Определение квадрата 8 класс кратко

Обновлено: 05.07.2024

Квадрат в математике — понятие, которое имеет несколько значений. Оно меняется в зависимости от раздела математического знания, в котором используется термин. В алгебре это произведение: число, однократно умноженное само на себя, а в геометрии — плоский четырехугольник, имеющие четыре одинаковые стороны и четыре одинаковых угла.

Понятие квадрата в алгебре

В алгебре под квадратом понимают вторую степень какого-либо числа. То есть квадрат числа х — это произведение двух множителей, каждый из которых равен х .

При помощи формулы данное определение можно выразить следующим образом: х 2 = х * х .

То есть для того, чтобы найти квадрат определенного числа, нужно это число умножить само на себя и вычислить произведение.

Выражение вида х 2 получило название квадрата, потому что именно такой формулой определяется площадь квадрата со стороной х .

Понятие квадрата в геометрии

Квадрат — геометрическая фигура на плоскости, параллелограмм, у которого угол между двумя смежными сторонами прямой, при этом эти стороны равны между собой.

Также существуют следующие определения данной геометрической фигуры:

геометрическая фигура, которая является ромбом и прямоугольником одновременно;
прямоугольник с одинаковой длиной двух смежных сторон;
ромб с прямыми углами;
параллелограмм с равными диагоналями и прямым углом между ними;
дельтоид с прямыми углами.

Исходя из этих определений, квадрат имеет все свойства ромба, прямоугольника и параллелограмма.

Свойства квадрата:

все углы фигуры — прямые;
все стороны фигуры — равны;
диагонали равны между собой;
диагонали пересекаются под углом в 90°;
диагонали делятся пополам точкой пересечения;
диагонали делят углы пополам.

Признаки квадрата:

Для доказательства, что четырехугольник — квадрат, должно соблюдаться как минимум одно из условий:

его стороны равны между собой, а один из внутренних углов равен 90°;
диагонали фигуры одинаковы по длине, делятся пополам при пересечении, перпендикулярны;
он имеет поворотную симметрию, то есть не изменяется при повороте на 90°.

В квадрат можно вписать окружность. Радиус такой окружности ( r ) относится к стороне квадрата ( х ) по следующему правилу: х = 2 r .

Также вокруг квадрата возможно описать окружность. В таком случае сторона ( х ) соотносится к радиусу ( R ) следующим образом: х = R √ 2 .

Площадь квадрата можно находить при помощи следующих формул: S = х 2 и S = d 2 / 2 , где х — сторона фигуры, d — ее диагональ.

Периметр квадрата — сумма его сторон ( x ). Тогда P = x + x + x + x = 4 x .

Примеры решения задач

Периметр квадрата ABCD равен 8. Найдите его площадь.

Если периметр квадрата ABCD равен 8, одна его сторона – 2 (все стороны равны, соответственно A B = 8 / 4 = 2 ). Площадь квадрата ABCD равна A B 2 , 2 * 2 = 4 .

Ответ: площадь ABCD равна 4.

Число х во второй степени равно 25. Найдите х .

Для решения задачи необходимо вычислить корень 25. Если х 2 = 25 , тогда х = √ 25 . Соответственно, х = ± 5

ABCDE — пятиугольник (рис. 11). Точки А, В, С, D, Е — вершины многоугольника; ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E — углы; АВ, ВС, CD и т. д. — стороны; отрезки АС, AD, BE, BD, СЕ — диагонали; Р = АВ + ВС + … + ЕА — периметр многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым (см. рис. 11), если он целиком расположен по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. В противном случае многоугольник называется невыпуклым (рис. 12).

Свойства
1. Сумма внутренних углов произвольного n-угольника равна 180° • (n — 2).
2. Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
3. В выпуклом n-угольнике из каждой вершины можно провести (n — 3) диагоналей, которые разбивают n-угольник на (n — 2) треугольников.
4. В выпуклом n-угольнике число диагоналей равно n(n — 3)/2.

☑ 2. Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник, у которого равны все углы и стороны, называется правильным.
Свойства
1. Каждый угол правильного n-угольника равен а_n = 180°(n — 2)/n
2. Около правильного n-угольника можно описать окружность, и притом только одну.
3. В правильный n-угольник можно вписать окружность, и притом только одну.
4. Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается всех сторон n-угольника в их серединах.
5. Центр окружности, описанной около правильного n-угольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же n-угольник.
6. Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна а = 2R sin(180°/n).
7. Длина стороны правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса r, равна а = 2r tg(180°/n).

☑ 3. Четырехугольник

☑ 4. Параллелограмм

Признаки параллелограмма (рис. 48)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (АВ = DC, АВ || CD), то такой четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (АВ = DC, AD = DC), то такой четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны (∠A = ∠C; ∠B = ∠D), то такой четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.

☑ 5. Трапеция

Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция

☑ 6. Прямоугольник

☑ 7. Ромб

☑ 8. Квадрат

☑ 9. Теорема Чевы

☑ 10. Теорема Менедая

☑ 11. Теорема синусов

☑ 12. Теорема косинусов

☑ 13. Площадь треугольника

☑ 14. Площадь многоугольников

☑ 15. Равносторонний (правильный) треугольник

☑ 16. Подобные треугольники

☑ 17. Признаки подобия треугольников

☑ 18. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра) (рис. 37).
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности, называется радиусом. Обозначение: г или R.
На рисунке ОС = ОЕ = OD = R.
Часть окружности (например, CmD) называется дугой.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, — диаметром.
АВ, ВС, CD и СЕ — хорды окружности. СЕ — наибольшая из хорд — диаметр.
Обозначение: d или D. D = 2R.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой (CD), называется сегментом.
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором.
Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным (∠COD на рис. 37).
Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным (например, ∠ABC).

☑ 19. Свойства касательных к окружности

Угол, образованный двумя касательными (СА и СВ), исходящими из одной точки, называется описанным (∠ACB на рис. 38).
1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
2. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

☑ 20. Окружность и треугольник

1. Около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности является точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины (рис. 39).
2. Во всякий треугольник можно вписать окружность; центром окружности является точка пересечения биссектрис (рис. 40).

☑ 21. Окружность и четырехугольник

☑ 22. Углы и окружность

☑ 23. Метрические соотношения в окружности

☑ 24. Длина окружности. Площадь круга и его частей

☑ 25. Уравнение окружности

Квадрат — это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.
Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий две
его противоположные вершины.

Свойства квадрата

В квадрате:

Длины сторон квадрата равны.
Все углы квадрата прямые.
Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.
Сумма всех углов квадрата равна 360 ° .
Центр описанной и вписанной окружности — точка пересечения диагоналей квадрата.
Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.

Признаки квадрата

С помощью признаков квадрата можно доказать, что четырехугольник — квадрат.

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – квадрата.

Определение квадрата

Квадрат – это правильная геометрическая фигура на плоскости , у которой четыре равные стороны и прямые углы (т.е. 90°). Чаще всего квадрат обозначается названиями вершин (например, ABCD), а его сторона – маленькой латинской буквой (например, a).

AB = BC = CD = AD = a
∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = ∠BAD = 90°

Свойства квадрата

Свойство 1

Диагонали квадрата равны, расположены под прямым углом друг к другу, в точке пересечения делятся пополам.

AC = BD = d (диагонали)
AE = EC = BE = ED
∠AEB = ∠AED = ∠BEC = ∠CED = 90°

Свойство 2

Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. Для рисунке выше:

BD – биссектриса углов ABC и ADC, следовательно, ∠ABD = ∠DBC = ∠ADB = ∠BDC
AC – биссектриса углов BAD и BCD, следовательно, ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA = ∠ACD

Свойство 3

Центром описанной вокруг и вписанной в квадрат окружностей является точка пересечения его диагоналей (в нашем случае – E).

При этом радиусы окружностей можно вычислить через длину стороны или диагонали квадрата:

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
a – длина стороны квадрата;
d – длина диагонали квадрата.

Также, один радиус можно выразить через другой:

Свойство 4

Зная длину стороны или диагонали квадрата, можно найти его площадь или периметр.

Читайте также: