Определение устойчивости по ляпунову кратко
Обновлено: 05.07.2024
Эта статья посвящена асимптотической устойчивости нелинейных систем. Для устойчивости линейных систем см экспоненциальную устойчивость .
В ограниченной задаче трех тел , ляпуновские орбиты изогнутые дорожки вокруг точки Лагранжа , которые целиком лежат в плоскости двух основных органов, в отличие от гало орбит и Лиссажу орбиты , которые перемещаются выше и ниже плоскости также.
Содержание
Рассмотрим автономную нелинейную динамическую систему
Икс ˙ знак равно ж ( Икс ( т ) ) , Икс ( 0 ) знак равно Икс 0 > = е (х (т)), \; \; \; \; х (0) = х_ > ,
Концептуально значения приведенных выше терминов следующие:
Траектория x (локально) привлекательна, если
‖ y ( t ) − x ( t ) ‖ → 0
(где обозначает выход системы ) для всех траекторий, которые начинаются достаточно близко, и глобально привлекательными, если это свойство выполняется для всех траекторий. y ( t ) t → ∞
То есть, если x принадлежит внутренности своего стабильного многообразия , оно асимптотически устойчиво, если одновременно притягивает и устойчиво. (Есть примеры, показывающие, что аттракцион не означает асимптотической устойчивости. Такие примеры легко создать, используя гомоклинические связи .)
Если якобиан динамической системы в состоянии равновесия оказывается матрицей устойчивости (т. Е. Если действительная часть каждого собственного значения строго отрицательна), то состояние равновесия является асимптотически устойчивым.
Вместо рассмотрения произвольного решения задачу можно свести к изучению нулевого решения. Для этого необходима следующая замена переменных . ϕ ( t ) y = x − ϕ ( t )
Ляпунов в своей оригинальной работе 1892 года предложил два метода демонстрации устойчивости. [1] Первый метод развивал решение в серии, которая затем была доказана сходимостью в определенных пределах. Второй метод, который теперь называется критерием устойчивости Ляпунова или прямым методом, использует функцию Ляпунова V (x), которая имеет аналогию с потенциальной функцией классической динамики. Он вводится следующим образом для системы, имеющей точку равновесия в . Рассмотрим такую функцию , что x ˙ = f ( x ) >=f(x)> x = 0 V : R n → R ^\rightarrow \mathbb >
Этот метод анализа легче представить себе, думая о физической системе (например, вибрирующей пружине и массе) и учитывая энергию такой системы. Если система со временем теряет энергию и энергия никогда не восстанавливается, то в конечном итоге система должна остановиться и достичь некоторого конечного состояния покоя. Это конечное состояние называется аттрактором . Однако найти функцию, которая дает точную энергию физической системы, может быть сложно, а для абстрактных математических систем, экономических систем или биологических систем концепция энергии может быть неприменима.
Осознание Ляпунова состояло в том, что устойчивость может быть доказана без знания истинной физической энергии при условии, что функция Ляпунова удовлетворяет указанным выше ограничениям.
Определение для систем с дискретным временем почти идентично определению для систем с непрерывным временем. Приведенное ниже определение обеспечивает это с использованием альтернативного языка, обычно используемого в большинстве математических текстов.
Пусть ( X , d ) - метрическое пространство, а f : X → X - непрерывная функция . Точка x в X называется устойчивой по Ляпунову , если
Будем говорить , что х является асимптотически устойчивым , если оно принадлежит внутренности своего стабильного набора , ИЭ , если,
∃ δ > 0 [ d ( x , y ) δ ⇒ lim n → ∞ d ( f n ( x ) , f n ( y ) ) = 0 ] . 0\left[d(x,y)
где конечная матрица, асимптотически устойчива (на самом деле, экспоненциально устойчивым ) , если все действительные части собственных значений в отрицательные. Это условие эквивалентно следующему: [9] A A
Соответственно, дискретная по времени линейная модель пространства состояний
асимптотически устойчива (фактически экспоненциально устойчива), если все собственные значения имеют модуль меньше единицы. A
Это последнее условие было обобщено на переключаемые системы: линейная переключаемая система с дискретным временем (управляемая набором матриц ) < A 1 , … , A m >,\dots ,A_\>>
является асимптотически устойчивым (фактически экспоненциально устойчивым), если совместный спектральный радиус множества меньше единицы. < A 1 , … , A m >,\dots ,A_\>>
Система с входами (или элементами управления) имеет вид
где (обычно зависящий от времени) вход u (t) можно рассматривать как функцию управления , внешнего входа , стимула , возмущения или вынуждающей функции . Было показано [10], что вблизи точки равновесия, устойчивой по Ляпунову, система остается устойчивой при малых возмущениях. Для больших входных возмущений изучение таких систем является предметом теории управления и применяется в технике управления . Для систем с входами необходимо количественно оценить влияние входов на стабильность системы. Основными двумя подходами к этому анализу являются устойчивость BIBO (для линейных систем ) и устойчивость от входа к состоянию (ISS) (для нелинейных систем )
Рассмотрим уравнение, в котором по сравнению с уравнением осциллятора Ван дер Поля член трения изменен:
Вот хороший пример неудачной попытки найти функцию Ляпунова, доказывающую устойчивость.
так что соответствующая система
Выберем в качестве функции Ляпунова
что явно положительно определено . Его производная
Кажется, что если параметр положительный, стабильность асимптотическая для Но это неверно, так как не зависит от , и будет 0 всюду на оси. Равновесие устойчиво по Ляпунову. ε x 2 2 3. ^ V ˙ >> x 1 > x 1 >
Предположим, что f является функцией только времени.
Альтернативный вариант выглядит следующим образом:
В следующей форме лемма верна и в векторнозначном случае:
Это не автономно, потому что вход является функцией времени. Предположим, что вход ограничен. w w ( t )
Это говорит о том, что по первым двум условиям а значит и ограничены. Но это ничего не говорит о сходимости к нулю. Более того, теорема об инвариантном множестве не может быть применена, поскольку динамика не автономна. V ( t ) ≤ V ( 0 ) e g e
Используя лемму Барбалата:
Это ограничено , потому что , и ограничены. Отсюда следует as и следовательно . Это доказывает, что ошибка сходится. e g w V ˙ → 0 >\to 0> t → ∞ e → 0
В эту статью включены материалы из асимптотически стабильной версии PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Решение , системы (1), удовлетворяющее начальным условиям , называется устойчивым no Ляпунову при существует такое, что для всякого решения , системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям
имеют место неравенства
Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения , неравенства (3) не выполняются, то решение называется неустойчивым .
Если, кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выполняется также условие
то решение , называется асимптотически устойчивым .
Исследование на устойчивость решения , системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения , некоторой системы, аналогичной системе (1),
Говорят, что точка , есть точка покоя системы (1').
Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя , устойчива по Ляпунову , если, каково бы ни было , можно найти такое , что для любого решения , начальные данные которого , удовлетворят условию
Для случая геометрически это означает следующее. Каким бы малым ни был радиус цилиндра с осью , в плоскости найдется δ-окрестность точки такая, что все интегральные кривые , выходящие из этой окрестности, для всех будут оставаться внутри этого цилиндра (рис. 30).
Если кроме выполнения неравенств (3), выполняется также условие , то устойчивость асимптотическая .
Точка покоя , неустойчива , если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения , условие (3') не выполняется.
Пример 1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать на устойчивость решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию
Решение. Уравнение (5) есть линейное неоднородное уравнение. Его общее решение . Начальному условию удовлетворяет решение
уравнения (5). Начальному условию удовлетворяет решение
Рассмотрим разность решений (7) и (6) уравнения (5) и запишем ее так:
Отсюда видно, что для всякого существует (например, ) такое, что для всякого решения уравнения (5), начальные значения которого удовлетворяют условию , выполняется неравенство
для всех . Следовательно, решение является устойчивым. Более того, поскольку
решение является асимптотически устойчивым.
Это решение является неограниченным при
Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения
Решение. Оно имеет очевидные решения
Интегрируем уравнение (8): , или , откуда
Все решения (9) и (10) ограничены на . Однако решение неустойчиво при имеем (рис.31).
Следовательно, из ограниченности решений дифференциального уравнения , вообще говоря, не следует их устойчивости . Это явление характерно для нелинейных уравнений и систем.
Пример 3. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы, удовлетворяющее начальным условиям , устойчиво
Решение. Решение системы (11), удовлетворяющее заданным начальным условиям, есть . Любое решение этой системы, удовлетворяющее условиям , имеет вид
Возьмем произвольное и покажем, что существует такое, что при имеют место неравенства
Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову. Имеем, очевидно,
для всех то и подавно
Следовательно, если, например, взять , то при и в силу (12) будут иметь место неравенства (13) для всех , т.е. действительно нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову , но эта устойчивость не асимптотическая.
Теорема. Решения системы линейных дифференциальных уравнений
либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.
Это предложение не верно для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.
Пример 4. Исследовать на устойчивость решение нелинейного уравнения
Решение. Оно имеет очевидные решения и .
Решение этого уравнения неустойчиво, а решение является асимптотически устойчивым. В самом деле, при
.
В качестве независимой переменной выбрано время t, поэтому система дифференциальных уравнений является моделью некоторого процесса – изменения переменной во времени или Движения материальной точки, Занимающей в фазовом пространстве текущее положение и изменяющей это положение с изменением времени t. Таким образом, Движение – это частное решение системы дифференциальных уравнений.
Справедлива Теорема о непрерывности решения по начальным условиям. Пусть выполнены условия теоремы Коши. Тогда
В наше время приходится сталкиваться с экологическими проблемами. Кто же знал, конструируя двигатель внутреннего сгорания, что через некоторое время использование этого открытия поставит под угрозу существование жизни на Земле?
Движение называется Устойчивым по Ляпунову, Если
Если движение устойчиво по Ляпунову и , то такое движение называется Асимптотически устойчивым.
Если движение асимптотически устойчиво, то возмущенное движение с ростом времени стремится к невозмущенному.
Движение называется Неустойчивым по Ляпунову, если
Теорема. Задача об устойчивости движения может быть сведена к задаче об устойчивости тривиального (тождественно равного нулю) решения системы.
Доказательство. Обозначим . Тогда
.
При Имеем , поэтому задача об устойчивости движения для исходной системы уравнений может быть заменена эквивалентной ей задачей об устойчивости тривиального решения для системы
.
Поэтому обычно заранее делают указанную замену и исследуют задачу об устойчивости тривиального решения.
Таким образом, задача об устойчивости движения может быть сведена для автономной системы к исследованию характера ее точки покоя (при рассмотрении свойств автономных систем было показано: если - точка покоя, то - решение системы).
Устойчивость по первому приближению.
Будем рассматривать автономную систему
Заметим, что систему первого приближения можно строить, линеаризуя в окрестности нуля элементы матрицы, заменяя бесконечно малые элементы матрицы эквивалентными.
Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Пусть 1) непрерывны и непрерывно дифференцируемы по ,
2) .
Если все собственные числа матрицы A системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение устойчиво.
Если хотя бы одно собственное число имеет положительную действительную часть, то тривиальное решение неустойчиво.
Пример.
Система первого приближения
Тривиальное решение неустойчиво.
Пример.
Система первого приближения
Тривиальное решение устойчиво.
Поскольку для автономных систем анализ устойчивости тривиального решения сводится к исследованию характера точки покоя, то зная поведение решений в окрестности различных точек покоя, мы выясним тем самым поведение траекторий систем.
Классификация точек покоя для автономных систем второго и третьего порядков.
Система второго порядка.
Запишем уравнение автономной системы второго порядка
. Точка покоя .
1. Корни характеристического уравнения действительны..
А) .
При . Поэтому точка покоя (или тривиальное решение) асимптотически устойчива.
Заметим, что первое слагаемое – это проекция траектории на ось , второе слагаемое – проекция на ось .
Такая точка покоя называется Устойчивый узел.
Б) .
Интерпретация Мак-Куллага — наверно самое простое объяснение эффекта Джанибекова
Такое исследование можно выполнить используя метод функций Ляпунова (второй или прямой метод Ляпунова). И чтобы окончательно закрыть вопрос с гайкой Джанибекова, я решил написать эту заметку.
Пусть имеется система, в общем случае нелинейных дифференциальных уравнений движения некоторой механической системы
где — вектор-столбец переменных состояния системы; — нелинейная вектор функция.
Решение системы (1) дает так называемое невозмущенное движение. По сути это обычный, установившийся режим движения системы под действием приложенных к ней сил. Зададим некоторое возмущение, определяемое вектором отклонений от невозмущенного движения, то есть
Подставляя (3) в (1), получаем
где , и полученное уравнение называется уравнением возмущенного движения, тривиальное решение которого соответствует невозмущенному движению системы.
В нашем случае ограничимся рассмотрением автономной системы, где правая часть явно не зависит от времени
Рассмотрим некоторую скалярную функцию
определенную в некоторой окрестности начала координат, такой что
где — некоторое, достаточно малое, положительное число.
Функция (6) называется знакоопределенной, если в области (7) она принимает значения только одного знака (только положительные либо только отрицательные), и равна нулю лишь в начале координат (при )
Функция (6) называется знакопостоянной, если в области (7) она принимает значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при .
Вычислим полную производную от функции (6) по времени. Так как , по определению полной производной получаем
что, принимая во внимание уравнение (5), эквивалентно соотношению
Функцию (8) называют полной производной функции (6) по времени, составленной в силу уравнения (5).
Два параграфа, что выше, написаны сухим математическим языком определений, и иначе наверное нельзя. Добавим ещё немного формальной математики, сформулировав
Теорема Ляпунова об устойчивости
Если для системы уравнений (5) существует знакоопределённая функция (функция Ляпунова), полная производная по времени которой, составленная в силу системы (5) есть функция знакопостоянная, знака, противоположного V, либо тождественно равная нулю, то точка покоя системы (5) устойчива
Под точкой покоя системы (5) здесь понимается её тривиальное решение, соответствующее невозмущенному движению рассматриваемой механической системы. Грубо говоря, согласно сформулированной теореме, следует подобрать функцию , удовлетворяющую свойствам, указанным в условии теоремы. Если она удовлетворяет данным свойствам, то её называют функцией Ляпунова, и если таковая функция (хотя бы одна!) существует, то установившийся режим движения рассматриваемой механической системы будет устойчивым.
Однако, в данной теореме не идёт речь об асимптотической устойчивости, то есть таком характере движения системы, при котором возмущенное её движение будет стремится к исходному установившемуся режиму. Под устойчивым здесь понимается и такое движение, при котором система будет колебаться в окретсности исходного установившегося режима, но никогда к нему не вернется. Условие асимптотической устойчивости будет более строгим
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости
Если для системы уравнений (5) существует знакоопределённая функция (функция Ляпунова), полная производная по времени которой, составленная в силу системы (5) есть функция знакоопределенная, знака, противоположного V, то точка покоя системы (5) асимптотически устойчива
Асимптотически устойчивая система, после возмущения, будет стремится вернуться к установившемуся режиму движения, то есть решение системы (5) будет сходится к началу координат .
Эти теоремы дают путь к исследованию устойчивости линейных и нелинейных механических систем, более общий, чем исследование по первому приближению.
данная функция — определенно-положительная, причем в сколь угодно большой окрестности точки покоя системы. Или такая функция
будет знакопостоянной, положительной, ибо может быть равна нулю как в точке покоя системы , так и в точке, удовлетворяющей условию .
В случае консервативных механических систем функцией Ляпунова может служить полная механическая энергия системы, которая, при отсутствии диссипации, является константой (знакопостоянна) и ещё производная по времени равная нулю — она ведь константа. И вытекает эта функция из системы уравнений движения, ибо является одним из её интегралов.
Получим два первых интеграла движения, опираясь на систему уравнений, приведенную в тензорном цикле. Оперировать будем тензорными соотношениями, чтобы не терять хватки. Итак, уравнение вращения гайки вокруг центра масс имеет вид
перейдем в данном уравнении к вектору МКД
Умножим уравнение (10) скалярно на удвоенный вектор МКД
Нетрудно заметить, что во втором слагаемом (11) свертка , а в первом — производная от квадрата модуля МКД. Преобразуем уравнение (11) и проинтегрируем его
Выражение (12) есть первый интеграл движения, выражающий постоянство модуля МКД рассматриваемой нами гайки. Чтобы получить ещё один первый интеграл движения, умножим (9) скалярно на вектор угловой скорости
после чего, внезапно, обнаруживаем во втором слагаемом свертку равную нулю, получая уравнение
Вспомним, ведь что-то похожее мы уже видели ранее. Ведь кинетическая энергия тела в его вращении относительно центра масс равна
и если мы продифференцируем её по времени, что получим
в соответствии с этим, мы можем переписать уравнение (13) и проинтегрировать его
Выражение (14) выражает постоянство кинетической энергии вращения гайки вокруг центра масс. Осталось перейти в выражениях (12) и (14) к безразмерным моментам инерции
Полученные уравнения и есть те первые интегралы движения, которые мы используем для построения функции Ляпунова
Метод построения функции Ляпунова из уравнений вида (15) носит название метода интегральных связок Четаева и говорит о том, что означенную функцию можно искать в виде связки интегралов движения вида
где — первые интегралы уравнений возмущенного движения; и — неопределенные константы, подбором которых можно сделать функцию (16) определенно положительной, удовлетворяющей теореме Ляпунова об устойчивости.
Невозмущенное вращение гайки происходит вокруг оси с постоянной угловой скоростью . Возмутим это движение, дав угловой скорости малое приращение , и перепишем выражения (15)
При установившемся вращении гайки с постоянной угловой скоростью, константу можно вычесть из обоих частей получившихся уравнений, получив в их левой части функции
Функция Ляпунова будет иметь вид
Исходя из уравнений (15) понятно, что , значит об асимптотической устойчивости речи не будет. Но, исходя из теоремы Ляпунова, необходимо убедится в том, что функция (18) определенно-положительна. Из выражений (18) и (17) понятно, что её значения положительны при любых , и . Теперь покажем, что (18) обращается в нуль только в точке покоя системы . Выражение (18) равно нулю исключительно в случае
Из первого уравнения системы (19) вычтем второе
Если (момент инерции, вокруг которого вращается гайка наибольший), или же (момент инерции, вокруг которого вращается гайка наименьший), то равенство (20) будет справедливо лишь в случае когда . Учтем данный факт и сложим уравнения (19)
Уравнение (21) справедливо при и при . Но, так как мы полагаем , функция (18) будет равна нулю исключительно в точке покоя системы .
Таким образом, вращение гайки вокруг оси с наименьшим и наибольшим моментом инерции будет устойчивым по Ляпунову.
Однако, спешу заметить, что при , или , то есть когда момент инерции относительно оси, вокруг которой происходит вращение имеет промежуточное между максимальным и минимальным значение, функцию (18) уже нельзя назвать определенной положительно, из-за того что слагаемые в (20) будут иметь разные знаки. Но совершенно нельзя сказать о том, что движение будет неустойчивым. Особенность теорем Ляпунова об устойчивости в том, что они декларируют условие устойчивости, но не декларируют обратного. Неустойчивость движения придется доказывать отдельно.
Областью будем называть какую либо область окрестности , где для некоторой функции выполняется условие , причем на границе области и точка покоя системы принадлежит этой границе.
Теорема Четаева о неустойчивости
Если дифференциальные уравнения возмущенного движения (5) таковы, что существует функция , такая, что в сколь угодно малой окрестности
существует область , и во всех точках этой области производная в силу уравнений (5) принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.
Функция о которой говорится в теореме называется функцией Четаева. Теперь рассмотрим снова нашу гайку, уравнения вращения которой выглядят так (с учетом работы в связанных с телом декартовых координатах и введенных нами безразмерных моментов инерции)
Учитывая, что изначально вращение происходит с постоянной угловой скоростью вокруг оси , построим уравнения возмущенного движения. Будем считать, что — этого всегда можно добиться выбором осей собственной системы координат.
Построим функцию Четаева
Точка покоя системы лежит на границе , а функция (23) положительна при . Производная по времени от (23) в силу (22) имеет вид
В силу того, что , а так же при условии вращения гайки вокруг среднего момента инерции, так что , то есть , производная (24) положительна в области , а значит движение будет неустойчивым.
Если же, как в рассматриваемом нами изначально случае, , или , то в качестве функции Четаева выберем
Тогда область соответствует условию , точка покоя системы так же лежит на её границе, а производная (25), равная
так же будет положительна. Движение будет неустойчивым.
Данная статья — дополнение к статье об устойчивости движения гайки Джанибекова. Основной материал взят из приведенных выше литературных источников, а так же сайта Math Help Planet. Авторский вклад в эту статью — поэтапное подробное рассмотрение второго метода Ляпунова на примере конкретной задачи. Кроме того, чуть более развернуто, чем в книге Маркеева, рассмотрен вопрос о неустойчивости движения применительно к различным вариантам соотношения между моментами инерции гайки.
Таким образом считаю, что я исправил недочет, связанный с неполнотой изложения вопроса о причинах эффекта Джанибекова. А заодно и сам подробнее изучил второй метод Ляпунова.
Читайте также: