Определение функции в алгебре кратко
Обновлено: 17.05.2024
Первое определение функции.
Иначе сказать: зависимость у называется функцией переменной величины х, если каждому значению, которое может принимать х соответствует одно или несколько определяемых значений у. Переменная х – это аргумент функции.
Величина у всегда зависит от величины х, следовательно, аргумент х является независимой переменной, а функция у – зависимой переменной.
Поясним на примере:
Пусть Т – это температура кипения воды, а Р – атмосферное давление. При наблюдении установлено, что каждому значению, которое может принимать Р, соответствует всегда одно и то же значение Т. Таким образом, Т – это функция аргумента Р.
Функциональная зависимость Т от Р позволяет при наблюдении температуры кипения воды без барометра определять давление по специальным таблицам, например таким:
В жизни мы часто исследуем не только сами объекты, но и отношения между ними (Петя дружит с Васей; платок лежит на столе, платок лежит под столом и т.д.). Эти отношения можно изучать. Об одном из таких отношений – соответствии между множествами – мы и поговорим на этом уроке.
Такие соответствия, если они удовлетворяют определенным условиям, называются функциями. В математике основное внимание уделяется числовым функциям, то есть соответствиям между числовыми множествами. Мы поговорим об области определения и области значений функции, какие существуют способы задания функций, рассмотрим примеры различных функций.
Понятие функции в математике появилось не просто так. Давайте разберемся, зачем придумали функцию и как с ней можно работать.
Разберём пример из жизни. Рассмотрим движение автомобиля. Предположим, что он двигается с постоянной скоростью 60 км/ч .
То, что автомобиль двигается с постоянной скоростью 60 км/ч означает, что автомобиль проезжает 60 км за 1 час .
Очевидно, чтобы найти, сколько километров пройдет автомобиль за 2 часа , нужно 60 умножить на 2 . Мы получим, что за 2 часа автомобиль проедет 120 км .
Составим таблицу, в которой укажем какое расстояние проедет автомобиль за разное время при постоянной скорости 60 км/ч .
| Сколько времени двигается автомобиль | Сколько км проедет автомобиль |
|---|---|
| 1 час | 60 км |
| 2 часа | 120 км |
| 3 часа | 180 км |
Если внимательно изучить таблицу станет очевидно, что между временем автомобиля в пути и пройденным расстоянием есть четкая зависимость.
Давайте убедимся, что мы правильно записали зависимость пройденного расстояния от времени в пути.
y = 60 · 1 = 60(км) — пройдёт автомобиль за 1 час . Это совпадает с нашими расчетами ранее.
Теперь рассчитаем для x = 2 .
y = 60 · 2 = 120(км) — пройдёт автомобиль за 2 часа .
Окончательная запись нашей функции, которая показывает зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени в пути, выглядит следующим образом:
Запомните!
Примеры других функций:
- y(x) = 2x
- y(x) = −5x + 2
- y(x) = 12x 2 −1
Способы задания функции
Существуют три основных способа задания функции. Все способы задания функции в математике тесно связаны друг с другом .
Задание функции формулой
Например, рассмотрим функцию, заданную формульным способом.
Запишем расчет следующим образом.
Табличный способ задания функции
Важно!
Неправильно
Правильно
| x | y |
|---|---|
| −1 | 5 |
| 0 | 4 |
| 1 | 3 |
Графический способ задания функции
Теперь давайте разберемся, что называют графиком функции и как его построить.
Прежде чем перейти к изучению графического способа задания функции обязательно вспомните, что называют прямоугольной системой координат.
Результаты запишем в таблицу.
| x | Расчет |
|---|---|
| −1 | y(−1) = −2 · (−1) + 1 = 2 + 1 = 3 |
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Назовем каждую полученную точку и запишем их координаты в новую таблицу.
| Имя точки | x | y |
|---|---|---|
| (·) A | −1 | 3 |
| (·) B | 0 | 1 |
| (·) C | 1 | −1 |
Отметим точки А(−1;3) , B(0;1) и С(1;−1) на прямоугольной системе координат.
Запомните!
При многократном увеличении графика функции мы увидим, что в самом деле вся прямая состоит из рядом стоящих точек.
Точки располагаются максимально близко к друг другу, поэтому по расчетам получается, что графиком функции будет являться прямая.
Определение функции, области задания и множества значений. Определения, связанные с обозначением функции. Определения сложной, числовой, действительной, монотонной и многозначной функции. Определения максимума, минимума, верхней и нижней граней для ограниченных функций. Сужение и продолжение функций.
Определение функции
Функцией y = f ( x ) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y . Область определения функции Множество X называется областью определения функции. Область определения иногда называют
множеством определения или множеством задания функции. Множество значений функции Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы во множестве X , называется множеством значений функции, или областью значений. Аргумент функции Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной. Значение функции Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной. Характеристика функции Само отображение f называется характеристикой функции.
Характеристика f обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .
Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y – это элемент из множества значений функции, а – это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .
Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .
Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.
Графиком функции f называется множество пар .
Сложные функции
Сложная функция Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g . Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x , а этому x соответствует y . Такое соответствие называют сложной функцией: . Сложную функцию также называют
композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так: .
В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и – это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и – это разные функции.
Действительные функции
Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности – это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений – вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения – это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов – “истина” и “ложь”.
В математическом анализе большую роль играют числовые функции.
Числовая функция – это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.
Действительная или вещественная функция – это функция, значениями которой являются действительные числа.
Максимум и минимум
Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.
Ограниченная сверху (снизу) функция Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
. Ограниченная функция Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M , что для всех :
.
Максимумом M (минимумом m ) функции f , на некотором множестве X , называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.
Верхняя и нижняя грани
Верхняя грань (точная верхняя граница) функции Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого:
1) для всех ;
2) для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Верхней гранью неограниченной сверху функции является бесконечно удаленная точка . Нижняя грань (точная нижняя граница) функции Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого:
1) для всех ;
2) для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .
Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.
В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу – значением 0 :
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.
Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.
Монотонные функции
Возрастающая (убывающая) функция Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
. Монотонная функция Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.
Многозначные функции
Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.
В качестве примера рассмотрим функцию арксинус: . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1) .
При заданном значении независимой переменной x , принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).
Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2) .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.
Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n) ,
где n – целое. В результате, для каждого значения n , мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функции.
Многозначная функция – это совокупность функций, определенных на некотором множестве.
Ветвь многозначной функции – это одна из функций, входящих в многозначную функцию.
Однозначная функция – это функция.
Сужение и продолжение функции
Выше мы указали, что если область определения функции синус, , сузить до отрезка , то полученная в результате новая функция будет строго монотонной на этом отрезке и иметь обратную функцию. Такая операция называется сужением функции. В результате ее применения получается новая функция, которая в данном примере обозначается так: .
Сужение функции Пусть функция определена на множестве X . И пусть множество M является его подмножеством: . Определим функцию так, чтобы ее областью определения было множество M . И пусть на этом множестве она принимает те же значения, что и функция :
.
Тогда функция называется сужением функции f на множество M . Сужение функции обозначают так:
, или . Продолжение функции Пусть функция определена на множестве X , а функция – на множестве M , которое является подмножеством X : . И пусть функция является сужением функции на множество M . Тогда функция называется продолжением функции g на множество X .
Выполнить операцию сужения функции на заданное множество можно только одним способом. А вот выполнить продолжение можно бесконечным числом способов. Особую роль продолжение играет в теории функций комплексного переменного. Там показывается, что если функция является аналитической (то есть имеет производную) на некотором множестве M , то существует только единственное ее аналитическое продолжение на множество X .
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Читайте также: