Методика обучения геометрии в старшей школе
Обновлено: 03.07.2024
Остановимся прежде всего на положении дела обучения геометрии в средней школе.
В главе 2-ой была данная общая характеристика традиционной системы преподавания геометрии.
Здесь кстати указать, что и более частные погрешности учебников постоянно повторяются на практике. Так, мы знаем, что на первых уроках геометрии заставляют учащихся изучать доказательства прямой и обратной теоремы о смежных углах, а между тем в них нечего доказывать.
«Общеизвестна теорема: сумма двух смежных углов равна 2d. Для доказательства этой теоремы пишется ряд равенств, приводится рад рассуждений, но оказывается, что здесь нет материала для доказательства.
Для выяснения этого наиболее удобно перенести вопрос на строго логическую почву, отказавшись от тех образов, с которыми мы связываем эту теорему. Для этой цели следует воспользоваться символами. Имеем класс объектов: a, b, c, d, e, …, которые мы называем углами и относительно которых надо доказать, что a + b = 2d, где a и b суть два объекта этого класса, особенным образом выбранные, а d есть объект этого же класса, обладающий особыми признаками.
Но в наших наиболее распространенных учебниках даже и этого делать не приходится. В самом деле, там избегается введение в курс геометрии того особенного угла, который обозначен символом c (в некоторых учебниках вводится этот особенный угол, называемый развернутым или выпрямленным, но эти учебники почти не употребляются в средних учебных заведениях); раз этот угол не входит в курс, а взамен его вводят лишь один особый угол прямой, названный символом d, но нам остается 4-ый постулат выкинуть, а 3-ий изменить: данные в условии теоремы символы a и b связаны между собой соотношением a + b = 2d. Что же тогда доказывать? Содержание теоремы вовсе исчезает.
Такую же ценность имеет и обратная теорема, доказательство которой так трудно дается учащимся. Понятно теперь – почему? Потому что, в сущности, здесь доказывать нечего, надо лишь видеть. Здесь дело еще хуже; чтобы показать это, выписываю теорему в редакции одного из учеников: если сумма двух прилежащих углов DBC и CBA равна двум прямым, то их внешние стороны DB и BA образуют прямую линию; следовательно, эти прилежащие углы будут сложными.
Наряду с таким стремлением делать изо всего теоремы и их доказывать можно отметить особенную любовь учебников геометрии к определениям.
Поучительна по своей толщине книга Schooten'а, где собраны воззрения различных авторов на основные геометрически объекты и соответствующие определения.
«Другой ряд недоразумений возникает на почве следующих определений:
1) сочетание каких-либо точек, линий, поверхностей, тел, а также каждый из этих элементов в отдельности называется геометрической фигурою;
2) многоугольником называется часть плоскости, ограниченная со всех сторон прямыми.
3) часть площади, ограниченная со всех сторон, называется площадью.
Такая постановка сказалась и на тех исканиях, какие имеют место в работах по методике геометрии для средней школы. Математические журналы заполняются главным образом (исключения редки) статьями по геометрии, дающие ответ на вопрос: как проще, понятнее для учеников, доказать ту или иную теорему? Реже, хотя все-таки часто, и это тоже соответствует современной постановке дела обучения геометрии, встречаются статьи, имеющие целью обычный ряд теорем заменить другим, в общем (как это постоянно бывает), мало чем отличающимся от обычного; наконец, имеется ряд статей, трактующих общие вопросы о значении интуиции и логики для геометрии и стремящиеся поставить курс геометрии в средней школе на ту почву, какая выяснена в главе 5-ой, по преимуществу в связи со взглядами С. А. Богомолова.
Обратимся теперь к курсам пропедевтического характера. 40-50 лет тому назад пропедевтические курсы геометрии пользовались значительным распространением и большинство их сводилось к изучению, в смысле чисто-внешнем, моделей геометрических тел. Образцом таких курсов может служить тот пропедевтический курс, который имеется в учебнике геометрии Вулиха. Этот курс сводится к чисто-словесному описанию того, что учащиеся видят на моделях различных геометрических тел. Это описание прерывается иногда рядом опытов, имеющих целью показать равенство некоторых отрезков, некоторых углов и сопровождается целым рядом определений: прямым углом назыв. … треугольником назыв. … квадратом назыв. … и т. д.
Такой пропедевтический курс следует признать не только бесцельным, но даже и вредным: на всем его протяжении учащиеся вовсе не выполняют работы геометрического характера, а довольствуются только описанием того, что видит физическое зрение, к чему присоединяется использование некоторого жизненного опыта учащихся, не доведенного до отчетливости, и что сопровождается заучиванием ряда беспочвенных определений.
Во всех пропедевтических курсах имеются педагогические ошибки. Вот важнейшие из них (выше, в сущности, уже намечено, в чем следует искать корни этих ошибок).
При обоих вышеуказанных началах курса имеют место грубые педагогические ошибки: в первом случае, с самого начала курса появляется взаимное непонимание и столкновение двух точек зрения, учителя и ученика, и это непонимание или это столкновение все углубляются по мере того, как переходят к рассмотрению все новых и новых тел; во втором случае вместо того, чтобы привести в отчетливость те зачатки геометрических знаний, которые имеются у учеников благодаря их жизненному опыту, учителю приходится опираться именно на них, не смотря на то, что эти зачатки у учеников еще слишком туманны, еще в слишком хаотическом состоянии.
2. Широко развито в этих пропедевтических курсах пользование опытом. Например, предлагают учащимся при помощи опыта убедиться, что если на круге отложить в разных местах равные хорды, то центральные углы, соответствующие этим хордам, равны; что если вырезать из бумаги два треугольника так, чтобы у них было по две равных стороны и равные углы между этими сторонами, то такие треугольники равны; что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым; что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым; что касательная к кругу перпендикулярна к радиусу, идущему в точку касания, что длина окружности в 3,14 раза больше длины диаметра и т. д. и т. д.
Такое пользование опытом является, как это уже указывалось выше, ошибкою. Убедиться в необходимости того или иного свойства, как то требуют авторы учебников, учащиеся из этих опытов не могут. Они в некоторых случаях готовы признать неизбежность указываемых свойств потому, что в этих случаях имеет место некоторая симметрия или определенный способ получения фигуры, которые влекут за собою это свойство, как ближайшее следствие. Так, например, неизбежность равенства центральных углов круга, соответствующих равным хордам, есть ближайшее следствие симметрии круга относительно центра. Учащиеся полусознательно это чувствуют и, в силу этого, соглашаются признать необходимость этого свойства. Но опыт здесь не причем, и преподаватель или учебник, заставляя проделывать вышеуказанные опыты, вносят в этот вопрос нечто совершенно лишнее. Следовало бы, отбросив ненужный здесь опыт, постараться привести в отчетливость представление симметрии круга относительно центра, откуда непосредственно и получат учащиеся указанное свойство центральных углов. В других случаях (например, сумма внутренних углов треугольника или длина окружности и т. п.) ученики просто на веру принимают то, в чем советует убедиться учебник, а опыт является лишь некоторой иллюстрацией того, что практика не очень расходится с теориею. Выполняя ряд таких опытов, ученики, в сущности, не учатся геометрии, ибо эта работа не свойственна геометрии.
Вспомним, что это накопление знаний достигается в наших пропедевтических курсах при помощи широкого использования опытов. Вот обычная схема обучения: сделай то-то и то-то (например, вырежь из бумаги треугольник, отрежь его углы и сложи их) из этого убедись в том-то и том-то (убедись, что, например, сумма внутренних углов треугольника = 2d). Уже тот факт, что ученикам здесь сообщается требуемое свойство, указывает на ненормальность и нежелательность этой схемы. А результатом ее очень частого применения явится то, что ученик станет запоминать сообщаемые ему факты, опираясь на свою словесную память. Опять, следовательно, как и встарь, обучение геометрии будет опираться на простое заучивание.
Содержание рубрики: методические руководства, диссертации и сборники статей, посвященные преподаванию геометрии в основной и старшей школе.
Абрамов А. М. Теоретическое основы курса геометрии восьмилетней школы. — 1975 Абрамов А. М. Теоретическое основы курса геометрии восьмилетней школы : дис. . канд. пед. наук / Акад. пед. наук СССР. Научно-исслед. ин-т содержания и методов обучения ; науч. рук. А. Н. Колмогоров. — М., 1975. — 171 с. — Библиогр.: с. 165—171 (94 назв.). Алборов С. А. Вопросы измерения площадей и объемов в старших классах средней школы. — 1965 Алборов С. А. Вопросы измерения площадей и объемов в старших классах средней общеобразовательной школы : дис. . канд. пед. наук / Акад. пед. наук РСФСР. Научно-исслед. ин-т общего и политехн. образования ; науч. рук. А. И. Фетисов. — М., 1965. — [1], 222 с. — Библиогр.: с. 206—221 (261 назв.). Александров А. Д. Избранные труды. Педагогические статьи разных лет. — 2016 Александров А. Д. Избранные труды. Педагогические статьи разных лет / [сост. А. Л. Вернер, В. И. Рыжик]. — СПб. : СМИО-Пресс, 2016. — 215 с., [1] л. портр. — Библиогр. в предисл., в конце статей и прим. Артемов А. К. Некоторые вопросы построения курса геометрии в средней школе. — 1952 Артемов А. К. Некоторые вопросы построения курса геометрии в средней школе : дис. . канд. пед. наук / Калинин. гос. пед. ин-т им. М. И. Калинина. — Калинин, 1952. — [1], III, 314 с. — Библиогр.: с. 303—312 (104 назв.). Барков И. Я. Элементы аналитической геометрии в средней школе. — 1948 Барков И. Я. Элементы аналитической геометрии в средней школе : дис. . канд. пед. наук / Челябин. гос. пед. ин-т ; науч. рук. М. К. Гребенча. — Челябинск, 1948. —[4], 235 с., [3] л. вкл. — Библиогр.: с. 233—235 (44 назв.). Барчунова Ф. М. и др. Уроки геометрии в VIII классе (второе полугодие). — 1974 Барчунова Ф. М. и др. Уроки геометрии в 8 классе : (второе полугодие) : пособие для учителей / Ф. М. Барчунова, Ю. М. Колягин, П. Б. Ройтман ; под ред. Ю. М. Колягина. — М. : Просвещение, 1974. — 80 с. Барчунова Ф. М. и др. Уроки геометрии в VIII классе (первое полугодие). — 1974 Барчунова Ф. М. и др. Уроки геометрии в 8 классе : (первое полугодие) : пособие для учителей / Ф. М. Барчунова, Ю. М. Колягин, П. Б. Ройтман ; под ред. Ю. М. Колягина. — М. : Просвещение, 1974. — 96 с. Баум И. В. Система изучения тригонометрии на векторной основе в курсе алгебры средней школы. — 1965 Баум И. В. Система изучения тригонометрии на векторной основе в курсе алгебры средней школы : дис. . канд. пед. наук / Акад. пед. наук РСФСР. Научно-исслед. ин-т общего и политехн. образования ; науч. рук. В. И. Левин. — М., 1965. — 205 с. — Библиогр.: с. 191—205 (209 назв.). Бескин Н. М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания. — 1950 Бескин Н. М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания. — М. : Учпедгиз, 1950. — 140 с. — Библиогр. в прим. Борисов Н. И. Основные средства и методы активизации работы учащихся в процессе изучения геометрии. — 1962 Борисов Н. И. Основные средства и методы активизации работы учащихся в процессе изучения геометрии : дис. . канд. пед. наук / Научно-исслед. ин-т общего и политехн. образования Акад. пед. наук РСФСР ; науч. рук. И. Н. Шевченко. — М., 1962. — [3], 315 с. — Библиогр.: с. 291—311 (174 назв.). Василевский А. Б. Устные упражнения по геометрии, 6—10 классы. — 1983 Василевский А. Б. Устные упражнения по геометрии : 6—10 классы : пособие для учителей. — Минск : Нар. асвета, 1983. — 80 с. Владимирский Г. А. Система упражнений на графическом материале в преподавании геометрии. — 1947 Владимирский Г. А. Система упражнений на графическом материале в преподавании геометрии : дис. . канд. пед. наук. — Б. м., 1947. — [1], 425 с. — Библиогр.: с. 425 (20 назв.). Владимирский Г. А. Стереоскопические чертежи по геометрии. — 1962 Владимирский Г. А. Стереоскопические чертежи по геометрии : (альбом). — М. : Учпедгиз, 1962. — 176 с. Волгина В. Ф. Графовые модели в методике преподавания математики. — 1976 Волгина В. Ф. Графовые модели в методике преподавания математики : дис. . канд. пед. наук / Научно-исслед. ин-т содержания и методов обучения АПН СССР ; науч. рук. И. С. Бровиков. — М., 1976. — 216, [1], 17—52 с. — Библиогр.: с. 158—174 (219 назв.). Вольф Ф. Х. Практическая геометрия: пособие для преподавателей. — 1923 Вольф Ф. Х. Практическая геометрия : пособие для преподавателей. — М. ; Пг. : Госиздат, 1923. — 79 с. Вопросы методики преподавания стереометрии: сб. статей. — 1961 Вопросы методики преподавания стереометрии : сб. статей / Горьк. гос. пед. ин-т им. А. М. Горького ; под ред. В. В. Репьева. — Горький, 1961. — 160 с. — (Ученые записки ; вып. 32). — Библиогр. в конце статей. Галкина М. С. и др. Уроки геометрии в VI классе (второе полугодие). — 1973 Галкина М. С. и др. Уроки геометрии в VI классе : (второе полугодие) : пособие для учителей / М. С. Галкина, Ю. М. Колягин, П. Б. Ройтман. — М. : Просвещение, 1973. — 80 с. Галкина М. С. и др. Уроки геометрии в VI классе (первое полугодие). — 1972 Галкина М. С. и др. Уроки геометрии в VI классе : (первое полугодие) : пособие для учителей / М. С. Галкина, Ю. М. Колягин, П. Б. Ройтман. — М. : Просвещение, 1972. — 96 с. Галкина М. С. и др. Уроки геометрии в VII классе (второе полугодие). — 1973 Галкина М. С. и др. Уроки геометрии в VII классе : (второе полугодие) : пособие для учителей / М. С. Галкина, Ю. М. Колягин, П. Б. Ройтман. — М. : Просвещение, 1973. — 80 с. Галкина М. С. и др. Уроки геометрии в VII классе (первое полугодие). — 1973 Галкина М. С. и др. Уроки геометрии в VII классе : (первое полугодие) : пособие для учителей / М. С. Галкина, Ю. М. Колягин, П. Б. Ройтман. — М. : Просвещение, 1973. — 128 с.
Всё чаще мы говорим о качестве образования, которое оценивается по уровню полученных знаний, по сформированности творческих качеств личности (компетенций), направленных на выполнение социальных и профессиональных задач.
Федеральный государственный образовательный стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования: предметные, метапредметные и личностные. Мне бы хотелось выделить прежде всего метапредметные результаты , на которые я делаю акцент при изучении геометрии[1] :
умение самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учёбе и познавательной деятельности, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности;
умение самостоятельно планировать пути достижения целей, в том числе альтернативные, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;
умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата, определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией;
умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения;
умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы;
умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач;
умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками; работать индивидуально и в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учёта интересов; формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;
умение осознанно использовать речевые средства в соответствии с задачей коммуникации для выражения своих чувств, мыслей и потребностей; планирования и регуляции своей деятельности; владение устной и письменной речью, монологической контекстной речью;
формирование и развитие компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий (далее ИКТ– компетенции);
Геометрия , являясь неотъемлемой частью математического образования , имеет целью общеинтеллектуальное и общекультурное развитие учащихся. Развитие учащихся средствами геометрии направлено на достижение научных, прикладных и общекультурных целей математического образования. И эти цели предполагают всестороннее развитие мышления детей и прежде всего геометрического мышления, развитие пространственных представлений у учащихся ( это цель для геометрии специфическая).
Геометрическое мышление- это мышление понятиями , высокой степени абстракции, так как представляет собой совокупность мышления пространственного и мышления логического.
Геометрия как школьный предмет всегда считался одним из самых сложных в школьном курсе. Это подтверждают результаты сдачи ОГЭ обязательных предметов в Московской области :
Основные методические принципы:
правильная последовательность изложения материала. Движение от простого , частного к общему , более сложному;
непрерывный контроль усвоения полученного материала – обратная связь;
ошибки и неточности нельзя пытаться скрыть и замолчать, их необходимо публично проанализировать;
отметка не карающий меч правосудия, а один из методических инструментов повышения эффективности процесса обучения;
любой серьёзный рубежный контроль (зачёт, экзамен, итоговая контрольная работа или проверочная работа по теме) должен быть тщательно подготовлен;
выбор методических приёмов должен соответствовать личным качествам.
Цели урока таковы [3]:
обучающая – это новый материал, который будет изложен на уроке;
развивающая- какие свойства личности получат своё логическое развитие на этом уроке, какие конкретные навыки и умения продолжат своё развитие на нём;
воспитательная- развитие внимания, критичности мышления, логического подхода, алгоритмизация мышления при решении задач, умение моделировать реальные ситуации;
преподевтическая-новое понятие вводится сначала на интуитивно-наглядном уровне, а потом даётся чёткое определение.
Типы и виды уроков по геометрии [4]:
Уроки изучения нового материала. На таких уроках происходит введение и осмысление нового материала, варианты уроков:
урок теоретических или практических самостоятельных работ(исследовательского типа), составляю сама или беру из книги Л.И. Боженковой [2];
Уроки совершенствования знаний, умений и навыков :
урок самостоятельная работа ( с применением технологии полного усвоения);
урок практических работ;
Уроки обобщения и систематизации изученного материала я провожу в форме семинара.
Уроки контроля по своей форме могут быть различны:
Писменная работа( зачёт, контрольная работа);
Комбинированные уроки.
При построении своего урока я ни только учитываю цели урока , но и педагогические технологии применяемые на уроке . Структура моего урока определяется типом урока [4] и особенностями построения урока по той или иной педагогической технологии.
Педагогические технологии , используемые на уроках геометрии :
технология критического мышления через чтение и письмо;
технология проблемного обучения;
технология развивающего обучения;
технология полного усвоения;
технология полного усвоения;
технология интенсификации обучения на основе схемных и знаковых моделей учебного материала(В.Ф.Шаталов).
Приёмы , используемые на уроках геометрии для формирования познавательных действий[2]:
приём формирования утверждения , обратного или противоположного данному;
приём составления систематизационной схемы взаимосвязи понятий;
приём выполнения чертежа к задаче(теореме).
Виды деятельности на уроке геометрии :
устная фронтальная работа – в ней участвуют не менее 30% класса, проводится только сидя. Начинается опрос с хороших учеников, для того , чтобы в начале прозвучали чёткие и грамотные ответы. Вопросы должны быть сформулированы так , чтобы ответ был кратким , а сам вопрос лаконичным и понятным для учеников. Самое эффективное место фронтального опроса- начало урока и служит для актуализации знаний. Чтобы выставить объективную оценку я активных участников фронтальной работы спрашиваю в течение всего урока или выставляю оценку непосредственно за данный вид работы.
письменная фронтальная работа- охватывает весь класс и занимает на уроке от 10 до 30 минут;
опрос у доски – я не вызываю к доске для решения задач по геометрии учеников , заведомо которые не справятся с данной задачей, я считаю ученик отвечает у доски ни столько для учителя и получения оценки , сколько для остальных школьников и служит неким эталоном ответа и записи решения геометрической задач. Следует помнить , что доска- это один из инструментов , помогающих объяснению нового материала или отработке сложных умений и навыков;
индивидуальная работа- работа с дидактическим материалом или на доске я выписываю задания за выполнение которых ученик может получить оценку и вызываю к доске средних или слабых учеников. При этом каждый обучающейся выбирает свой темп работы и может выполнять задания самостоятельно или работая с частью класса и отвечающим у доски.
Одним из важнейших этапов изучения геометрии в школе я считаю создание информационной основы обучения, базы которую составляет содержание школьного курса геометрии, развитие умения работать с теоретическим материалом , так необходимым для решения задач. Вся работа с теоретическим материалом фиксируется в специальной Теоретической тетради.
Цели и задачи Теоретической тетради :
Формировать и развивать умение учащихся работать с теоретическим материалом по математике;
иметь под рукой справочник по математике с пройденным материалом, необходимый для подготовки к зачётам, контрольным работам, переводным экзаменам, ГИА;
выполнять поисковые задания;
выполнять задания по систематизации и классифицировании математических объектов и понятий;
выполнять задания по преобразованию информации по предмету из учебника в новые формы, удобные для запоминания;
формировать положительные мотивы учения, стимулирующие познавательную активность ;
формировать сознательное отношение к учебной работе;
развивать аккуратность и ответственность.
Навыки работы с учебной информацией , её обработка очень важны для формирования познавательных учебных действий . В таблице представлена связь типов моделей учебной информации и познавательных универсальных действий [2]:
Типы моделей представления учебной информации в обучении геометрии
Познавательные УД для преобразования учебной информации школьного курса геометрии
схемы определений и понятий;
схемы поиска решений задачи, доказательства теоремы;
знаковая модель записи доказательства теоремы, решения задачи;
составление схемы определения понятия;
составление схемы поиска решения задачи(доказательства теоремы);
выполнение записи доказательства теоремы( решения задачи)
поисковые области понятий, связанных отношениями;
наборы объектов для подведение под понятия;
таблицы , информационные схемы;
составление поисковой области;
составление набора объектов для подведение под понятие;
составление информационной схемы
классификационные и систематизационные схемы;
составление классификационной схемы
предписания для решения геометрических задач определённого класса
составление предписания для решения задач определённого класса
И хотелось бы остановиться на используемой мной системе подготовки к тематической контрольной работе. Преподавание в средней школе отличается тотальной системой контроля как крупных , так и самых мелких ступеней продвижения вперёд. И это особенно присуще урокам геометрии. Мы не можем решать задачу без предварительного повторения теории , используемой в ней. И на каждом уроке я спрашиваю детей формулировки определений , свойства и признаки геометрических объектов. Основная цель любого вида контроля – получение учителем информации об уровне усвоения полученных знаний и своевременная коррекция ситуации. Для получения хороших результатов контрольная или проверочная работы должна быть хорошо подготовлена. Для этого я строю последовательность учебных занятий по технологии полного усвоения. Приведу пример блока уроков :
Решение задач. Самостоятельная работа+ этап коррекции и развития;
Зачётное занятие. Теоретический вопрос без доказательства+ теоретический вопрос с доказательством или без доказательства+ 1-2 задачи ;
Урок обобщения , коррекции и развития. Разбор заданий , с которыми большинство учащихся не справилось + самостоятельное решение 1 задачи ( базового или повышенного уровня, зависит как учащийся выполнил зачётные задания);
Тематическая контрольная(или проверочная) работа.
Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии/ Л.И. Баженкова.-М.:Бином. Лаборатория знаний, 2013.
Е.В.Юрченко Живая методика математики-М.:МЦНМО, 2016.
Новая дидактика современного урока в условиях введения ФГОС ООО: Методическое пособие /О.Н.Крылова, И.В.Муштавинская .-СПб.:КАРО,2013.
Геометрия.Планируемые результаты.Система заданий.7-9 классы: пособие для учителей общеобразовательных организаций/Т.М.Мищенко-М.:Просвещение,2014.
Впервые мысль о необходимости начального практического этапа обучения геометрии была высказана еще Ж. Даламбером. Но лишь в конце XX в. усиление внимания к изучению геометрии детьми 7–12 лет: развитие их пространственных представлений и воображения, геометрической интуиции, графических навыков, глазомера, изобретательности и др., стало одной из мировых тенденций образования. Геометрия здесь – это естественнонаучный предмет, и основными методами получения знания являются наблюдение, измерение, эксперимент, использование которых предполагает обращение к деятельности органов чувств, опору на чувственные формы отражения действительности и практические действия.
Предлагаемый курс поможет учителю в освоении методики преподавания наглядной геометрии, основанной на деятельностном подходе.
Лекция 1. Проблема пропедевтики изучения геометрии и анализ путей ее решения в прошлом и настоящем
Лекция 2. Особенности психического развития детей 10–12 лет в связи с обучением геометрии
Лекция 3. Содержание курса наглядной геометрии и основа методики его изучения
Контрольная работа № 1
Лекция 4. Геометрическая деятельность: учим наблюдать и развиваем пространственное воображение
Лекция 6. Методика организации геометрической деятельности учащихся на примере формирования представлений о симметрииКонтрольная работа № 2
Лекция 7. Приоритетные формы организации учебной работы и формы контроля учебных достижений
Лекция 8. Компьютерные технологии при изучении наглядной геометрии
Итоговая работа
Лекция 1
Проблема пропедевтики изучения геометрии и анализ путей ее решения в прошлом и настоящем
У истоков начальной геометрии
Идея пропедевтического курса геометрии, как это ни удивительно, — идея даже не XX столетия. Первая постановка вопроса о необходимости начального этапа в обучении геометрии принадлежит еще Ж. Даламберу, а в России впервые об этом заговорил в конце XVIII в. С.Е. Гурьев, член Российской Академии наук, автор учебников по математике, много внимания уделявший вопросам методики и методологии математики. Мысли о необходимости предварительного, до начала изучения систематического курса, ознакомления учащихся с геометрическими объектами и их свойствами высказывались и Н.И. Лобачевским. Необходимость такого введения в мир геометрии обосновывалась теми трудностями, которые испытывали все, кто приступал к ее изучению.
Хотите узнать больше?
Пропедевтика (греч. propaideuo — предварительно учу) — предварительное упражнение, подготовительный вводный курс в к.-л. науку, изложенный в систематизированной и сжатой форме. Предшествует более обстоятельному изучению соответствующей отрасли знания. Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова. — 4-е изд. — М.: Политиздат, 1981.
Казалось, что решение проблемы было найдено с введением пропедевтического изучения геометрии для школьников 10–12 лет, имевшее задачей усвоение важнейших первоначальных геометрических понятий, которое дало бы возможность уже сравнительно свободно и естественно перейти к постепенному введению дедукции. Однако овладение учащимися первоначальными геометрическими понятиями к готовности к изучению систематического курса не привело. При этом уже в середине 60-х годов в работах А.М. Пышкало отмечалось, что основная причина этого состоит в неверно выбранной цели преподавания геометрии, а именно, как это ни странно, в развитии логического мышления [11]. Давайте попытаемся разобраться в этой проблеме и мы.
Два полушария, две геометрии
Хотите узнать больше?
Найдите в Википедии статью о межполушарной асимметрии головного мозга.
Из Википедии: Межполушарная асимметрия — одна из фундаментальных закономерностей организации мозга не только человека, но и животных. Проявляется не только в морфологии мозга, но и в межполушарной асимметрии психических процессов. В левом полушарии сконцентрированы механизмы абстрактного, а в правом — конкретного образного мышления.
1) он впервые узнает геометрические факты;
2) он должен усвоить геометрическую методологию (определения, логические доказа- тельства).
Геометрия в традиционных учебниках для 5–6-х классов
От пропедевтики к наглядной геометрии
Что же получается? Поскольку центр тяжести при изучении систематического курса смещен в сторону изучения оснований геометрии, то и пропедевтические курсы неизбежно ориентируются на объекты и методы исследования именно этой составляющей курса. При этом геометрический материал традиционных учебников математики 5–6-х классов, как мы показали, трудно даже назвать пропедевтическим в силу незначительности его объема, разрозненности, подчинения арифметико-алгебраической составляющей курса и больших перерывов в его изучении.
Анализ состояния школьной практики показывает низкий уровень геометрических знаний учащихся, приступающих к изучению систематического курса, и особенно ярко это проявляется на начальном его этапе. В то же время овладение простейшими геометрическими понятиями не влияет сколько-нибудь заметно на развитие воображения и геометрического мышления школьников, недостатки в формулировании которых ощущаются на всем протяжении изучения геометрии. Таким образом, приходится делать вывод, что идея введения пропедевтического курса для овладения простейшими понятиями геометрии себя не оправдала.
Однако на протяжении многих лет существовал и другой подход к решению проблемы досистематического изучения геометрии, согласно которому решение проблемы надо искать на пути создания широкого круга геометрических представлений, развития воображения, геометрического видения и мышления школьников. При этом пропедевтический и систематический курсы должны существенно отличаться друг от друга как по содержанию, так и по методике изучения. Особо подчеркивается значение изучения наглядной геометрия. Эта идея начала стремительно развиваться в начале XX века, и первые ее реализации сначала имели чисто практическую, прикладную направленность.
Хотите узнать больше?
В интернете можно скачать: Астряб А.М. Наглядная геометрия. — Москва–Ленинград: ГИЗ, 1923.
Этот подход продолжает сохранять актуальность и для современной школы; он заслуживает того, чтобы мы познакомились с ним более подробно.
Основные идеи курса наглядной геометрии П.А. Карасева
Каковы же задачи изучения наглядной геометрии?
1. Развитие геометрических представлений учащихся посредством рисования геометри- ческих фигур и тел, изготовления их моделей.
2. Усвоение начальных приемов черчения с помощью линейки, угольника и циркуля.
3. Ознакомление со способами нахождения длин, углов, площадей и объемов.
4. Усвоение некоторых элементарных сведений по геометрии, полезных в практической жизни и необходимых при изучении других предметов.
5. Активизация мышления путем постановки и решения геометрических задач.
6. Введение начал логического мышления в степени и форме, доступных возрасту уча- щихся.
7. Развитие речи — письменной и устной — в области, относящейся к пространственным представлениям детей.
Автор не ограничивается простейшими фигурами (прямая, отрезок, угол и др.), а считает необходимым познакомить учащихся с основными плоскими фигурами (например, среди них есть трапеция и параллелограмм) и их важнейшими свойствами, с пространственными телами. Он не ограничивается измерением длин, площадей и объемов этих геометрических объектов — это только одна из составляющих предлагаемого им курса. И надо отметить, что очень интересная составляющая; например, рассматриваются понятия равносоставленности и равновеликости, вычисляются площади трапеции, ромба, треугольника, причем не по выведенному правилу или формуле, а путем перекраивания этих фигур в равновеликие прямоугольники.
В предложенной методике активно и интересно используются свойства клетчатой бумаги для перерисовывания фигур, их построения, перекраивания, измерения длины и площади и др. Помимо построений на клетчатой бумаге, учащиеся знакомятся и с построениями на гладкой бумаге с использованием чертежных инструментов.
Активно используются различные виды моделирования, прежде всего из бумаги, доступные детям. Одним из типов задач здесь является построение фигур путем перегибания листа бумаги. Полоски бумаги служат моделями отрезков прямых; из полосок образуется подвижная модель угла и др. Еще один вид моделирования — построение всевозможных фигур из частей квадрата. Комбинируя и составляя фигуры, дети учатся различать их, называть элементы, находить равные элементы, составлять из острых углов прямые, конструировать заданные фигуры.
Интересны предлагаемые игры, — например, глазомерная игра с квадратами, которая заключается в том, что, глядя на фигуру и положив рядом один квадрат, учащиеся соображают, сколько таких квадратов надо взять, чтобы закрыть всю фигуру, после чего они проверяют себя, выложив фигуру квадратами. В этой игре не только развивается глазомер, но и формируется начальное представление о площади фигуры, о равновеликости фигур.
Отбор содержания и методика его изучения происходят в соответствии со следующими принципами.
1. Процесс обучения должен зависеть не только от содержания геометрического материала, но и от психологических особенностей детского возраста, от общих целей образования.
2. Основными методическими принципами являются наглядность и максимальное количество практических упражнений конструктивного и изобразительного характера.
3. В основу должен быть положен индуктивный метод, базирующийся на наглядном и практическом изучении конкретных фактов и последующем их обобщении, и отказ от дедуктивно-логического метода доказательства геометрических положений.
4. Построение курса и метод его преподавания должны идти в развитии геометрического мышления от простого к сложному, от конкретного к отвлеченному.
5. Движение — важнейший фактор как создания геометрических форм, так и уяснения их свойств.
6. В учебной работе необходимо задействовать все виды памяти: зрительную, моторную, слуховую.
8. Главным критерием усвоения геометрии должно быть умение (умение построить фигуру, описать ее построение и др.).
К сожалению, многие идеи, высказанные П.А. Карасевым, остались не реализованными. Причину тому надо искать, по-видимому, в недостаточном осознании в теории обучения роли образных компонент в структуре мышления, их значения для развития мышления логического. Кроме того, школа тех лет ориентировалась в основном на репродуктивные методы обучения и не была готова к организации самостоятельной исследовательской деятельности учащихся по изучению геометрических объектов.
Наглядная геометрия как часть современной системы обучения математике
Переориентация современной методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения потребовала, во-первых, пересмотра содержания геометрического образования и, во-вторых, нового структурирования всей геометрической линии. Подход, разработанный в отделе математического образования ИОСО РАО (И.Ф. Шарыгин, Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.), предполагает три основных концентра изучения геометрии в школе: наглядно-эмпирическая геометрия (1–6-е классы), систематический курс планиметрии (7–9-е классы), систематический курс стереометрии (10–11-е классы). Важным отличием такой структуры школьного геометрического образования от предшествующей является возможность овладения содержанием на двух уровнях — наглядно-эмпирическом (1–6-е классы) и систематическом (7–11-е классы). В качестве основной цели этапа, связанного с младшим подростковым возрастом, выдвигается развитие пространственных представлений и воображения, геометрической интуиции, изобразительно-графических навыков, глазомера, изобретательности.
И вот в конце XX в. снова вспомнили о наглядной геометрии. И в очередной раз этому термину было придано иное звучание, прежде всего благодаря влиянию деятельностного подхода в обучении и идее усиления развивающей функции обучения. Современные авторы под наглядной геометрией понимают изучение плоских фигур и пространственных тел, которое основано на предметной деятельности учащихся, опирается на их жизненный опыт и пространственные представления, полученные из ближайшей природной и социальной среды, изучение, которое вовлекает в работу преимущественно наглядно-образное мышление учащихся, развивая и обогащая его. Изучение наглядной геометрии преследует цель формирования опыта геометрической деятельности, обеспечивающего подготовку к изучению систематического курса геометрии, и решает следующие задачи:
- ознакомление с геометрическими фигурами и их свойствами;
- знакомство с геометрическими методами исследования;
- приобретение изобразительно-графических умений, измерительных навыков;
- развитие пространственных представлений, геометрического мышления, творческих способностей.
Идеология И.Ф. Шарыгина
Основоположником возрождения наглядной геометрии стал И.Ф. Шарыгин. Он рассматривал ее как часть математического образования, способную осуществить развивающие функции обучения, вооружить учащихся геометрическим методом познания, внести вклад в общекультурное развитие учащихся, сформировать у них положительное эмоционально-ценностное отношение к миру.
Важна мысль и о многоуровневом решении задачи, когда решение может быть результатом как предметной, так и образной или мыслительной деятельности. Каждый ученик, справившись с задачей в соответствии со своим уровнем развития, получит чувство удовлетворения от ее решения. При этом это требование надо понимать не только в смысле отбора задач, а и в смысле ознакомления учителя с приемами практического, предметного решения тех задач, которые он привык решать или работой воображения, или путем логических рассуждений. Проблема заключается не в том, что задачи не содержат в себе возможностей решения посредством выполнения практических, реальных действий, а в том, что, даже если сюжет задачи прямо указывает на такую возможность, учитель в лучшем случае пытается добиться от учащихся ее мысленного, образного решения, не понимая того, что мысленно повторить ребенок может только действие, неоднократно выполненное им ранее практически.
И.Ф. Шарыгин высказывает положение об отличии курса геометрии 5–6-х классов от курса 1–4-х классов, которое заключается в увеличении объема изучаемых геометрических объектов и отношений, введении различных классификации, увеличении доли графических упражнений и заданий, выполняемых в визуальном плане, введении новых методов исследования. Задача курса геометрии 5–6-х классов — заинтересовать, привлечь внимание учащихся к математике, показав многогранность и разнообразие ее проявлений. Связано это с тенденцией к снижению интереса к учению на рубеже перехода в основную школу.
Подведем итоги
1. Основной целью изучения геометрии на досистематическом этапе является создание широкого круга представлений о геометрических объектах, их свойствах и основных фактах геометрии, развитие пространственного воображения, геометрической зоркости и навыков моделирования геометрических объектов. В 5–6-х классах учащийся должен накопить значительный запас геометрических знаний в виде фактов, понятий, свойств, способов действий с геометрическими объектами, которые в 7–9-х классах он будет приводить в систему, выстраивать в теорию, основанную на аксиоматическом методе и дедукции. Реализовать эту цель возможно в ходе изучения наглядной геометрии.
2. Отбор содержания и методика его изучения должны быть адекватны возрастным психологическим особенностям учащихся 5–6-х классов. Нельзя забывать и о непрерывности геометрического образования, о геометрической целесообразности и значимости. Содержание распределяется по двум линиям: геометрические фигуры и их свойства; измерение геометрических величин. Логикой изложения содержания является сочетание индуктивного подхода, основанного на приобретенном опыте, и элементов дедукции. В основе изучения содержания лежит наглядно-эмпирический метод познания. Он включает в себя визуальное и практическое изучение геометрических объектов, представленных в предметном и графическом виде, а также в виде мысленных образов. Главным же критерием усвоения содержания является умение (умение построить фигуру, описать ее свойства и т.п.).
Проведите анализ учебников математики для 5–6-х классов (например, того, по которому вы работаете) по следующему плану:
1. Выпишите содержание геометрической линии курса: основные понятия, факты, виды деятельности.
2. Определите, представляет ли геометрическое содержание систему знаний.
3. Определите долю геометрических заданий в общей системе упражнений учебника.
4. Насколько разнообразны геометрические задания по содержанию и видам деятельности?
5. Выпишите наиболее типичные геометрические задания.
Литература
2. Венгер Л.А. О способах зрительного восприятия формы предметов в раннем и дошкольном детстве // Развитие познавательных и волевых процессов у дошкольников: Сб. статей. — М., 1965.
3. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. школы. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1988.
4. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. и др. Математика: Учеб. для 6 кл. сред. школы. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1992.
5. Карасев П.А. Элементы наглядной геометрии в школе. — М.: Учпедгиз, 1955.
6. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. — 7-е изд. — М.: Просвещение, 2004.
7. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. — 7-е изд. — М.: Просвещение, 2004.
8. Математика: рабочая тетрадь для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Е.А. Бунимович и др. — М.: Просвещение, 2004.
9. Математика: рабочая тетрадь для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Е.А. Бунимович и др. — М.: Просвещение, 2004.
10. Основные результаты международного исследования качества мат. и ест.-науч. образования TIMSS-2004. — М.: НФПК, ИСМО РАО, 2004.
11. Пышкало А.М. Геометрия в 1–4 классах. — изд. 2-е, испр. и доп. — М.: Просвещение, 1968.
12. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе, 1993, № 4.
13. Шарыгин И.Ф. Некоторые размышления по поводу школьного курса геометрии // Учительская газета, 1992, № 20, с.11–13.
14. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для 5–6 классов. — М.: Дрофа 1998.
Читайте также: