.
Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции от x . На основании формулы дифференциала произведения имеем d(uv)= udv + vdu.
Иногда формула интегрирования по частям применяется несколько раз. Рассмотрим пример такого интеграла.
Замечание. Иногда применение формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу, который в таком случае называется циклическим или круговым.
Получили интеграл, в котором cosnx заменился на sin nx .
Проинтегрируем еще раз по частям, обозначим:
Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.
где F(x) - первообразная для f(x)
То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a.
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.
Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x).
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
Бари Алибасов и группа
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Читайте также: