Методика обучения решению задач на проценты в основной школе

Обновлено: 02.07.2024

4 Видно, что второй вариант предпочтительней. Задача 3. Первый сплав состоит из цинка и меди, входящих в него в отношении 1 : 2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2 : 3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 : 27? Запишем условие задачи в виде таблицы. Таблица 3 Сплавы Вес цинка, кг Вес меди, кг Возьмем для нового сплава, кг 1 сплав x 2 x А 2 сплав 2 y 3 y В Новый x + 2 y 2 x + 3 a х + 2у 17 Заметим, что =, или 27 x + 54 y = 34x + 51y, откуда 3y = 7x. 2х + 3у 27 Так как 3x = А, y = В, то A = x = x = y =. B 7y 35y 35y 35 Ответ: сплав следует взять в соотношении 9 : 35. Задача 4. В школьном кабинете химии имеются три банки с серной кислотой емкостью 1, 2 и 3 литра. Концентрация кислоты в этих банках неизвестна (скорее всего, она различна, но в точности этого никто не знает). Требуется перелить кислоту в три пустые банки такой же емкости, но так, чтобы концентрация кислоты во всех банках была одинакова. Как это сделать? Основная проблема в задачах такого типа как сделать решение понятным? 1. Какие именно переливания делались? Это легче всего показать с помощью таблицы (таблица 4). Таблица 4 шага Емкости 1 л 2 л 3 л 1 л 2 л 3л 0 1 л 2 л 3 л 1 3 л 3 л 2 1 л 2 л 1 л 2 л 3 2 л 2 л 2 л 4 1 л 2 л 1 л 1 л 1 л 5 2 л 1 л 2 л 1 л 6 2 л 2 л 2 л 7 1 л 2 л 3 л 8 1 л 2 л 3 л 2. Почему мы уверены, что во всех банках получен раствор одинаковой концентрации? Действительно, после первого шага мы получили два различных раствора вместо трех, а дальше для создания нового раствора мы берем равные доли каждого из двух имеющихся видов (цветом выделены емкости, где нужная концентрация уже достигнута). В ряде случаев крайне полезным оказывается геометрическое решение задач на проценты.[6], [7], [8]. Приведем пример.

7 7. Малахова Н. А., Орлов В. В. и др. Методика работы с сюжетными задачами: Учебнометодич. пособие. СПб.: Изд-во РГПУ, с. 8. Шевкин А. В. Обучение решению текстовых задач в 5 6 классах: Книга для учителя. М.: ГАЛС ПЛЮС, с.

Автор: Хамидуллина Эльмира Фаниловна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ СОШ с.Карамалы-Губеево МР Туймазинский район Республики Башкортостан
Населённый пункт: село Карамалы-Губеево
Наименование материала: научно-исследовательская работа учителя
Тема: "Обучение решению задач на проценты в курсе математики основной школы"
Раздел: среднее образование

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования Республики Башкортостан Управление образования администрации муниципального района Туймазинский район муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы с.Карамалы-Губеево
Обучение решению задач на проценты в курсе

математики основной школы
Автор учитель математики высшей квалификационной категории МБОУ СОШ с.Карамалы-Губеево Хамидуллина Эльмира Фаниловна 2015 год
Содержание ВВЕДЕНИЕ. 3 Глава I. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ. …..5
I.1.

Особенности

Ю.Н.Виленкина,

классов.
11
II.2. Методические рекомендации к проведению урока- повторения «Задачи

Глава I. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ В

КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ.

I.1. Особенности учебника математики авторов Н.Я.Виленкина,

I.4. Вывод к 1 главе.
Итак, учащиеся не осознавая рассуждают над решением. Поэтому каждая задача на проценты становится алгоритмом и вызывает затруднения, если правило забыто. Решение задач в данном курсе арифметическое. Использование уравнений при решении задач на проценты применяется лишь при решении сложных задачах. Следовательно, не каждый ученик сможет овладеть этим умением. Я думаю, нужно включить задачи на проценты при изучении уравнений. 10

Глава II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ведущей идеей современной концепции школьного образования является идея гуманизации, совмещая в центр процесса обучения ученика с его интересам и возможностям, требующая учета особенностей его личностей. Такая позиция определяет общие направления перестройки школьного математического образования, главными из которых является умения общекультурного звучания курса и повышение его значимости для формирования личности подрастающего поколения. Одна из важнейших его задач – обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности. Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.

Разработкой методики обучения решению текстовых задач занимались такие учёные, как Ю.М. Колягин, А.В. Шевкин, А.А. Столяр, Г.И. Саранцев и другие.

Большинство современных учебников, рекомендованных Министерством образования, выделяют 3 типа задач на проценты:

1 тип: нахождение процента (дроби) от числа;

2 тип: нахождение числа по его проценту (дроби);

3тип: нахождение процентного отношения двух чисел.

Рассмотрим подробно несколько задач.

1 тип: нахождение процента (дроби) от числа.

Основное правило для решения задач такого типа: чтобы найти процент от числа, нужно данное число разделить на 100 и результат умножить на количество процентов.

Задача 1. Найти 25 % от числа 236.

Решаем по правилу. Данное число разделить на 100: 236 : 100 = 2,36. Далее результат умножить на количество процентов: 2,36 ∙ 25 = 59. Значит, число 59 составляет 25 % от числа 236.

Данную задачу можно решить и другим способ. Вспоминаем, что 25% – это четверть числа, поэтому можно число 236 разделить на 4 и получим: 236 : 4 = 56.

Заметим, что ответы при обоих способах одинаковы.

Задача 2.Найти 15 % от числа 400.

Заметим, что в данном случае нельзя решить двумя способами, так как мы не знаем, какую часть от числа 100 составляет 15 %. Поэтому применим основное правило. Число 400 делим на 100: 400 : 100 = 4. Число 4 умножаем на 15 %: 4 ∙ 15 = 60. 15 % от числа 400 составляет 60.

Данное правило можно применить и при решении текстовых задач на проценты.

Задача 3. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20 % изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?

1.Сколько приборов соответствует 1 %?

500: 100 = 5 приборов.

2.Сколько приборов приходится на 20 %?

5 ∙ 20 = 100 приборов не прошли контроль качества.

Задача 4. В семенах сои содержится 20 % масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?

В задаче требуется найти указанную часть (20 %) от известной величины (700 кг).

Придерживаясь основного правила и задавая наводящие вопросы, решаем задачу.

1.Какая масса сои приходится на 1 %?

2.Сколько масла приходится на 20 %?

7 ∙ 20 = 140 масла содержится в 700 кг сои.

2 тип: нахождение числа по его проценту (дроби).

Основное правило: чтобы найти число по его проценту, нужно данное число разделить на количество процентов и результат умножить на 100.

Задача 1. Найдите число, 60 % которого равны 90.

Применяем основное правило. Данное число, то есть 90, нужно разделить на количество процентов, на 60: 90 : 60 = 1,5. Далее, полученное число умножаем на 100: 1,5 ∙ 100 = 150. Итак, получаем ответ: 60 % от числа 150 равны 90.

Задача 2. После того, как число уменьшили на 40 % этого числа, получили 48. Найдите это число.

Давайте сначала подумаем, сколько процентов осталось после уменьшения. Для этого от 100 % отнимем 40 %: 100% - 40% = 60 %. Теперь получили, что 48 – это 60 %. А теперь применяем основное правило:

60 = 0,8 – это 1 % неизвестного числа,

2)0,8 ∙ 100 = 80 – неизвестное число.

Рассмотри текстовые задачи.

Задача 3. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 25 % числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?

Мы не знаем, сколько всего задач в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25 % от общего их количества. Нам следует известную нам часть целого разделить на количество процентов, которую она составляет от всего целого, то есть 38 : 25 = 1,52. Далее это число умножаем на 100 и получаем: 1,52 ∙ 100 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.

Задача 4. Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Сначала, узнаем, чему равен 1 % всех страниц. Для этого разделим 138 на 23. Так как 138 : 23 = 6, то 1 % равен 6. Чтобы узнать, чему равны 100 % страниц, надо умножить 6 на 100. Так как 6 ∙ 100 = 600, то в книге 600 страниц.

3 тип: нахождение процентного отношение двух чисел.

Процентное отношение двух чисел – это их отношение, выраженное в процентах. Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Основное правило: чтобы найти, сколько процентов составляет первое число от второго, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и результат умножить на 100.

Задача 1. Сколько процентов составляет число 8 от 20?

Решаем, применив данное правило. В данной задаче спрашивается про число 8, поэтому число 8 нужно разделить на 20: 8 : 20 = 0,4. Полученное число умножаем на 100: 0,4 ∙ 100 = 40 %. Получили ответ: 40 % число 8 составляет от числа 20.

Задача 2. Сколько процентов составляет число 36 от числа 48?

Рассмотри текстовые задачи на проценты.

Задача 3. В классе 30 учеников. 12 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?

О чем спрашивают? О девочках. Значит число девочек делим на общее число учеников и получаем: 12 : 30 = 0,4. Теперь это число умножаем на 100: 0,4 ∙ 100 = 40 % составляют девочки от всех учеников в классе.

Задача 4. Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелые арбузы?

В вопросе спрашивается о незрелых арбузах. Поэтому число незрелых арбузов (16) делим на общее количество (200). Получаем, что 16:200 = 0,08. Данный результат умножаем на 100, то есть 0,08 ∙ 100 = 8 %. Ответ: 8 % всех арбузов составили незрелые арбузы.

Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.

Учениками забываются проблемы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения. В связи с этим является актуальным вопрос о том, чтобы задачи на проценты заняли достойное место в V-VI классах. В этот период школьники изучают различные виды уравнений и их систем, закрепление которых ведется на текстовых задачах, а присутствие процентов в содержании текстовых задач дает возможность связать абстрактные математические понятия с реальной жизнью.

Понятие процента широко используется в реальной жизни. В данной статье показано, как идёт изучение сложной темы "Проценты" в школьном курсе математики. Задачи делятся на три вида. Большинство из них решается алгебраическим способом.

Формирование навыков решения задач на проценты на уроках математики в основной школе.

II. Историческая справка

3.2. Развитие навыков обучающихся 7-9 классов при решении задач на проценты

V. Список использованной литературы

I. Введение

Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется и в реальной жизни, и в различных областях науки. В школьном курсе эта тема изучается в 5 – 6 классе, но ей отводится очень мало времени и места, в результате обучающиеся к моменту окончания основной школы не умеют решать задачи на проценты. В связи с новыми подходами к проведению итоговой аттестации выпускников 9-х классов, а также переходам на ЕГЭ, обучающимся предлагаются в контрольно-измерительных материалах задачи на проценты, причем они могут быть достаточно сложные, чтобы решить их без специальной подготовки. Особенно необходимо иметь навыки решения задач на проценты школьникам, решившим поступать в вузы на экономические, финансовые и банковские специальности.

П. Историческая справка

Интересно происхождение обозначения процента. Есть версия, будто бы знак % происходит от итальянского procento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда, путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента %.

Изучение данной темы начинается в 4 четверти 5 класса.

Основная цель первого этапа - сформировать понятие процента как специального способа выражения доли величины, выработать умения обращения обыкновенной дроби в десятичную, десятичной дроби и натурального числа в проценты. В результате, еще до решения основных задач на проценты, ученик должен прочно овладеть достаточно большим набором фактов, которые помогут ему в дальнейшем.

Например: 25% величины - это четвертая часть этой величины; половина некоторой величины - это ее 50%; 75% величины - это ¾ этой величины.

Усвоение понятия процента помогает практическое задание:

заштриховать указанную часть геометрической фигуры:

10% 20% 2 5 % 50% 90%

После того, как ученик достаточно свободно и осознанно овладеет понятием процента, переходим к решению задач.

Существует три основных вида задач на проценты:

1. Нахождение b% от числа а.
3 способа решения: 1) а : 100 · b; 2) b% = дробь; а · дробь

а – 100% составляем пропорцию х : а = b : 100

Примеры задач в презентации.

2. Нахождение числа а по его b % процентам.
3 способа решения: 1) а : b · 100; 2) b% = дробь; а : дробь

а – b % составляем пропорцию х : а = 100 : b

Примеры задач в презентации.

3. Нахождение процентного отношения (сколько процентов число а составляет от числа b).

Решение: а : b · 100.

Примеры задач в презентации.

В 5 классе мы рассматриваем задачи на проценты лишь двух типов: на нахождение процента от числа и на нахождение числа по его проценту. Задачи на процентное отношение рассматриваются только в 6 классе после изучения пропорций.

В 6 классе уровень сложности задач повышается. Сначала возникают задачи с разными процентными базами. Приведу пример:

Мотоциклист проехал 120 км, 30% из которых - по шоссе. 60% оставшегося расстояния он ехал по грунтовой дороге, а далее - по лесной тропе.

Прочитайте первое предложение и ответьте на вопросы:

- Что принято за 100%?

- Известна ли эта величина?

- Какая величина приходится на 1 %?

- Сколько километров мотоциклист проехал по шоссе? Прочитайте второе предложение и ответьте на вопросы.

- Что принято за 100%?

- Известна ли эта величина?

- Сколько километров составляет путь, пройденный мотоциклистом по
грунтовой дороге и по лесной тропе?

- Чему равен 1 % этой величины?

- Сколько километров мотоциклист проехал по грунтовой дороге?

- Сколько километров мотоциклист проехал по лесной тропе?

Для учеников основная трудность при выполнении этих заданий заключается в том, чтобы понять: в первом предложении за 100% принята длина всего пути, а во втором - длина грунтовой дороги и лесной тропы вместе (оставшийся путь). Результатом выполнения таких упражнений является осознание учениками того, что в одной и той же задаче за 100% могут быть приняты разные величины.

а) Найдем, сколько процентов число 15 составляет от числа 75.

б) Найдем, сколько процентов составляет число 75 от числа 15.
75 :15 · 100= 500%.

Футболка стоила 300р. На распродаже цену снизили на 5%. Какая теперь стала цена на футболку?

3.2. Особенности развития навыков учащихся 7-9 классов при решении задач на проценты.

Поэтому наряду с повторением задач уже усвоенными и известными способами включаю решение более сложных задач.

Сумма двух чисел равна 120. Найти эти числа, если 40% одного равны 60%

Основная идея решения состоит в том, чтобы на основании условия задачи

Пусть х - одно число, тогда (120-х) - другое число. По условию задачи:

х руб.-100% 10870,35 руб. - 87%; х = 1087035 • 100/87 = 12 494,65 руб.

Мясо теряет при варке около 35% своего веса. Сколько нужно сырого мяса, чтобы получить 520 гр. вареного? Решение:

Пусть х гр. - масса сырого мяса 0.35х - теряет при варке По условию: х-0,35х=520 х=520/0,65=800 (гр.) Ответ: нужно взять 800гр. сырого мяса.

Задачи на сплавы и смеси

При решении задач этого типа учащиеся могут воспользоваться предложенным алгоритмом для составления системы уравнений.

Алгоритм решения задач на сплавы и смеси:

1. Обозначьте буквами количество растворов соли разной концентрации.

2. Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.

3. Определите количество соли в получившемся растворе.

4. Запишите уравнение, связывающее количество соли в растворах разной концентрации и получившемся растворе.

5. Составьте систему и решите ее.

В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл. раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу? Решение: Решим задачу с помощью системы уравнений, используя следующий план:

1) Обозначим буквами количество 60%-го и 80%-го растворов соли:

2) Запишем уравнение, связывающее эти две величины и общее
количество раствора: х+у=35;

3) Определим количество соли в получившемся растворе:
35*0,72=23,04 мл;

4) Запишем уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-
ном и получившемся растворах: 0,6х+0,8у=23,04;

5) Составим систему и решим ее
х+у=35 х=24,8
0,6х+0,8у=23,04 у=10,2
Ответ: 24,8 мл; 10,2 мл.

Один раствор содержит 30% по объему азотной кислоты, а второй - 55%. Сколько нужно взять первого и второго растворов, чтобы получить 100 л. 50%^го раствора азотной кислоты? Решение:

Пусть первого раствора нужно взять х л., тогда второго - (100-х) л. По условию задачи: 0,Зх+0,55(100-х)=100*0,5 х=20 Ответ: 20 л.

IV. Заключение

Формирование умственной культуры мышления - одна из важных проблем математического образования школьников.

Одна из основных целей в работе каждого учителя математики состоит в том, чтобы научить обучающихся решать любую математическую задачу. Для этого все действия учителя должны быть направлены на развитие мышления учащихся, на обучение их эффективным приемам умственной деятельности, обучению умению выделять главное, существенное в задаче и ее решении. В школе невозможно (и не нужно) рассмотреть все виды математических задач. Важно вооружить обучающихся общим подходам к решению любых задач.

Поэтому в процессе обучения из всего разнообразия задач на проценты, стараюсь выбирать наиболее типичные, узловые, доступные на первом этапе решения и знакомить школьников с общим принципом, подходом к решению задач определенного типа, со своеобразным алгоритмом решения. В этом особенно нуждаются слабоуспевающие в математике ребята.

Особо ценным считаю этап работы с уже решенной задачей, что особенно важно для развития учеников. На мой взгляд, это формирует один из важных приемов мыслительной деятельности обучающегося - умение обобщать.

V. Список использованной литературы.

Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. 10-11 кл.: Учебно-метод. пособие.-М.: Дрофа, 2003.

Читайте также: