Методика изучения систем уравнений первой степени с двумя переменными в школьном курсе математики

Обновлено: 05.07.2024

– порядок заданий фиксирован, он выполняет направляющую функцию, позволяя школьникам вместе с учителем выстроить ориентировочную основу деятельности по решению произвольной системы рациональных уравнений и создать в итоге схему ее решения,

– каждая следующая система связана с предыдущими заданиями и рассуждениями, но содержит в себе одну или несколько новых важных идей, логично развивающих тему,

– переменные в системах варьируются: не всегда привычные x и y (ведь при моделировании системами уравнений реальных задач из самых разных областей не всегда удобно вводить обозначения x и y),

– помимо заданий, где система уравнений задана, предлагаются и творческие задания, связанные с придумыванием тех или иных систем.

Материалы к урокам

1. Системы, не имеющие решений.

а) Случай, когда в системе имеется противоречивое уравнение (не имеющее решений):

Один из самых очевидных случаев: сразу можно заметить, что первое уравнение не имеет решений. Если же в правой части первого уравнения стояло бы неотрицательное число, то такая система имела бы решение. Немного усложнив данную систему, вместе со школьниками можно “придумать”, например, следующие не имеющие решений системы:

Обращаем внимание школьников на то, что каким бы в данном случае ни было второе уравнение системы, решений она иметь не будет (вспомним определение решения системы уравнений).

Первое уравнение системы имеет решения. В левой части второго уравнения сумма двух неотрицательных чисел, а в правой – отрицательное число. Противоречие. Отметим, что достаточно хотя бы одного противоречивого уравнения, чтобы дать ответ.

Несколько более замаскировано противоречивое уравнение. Здесь, чтобы его распознать, нужно увидеть во втором уравнении формулу квадрата разности. Далее аналогично номеру 1.

Задание школьникам: составьте еще системы, не имеющие решений.

Если сразу заметить или вспомнить, что дробь с ненулевым числителем не может быть равна нулю, то ответ очевиден. Если же заменить в условии ноль на ненулевое число, то решения системы могут появиться.

Результат деления отрицательного числа на отрицательное не может быть отрицательным, поэтому первое уравнение (а значит и система) не имеет решений.

б) Случай, когда в системе имеются неопределенные выражения (ОДЗ пусто):

В первом уравнении под знаком корня (радикала) стоит отрицательное выражение, значит, такого арифметического квадратного корня не существует ни при каких значениях x. Вспоминаем определение решения системы уравнений и делаем вывод о том, что система несовместна, т.е. не имеет решений. Таким образом, решение этой системы (и ряда других) нужно начинать с ОДЗ. Ведь если становится ясно, что ОДЗ пусто (как в данной системе), то и множество решений будет пусто.

Эта система не является системой рациональных уравнений, т.е. не входит в рассматриваемую тему, но она содержит принципиально важную идею, поэтому ее полезно дать и на данном этапе. К тому же это позволит повторить и закрепить определение системы рациональных уравнений. Определение и свойства арифметического квадратного корня восьмиклассникам уже известны.

а) не может выполняться равенство из-за тех или иных свойств:

ограничения по знаку: , , ,

дробь при ,

комбинации: , , при и и т.п.

б) какое-то входящее в него выражение не определено (т.е. не существует, не имеет смысла) (см. задание № 4):

не существует при ,

не существует при .

Здесь стоит провести параллель с заданиями, опирающимися на те же идеи. Это задания найти ОДЗ переменных в выражении, область определения функции (ООФ), множество значений функции (выражения).

в) Случай, когда в системе одно уравнение противоречит другому:

Один из самых явных случаев: видим, что левые части обоих уравнений совпадают, а правые – нет. Противоречие.

Если разделить второе уравнение на 4 и перенести все члены каждого уравнения в одну сторону, то станет видно, что уравнения противоречат друг другу.

Здесь логично возникает вопрос: а что делать, если не заметили сразу, что система несовместна? Ответ: решать ее известными методами. Ответ получится сам собой, если все делать верно и понимать про вырожденные уравнения (0=0, 4=0 и т.п.), при встрече с которыми многие школьники теряются, как показывает школьная практика. Поэтому для преодоления возможных затруднений здесь важно обратить внимание учащихся на то, что при решении любых уравнений или систем вопрос ставится всегда один и тот же: “При каких значениях неизвестной верно равенство?” или соответственно “При каких парах (тройках, четверках, …) переменных верны одновременно все равенства системы?”. Помня это, нетрудно понять, что если в ходе решения получилось что-то вроде 0=4, то решений у этого “уравнения” и у исходной системы нет; а если же получилось, например, 0=0 и нет других противоречий, то решений у системы бесконечно много.

Задание школьникам: придумайте еще несколько систем, не имеющих решений, таких чтобы при замене в ней одного числа или знака на другое решения у нее появлялись. Придуманные системы по парам занесите в таблицу:

Система, не имеющая решений

Система, имеющая решения

Таким образом, результатом первичного анализа системы может быть один из трех важных выводов:

1) (–) система не имеет решений дальнейшее решение не нужно,

2) (+) система имеет решение (решения) нужно решать,

3) (?) система может иметь решения (а может и не иметь) нужно решать и помнить про сказанное выше.

После этой части урока вместе со школьниками делается вывод о том, что начинать решение системы нужно с ее анализа, т.к. если сразу удастся понять, что она не имеет решений, то не надо будет тратить время на решение, а сразу можно будет дать верный ответ. В этом присутствует и воспитательный эффект, касающийся важности предварительного анализа ситуации, объекта, явления.

На данном материале идет отработка важного навыка “всматривания” в систему и ее составные части – уравнения. Заметим, что тот же навык может отрабатываться и при решении уравнений (например, методом замены неизвестной). Он же пригодится и при решении систем, имеющих решение.

Стоит обратить внимание школьников на различные термины, употребляющиеся по отношению к уравнениям и системам, не имеющим решений (несовместным, противоречивым). Это важно для понимания математических задач и текстов, взятых из различных источников.

Для закрепления материала, в том числе терминологии, и проверки результатов этой части урока ученикам предлагается небольшое задание: заполнить следующую таблицу (в каждой ячейке проставьте знаки +, – или ? в зависимости от того, характеризует ли указанное в заголовке столбца данную систему). Столбцы таблицы: система | имеет решения | ответ: ? | не определено какое-то выражение | противоречива | несовместна | совместна.

2. Случай, когда одно из уравнений содержит лишь одну неизвестную.

Очевидных противоречий в данной системе нет (в отличие от предыдущих). Можно заметить, что в первом уравнении системы присутствует только одна переменная (d), поэтому первое уравнение мы можем сразу решить. Его корни: -1 и 2. Подставляем эти значения по очереди во второе уравнение и находим другую неизвестную – z. Здесь вспоминаем, что решением системы двух уравнений с двумя неизвестными являются пары чисел.

При решении данной системы у школьников возникает разумный вопрос: “В каком порядке записывать в ответе числа, ведь здесь не x и y?”. Ответ: в алфавитном (как и в случае с x и y).

3. Случай, когда в явном виде имеется общее выражение в нескольких уравнениях, т.е. обобщенная подстановка, приводящая к ответу, уже подготовлена.

Вспоминаем стандартный метод подстановки, известный школьникам с 7-го класса. Отмечаем, что он работает в любых системах уравнений, не только в системах линейных уравнений.

Рассматриваем идею о том, что подставлять в другое уравнение можно не только переменную, но и некое выражение. Для этого должны иметься одинаковые выражения в нескольких уравнениях системы. В данном случае это так. Здесь же может возникнуть разумный вопрос: “Что делать, если одинаковых выражений в уравнениях нет?”

Таким образом, переходим к обобщенному методу подстановки и затрагиваем идею о выражении как обобщенной переменной (отсюда берет начало метод замены неизвестной, используемый при решении уравнений и систем.). В данной системе можно заменить на новую переменную z. Тогда система примет вид элементарной системы линейных уравнений. Анализ учебных пособий и методов решения систем уравнений показал, что очень широкий класс систем, предлагаемых в школьном курсе математики, решается с помощью обобщенного метода подстановки, который можно назвать центральным, главным методом. Попробуем этим методом решать все предлагаемые далее системы.

Тут два варианта проведения обобщенной подстановки: b 2 и b 2 + u 2 . Второй в данном случае удобнее, хотя чтобы его применить, исходную систему надо “подготовить”: разложить левую часть второго уравнения на множители. Первый требует больше алгебраических преобразований, следовательно, вероятность ошибок при решении возрастает. Таким образом, иногда подстановку придется подготовить (прежде чем выполнять).

Здесь начнем выявлять и фиксировать приемы, позволяющие выделять общие выражения в двух уравнениях. В данном примере – прием разложения на множители. Какие еще могут быть приемы? Их может быть очень много. Эту область можно назвать “творческой”, т.к. здесь нужно “изобрести” способ сделать так, чтобы появились одинаковые выражения, причем удобные для дальнейшего решения системы. “Творческая” область весьма обширна.

Здесь тоже два варианта выполнения подстановки. В указанном выше варианте используется другой прием – домножение обеих частей одного из уравнений системы на неизвестную. Тонкий момент: домножать на ноль нельзя . Но именно такова здесь ОДЗ!

4. Случай, когда в уравнениях нет подходящих общих выражений для подстановки, но они легко могут быть выделены.

Здесь сталкиваемся с тем, что решений у системы не конечное, а бесконечное количество. Как записать ответ в этом случае? У школьников часто возникают сложности в таких случаях.

5. Переход к методу сложения.

Можно выполнить обобщенную подстановку (2 варианта подстановки), а можно сложить уравнения. Вспоминаем метод сложения (метод вычитания). Отметим, что метод сложения в данном случае фактически дублирует метод обобщенной подстановки, лишь немного упрощая выкладки.

Кстати, в данном случае на уровне обыкновенной логики можно было сразу сделать вывод, что решений у системы нет.

6. Случай, когда есть несколько вариантов подстановки.

Есть выбор: иметь дело с целыми числами (если подставлять r 2 ) или с дробными (если подставлять j 2 ). Удобнее и надежнее работать с целыми числами, поэтому лучше выбрать первый вариант, хотя к ответу приведут оба. Можно здесь сделать замену, но необходимости нет.

Можно ли к данной системе применить метод сложения? Сразу к исходной системе бессмысленно, т.к. обе неизвестные останутся. Но если домножить уравнения на подходящие числа, то сложение полученных уравнений может избавить от одной из неизвестных, что поможет решить систему. Получаем обобщенный метод сложения или метод уравнивания коэффициентов (в литературе называется по-разному).

7. Случай, когда удобна замена неизвестной

Нетрудно заметить одинаковые выражения в уравнениях, их замена на новые неизвестные позволит упростить систему. Приходим к методу замены неизвестной.

8. Система трех уравнений с тремя неизвестными.

Обобщенный метод подстановки здесь по-прежнему работает, однако подстановку нужно будет выполнить несколько раз. А что если попробовать сложить все уравнения? Получится a = 1. Т.е. в данном случае метод сложения весьма удачен.

Из очередной части урока делаем вывод:

Обобщенный метод подстановки позволяет решить широкий спектр систем уравнений. Для решения этим методом нужно выделить подходящие общие выражения в нескольких уравнениях, выразить из какого-то уравнения одно из выражений через остальные переменные и подставить в другие равенства системы для того, чтобы свести систему к уравнению с одной неизвестной. При этом стандартный метод подстановки является частным случаем обобщенного, а методы сложения (вычитания), уравнивания коэффициентов, почленного деления, замены неизвестной являются “помощниками” обобщенного метода подстановки, позволяющими несколько упростить выкладки.

9. Дополнительные задания.

Рассуждаем далее: метод сложения, вычитания, деления был. А как же с методом умножения? Есть ли он? Полезен ли он? Да. Пример:

Обобщенный метод подстановки здесь “напрашивается”, т.к. имеются общие выражения (x 2 y), но не помогает. Зато хорошо работает метод умножения одного уравнения системы на другое.

Из первого уравнения системы можно найти и x и y, однако это не пара, которая войдет в ответ.

Придумайте и нарисуйте схему, отражающую предлагаемый вами алгоритм решения произвольной системы уравнений с учетом всего рассмотренного и сказанного на уроках. Так чтобы если дается система уравнений и ваша схема, то, пользуясь последней как подсказкой, человек решил бы данную систему.

На следующих уроках – проверка этого задания, обсуждение предлагаемых схем и создание одной общей для класса схемы, отражающей всю полноту ориентировочной основы деятельности по анализу и решению данной системы уравнений. Дальнейшая работа будет направлена на организацию усвоения выявленной и зафиксированной совместно со школьниками схемы решения систем уравнений.

Описание разработки

1. ВВЕДЕНИЕ

Введение государственной итоговой аттестации по математике в новой форме (ГИА) в 9 классе вызывает необходимость изменения в методах и формах работы учителя.

Эта необходимость обусловлена тем, что изменились требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся в материалах экзамена по математике. Само содержание образования существенно не изменилось, но существенно сместился акцент к требованиям умений и навыков. Изменилась формулировка вопросов: вопросы стали нестандартными, задаются в косвенной форме, ответ на вопрос требует детального анализа задачи. И это всё в первой части экзамена, которая предусматривает обязательный уровень знаний. Содержание задач изобилует математическими тонкостями, на отработку которых в общеобразовательной программе не отводится достаточное количество часов. В обязательную часть включаются задачи, которые либо изучались давно, либо на их изучение отводилось малое количество времени (проценты, стандартный вид числа, свойства числовых неравенств, задачи по статистике, чтение графиков функций), а также задачи, требующие знаний по другим предметам, например, по физике. Кроме этого в общеобразовательных классах, как правило, уровень подготовки учащихся различный. И если для одних учащихся важно научиться решать задания I части, так как это обеспечивает получение удовлетворительной отметки на экзамене, то для других учащихся нужно и важно научиться решать более сложные задания.

2. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПРИ ОРГАНИЗАЦИИ РАБОТЫ ПО ПОДГОТОВКЕ К ГИА - 9 В НОВОЙ ФОРМЕ

Можно предложить следующую систему работы по подготовке к ГИА по математике в 9 классе:

1. Изменить тематическое планирование таким образом, чтобы осталось достаточное количество часов на повторение всего учебного материала. Часы можно сэкономить на тех темах, которые не требуют выработки навыков, а проходят в плане ознакомления, а также сократить число часов на отработку навыков невостребованных тем. Это надо делать очень осторожно, тщательно проанализировав содержание экзаменационных работ.

3. В содержание текущего контроля включать экзаменационные задачи, как I, так и II части. При этом нужно, чтобы учащиеся при выполнении тестовых заданий не только писали ответы, но и в обязательном порядке записывали решение (там, где это необходимо). Это нужно, чтобы, во - первых, учитель видел причину допущения ошибок, а, во - вторых, для исключения массового списывания.

4. При организации итогового повторения для менее подготовленных учащихся продолжать отрабатывать умения и навыки, требующиеся для получения положительной отметки на экзамене, а с более подготовленными учащимися решать, в том числе и задания второй части.

5. Уроки итогового повторения строятся следующим образом. На уроке разбираются типовые задачи по 2 - 3 темам. На дом задаются аналогичные задачи. На следующем уроке выясняются затруднения, которые возникли у учеников, прорабатываются эти задачи. Затем даётся проверочная работа.

Подготовку ко второй части работы можно осуществлять как на уроках, так и во внеурочное время на элективных курсах. Для этого желательно использовать сборники для подготовки к экзаменам, рекомендованные ФИПИ и МИИО. Важным условием успешной подготовки к экзаменам является тщательность в отслеживании результатов учеников по всем темам и в своевременной коррекции уровня усвоения учебного материала.

3. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными x и y способом подстановки состоит в следующем:

Выразить одну переменную через другую в одном из уравнений;

подставить найденное выражение вместо переменной в другое уравнение;

решить полученное уравнение с одной переменной;

подставить найденный корень в выражение (п. 1);

в ответе записать полученную пару (x₀, y₀).

Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными x и y способом алгебраического сложения состоит в следующем:

Системы уравнений решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Графическое решение систем уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.

Таким образом, решение систем уравнений является важным средством закрепления, углубления и развития теоретических знаний.

Данная тема является также материалом для организации повторения и систематизации знаний.

А в последние годы, когда экзамены принимаются в форме ГИА и ЕГЭ, на уроках итогового повторения происходит расширение и углубление знаний.

Результаты ЕГЭ ещё раз доказывают важность изучения данной темы в школе.

На основании этого была сформулирована цель работы: разработать методику организации повторения и систематизации знаний учащихся, полученных при изучении систем уравнений.

Для достижения цели поставлены задачи:
1) изучить психолого-педагогическую и методическую литературу, посвященную проблеме повторения и систематизации знаний;
2) Рассмотреть изложение темы в школьных учебниках 7-11 классов, изучить тематическое планирование;
3) Разработать методику, направленную на повторение и систематизацию методов решения систем уравнений школьного курса математики.

Работа состоит из трёх глав. В первой главе затронуты вопросы повторения и систематизации систем уравнений, а также приведён обзор рассматриваемой темы в школьных учебниках. Во второй главе дана классификация систем уравнений, рассмотрены методы их решения, приведены примеры решений систем. Каждая часть предусматривает набор задач для закрепления материала, для самостоятельной работы учащихся, а также контролирующие задания. В заключении приведён список используемой литературы.

Полный текст материала Методическое пособие "Системы уравнений" смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен фрагмент.

В России, в настоящее время, идёт становление новой системы образования, ориентированной на вхождение в мировое образовательное пространство. Происходят существенные изменения в педагогической теории и практике учебно-воспитательного процесса. Содержание образования обогащается новыми процессуальными умениями, развитием способностей оперировать информацией, творчески решать педагогические проблемы.

Цель работы: показать эффективность проблемного обучения и блочно-модульной технологии при изучении систем линейных уравнений в 8классе.

В исследовании решались следующие задачи:

Изучить состояние проблемы на современном этапе теории и практики обучения математике.
Определить исходные положения, основные принципы проблемного обучения и блочно-модульной технологии.
Выявить основные формы и методы реализации блочно-модульной технологии при проблемном обучении.
Разработать методику изучения систем линейных уравнений в контексте проблемного обучения средствами блочно-модульной технологии.
Проверить экспериментально эффективность разработанной методики.

Методы исследования: анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, наблюдение, анкетирование, моделирование, эксперимент, статистическая обработка данных, метод экспертных судей.

1.11. Основные принципы и методология преподавания.

В последнее время большое внимание уделяется проблемному обучению, которое позволяет быстро и эффективно овладеть учебным материалом, а также способствует творческому развитию личности учащегося. Проблемное обучение, как известно, возникшее в начале XX века (Дж. Брунер, К.Дункер, Дж.Дьюи, Г.Пойа и др.), получило достаточно полное отражение в работах зарубежных (В. Оконь) и отечественных исследователей (A.B.Брушлинский, A.A.Вербицкий, Т.А.Ильина, Т.В.Кудрявцев, В.Т.Кудрявцев, И.Я.Лернер, A.M.Матюшкин, М.И.Махмутов и др.) путем разработки его теоретических основ. В своих исследованиях ученые определили проблемную ситуацию как начало процесса мышления и рассмотрели этапы этого процесса (С.Л. Рубинштейн), исследовали роль проблемной ситуации в мышлении и обучении (A.M. Матюшкин), разработали типы проблемных ситуаций (A.B. Брушлинский, Т.В. Кудрявцев, В.Т.Кудрявцев, A.M.Матюшкин, М.И.Махмутов), классификацию проблемных задач (В.Оконь), систему проблемных ситуаций, проблем и проблемных задач (И.Я.Лернер), выявили уровни проблемности в обучении (В.А. Крутецкий, Т.В. Кудрявцев) и многие другие аспекты этой проблемы.

Исходные идеи проблемного обучения:

Развитие авторской позиции ребенка в образовательном процессе.
Безоценочный характер реакции на высказывания учащихся в ходе проблемного обучения.
Целостная включенность ребенка в образовательный процесс, связанная и с рациональным познанием, и с интуитивной, часто неосознаваемой эмоционально-личностной сферой.

Под проблемным обучением (problem-based learning) понимается обучение, предусматривающее создание на уроке проблемных ситуаций и обсуждение возможных подходов к их решению, в ходе которого учащиеся учатся применять ранее усвоенные знания и приобретенные навыки и умения и овладевают опытом (способами) творческой деятельности. Наиболее полное определение понятия проблемное обучение дает М.И. Махмутов.

Проблемная ситуация – совокупность условий (речевых и неречевых), стимулирующих учащихся на совершение действия, заданного содержанием ситуации.

В проблемной ситуации мы различаем три разных компонента:

а) потребность учащегося в новом знании или способе действия (“хочу узнать…, научиться…”);

б) неизвестное знание, которое учащийся должен усвоить по проекту педагогических целей;

в) известные знания и сформированные умения (могу сам, без педагога), усвоенные в ходе предшествующей учебы.

Проблемную ситуацию можно создать на основе материала:

а) из истории науки и промышленности;

б) описаний ситуаций профессиональной деятельности;

в) альтернативных методов решения профессиональных задач.

Проблемные ситуации могут быть различными по содержанию неизвестного, по уровню проблемности, по виду рассогласования информации, по другим методическим особенностям (Рис.1.).

Рис.1.

Условиями успешности обучения являются:

проблематизация учебного материала (знания возникают в результате удивления и любопытства);
активность ребенка (знания должны усваиваться легко);
связь обучения с жизнью ребенка, игрой, трудом.

Модель организации учебного процесса можно представить как

“ОБУЧЕНИЕ через ОТКРЫТИЕ”

Модель организации учебного процесса строится на реализации принципа проблемности в обучении.

Принцип проблемности реализуется:

как в содержании учебного предмета;
так и в процессе развертывания этого содержания в учебном процессе.

Методы обучения – проблемные:

а) проблемного изложения;

Формы организации учебного пространства коллективные:

а) парное взаимодействие;

б) микро групповое взаимодействие;

в) групповое взаимодействие;

г) межгрупповое взаимодействие.

Методические приемы, которые я использую для создания проблемных ситуаций:

подвожу учащихся к противоречию и предлагаю им самим найти способ его разрешения;
излагаю различные точки зрения на один и тот же вопрос;
предлагаю классу рассмотреть задачу с различных позиций;
делаю сравнения, обобщения, выводы из ситуации, сопоставляю факты;
ставлю конкретные вопросы

ставлю проблемные задачи (например, с недостаточными или избыточными исходными данными, с неопределенностью в постановке вопроса, с противоречивыми данными, с заведомо допущенными ошибками, с ограниченным временем решения, на преодоление “психологической инерции”).

Этапы решения проблемы

Учащиеся обсуждают, Учащиеся пытаются понять,

что они уже знают. что они еще не знают и

что им нужно узнать и

чтобы решить проблему.

Результативность своей работы можно оценить с помощью критериев:

а) наличие у ученика положительного мотива к деятельности в проблемной ситуации (“Хочу разобраться, хочу попробовать свои силы, хочу убедиться смогу ли разрешить эту ситуацию…);

б) наличие у учащихся положительных изменений в эмоционально - волевой сфере (“Испытываю радость, удовольствие от деятельности, мне это интересно, могу с усилием воли концентрировать свое внимание…”);

в) переживание учащимися субъективного открытия (“Я сам получил этот результат, я сам справился с этой проблемой, я вывел закон…”);

г) осознание учеником усвоения нового как личностной ценности (“Лично мне это нужно, мне важно научиться решать эти ситуации, мне будут эти знания нужны… ”);

д) овладение обобщенным способом подхода к решению проблемных ситуаций: анализом фактов, выдвижением гипотез для их объяснения, проверкой их правильности и получением результата деятельности.

Творческая деятельность ученика, направленная на творческое понимание усваиваемого материала и порождение новых способов действия, ее развития зависит от наличия трех составляющих мышления:

- высокий уровень сформированности элементарных мыслительных операций: анализа и синтеза, сравнения, аналогии, классификации;

- высокий уровень активности, проявляющийся в выдвижении множества гипотез, вариантов решений, нестандартных идей;

- высокий уровень организованности и целенаправленности мышления,

проявляющихся в выделении существенного в явлениях, осознании собственных способов мышления.

Таким образом, задача учителя сводится к формированию указанных компонентов мышления.

Цель проблемного обучения: содействовать развитию у учащихся критического мышления, опыта и инструментария учебно-исследовательской деятельности, ролевого и имитационного моделирования, возможности творчески осваивать новый опыт; поиску и определению учащимися собственных личностных смыслов и ценностных отношений.

Проблемное обучение может быть использовано на различных этапах учебного процесса. Наиболее часто на уроках математики оно используется при изучении нового материала. Проблемное обучение может быть использовано на этапе формирования умений и навыков. В результате проверки на практике сделанных выводов, учениками открывается новая проблема, т.е. формирование умений и навыков переходит в изучение нового.

На схеме показано изменение взаимодействия педагога (П), учащихся и содержания образования (С) при переходе от традиционного обучения к инновационному.

Ограничения:

Необходимо больше времени на изучение учебного материала в сравнении с традиционным обучением.
Возможна слабая отработка практических умений и навыков учащихся.

Следовательно необходимы дополнительные формы и методы обучения, способствующие отработке практических умений и навыков обучающихся без затраты дополнительного времени. Изучив методическую и научную литературу, накопленный опыт работы учителей, проведя исследование, мы пришли к выводу, что в этом случае наиболее эффективно использование элементов блочно-модульной технологии.

Примеры адаптации теоретического и практического опыта блочно-модульного подхода к обучению в современных условиях мы находим в работах О.Ю.Бурцевой, С.Я.Морозова, Н.Ф.Талызиной, Т.И. Шамовой, В.А.Шибанова. Проблему блочного и модульного подхода к обучению на основе научно-обоснованного построения структуры и содержания исследовали ряд ученых: Н.В. Борисова, В.А.Ермоленко, К.Г. Кязимов, П.А.Юцявичене, М.А.Чошанов; отдельные положения концепции модульного подхода к проектированию учебно-программной документации разработали Т.Т.Новикова, О.А.Павлова и др.Теория модульного обучения, принципы разработки модулей подробно изложены в научных трудах кандидата педагогических наук, доцентом В.С.Збаровским и кандидатом педагогических наук Л.П. Голощёкиной.

Основной целью блочно – модульной технологии является развитие критического мышления учащихся, их рефлексивных способностей, активизация самостоятельной работы учащихся на протяжении всего периода обучения.

Реализация данной цели позволит:

повысить мотивацию изучения математики;
повысить качество знаний;
повысить уровень образовательного процесса в целом.

Рис.4. Схема технологии блочно-модульного обучения.

Исходные научные идеи.

Технология блочно-модульного обучения основана на трех основных принципах.

Принцип системного квантования ориентирует на "сжатие" учебной информации (обобщение, укрупнение, систематизация).

Принцип модульности предполагает фиксирование учебной информации и учебных действий школьников в виде модулей.

Принцип проблемности - целенаправленное создание учебных ситуаций на поиск ошибок.

Выделяются следующие группы ошибок:

гносеологические (ошибки познавательного характера, совершенные в процессе эволюции знания);
методические (ошибки преподавания, связанные с нарушением психологических особенностей восприятия, памяти, мышления в процессе обучения);
учебные ошибки (сгруппированы в специальные таблицы по каждому модулю).

Блоковая форма организации учебных занятий, как утверждает Н.В. Шкарбан, "расширяет возможности использования различных методов обучения, повышает информационную емкость уроков, обеспечивает многообразие видов учебной деятельности учащихся".

Модуль состоит из 12 взаимосвязанных блоков.

Блок "вход" - контрольный. Актуализация опорных знаний и способов действий является своеобразным "пропуском" в проблемный модуль.

Как правило, используются тестовые задания.

Исторический блок - краткий экскурс, раскрывающий генезис (происхождение) понятия, теоремы, задачи. Анализ возникающих при их решении затруднений и ошибок. Постановка историко-научных проблем.

Блок актуализации - опорные знания и способы действия, необходимые для усвоения нового материала, представленного в проблемном модуле.

Экспериментальный блок - описание учебного эксперимента, лабораторной работы для вывода формулировок, экспериментальных формул.

Проблемный блок - постановка укрупненной проблемы, на решение которой и направлен проблемный модуль. Возможно объединение проблемного и исторического блоков.

Блок обобщения - первичное системное представление содержания проблемного модуля. Структурно может быть оформлен в виде блок-схемы, опорных конспектов, алгоритмов, символической записи и т.п.

Теоретический (основной) блок содержит основной учебный материал, расположенный в определенном порядке: дидактическая цель; формулировка проблемы (задачи); обоснование гипотезы; решение проблемы; контрольные тестовые задания.

Блок генерализации - отражение решения укрупненной проблемы и конечное обобщение содержания проблемного модуля.

Блок применения - решение историко-научной проблемы, система задач и упражнений.

Блок стыковки - совмещение пройденного материала с содержанием смежных учебных дисциплин.

Блок углубления - учебный материал повышенной сложности для учащихся, проявляющих особый интерес к предмету.

Блок "выход" - контроль результатов обучения по модулю. Учащийся, не выполнивший то или иное требование блока "выход", возвращается к тому

учебному элементу проблемного модуля, в котором были допущены ошибки.

Для успешного применения модульного обучения рекомендуется использовать несколько правил:

- перед каждым модулем проводить входной контроль знаний и умений учащихся, чтобы иметь информацию об уровне готовности к работе по новому модулю. При необходимости проводится соответствующая коррекция знаний; обязательно осуществляется текущий и промежуточный контроль в конце каждого учебного элемента (чаще это мягкий контроль: самоконтроль, взаимоконтроль, сверка с образцом и т.д.). После завершения работы с модулем осуществляется выходной контроль. Текущий и промежуточный контроль имеет своей целью выявления пробелов в усвоении для их устранения сразу, а выходной контроль должен показать уровень модуля и тоже обязательно с доработкой. Таким образом, каждый ученик вместе с учителем осуществляет управление учением;

- для успешной работы ученика с модулем важным требованием является представление учебного содержания. Оно должно быть таким, чтобы ученик эффективно его усваивал. Желательно, чтобы учитель как бы беседовал с учеником, активизировал его на рассуждения, поиск, догадку, подбадривал, ориентировал, ориентировал на успех.

Читайте также: