Методика изучения теорем и аксиом в школе на примере стереометрии

Обновлено: 30.06.2024

Геометрические тела, как и все геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Геометрическое тело – часть пространства, отделенное от остальной части пространства границей этого тела.

тетраэдр гексаэдр октаэдр икосаэдр додекаэдр

Пифагорейская философская школа VI – V вв. до нашей эры Пифагор Самосский 570 — 490 гг. до н. э.

Аксиомы стереометрии Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Аксиомы стереометрии

Некоторые следствия из аксиом стереометрии

Теорема Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна . Доказательство. единственная

Теорема . Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Доказательство. единственная

Способы задания плоскости Через три точки не лежащие на одной прямой. Через прямую и не лежащую на ней точку Через две пересекающиеся прямые

Задание. Назовите плоскости, в которых лежат прямые . Назовите точки пересечения прямой с плоскостью . Назовите точки, лежащие в плоскостях и . Решение.

Задача. Две прямые пересекаются в точке . Доказать, что все прямые, которые пересекают данные прямые и не проходят через точку , лежат в одной плоскости. Доказательство.

Задача. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? Доказательство. а) б) утверждение неверно утверждение верно

Задача. Пусть стороны и треугольника лежат в плоскости . Доказать, что и медиана лежит в плоскости . Доказательство.

Канд. физ-мат. наук, доцент ____________ Лебедева М.Т.

1. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения теорем и их доказательства (на примере признака параллельности прямой и плоскости)

1.1 Методика изучения аксиом стереометрии

1.2 Методика изучения параллельности прямых и плоскостей

2. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости

При изучении аксиом важно, чтобы учащиеся поняли абстрактный характер геометрических понятий, увидели процесс абстрагирования в действия и научились замечать его в окружающей действительности.

Изучая геометрические понятия “линия”, “точка”, “прямая”, “плоскость” и др., учитель акцентирует внимание учащихся на том, что каждое из них – результат абстрагирования (отвлечения) от реальных объектов.

Например, линия границы на карте – полоса определённой ширины (существенное свойство границы) для пограничников.

Как видно, в зависимости от цели рассмотрения в одном случае существенными свойствами границы являются одни свойства, а в другом – другие. В качестве примеров, позволяющих представить себе плоскость, выбираем ровную поверхность стола, гладкую поверхность озера, участок поля, простирающийся до горизонта.

В данном случае, как и для прямой, плоскость представления неограниченно продолженной во все стороны, т.е. абстрагируемся от свойства ограниченности каждого из перечисленных объектов.

1.1 Методика изучения аксиом стереометрии

Построение системы аксиом стереометрии происходит по двум направлениям: 1) переформулирование аксиом планиметрии для пространства; 2) добавление новых “специфических” аксиом стереометрии.

Первое из них осуществляется через принятие аксиомы: “В каждой плоскости пространства справедливы (выполнимы) все аксиомы планиметрии”. Второе состоит в формулировании нескольких аксиом принадлежности для пространства. В учебнике Погорелова использовано второе направление. Т.к. вводится новый геометрический образ – плоскость, то её основные свойства в пространстве выражают аксиомы:

С₁. Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

С₂. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

С₃. Если две различные прямые имеют общую точку. То через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы аксиом С.

Методическая схема изучения аксиом стереометрии

Разъяснить абстрактный характер геометрических понятий.

Разъяснить сущность аксиом и их роль в построении геометрии, сформулировать аксиомы.

Проиллюстрировать аксиомы на моделях.

Закрепить аксиомы путём логического анализа их формулировок.

Закрепить аксиомы в процессе их применения к выводу первых следствий геометрии принадлежности в пространстве, к решению задач.

Проиллюстрируем схему на аксиомах группы С.

Понятие плоскость, точка, прямая – абстрактны, т.к. в каждом из случаев отвлекались от свойств ограниченности, линейных размеров, возможной ширины, которыми обладали эти предметы в окружающей действительности.

Перечисленные свойства позволяют строить сечение многогранников, доказывать следствия, вытекающие из аксиом.

В качестве иллюстрации аксиом на модели воспользуемся рисунком куба, по которому учащиеся могут ответить на следующие вопросы: перечислить точки, принадлежащие плоскостям: (ABC),(AA₁B₁),(D₁C₁C),(A₁B₁C₁); назвать плоскости, которым принадлежат точки D₁,C,B₁,A,M,N; назвать линии пересечения плоскостей (AA₁D₁) и (ABC), (DD₁C₁) и (BB₁C₁); имеют ли они общие точки; можно ли провести плоскость через следующие пары прямых: AB и AD, A₁B₁ и BB₁, A₁D₁ и C₁C, BC и AA₁.

5. На рисунке изображены две различные плоскости a и b, имеющие общую точку A. Сколько общих точек имеют плоскости a и b?

Т.к. плоскости – неограниченны и используя аксиому С₂, получаем ответ: бесконечно много точек, расположенных на прямой, являющейся их линией пересечения.

Задача: Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.

По аксиоме С₃ пересекающиеся данные прямые задают положение одной из плоскостей в пространстве. В пространстве найдётся прямая, не принадлежащая данной плоскости (применяем аксиому С₁, по которой выбрав любую точку, не принадлежащую построенной плоскости, и точку пересечения данных прямых, строим искомую прямую). Такую прямую можно построить.

Роль аксиом в построении геометрии хорошо видна при доказательстве первых следствий, которые в действующем учебнике представлены в виде теорем.

Т.15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно построить плоскость, и притом только одну.

Для лучшего выделения всех предложений, используемых при доказательстве следствия, целесообразно доказательство оформить в виде таблицы с двумя колонками “утверждения” и “на основании”.

Прямая AB, точка С

Аксиома I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Если прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются

Аксиома С₃: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Единственность: $-ет a¢, проходящая через прямую AB и С. Þ aÇa¢ по прямой, которой принадлежат A,B,C.

Аксиома С₂ Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

A,B,C не лежат на одной прямой

Т.15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Т.15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствие из Т.15.2. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Выяснить, следствиями из каких аксиом являются сформулированные теоремы? (аксиома 1, аксиома С₃).

Учащимся необходимо объяснить, что доказательство приводится не только с целью убеждения в истинности какого-либо предположения, но и для того, чтобы свести данное предположение к ранее известным, показать, каким образом из аксиом, определений и уже доказанных теорем следует данное предположение.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Вопросы методики преподавания стереометрии: сб. статей. — 1961

Вопросы методики преподавания стереометрии : сб. статей / Горьк. гос. пед. ин-т им. А. М. Горького ; под ред. В. В. Репьева. — Горький, 1961. — 160 с. — (Ученые записки ; вып. 32). — Библиогр. в конце статей.

Вопросы методики преподавания стереометрии: сб. статей. — 1961

Закладок нет. Вы можете добавить закладку, нажав на иконку в правом верхнем углу страницы.

Обложка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

2. Изучение нового материала.
Учитель: Уже три года, начиная с 7 класса, мы с вами изучаем школьный курс геометрии.

Слайд 2. Вопросы учащимся:
- Что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур)
- Что такое планиметрия? ( Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости)
- Какие основные понятия планиметрии вы знаете? (точка, прямая)
Учитель: Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии.

Слайд 3. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. (Учащиеся делают запись в тетрадь)

Слайд 4. Основные понятия пространства: точка, прямая, плоскость.
Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола, стены, пола, потолка и т.д. Плоскость, как геометрическую фигуру, нужно представлять простирающейся во все стороны, бесконечной. Обозначаются плоскости греческими буквами α, β, γ и т. д.
1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.
2. Назовите прямые: лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.

Слайд 5. Об основных понятиях (точка, прямая, плоскость) мы имеем наглядное представление и определения им не даются. Их свойства выражены в аксиомах.
Наряду с точкой, прямой, плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела (куб, параллелепипед, цилиндр, тетраэдр, конус и др.), изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы.

Слайд 6. Вопросы учащимся:
- Какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках.
- Назовите предметы из окружающей вас обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

Слайд 7. Практическая работа ( в тетрадях)
1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).
2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА₁В₁С₁Д₁
3. Выделите цветным карандашом:
вершины А, С, В₁, Д₁; отрезки АВ, СД, В₁С, Д₁С; диагонали квадрата АА₁В₁В.
Обратить внимание учащихся на видимые и невидимые линии на рисунке; изображение квадрата АА₁В₁В в пространстве.

Слайд 8. Вопросы к учащимся:
- Что такое аксиома? Какие аксиомы планиметрии вы знаете?
В пространстве основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

Слайд 9. Учащиеся делают записи и рисунки в тетрадях.
Аксиома 1. (А1) Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Слайд 10. Отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.

Слайд 11. Аксиома 2. (А2) Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Слайд 12. Вопрос учащимся:
- Сколько общих точек имеют прямая и плоскость? (рис.1 – бесконечно много; рис.2 – одну)

Слайд 13. Аксиома 3. (А3) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

3. Закрепление изученного материала.

Слайд 14. Решение задач из учебника № 1(а,б), 2(а).
Учащиеся читают условие задач и по рисунку на слайде дают ответ с объяснением.

а) Р, Е ⊂ (АДВ) ⇒ РЕ ⊂ (АДВ) по А₂
Аналогично МК ⊂ (ВДС)
В,Д ⊂(АДВ) и (ВДС) ⇒ВД ⊂ (АДВ) и (ДВС)
Аналогично АВ ⊂ (АДВ) и (АВС)
С, Е ⊂(АВС) и (ДЕС) ⇒СЕ ⊂ (АВС) и (ДЕС)
б) С ⊂ (ДК) и (АВС) ⇒ ДК ∩ (АВС) = С. Т.к. точек пересечения прямой и плоскости не более одной ( прямая не лежит в плоскости), то это единственная точка.
Аналогично СЕ ∩ (АДВ) = Е.

В плоскости ДСС₁: Д, С, С₁, Д₁, К, М, R. В плоскости ВQС: В₁, В, Р, Q, С₁, М, С.

4. Подведение итогов урока. Вопросы учащимся:

Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах?
Что такое стереометрия?
Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.

5. Домашнее задание.

Урок 2. Некоторые следствия из аксиом

Цели урока:
- повторить аксиомы стереометрии и применение их при решении задач домашнего задания;
- ознакомить учащихся со следствиями из аксиом;
- научить применять следствия из аксиом при решении задач, а также закрепить умение применять аксиомы стереометрии при решении задач;
- повторить формулы вычисления площади ромба.

Ход урока

2. Проверка домашнего задания.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
1)Сформулируйте аксиомы стереометрии и оформите рисунки на доске.
2) №1 (в,г); 2(б,д).
Учащиеся устно с места по рисунку на слайде отвечают на вопросы домашнего задания.

3. Изучение нового материала. Рассмотрим и докажем следствия из аксиом.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.
Учащиеся записывают формулировку в тетради и, отвечая на вопросы учителя, делают соответствующие записи и рисунки в тетрадь.
- Что дано в теореме? (прямая и не лежащая на ней точка)
- Что надо доказать? (проходит плоскость; одна)
- Что можно использовать для доказательства? (аксиомы стереометрии)
- Какая из аксиом позволяет построить плоскость? (А1, через три точки проходит плоскость и притом только одна)
- Что есть в данной теореме и чего не хватает для использования А1 (имеем – точку; необходимы – еще две точки)
- Где построим еще две точки? (на данной прямой)
- Какой вывод можем сделать? ( через три точки строим плоскость)
- Принадлежит ли данной плоскости прямая? ( да)
- На основании чего можно сделать такой вывод? ( на основании А2: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости)
- Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и данную точку? (одну)
- Почему? (так как плоскость, проходящая через прямую и плоскость, проходит через данную точку и две точки на прямой, значит по А1 эта плоскость – единственная)

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
Учащиеся доказывают теорему самостоятельно, затем прослушиваются несколько доказательств и делаются дополнения и уточнения (если они необходимы)
Обратить внимание на то, что доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 1.

4. Закрепление изученного материала.
Задача 6 (из учебного пособия)
Учащиеся работают в тетрадях, предлагают свои варианты решения, затем сравнивают свое решение с решением на экране. Разбираются два случая: 1) точки не лежат на одной прямой; 2) точки лежат на одной прямой.

Слайд 6,7. Задача на слайде. Учащиеся читают условие, делают рисунок и необходимые записи в тетрадях. Учитель проводит фронтальную работу с классом по вопросам задачи. В ходе решения задачи повторяем формулы вычисления площади ромба.
Дано: АВСД – ромб, АС ∩ ВД = О, М ∉ α, (А,Д,О) ∈ α; АВ = 4см, ∠ А = 60º.
Найти: (В,С) ∈ α; Д ∈ (МОВ); (МОВ)∩(АДО); S_АВСД.
Решение:

Обратить внимание на тот факт, что если две плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

5. Подведение итогов:
- Сформулируйте аксиомы стереометрии.
- Сформулируйте следствия из аксиом.
Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомились со следствиями из аксиом и применили их при решении задач.
Выставление отметок (с комментариями)

6. Постановка домашнего задания:

Урок 3. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

Цели урока:
- повторить аксиомы стереометрии и их следствия;
- сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;
- учащиеся знают аксиомы стереометрии и их следствия и умеют применять их при решении задач.

Ход урока

2. Актуализация знаний учащихся.
1) Проверка домашнего задания по вопросам учащихся.
Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
2) Двое учащихся готовят у доски доказательство следствий из аксиом.
3) Двое учащихся (1 уровень) и двое учащихся (2 уровень) работают по карточкам индивидуального опроса. Слайд .
4) Фронтальная работа с учащимися.

Несколько точек, которые лежат в плоскости α; (А, В, С, Д)
Несколько точек, которые не лежат в плоскости α; (А₁, В₁, С₁, Д₁)
Несколько прямых, которые лежат в плоскости α; (АВ, ВС, СД, АД, АС, ВД)
Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α; (А₁В₁, В₁С₁, С₁Д₁, А₁Д₁, А₁С₁, В₁Д₁, АА₁, ВВ₁, СС₁, ДД₁)
Несколько прямых которые пересекают прямую ВС; (ВВ₁, СС₁)
Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС. (АД, АА₁ …)

Слайд 3.
Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:
1) если A ∈ a, a ∈ α, то A . α

Слайд 4.
Лежат ли прямые АА₁, АВ, АД в одной плоскости? (Прямые АА₁, АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости)

Слайд 5.
Учащиеся решают задачи № 7, 10, 14 из учебного пособия, делая соответствующие рисунки и записи на доске и в тетрадях.
Задача № 7.

2) Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?
Решение: По следствию 2:

2) Все прямые, проходящие через точку М, не обязательно лежат в одной плоскости. (см. пример со слайда 4)
Задача 10. Учащиеся решают задачу самостоятельно (аналогично задаче № 7). Учитель выборочно берет тетради на проверку и оказывает индивидуальную помощь в решении задачи учащимся, которые не справились с заданием.
Задача № 14. Решение: Все прямые а, b, с лежат в одной плоскости. В этом случае по следствию 2 можно провести плоскость, и через три прямые проходит одна плоскость.
Одна из трех прямых, например с, не лежит в плоскости α, определяемой прямыми а и b. В этом случае через заданные три прямые проходят три различные плоскости, определяемые парами прямых а и b, а и с, b и с.

Учащиеся делают рисунок и необходимые построения и записи в тетрадях. При построении учащиеся проговаривают аксиомы, результат построения записывают с помощью символики.

Задача.
Дано: куб АВСДА₁В₁С₁Д₁
т.М лежит на ребре ВВ₁, т.N лежит на ребре СС₁ и точка К лежит на ребре ДД₁
а) Назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.
б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?
в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС.
г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС.
Решение:

Слайд 7.
Для решения следующей задачи повторим формулу вычисления площади четырехугольника. Вывод формулы разбирают по слайду.

Учащиеся записывают формулу в тетрадь.

Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.
Вычислите площадь четырехугольника, если АС ⊥ ВД, АС = 10см, ВД = 12см.
Ответ: 60 см2

4. Подведение итогов урока.
- Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.
- Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?
- Что полезного для вас лично было на уроке?
- Что вызвало затруднения?
Учитель объявляет отметки за урок с комментарием.

5. Постановка домашнего задания:

Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.

Цели урока:
- провести контроль знаний аксиом стереометрии и их следствий;
- закрепить сформированный навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;
- повторить: теорему Пифагора и ее применение; формулы вычисления площадей равностороннего треугольника, прямоугольника.

Ход урока

2. Проверка домашнего задания.
Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
Двое учащихся готовят у доски решения задач из домашней работы - № 9, 15.
Остальные учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта по слайду.

3. Решение задач (фронтальная работа с классом)
Задача № 1.
Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см.

Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и МFС; б) МСF и АВС.
Найдите длину СF и SАВС
Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Вопросы к учащимся (при необходимости):
- Какие точки одновременно принадлежат обеим плоскостям. На основании какой аксиомы можно сделать вывод?
- Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треугольника.
- Сформулируйте теорему Пифагора.
- Почему можно применить теорему Пифагора в данном случае?
- Какими способами можно вычислить площадь равностороннего треугольника?
- Всегда ли можно построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой Д₁Р?
Как построить линию пересечения плоскости АД₁Р и АВВ₁?
Вычислите длину отрезков АР и АД₁, если АВ = а

Решение:
1. Д₁Р и ДВ лежат в одной плоскости Д₁ДВ. Пусть они пересекаются в точке К. Тогда точка к принадлежит прямой ДВ, а значит, К ∈ (АВС)
2. Точка Р принадлежит ВВ1, а значит, и плоскости АВВ₁. Точка А принадлежит АВ, а значит, и плоскости АВВ1. Аналогично АР ⊂ АД1Р. Значит, (АД₁Р)∩(АВВ₁)=АР.
3. а) Из ∆АВР, по теореме Пифагора АР = ; б) Из ∆АДД₁ по теореме Пифагора АД₁ = .

Слайд 5.
Задача №3.
Дано: Точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.
С помощью анимации на слайде учащиеся делают соответствующие построения и необходимые выводы. Делают записи в тетрадях с помощью математических символов, проговаривая соответствующие аксиомы и следствия из аксиом.
Вопросы учащимся ( по необходимости):
- Зная, что точки А, В, С не лежат на одной прямой, какой вывод можно сделать?
- Если точки А и В лежат в плоскости, какой вывод о прямой АВ можно сделать?
- Какой вывод можно сделать о точке М?
- Если точки А и С лежат в плоскости, какой вывод о прямой АС можно сделать?
- Какой вывод можно сделать о точке К?
- Зная, что точки М и К лежат в плоскости, какой вывод можно сделать о прямой МК?
- Какой вывод можно сделать о точке Р?
Решение ( другой способ доказательства):
АВ ∩ АС = А. По второму следствию, прямые АВ и АС определяют плоскость α. Точка М принадлежит АВ, а значит, принадлежит плоскости α, и точка К принадлежит АС, а значит, и плоскости α. По аксиоме А2: МК лежит в плоскости α. Точка Р принадлежит МК, а значит, и плоскости α.

Задача № 4.
Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?
Вопросы учащимся (при необходимости):
- Зная, что прямая а пересекает плоскость β, какой вывод можно сделать? (Прямая и плоскость имеют общую точку, например, точку В)
- Каким свойством обладает точка В? ( Точка В принадлежит и прямой а, и плоскости α, и плоскости β)
- Если точка принадлежит двум плоскостям одновременно, то что мы можем сказать о взаимном положении плоскостей? (плоскости пересекаются по прямой, например с)
- Каково взаимное расположение точки В и прямой с? ( точка В принадлежит прямой с)
- Зная, что точка В принадлежит и прямой а, и прямой с, какой вывод можно сделать об этих прямых? ( прямые пересекаются в точке В)

Задача №5.
Дан прямоугольник АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, ∠ АОВ = 60º.
Задача предназначена для самостоятельного решения с обсуждением решения и оказанием индивидуальной помощи учащимся. Полезно обсудить различные способы нахождения площади прямоугольника:

Найти стороны прямоугольника.
Использовать тот известный факт, что диагонали параллелограмма (прямоугольника) разбивают его на четыре равновеликих треугольника, и найти сначала площадь одного из треугольников.
Использовать формулу .

Предложить учащимся решить задачу разными способами.
Ответ: см 2 .

4. Подведение итогов урока:
- Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.
- Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?
- Что полезного для вас лично было на уроке?
- Что вызвало затруднения?
Выставление отметок за урок ( с комментированием каждой отметки)

5. Постановка домашнего задания:
пункты 1-3 прочитать.

Урок 5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа (20 мин.)

Цели урока:
- закрепить усвоение вопросов теории в процессе решения задач;
- проверить уровень подготовленности учащихся путем проведения самостоятельной работы контролирующего характера.

Ход урока

2. Проверка домашнего задания.
Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
Задача 1.
Прямые а и b пересекаются в точке О, А ∈ а, В ∈ b, Р ∈ АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.
Решение:

Слайд 3.
Задача 2.
На данном рисунке плоскость α содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости α.
Решение:

3.Устное решение задач на повторение теории (по слайдам)

4. Самостоятельная работа (разноуровневая, контролирующего характера)
5. Подведение итогов.
1) Собрать тетради с самостоятельной работой.
2) Объявление отметок с комментированием.

6. Домашнее задание.
Учащиеся выбирают свой уровень сложности.

Читайте также: