Непрерывность функции кратко и понятно

Обновлено: 05.07.2024

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции при :

А также говорят, функция называется непрерывной в точке , если она в этой точке определена, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

Существует теорема о непрерывности функции в точке. Функция y= f(x) непрерывна в точке x₀, тогда и только тогда, когда функция имеет конечные пределы в точке x₀ и предел функции в точке x₀ равен значению функции в этой точке.

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрываэтой функции.

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

1. область непрерывности элементарной функции совпадает с её областью определения, т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения

2. элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках

3. элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е и .

если А₁=А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва (рис.6)

если , то точка х₀ называется точкой конечного разрыва( рис.7).

Величину называют скачком функции

Рис. 6. График функции с устранимым разрывом

Рис. 7. График функции с конечным разрывом

Точка х₀ называется точкой разрыва 2-го рода, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен ∞ (рис.8).

Рис. 8. График функции с точкой разрыва 2-го рода

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции при :

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрываэтой функции.

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

3. элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

если А₁=А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва (рис.6)

если , то точка х₀ называется точкой конечного разрыва( рис.7).

Величину называют скачком функции

Рис. 6. График функции с устранимым разрывом

Рис. 7. График функции с конечным разрывом

Таким образом, функция $f$ непрерывна в точке $a$, если выполнены следующие условия:

функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $a$, то есть существует число $\delta_0>0$ такое, что $U_>(a)\subset D(f)$;
существует $\displaystyle \lim_f(x)=A$;
$A=f(a)$.

Определение непрерывности функции $f(x)$ в точке $a$, выраженное условием \eqref, можно сформулировать с помощью неравенств (на языке $\varepsilon-\delta$), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей соответственно в виде

$\forall \varepsilon>0\ \exists\delta>0:\quad\forall x:|x-a| 0\ \exists\delta>0:\quad\forall x\in U_(a)\rightarrow f(x)\in U_(f(a)),$
$\displaystyle\forall\\>:\ \lim_x_=a\rightarrow\lim_f(x_)=f(a).$

Следует обратить внимание на то, что в определении непрерывности функции, в отличие от определения предела, рассматривается полная, а не проколотая окрестность точки $a$, и пределом функции является значение этой функции в точке $a$.

Назовем разность $x-a$ приращением аргумента и обозначим $\Delta x$, а разность $f(x)-f(a)$ — приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента $\Delta x$, и обозначим $\Delta y$. Таким образом,
$$
\Delta x=x-a,\;\Delta y=f(x)-f(a)=f(a+\Delta x)-f(a).\nonumber
$$

При этих обозначениях равенство \eqref примет вид
$$
\lim_\Delta y=0.\nonumber
$$

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Показать, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, если:

$f(x)=x^3, a=1$;
$f(x)=\displaystyle \frac>, a\neq 0$;
$f(x)=\sqrt, a>0$;
$f(x)=\displaystyle \left\x\sin\frac1x,&x\neq0,\\0,&x=0,\end\right.a=0$

$\triangle$Если $x\rightarrow 1$, то по свойствам пределов (\S 10, (11)) получаем $x^3\rightarrow 1$, то есть для функции $f(x)=x^3$ в точке $x=1$ выполняется условие \eqref. Поэтому функция $x^3$ непрерывна в точке $x=1$.
Если $x\rightarrow a$, где $a\neq 0$, то, используя свойства пределов (\S 10), получаем $\displaystyle \frac\rightarrow\frac,\;\displaystyle \frac>\rightarrow\frac>$, то есть Функция $\displaystyle \frac>$ непрерывна в точке $x=a,\;(a\neq 0)$.
Так как $\displaystyle |\sqrt-\sqrt|=\frac<|x-a|><\sqrt+\sqrt>$, то отсюда получаем $0\leq|\sqrt-\sqrt|\; 0$.
Функция $f$ определена на $\mathbb$, и при любом $x\in\mathbb$ выполняется неравенство $0\leq|f(x)-f(0)|=|f(x)|\leq|x|$, так как $\left|\sin<\frac>\right|\leq1$ при $x\neq 0$. Следовательно, $\displaystyle \lim_f(x)=f(0)=0$, то есть функция $f$ непрерывна в точке $x=0.\quad\blacktriangle$

По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Если функция $f$ определена на полуинтервале $(a-\delta,a]$ и $\displaystyle \lim_f(x)=f(a)$, то есть$f(a-0)=f(a)$, то эту функцию называют непрерывной слева в точке $a$.

Аналогично, если функция $f$ определена на полуинтервале $[a,a+\delta)$ и $f(a+0)=f(a)$, то эту функцию называют непрерывной справа в точке $a$.

Например, функция $f(x)=[x]$ непрерывна справа в точке $x=1$ и не является непрерывной слева в этой точке, так как $f(1-0)=0,\;f(1+0)=f(1)=1$.

Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Точки разрыва.

Будем предполагать, что функция $f$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $a$.

Точку $a$ назовем точкой разрыва функции $f$, если эта функция либо не определена в точке $a$, либо определена, но не является непрерывной в точке $a$.

Следовательно, $a$ — точка разрыва функции $f$, если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

$a\in D(f)$;
существует конечный $\displaystyle \lim_f(x)=A$;
$A=f(a)$.

Если $a$ — точка разрыва функции $f$, причем в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, то есть $\displaystyle \lim_f(x)=f(a-0)$ и $\displaystyle \lim_f(x)=f(a+0)$, то точку $a$ называют точкой разрыва первого рода.

Если $x=a$ — точка разрыва первого рода функции $f(x)$, то разность $f(a+0)-f(a-0)$ называют скачком функции в точке $a$. В случае когда $f(a+0)=f(a-0)$, точку $a$ называют точкой устранимого разрыва. Полагая $f(a)=f(a+0)=f(a-0)=A$, получим функцию
$$
f(x)=\left\f(x),\;если\;x\neq a,\\A,\;если\;x=a,\end\right.\nonumber
$$
непрерывную в точке $a$ и совпадающую с $f(x)$ при $x\neq a$. В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывности в точке $a$.

Пусть $x=a$ — точка разрыва функции $f$, не являющаяся точкой разрыва первого рода. Тогда ее называют точкой разрыва второго рода функции $f$. В такой точке хотя бы один из односторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Например, для функции $f(x)=\displaystyle x\sin>$ точка $x=0$ — точка разрыва первого рода. Доопределив эту функцию по непрерывности, получим функцию
$$
\overline(x)=\left\
x\sin>,\;если\;x\neq 0,\\
0,\;если\;x=0,
\end\right.\nonumber
$$
непрерывную в точке $x=0$, так как
$$
\lim_x\sin\frac=0.\nonumber
$$

Для функций $\displaystyle \sin>$ и $\displaystyle \frac$ точка $x=0$ — точка разрыва второго рода.

Если функция $f$ определена на отрезке $[a,b]$ и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка точки разрыва только первого рода.

$\circ$ Пусть $x_0$ — произвольная точка интервала $(a,b)$. Функция $f$ имеет в точке $x_$ конечные пределы слева и справа. Если, например, $f$ — возрастающая функция, то
$$
f(x_-0)\leq f(x_)\leq f(x_+0),\nonumber
$$
где $f(x_-0)$ и $f(x_+0)$ — соответственно пределы функции $f$ слева и справа в точке $x_$.

В том случае, когда $f(x_-0)\neq f(x_+0)$ , точка $x_$ является точкой разрыва первого рода функции $f$; если же $f(x_-0)=f(x_+0)$, то точка $x_$ есть точка непрерывности функции $f$. Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей функции.$\bullet$

Свойства функций, непрерывных в точке.

Локальные свойства непрерывной функции.

Если функция $f$ непрерывна в точке $a$, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки, то есть
$$
\exists\delta>0\quad\exists C>0:\;\forall x\in U_(a)\rightarrow|f(x)|\leq C\nonumber
$$

Если функция $f$ непрерывна в точке $a$, причем $f(a)\neq 0$, то в некоторой окрестности точки $a$ знак функции совпадает со знаком числа $f(a)$, то есть
$$
\exists\delta>0:\quad\forall x\in U_(a)\rightarrow \operatorname\ f(x)=\operatorname\ f(a).\nonumber
$$

$\circ$ Эти утверждения следуют из свойств пределов. $\bullet$

Непрерывность суммы, произведения и частного.

Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$, то функции $f+g$, $fg$ и $f/g$ (при условии $g(a)\neq 0$) непрерывны в точке $a$.

$\circ$ Это утверждение следует из определения непрерывности и свойств пределов. $\bullet$

Непрерывность сложной функции.

Напомним, что такое сложная функция.

Пусть функции $y=\varphi(x)$ и $z=f(y)$ определены на множествах $X$ и $Y$ соответственно, причем множество значений функции $\varphi$ содержится в области определения функции $f$. Тогда функция, которая принимает при каждом $x\in X$ значение $F(x)=f(\varphi(x))$, называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций $\varphi$ и $f$.

Если функция $z=f(y)$ непрерывна в точке $y_0$, а функция $y=\varphi(x)$ непрерывна в точке $x_0$, причем $y_0=\varphi(x_0)$, то в некоторой окрестности точки $x_0$ определена сложная функция $f(\varphi(x_0))$, и эта функция непрерывна в точке $x_0$.

$\circ$ Пусть задано произвольное число $\varepsilon>0$. В силу непрерывности функции $f$ в точке $y_0$ существует число $\rho=\rho(\varepsilon)>0$ такое, что $U_\rho(y_0)\subset D(f)$ и
$$
\forall y\in U_\rho(y_0)\rightarrow f(y)\in U_(z_),\label
$$
где $z_=f(y_)$.

В силу непрерывности функции $\varphi$ в точке $x_$ для найденного в \eqref числа $\rho>0$ можно указать число $\delta=\delta_=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что
$$
\forall x\in U_\delta(x_0)\rightarrow \phi (x)\in U_\rho (y_0).\label
$$

Из условий \eqref и \eqref следует, что на множестве $U_\delta(x_0)$ определена сложная функция $f(\varphi(x))$, причем
$$
\forall x\in U_\delta(x_0)\rightarrow f(y)=f(\varphi(x))\in U_(z_),\nonumber
$$
где $z_0=f(\varphi(x_0))=f(y_)$, то есть
$$
\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0:\quad \forall х\in U_\delta(x_0)\rightarrow f(\varphi(х))\in U_\varepsilon(\varphi(x_0)).\nonumber
$$

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция $f(\varphi(x))$ непрерывна в точке $x_0$. $\bullet$

Соответствие между окрестностями точек $x_0,\ y_0,\ z_0$ представлено на рис. 11.1. По заданному числу $\varepsilon>0$ сначала находим $\rho>0$, а затем для чисел $\rho>0$ находим $\delta>0$.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функцию $f(x)$ называют непрерывной на отрезке $[a,b]$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$ и, кроме того, непрерывна справа в точке $a$ и непрерывна слева в точке $b$.

Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

(Теорема Вейерштрасса)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она ограничена, то есть
$$
\exists C>0:\forall x\in[a,\ b]\rightarrow|f(x)|\leq C.\label
$$

$\circ$ Предположим противное, тогда
$$
\forall C>0\;\exists x_\in [a,b]:\;|f(x_)|>C.\label
$$

Полагая в этом выражении $C=1,2\ldots,n,\ldots,$ получим, что
$$
\forall n\in\mathbb\quad\exists x_\in[a,b]:\;|f(x_)|>n.\label
$$

Последовательность $x_n$ ограничена, так как $a\leq x_\leq b$ для всех $n\in\mathbb$. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то есть существуют подпоследовательность $x_$ и точка $\xi$ такие, что
$$
\lim_x_>=\xi,\label
$$
где в силу условия \eqref для любого $k\in\mathbb$ выполняется неравенство
$$
a\leq x_>\leq b.\label
$$

Из условий \eqref и \eqref следует, что $\xi\in [а,b]$ а из условия \eqref в силу непрерывности функции $f$ в точке $\xi$ получаем
$$
\displaystyle \lim_f(x_>)=f(\xi).\label
$$

С другой стороны. утверждение \eqref выполняется при всех $n\in\mathbb$ и, в частности, при $n=n_k\;(k=1,2,\ldots)$, то есть
$$
|f(x_>)|>n_,\nonumber
$$
откуда следует, что $\displaystyle \lim_f(x_>)=\infty$, так как $n_\rightarrow +\infty$ при $k\rightarrow\infty$. Это противоречит равенству \eqref, согласно которому последовательность \>\) имеет конечный предел. По этому условие \eqref не может выполняться, то есть справедливо утверждение \eqref. $\bullet$

Теорема Вейерштрасса неверна для промежутков, не являющихся отрезками. Например, функция $f(x)=\displaystyle \frac$ непрерывна на интервале $(0,1)$, но не ограничена на этом интервале. Функция $f(x)=x^$ непрерывна на $\mathbb$, но не ограничена на $\mathbb$.

Достижимость точных граней.

(Теорема Вейерштрасса)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она достигает своей точной верхней и нижней грани, то есть
$$
\exists\xi\in[a,b]:\quad f(\xi)=\sup_ f(x),\label
$$

$\circ$ Так как непрерывная на отрезке функция $f(x)$ ограничена (теорема 3), то есть множество значений, принимаемых функцией $f$ на отрезке $[a,b]$, ограничено, то существуют $\displaystyle \sup_f(x)$ и $\displaystyle \inf_f(x)$.

Докажем утверждение \eqref. Обозначим $M=\displaystyle \sup_f(x)$. В силу определения точной верхней грани выполняются условия
$$
\forall х\in [a,b]\rightarrow f(x)\leq M,\label
$$
$$
\forall\varepsilon>0\;\exists x(\varepsilon)\in[a,b]:\quad f(x(\varepsilon))>M-\varepsilon.\label
$$

Полагая $\varepsilon=\displaystyle \frac, \displaystyle \frac,\ldots,\frac,\ldots$, получим в силу условия \eqref последовательность$\$, где $x_n=\displaystyle x\left(\frac1n\right)$, такую, что для всех $n\in\mathbb$ выполняются условия
$$
x_n\in [a,b],\label
$$
$$
f(x_)>M-\displaystyle \frac.\label
$$

Из соотношений \eqref, \eqref и \eqref следует, что
$$
\forall n\in\mathbb\rightarrow M-\frac\; Замечание 4

Теорема 4 неверна для интервалов: функция, непрерывная на интервале, может не достигать своих точных граней. Например, функция $f(x)=x^$ не достигает на интервале (0,1) своей точной нижней грани, равной нулю, и точной верхней грани, равной единице.

Промежуточные значения.

(теорема Коши о нулях непрерывной функции)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке [a,b] и принимает в его концах значения разных знаков, то есть \(f(a)f(b)\; Доказательство

$\circ$ Разделим отрезок $[a,b]$ пополам. Пусть $d$ — середина этого отрезка. Если $f(d)=0$, то теорема доказана, а если $f(d)\neq 0$, то в концах одного из отрезков $[a,d],\ [d,b]$ функция $f$ принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок $\Delta_=[a_,b_]$. Пусть $d_$ — середина отрезка $\Delta_1$. Возможны два случая:

$f(d_)=0$, тогда теорема доказана;
$f(d_)\neq 0$, тогда в концах одного из отрезков $[a_,d_],\;[d_,b_]$ функция $f$ принимает значения разных знаков; такой отрезок обозначим $\Delta_=[a_,b_]$.

Продолжая эти рассуждения, получим:

либо через конечное число шагов найдется точка $c\in [a,b]$ такая, что $f(c)=0$; тогда теорема доказана;
либо существует последовательность отрезков $\$ такая, что $f(a_)f(b_)\; 0$, либо $f(с)\; 0$. По свойству сохранения непрерывной функцией знака (п.3 а))
$$
\exists\delta>0:\quad х\in U_\delta(c)\rightarrow f(x)>0.\label
$$

С другой стороны, из неравенства \eqref следует, что $b_-a_\rightarrow 0$ при $n\rightarrow\infty$, и поэтому
$$
\exists n_0\in\mathbb:\quad b_>-a_>\; Замечание 5

Теорема 5 утверждает, что график функции $y=f(x)$, непрерывной на отрезке $[a,b]$ и принимающей в его концах значения разных знаков, пересекает ось $Ox$ (рис. 11.2) хотя бы в одной точке отрезка $[a,b]$.

(теорема Коши о промежуточных значениях)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $f(a)\neq (b)$, то для каждого значения $C$, заключенного между $f(a)$ и $f(b)$, найдется точка $\xi\in [a,b]$ такая, что $f(\xi)=C$.

$\circ$ Обозначим $f(a)=A,\ f(b)=B$. По условию $А\neq В$. Пусть, например, $A 0$ и по теореме 5 найдется точка $\xi\in [a,b]$ такая, что $\varpi(\xi)=0$, то есть $f(\xi)=C$. Утверждение \eqref доказано. $\bullet$

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b],\ m=\displaystyle \inf_ f(x),\ M=\displaystyle \sup_ f(x)$, то множество значений, принимаемых функцией $f$ на отрезке $[a,b]$, есть отрезок $[m,M]$.

$\circ$ Для всех $x\in[a,b]$ выполняется неравенство $m\leq f(x)\leq M$, причем согласно теореме 4 функция $f$ принимает на отрезке $[a,b]$ значения, равные $m$ и $М$. Все значения из отрезка $[m,M]$ функция принимает по теореме 6. Отрезок $[m,M]$ вырождается в точку, если $f(x)=const$ на отрезке $[a,b]$. $\bullet$

Существование и непрерывность функции, обратной для непрерывной и строго монотонной функции.

Ранее мы уже рассматривали понятие обратной функции. Докажем теорему о существовании и непрерывности обратной функции.

Если функция $y=f(x)$ непрерывна и строго возрастает на отрезке $[a,b]$, то на отрезке $[f(a),(b)]$ определена функция $x=g(y)$, обратная к f, непрерывная и строго возрастающая.

$\circ$ Существование обратной функции. Обозначим $A=f(a),\;B=f(b)$. Так как f — возрастающая функция, то для всех $х\in [a,b]$ выполняется неравенство $A\leq f(x)\leq B$, где $A= \displaystyle \inf_ f(x),\;B=\sup_f(x)$, и в силу непрерывности f (следствие из теоремы 6) множество значений функции $E(f)=[A,B]$.

Согласно определению обратной функции (\S\ 9,п. 9) нужно доказать, что для каждого $у_0\in [A,В]$ уравнение
$$
f(x)=y_\label
$$
имеет единственный корень $x=x_$, причем $x_0\in [a,b]$.

Существование хотя бы одного корня уравнения \eqref следует из теоремы 6. Докажем, что уравнение \eqref имеет на отрезке $[a,b]$ единственный корень.

Предположим, что наряду с корнем $x=x_$ уравнение \eqref имеет еще один корень $x=\widetilde_$, где $\widetilde_\neq x_0$; тогда $f(\widetilde)=y_,\;\widetilde x_0\in[a,b]$.

Пусть, например, $\widetilde_0>x_0$. Тогда в силу строгого возрастания функции $f$ на отрезке $[a,b]$ выполняется неравенство $f(\widetilde_0)>f(x_)$. С другой стороны, $f(\widetilde_0)=f(x_0)=y_$. Отсюда следует, что неравенство $\widetilde_0>x_$ не может выполняться. Следовательно, $\widetilde_0=x_0$. Существование обратной функции доказано, то есть на отрезке $[A,В]$ определена функция $x=f^(y)=g(y)$, обратная к $f$, причем $(g)=[a,b]$ и
$$
g(f(x))=x,\quad x\in[a,b],\quad f(g(y))=y,\quad u\in [A,B].\label
$$

Монотонность обратной функции. Докажем, что $g(y)$ — строго возрастающая на отрезке [A,В] функция, то есть
$$
\forall\;y_,\;y_\in [A,B]:\quad y_\; Замечание 6

Если функция $f$ непрерывна и строго убывает на отрезке $[a,b]$, то обратная к ней функция $g$ непрерывна и строго убывает на отрезке $[f(b),f(a)]$.

Аналогично формулируется и доказывается теорема о функции $g$, обратной к функции $f$, для случаев, когда функция $f$ задана на интервале (конечном либо бесконечном) и полуинтервале.
Если функция $f$ определена, строго возрастает и непрерывна на интервале $(a,b)$, то обратная функция $g$ определена, строго возрастает и непрерывна на интервале $(A,B)$, где
$$
A=\lim_f(x),\quad B=\lim_f(x).\nonumber
$$

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Функция f ( x ) является непрерывной в точке x 0 , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x 0 , т.е.: lim x → x 0 - 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) = f ( x 0 )

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Дана функция f ( x ) = 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 . Необходимо доказать ее непрерывность в точке х 0 = 2 .

Решение

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 · ( х n 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

- 2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

f ( - 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 . 667 ; 2 . 667 ; 0 . 167 ; - 0 . 958 ; - 1 . 489 ; - 1 . 747 ; - 1 . 874 ; . . . ; - 1 . 998 ; . . . → - 2

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к - 2 , значит lim x → 2 - 0 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 ( х n > 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность функций:

f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 1 4 ; f 2 1 8 ; f 2 1 16 ; . . . ; f 2 1 1024 ; . . . = = - 7 . 333 ; - 5 . 333 ; - 3 . 833 ; - 2 . 958 ; - 2 . 489 ; - 2 . 247 ; - 2 . 247 ; - 2 . 124 ; . . . ; - 2 . 001 ; . . . → - 2

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к - 2 , тогда lim x → 2 + 0 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f ( x ) = 1 6 x - 8 2 - 8 в точке х 0 = 2 , при этом lim x → 2 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

lim x → 2 - 0 f ( x ) = lim x → 2 + 0 f ( x ) = f ( 2 ) = 1 6 ( 2 - 8 ) 2 - 8 = - 2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Ответ: Непрерывность функции f ( x ) = 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 в заданной части доказано.

Устранимый разрыв первого рода

Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

lim x → x 0 - 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 )

Задана функция f ( x ) = x 2 - 25 x - 5 . Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Решение

Сначала обозначим область определения функции: D ( f ( x ) ) ⇔ D x 2 - 25 x - 5 ⇔ x - 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ ( - ∞ ; 5 ) ∪ ( 5 ; + ∞ )

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х 0 = 5 . Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение x 2 - 25 x - 5 упростим: x 2 - 25 x - 5 = ( x - 5 ) ( x + 5 ) x - 5 = x + 5 .

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g ( x ) = x + 5 является непрерывной при любом действительном x , тогда:

lim x → 5 - 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: lim x → x 0 - 0 f ( x ) ≠ lim x → x 0 + 0 f ( x ) . Точка х 0 здесь – точка скачка функции.

Задана кусочно-непрерывная функция f ( x ) = x + 4 , x - 1 , x 2 + 2 , - 1 ≤ x 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х 0 = - 1 или в точке х 0 = 1 .

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

слева от точки х 0 = - 1 заданная функция есть f ( x ) = x + 4 , тогда в силу непрерывности линейной функции: lim x → - 1 - 0 f ( x ) = lim x → - 1 - 0 ( x + 4 ) = - 1 + 4 = 3 ;
непосредственно в точке х 0 = - 1 функция принимает вид: f ( x ) = x 2 + 2 , тогда: f ( - 1 ) = ( - 1 ) 2 + 2 = 3 ;
на промежутке ( - 1 ; 1 ) заданная функция есть: f ( x ) = x 2 + 2 . Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: lim x → - 1 + 0 f ( x ) = lim x → - 1 + 0 ( x 2 + 2 ) = ( - 1 ) 2 + 2 = 3 lim x → 1 - 0 f ( x ) = lim x → 1 - 0 ( x 2 + 2 ) = ( 1 ) 2 + 2 = 3
в точке х 0 = - 1 функция имеет вид: f ( x ) = 2 x и f ( 1 ) = 2 · 1 = 2 .
справа от точки х 0 заданная функция есть f ( x ) = 2 x . В силу непрерывности линейной функции: lim x → 1 + 0 f ( x ) = lim x → 1 + 0 ( 2 x ) = 2 · 1 = 2

Ответ: в конечном счете мы получили:

lim x → - 1 - 0 f ( x ) = lim x → - 1 + 0 f ( x ) = f ( - 1 ) = 3 - это означает, что в точке х 0 = - 1 заданная кусочная функция непрерывна;
lim x → - 1 - 0 f ( x ) = 3 , lim x → 1 + 0 f ( x ) = 2 - таким образом, в точке х 0 = 1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Функция имеет разрыв второго рода в точке х 0 , когда какой-либо из пределов слева lim x → x 0 - 0 f ( x ) или справа lim x → x 0 + 0 f ( x ) не существует или бесконечен.

Задана функция f ( x ) = 1 x . Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Решение

Запишем область определения функции: x ∈ ( - ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) .

Найдем пределы справа и слева от точки х 0 = 0 .

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

- 8 ; - 4 ; - 2 ; - 1 ; - 1 2 ; - 1 4 ; . . . ; - 1 1024 ; . . .

Ей соответствует последовательность значений функции:

f ( - 8 ) ; f ( - 4 ) ; f ( - 2 ) ; f ( - 1 ) ; f - 1 2 ; f - 1 4 ; . . . ; f - 1 1024 ; . . . = = - 1 8 ; - 1 4 ; - 1 2 ; - 1 ; - 2 ; - 4 ; . . . ; - 1024 ; . . .

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда lim x → 0 - 0 f ( x ) = lim x → 0 - 0 1 x = - ∞ .

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 справа. К примеру: 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; . . . ; 1 1024 ; . . . , и ей соответствует последовательность значений функции:

f ( 8 ) ; f ( 4 ) ; f ( 2 ) ; f ( 1 ) ; f 1 2 ; f 1 4 ; . . . ; f 1 1024 ; . . . = = 1 8 ; 1 4 ; 1 2 ; 1 ; 2 ; 4 ; . . . ; 1024 ; . . .

Эта последовательность - бесконечно большая положительная, а значит lim x → 0 + 0 f ( x ) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .

Приращением аргумента называют разность $$ \triangle x= x-x_0 $$ где x - произвольное число, которое мало отличается от начальной точки $x_0$. Приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным.
Приращением функции называют соответствующую разность $$ \triangle y=f(x)-f(x_0) $$ Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.

п.2. Непрерывность функции в точке и на промежутке

Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если в этой точке малому приращению аргумента $\triangle x=x-x_0$ соответствует малое приращение функции $\triangle y=f(x)-f(x_0)$: $$ \lim_\triangle y=\lim_\triangle y=0 $$

ε-δ определение непрерывности похоже на ε-δ определение предела функции, с той разницей, что модуль $|x-x_0|$ может быть равен 0 для непрерывной функции, т.е. сама точка $x_0$ входит в δ-окрестность.

Проанализируем предел приращения функции: \begin \lim_\triangle y= \lim_\left(f(x)-f(x_0)\right)= \lim_f(x)-\lim_f(x_0)=\\ =\lim_f(x)-f(x_0) \end т.к. $f(x_0)$ - величина постоянная и от $\triangle x$ не зависит.
Для непрерывной функции: $$ \lim_\triangle y =0 \Leftrightarrow \lim_f(x)-f(x_0)=0\Leftrightarrow \lim_f(x)=f(x_0) $$ Учитывая, что $\triangle x\rightarrow 0\Leftrightarrow x-x_0\rightarrow 0\Leftrightarrow x\rightarrow x_0$
получаем $\limf(x)=f(x_0).$

Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке: $$ \limf(x)=f(x_0) $$

Все три представленных определения непрерывности функции в точке эквивалентны.
Существуют и другие эквивалентные определения. Мы дадим ещё одно из них дальше, в этом же параграфе.

п.3. Непрерывность функции на промежутке

Промежуток – это интервал, отрезок, луч и т.п. (см. §16 справочника для 8 класса).

Непрерывная функция

Кусочно-непрерывная функция

п.4. Односторонние пределы

Односторонний предел – это предел числовой функции при приближении к предельной точке с определенной стороны (слева или справа).
Обозначение односторонних пределов: \begin \lim_f(x)=a -\ \text\\ \lim_f(x)=b -\ \text \end

Рассмотрим гиперболу $y=\frac$.

У этой гиперболы две асимптоты $y=0$ и $x=2$.
Точка $x_0=2$ не входит в область определения.
Если мы будем приближаться к $x_0=2$ слева , начав, например с 1,5, мы будем постепенно опускаться по ветке гиперболы на минус бесконечность. Т.е., левый предел: $$ \lim_\frac=-\infty $$

Если же мы будем приближаться к $x_0=2$ справа , начав, например с 2,5, мы будем постепенно подниматься по ветке гиперболы на плюс бесконечность. Т.е., правый предел: $$ \lim_\frac=+\infty $$ Левый и правый пределы в точке $x_0=2$ для данной гиперболы не равны: $$ \lim_\frac \ne \lim_\frac $$

Теперь рассмотрим параболу $y=x^2-2$
Областью определения параболы является вся числовая прямая $x\in\mathbb$

В этом случае, если приближаться к $x_0=2$ слева , мы получаем: $$ \lim_(x^2-2)=2 $$ И если приближаться $x_0=2$ справа , мы тоже получаем: $$ \lim_(x^2-2)=2 $$ Левый и правый пределы равны: $$ \lim_(x^2-2) =\lim_(x^2-2) $$

Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если одновременно выполняются следующие три условия:
1) точка $x_0$ принадлежит области определения функции $x\in D$;
2) левый и правый пределы в точке $x_0$ равны и конечны: $$ \lim_f(x) =\lim_f(x)=\lim_f(x)=a\ne\infty $$ 3) предел функции в точке $x_0$ равен значению функции в этой точке: $$ \lim_f(x)=f(x_0) $$

Это еще одно определение непрерывности, которым удобно пользоваться на практике.

п.5. Классификация точек разрыва

Точка $x_0$ будет точкой разрыва для функции $y=f(x)$, если выполняется хотя бы одно из условий:
1) точка $x_0$ не принадлежит области определения функции $x\notin D$;
2) левый и правый пределы в точке $x_0$ не равны или бесконечны: $$ \lim_f(x) \ne\lim_f(x)\ \text\ \lim_f(x) =\lim_f(x)=\pm\infty $$ 3) предел функции в точке $x_0$ не совпадает со значением функции в этой точке: $$ \lim_f(x)\ne f(x_0) $$

Точки разрыва	1-го рода Односторонние пределы существуют и конечны	Устранимые Односторонние пределы равны между собой, но не равны $f(x_0)$
		Неустранимые (скачок) Односторонние пределы не равны между собой
	2-го рода Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует

п.6. Точки разрыва первого рода

Устранимые точки разрыва 1-го рода
Левый и правый пределы в точке $x_0$ равны и конечны: $$ \lim_f(x)=\lim_f(x)=\lim_f(x)=a\ne\infty $$ НО:
либо точка $x_0$ НЕ принадлежит области определения функции $x\notin D$;
либо предел НЕ равен значению функции в точке $x_0$: $\lim_f(x)\ne f(x_0)$

$y=\frac, x_0=2$
Эта функция эквивалентна системе $$ y=\frac \Leftrightarrow \begin y=x+2\\ x\ne 2 \end $$ При этом $\lim_(x+2)=\lim_(x+2)=4$
В точке $x_0=2\notin D$ функция имеет устранимый разрыв.

Неустранимые точки разрыва 2-го рода (скачок)
Левый и правый пределы в точке $x_0$ конечны, но не равны: $$ \begin \lim_f(x)=a\ne\infty\\ \lim_f(x)=b\ne\infty\\ a\ne b \end $$ Такой разрыв также называют скачком .
Величина скачка рассчитывается по формуле: $$ \triangle y=\lim_f(x)- \lim_f(x)=b-a $$

п.7. Точки разрыва второго рода

В точках разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

$x_0=0\ne D$ - точка не входит в ОДЗ
Односторонние пределы: \begin \lim_e^\frac1x=e^>=e^<-\infty>=0\\ \lim_e^\frac1x=e^>=e^<+\infty>=+\infty \end Пределы не равны между собой, и один и них бесконечен.

п.8. Алгоритм исследования функции на непрерывность

На входе: функция $y=f(x)$
Шаг 1. Найти ОДЗ функции, определить точки и промежутки, не принадлежащие ОДЗ.
Шаг 2. Составить множество точек, в которое входят точки и границы промежутков, не принадлежащие ОДЗ, а также – для кусочно-непрерывных функций – точки сшивания. Полученное множество состоит из точек, подозрительных на разрыв.
Шаг 3. Исследовать каждую из точек, подозрительных на разрыв, с помощью односторонних пределов. Если разрыв обнаружен, определить тип разрыва.
На выходе: список точек разрыва и тип разрыва для каждой точки.

п.9. Примеры

Пример 1. Исследуйте функцию на непрерывность:
a) $ y=\frac $
ОДЗ: $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$
$x_0=1\notin D$ - точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac=\frac=\frac=-\infty\\ \lim_\frac=\frac=\frac=+\infty \end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка $x_0=1$ - точка разрыва 2-го рода.

б) $ y=\frac-2> $
ОДЗ: $ \begin x+2\geq 0\\ \sqrt-2\ne 0 \end \Rightarrow \begin x\geq -2\\ \sqrt\ne 2 \end \Rightarrow \begin x\geq -2\\ x\ne 2 \end $
$x_0=-2$ - левая граница ОДЗ
$x_1=2\notin D$- точка не входит в ОДЗ
Точки $x_0$ и $x_1$ - подозрительные на разрыв

Исследуем $x_0=-2$. Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac-2> - \text\\ \lim_\frac-2>=\frac-2>=\frac=1 \end Один из односторонних пределов не существует.
Точка $x_0=-2$ - точка разрыва 2-го рода.

Исследуем $x_1=2$. Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac-2> =\frac-2>=\frac=-\infty\\ \lim_\frac-2>=\frac-2>=\frac=+\infty \end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка $x_1=2$ - точка разрыва 2-го рода.

в) $ y=\frac $
ОДЗ: $x\ne 0$
$x_0=0\notin D$- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв
Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac=\frac13\lim_\frac=\frac13\cdot 1=\frac13\\ \lim_\frac=\frac13\lim_\frac=\frac13\cdot 1=\frac13 \end Односторонние пределы конечны и равны.
Точка $x_0=0$ - точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.

г) $ y= \begin x+1,\ x\lt 3\\ x^2+3,\ x\geq 3 \end $
ОДЗ: $x\in\mathbb$
$x_0=3$- точка сшивания, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: \begin \lim_y=\lim_(x+1)=3+1=4\\ \lim_y=\lim_(x^2+3)=3^2+3=12 \end Односторонние пределы конечны, но неравны.
Точка $x_0=3$ - точка разрыва 1-го рода, неустранимый разрыв (скачок).
Величина скачка: $\lim_y-\lim_y=12-4=8$

Пример 2. Доопределите функцию в точке разрыва так, чтобы она стала непрерывной в этой точке:
a) $ y=\frac $
ОДЗ: $x\ne 0$
$x_0=0\notin D$- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: $\frac=\frac=\frac$ $$ y=\frac\Leftrightarrow y= \begin \frac\\ x\ne 0 \end $$ Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac=0,\ \ \lim_\frac=0 \end Односторонние пределы конечны и равны.
Точка $x_0=0$ - точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: $y(0)=0$.
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= \begin \frac,\ x\ne 0\\ 0,\ \ x=0 \end $$ б) $ y=\frac $
ОДЗ: $x\ne 0$
$x_0=0\notin D$- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: $\frac=\frac=\frac>=8\left(\frac\right)^2$ $$ y=\frac\Leftrightarrow y= \begin 8\left(\frac\right)^2\\ x\ne 0 \end $$ Найдем односторонние пределы: \begin \lim_8\left(\frac\right)^2=8\cdot 1=8,\ \ \lim_8\left(\frac\right)^2=8\cdot 1=8 \end Односторонние пределы конечны и равны.
Точка $x_0=0$ - точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: $y(0)=8$.
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= \begin \frac,\ x\ne 0\\ 8,\ \ x=0 \end $$

Читайте также: