Методика изучения неравенств в основной школе

Обновлено: 30.06.2024

Тема “Уравнения и неравенства” является одной из самых основных тем школьного курса математики. Она имеет большое внутрипредметное и межпредметное значение. Внутрипредметные связи: тема связана с темой “Функции” и темой “Тождественные преобразования”. Межпредметные связи: тема широко используется в физике и химии. Основная задача темы – освоить способы решения различных видов уравнений и неравенств.

Основными понятиями темы являются:

уравнение, неравенство;
корень уравнения, решение неравенства;
равносильность уравнений, равносильность неравенств.

Понятие уравнение рассматривается дважды: в 5 классе, как равенство, содержащее неизвестное, (здесь понятие вводится конкретно-индуктивным методом через решение задачи, используя картинку с весами) и в 7 классе, где вводится уже точное определение уравнения: уравнение – это равенство, содержащее переменную. Здесь же вводятся понятия “корень уравнения” и “решить уравнение”. В 7 классе вводится и понятие “равносильные уравнения”, формулируются теоремы о равносильных преобразованиях. Эти теоремы формулируются в виде свойств, они не доказываются, а поясняются на примерах.

С числовыми неравенствами 2 5 учащиеся знакомятся в начальной школе. В 5 классе вводится двойное неравенство: 1 , ?, ? называется неравенством.

Понятие “решение неравенства” удобно вводить по аналогии с понятием “корень уравнения”.

А можно ли указать все решения неравенства? Встает вопрос, как изобразить все решения неравенства? Учитель сообщает, что оказывается, решения неравенства изображаются на координатной прямой, а ответ записывается с помощью числовых прямых. После этого необходимо рассмотреть всевозможные случаи неравенств и их решений.

При обучении решению любого вида уравнений и неравенств строго соблюдается методика формирования математических умений. Например, в 5 классе решаются линейные уравнения, которые содержат переменную только в одной части. Записывается на доске уравнение: 52 + (3x – 14) = 62. Что представляет собой левая часть уравнения? Сумма. Назовите слагаемые. Какое слагаемое известно? В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти неизвестное слагаемое? 3x – 14 = 10. Что представляет собой левая часть уравнения? Разность. В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти уменьшаемое? 3x = 24. Что представляет собой левая часть уравнения? Произведение. Назовите множители. Какой множитель известен? В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти неизвестный множитель? x = 8. Как проверить, что число 8 является корнем уравнения? 52 + (3 ? 8 – 14) = 62 ? 62 = 62. После этого составляем и записываем в тетрадь правило решения таких уравнений:

определяем вид уравнения по последнему действию;
определить, что неизвестно и найти неизвестное по соответствующему правилу;
в случае необходимости, повторит шаги 1 – 2;
найти корень уравнения;
выполнить проверку;
записать ответ.

Учитель показывает образец решения на доске. После этого переходим к решению упражнений на отработку каждого шага правила.

Основная учебная цель изучения материала линии неравенств - овладение учащимися на том или ином уровне приемами решения (алгебраического и графического) неравенств как математического аппарата решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний и практики.

Содержание этого материала позволяет продолжить развитие различных познавательных процессов, речи, умения учиться, алгоритмического и обобщенного мышления, элементов творческой деятельности при решении всех основных типов задач алгебраическим методом, развитие пространственного воображения при решении графическим методом.

Гуманитарный потенциал этой линии, как числовой, связан с историей развития алгебры и содержанием текстовых задач: исторических, занимательных, краеведческих и так далее, что дает возможность ставить перед учащимися цели воспитания и развития интереса к математике и учебной деятельности в целом, общей культуры (гуманитарной, экологической), культуры общения, чувства прекрасного. Решение задач практического, жизненного содержания является одним из средств связи математики с жизнью и подготовки учащихся к выбору профессии[8].

Изучение неравенств в школе можно разделить на следующие этапы:

- пропедевтический (1-6 класс);

- основной (курс алгебры 7-9 классы основной школы);

- завершающий (10-11 классы старшей школы).

Пропедевтический этап (1 – 6 кл.)

Математика 5 - 6 класс

При счете натуральные числа называют по порядку. Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше и больше, то которое называют позже.

Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.

Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства, применяя знаки (Например, 4 обозначают также результат сравнения. Если отрезок AB короче CD пишут AB -23.

3. Сравним обыкновенные дроби 5/8 и 4/7.Для этого приведём их к общему знаменателю:

Так как 35>32, то 5/8>4/7.

4.Сравнить углы треугольника.

Кроме неравенств со знаками > и

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.003)

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

К.И.Колкова

Методические аспекты изучения неравенств в основной школе

Аннотация. В статье рассмотрены методические аспекты изучения неравенств в основной школе.

Ключевые слова: неравенство.

Целью статьи является методически обосновать особенности изучения неравенств в основной школе.

Изложение основного материала. Рациональным шагом, по моему мнению, будет выделение двух основных путей развертывания содержания линии неравенств.

1) Неравенства не могут изучаться без уравнений. Поэтому важно сначала пройти материал, который относится к уравнениям, а потом уже на этой основе можно вводить неравенства.

Если же говорить о возможности раздельного изложения теории неравенств, то его можно проводить исключительно до теории квадратного трехчлена (включительно). Но в дальнейшем раздельное изучение в старших классах не имеет смысла, поскольку логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения и соответствующие неравенства изучаются в более тесной связи друг с другом.

2) Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением соответствующих классов уравнений.

Отсюда можно сделать вывод, что на протяжении всего изучения неравенств в школе, есть те промежуточные пути, когда некоторые классы уравнений и неравенств сближены друг с другом по времени изучения, а другие, наоборот, не связаны.

Еще полно раскрывает тему учебник Мордкович А. Г., но все же количество часов по программе меньше, чем в учебниках Макарычева Ю.Н., Миндюк Н.Г.

Последовательность изучения различных классов неравенств и систем различна в разных учебниках. Однако количество возможных вариантов для последовательности их введения не слишком велико – классы находятся в определенной логической зависимости друг от друга, которая предписывает порядок их появления в курсе.

Наличие такого разнообразия подходов затрудняет методическое описание, поскольку принятие того или иного пути требует различных приемов изучения материала.

В целом, можно сказать, что изучение неравенств в школьном курсе математики организовано так же, как и уравнений. Все же надо указать некоторые аспекты изучения неравенств.

а) Мне хотелось бы отметить тот факт, что навыки решения неравенств, за исключением квадратных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Все это связано с рядом объективных причин, а главная из них – теория неравенств намного сложнее теории уравнений.

б) Практически все приемы решения неравенств основываются на переходе от данного неравенства к соответствующему ему уравнению , которое решив, находим корни, а их базе ищем множество решений исходного неравенства. Такой поход не используется только в случае рассмотрения линейных неравенств, где в нем нет необходимости из-за простоты процесса решения таких неравенств.

3) В процессе изучения неравенств главную роль играют наглядно-графические средства.

Все эти, указанные мной, методические аспекты могут быть использованы при:

- обосновании расположения учебного материала по исследуемой теме;

- определении количества заданий, которые нужны для полноценного усвоения программного минимума.

Второй аспект состоит в том, что те темы, которые относятся к неравенствам, должны располагаться тем, относящихся к соответствующим классам уравнений.

Третий аспект изучения неравенств показывает зависимость от качества изучения функциональной линии школьного курса.

До изучения квадратных неравенств дети должны уже уметь:

- строить график квадратичной функции;

- находить нули функции или показать, что их нет.

Прием перехода к квадратным неравенствам можно осуществить путем перехода от неравенства к построению и изучению графика функции .

Хорошо известно, что есть разные случаи расположения графика относительно оси абсцисс. Исходя из этого, рационально будет начать рассмотрение конкретного задания, которое предусматривает рассмотрение соответствующего квадратного трехчлена (с различными корнями).

В результате мы получаем некое соответствие между двумя задачами:

На основе установленной таким образом связи, происходит переход к построению графика функции. Нули данной функции разбивают ось абсцисс на три промежутка, в каждом из которых она сохраняет знак, поэтому ответ считывается прямо с чертежа.

Аналогию можно провести и для решения остальных случаев решения квадратных неравенств (у квадратного трехчлена не больше одного корня).

Очень часто в курсе математики основной школы многие учителя ограничиваются исключительно изучением неравенств основных классов. То есть по факту они обходят стороной те задания, которые требуют сведения к основным классам. Примером могут послужить биквадратные неравенства.

Также стоит отметить те типы заданий, в которых проявляется прикладная роль неравенств в курсе алгебры:

- нахождение области определения функции;

- исследование корней уравнений в зависимости от параметров.

Основываясь на этом, можно сказать, что ознакомление учащихся с неравенствами позволяет применять на практике аппарат неравенств для решения самых разнообразных задач.

При решении линейных неравенств важно начинать из самого простого до полного его усвоения. То есть дети должны иметь отработанные навыки по решению простейших неравенств вида и при различных значениях а и b. Также важно и понимание учеников того, что решением линейного неравенства является не какое-либо число или несколько чисел, а бесконечное множество чисел – числовой промежуток. Проще говоря, дети должны без проблем решать, например, такие неравенства:

С точки зрения применения в курсе анализа нет необходимости отрабатывать у всех учащихся умения решать неравенства, которые требуют сложных преобразований, и тем самым осложнят процесс усвоения темы. Но, тем не менее, дети должны без особых затруднений уметь решать линейные неравенства вида:

Во время работы с линейными неравенствами с одной переменой важно не забывать о таких свойствах неравенств:

1) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

2) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то необходимо изменить при этом знак неравенства на противоположный. В результате получим равносильное ему неравенство.

По моему мнению, следующий алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной аналитическим методом, в развернутом виде может быть представлен так:

1) преобразование обеих частей неравенства;

2) приведение подобных членов;

3) приведение неравенства к простейшему виду на основании свойств неравенств;

4) запись ответа.

где – не равные друг другу числа.

При решении неравенств второй степени с одной переменной, то есть неравенств вида:

где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

При решении подобных неравенств придерживаются такого алгоритма действий:

1) нахождение дискриминанта квадратного трехчлена для определения наличия или отсутствия корней;

2) в случае, когда корни есть, необходимо их отметить на оси x. На основе построенных точек, схематически строят параболу, направление ветвей которой зависит от знака коэффициента при старшем члене: вверх при или вниз при . В случае, когда не имеет корней, то схематически изображают параболу, которая располагается в верхней полуплоскости при или в нижней при ;

3) нахождение на оси x промежутков, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство ) или ниже оси x (если решают неравенство ).

а) Рассматриваем функцию . Ее график – парабола с направленными вверх ветвями.

б) Расположение параболы относительно оси x. Для этого нужно решить соответствующее уравнение:

Нарисуем, все полученное координатной плоскости (рис. 1).

На основе рисунка делаем вывод, что функция принимает отрицательные значения, когда .

Ответ: множеством решений неравенства есть числовой промежуток .

В данном задании вершина параболы не представляла никакой ценности для решения примера, важным было только направление ветвей и точки пересечения с осью x.

Дальше в обязательном порядке необходимо детей ознакомить с другим способом решения неравенств, так называемым методом интервалов, в частности, неравенства вида (1) решают этим методом.

Полезно после приведения нескольких примеров дать учащимся под запись алгоритм решения неравенств методом интервалов:

1) вводим функцию;

2) находим область определения функции;

3) находим нули функции;

4) разбиваем область определения точками, в которых функция обращается в нуль, на интервалы;

5) определяем знак функции в каждом из этих интервалов;

6) выбираем те интервалы, которые удовлетворяют данному неравенству;

7) записываем ответ.

Выводы. Умение решать линейные неравенства с одной переменной и квадратные неравенства дает возможность находить решение: логарифмических уравнений и неравенств, тригонометрических неравенств.

Также само на математический аппарат неравенств опирается изучение приближенных вычислений, введение важнейших понятий математического анализа – производной и интеграла.

Кроме того, линия неравенств находится среди тех вопросов, которые получают в курсе алгебры и начал анализа наибольшее развитие. Поэтому определенные умения, связанные с неравенствами, должны быть доведены до автоматизма, должны быть прочно усвоены и отработаны, чтобы на них можно было опираться для развития последующих представлений и умений.

Список использованной литературы

1. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с.

2. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя/под ред. А.Г. Асмолова. - М.: Просвещение, 2015. – 159 с.

Можно выделить два основных пути развертывания содержания линии неравенств.

1) Сначала проходится материал, относящийся к уравнениям, затем к неравенствам. Раздельное изложение проводится до теории квадратного трехчлена включительно. Дальнейшее изучение, происходящее в старших классах, лишено этого противопоставления; логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения и соответствующие неравенства изучаются в более тесной связи друг с другом.

2) Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением соответствующих классов уравнений.

Имеются и промежуточные пути, когда некоторые классы уравнений и неравенств сближены друг с другом по времени изучения, а другие, наоборот, не связаны. С 1985 по 1990 гг неравенства изучались с четвертого класса. С 1990 года в соответствии с новой программой по математике теоретический материал о неравенствах дается в восьмом классе.

В целом, изучение неравенств в школьном курсе математики организовано так же, как и уравнений. Отметим ряд особенностей изучения неравенств.

1) Как правило, навыки решения неравенств, за исключением квадратных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Отмеченное обстоятельство отчасти смягчается другими особенностями изучения неравенств, поэтому в целом можно считать, что содержательная сторона неравенств, возможности их приложений от этого не страдают.

2) Большинство приемов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a > b к уравнению a = b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Пожалуй, такого перехода не производится лишь при рассмотрении линейных неравенств, где в нем нет необходимости из-за простоты процесса решения таких неравенств.

3) В изучении неравенств большую роль играют наглядно-графические средства.

Указанные особенности могут быть использованы для обоснования расположения материала, относящегося к неравенствам, количества заданий, необходимых для усвоения программного минимума.

Приведем примеры. Первая особенность может быть истолкована так: при выполнении одного и того же числа упражнений, техника решения неравенств какого-либо класса будет ниже, чем уравнений соответствующего класса; следовательно, если имеется необходимость формирования прочных навыков решения неравенств, то для этого требуется большее число заданий. Вторая особенность объясняет то, что темы, относящиеся к неравенствам, расположены после тем, относящихся к соответствующим классам уравнений. В соответствии с третьей особенностью изучение неравенств зависит от качества изучения функциональной линии школьного курса.

Перечисленные особенности показывают, что изучение предшествующего материала сильно влияет на изучение неравенств.

В процессе дальнейшего изучения устанавливается, что нет нужды в точно вычерченном графике квадратного трехчлена, достаточно наметить только положение корней, если они есть, и учесть на эскизе нужные особенности графика (направление ветвей параболы).

В школьном курсе математики ограничиваются изучением только неравенств основных классов; задания, которые требуют сведения к основным классам, встречаются сравнительно редко. Например, не изучаются биквадратные неравенства.

Из числа типов заданий, в которых проявляется прикладная роль неравенств в курсе алгебры, отметим нахождение области определения функции и исследование корней уравнений в зависимости от параметров.

Знакомство учащихся с неравенствами дает возможность использовать аппарат неравенств при решении самых разнообразных задач.

Отметим, прежде всего, что, с одной стороны, алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной схож с алгоритмом решения линейных уравнений. И это в определенной мере облегчает работу по формированию умений решать линейные неравенства в той её части, которая касается применения тех или иных тождественных преобразований, переноса членов неравенств из одной части в другую. Однако есть и существенные отличия, связанные с делением или умножением обеих частей неравенства на отрицательное число, а также с тем, что решением линейного неравенства является не какое-то фиксированное число или несколько чисел, а числовой промежуток. Поэтому, как это ни парадоксально, но имеющаяся схожесть с линейными уравнениями оказывает часто плохую услугу в формировании умения решать линейные неравенства. Это в первую очередь необходимо учитывать, задавая обязательный уровень овладения соответствующими умениями. Кроме того, необходимо учитывать, что сложность тождественных преобразований в неравенствах при дальнейшем их применении невысока. Поэтому на обязательном уровне не следует искусственно создавать сложные преобразования. Понятно, что при обучении это делается с целью повторения и закрепления соответствующего материала. Но для определенной части учащихся эти преобразования могут заслонить основной аспект, и важнейшая цель не будет достигнута. Поэтому требовать от всех учащихся умения решить неравенство типа > 2 нецелесообразно.

Прежде всего, у всех учащихся должен быть отработан навык решения простейших неравенств вида ax > b (ax

С точки зрения применения в курсе анализа, как уже отмечалось выше, нет необходимости отрабатывать у всех учащихся умения решать неравенства, требующие сложных преобразований. В то же время все учащиеся должны без труда уметь решать линейные неравенства вида:

5 - 2x 7x + 2, 2x - 3(5-x) 6x + 1.

Таким образом, при решении линейных неравенств с одной переменой необходимо помнить о таком важном свойстве неравенств:

2) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Предлагаем следующий алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной аналитическим методом, который в развернутом виде может быть представлен так:

1) преобразование обеих частей неравенства;

2) приведение подобных членов;

3) приведение неравенства к простейшему виду на основании свойств неравенств;

4) запись ответа.

Например, решим неравенство: 5(x - 1) + 7

(x – x 1 )(x – x 2 )…(x - x n )

где x 1 , x 2 , … , x n – не равные друг другу числа.

Решение неравенств второй степени с одной переменной, то есть неравенств вида: ax 2 + bx + c > 0 и ax 2 + bx + c 0 можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

При этом поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 или вниз при a

если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при a > 0 или в нижней при a

3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство ax 2 + bx + c > 0) или ниже оси x (если решают неравенство ax 2 + bx + c

Особенности решения неравенств указанным способом были разобраны выше.

Например, решим неравенство x 2 + 2x – 48

Рассмотрим функцию y = x 2 + 2x – 48 . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Выясним, как расположена эта парабола относительно оси x.

Для этого решим уравнение x 2 + 2x – 48 = 0.

Получим: x 1 = 6 x 2 = -8.

Значит, парабола пересекает ось x в двух точках, абсциссы которых равны 6 и -8.

Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости.

Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения, когда x (-8; 6).

Следовательно, множеством решений неравенства x 2 + 2x – 48

Заметим, что при рассмотренном способе решения неравенства нас не интересовала вершина параболы. Важно лишь было знать, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз, и каковы абсциссы точек её пересечения с осью x.

Затем учащиеся знакомятся с другим способом решения неравенств, так называемым методом интервалов, в частности, неравенства вида (1) решают этим методом.

Пусть функция задана формулой вида

f (x) = (x – x 1 )(x – x 2 ) … (x - x n ),

где x – переменная, а x 1 , x 2 , … , x n – не равные друг другу числа. Числа x 1 , x 2 , … , x n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Это свойство используется для решения неравенств вида (1).

1) вводим функцию;

2) находим область определения функции;

3) находим нули функции;

4) разбиваем область определения точками, в которых функция обращается в нуль, на интервалы;

5) определяем знак функции в каждом из этих интервалов;

6) выбираем те интервалы, которые удовлетворяют данному неравенству;

7) записываем ответ.

Например, решим неравенство: (x + 9)(x - 2)(x - 15)

1) f (x) = (x + 9)(x - 2)(x - 15), f (x)

3) f (x) = 0: x = -9, x = 2, x = 15

Таким образом, программа по алгебре предусматривает изучение линейных неравенств с одним неизвестным, неравенств второй степени с одним неизвестным, а также рациональных неравенств и метода интервалов. Основной упор в этих вопросах делается на овладение умениями решать перечисленные выше неравенства. Это объясняется тем, что аппарат неравенств находит широкое применение при решении самых разнообразных задач самого курса алгебры, алгебры и начал анализа, курса геометрии. В первую очередь, это задачи на исследование функций (нахождение области определения степенной, логарифмической и других функций; нахождение промежутков знакопостоянства, промежутков монотонности и др.). Решение логарифмических уравнений и неравенств, тригонометрических неравенств требует умения решать линейные неравенства с одной переменной, квадратные неравенства. Изучение приближенных вычислений, введение важнейших понятий математического анализа – производной и интеграла – существенно опирается на аппарат неравенств. Кроме того, линия неравенств находится среди тех вопросов, которые получают в курсе алгебры и начал анализа наибольшее развитие. Поэтому определенные умения, связанные с неравенствами, должны быть доведены до автоматизма, должны быть прочно усвоены и отработаны, чтобы на них можно было опираться для развития последующих представлений и умений.

Математика – одна из древнейших наук, которая изучает действия над арифметическими числами. Знания по математике применяются во многих отраслях науки: экономике, химии, биологии, физике, географии и многих других.
В школьном курсе математики изучаются разные темы, одной из которых являются неравенства. Неравенствами называют выражения вида:

Содержание

Введение ………………………………………………………………………. 3
Глава 1. Виды неравенств и способы их решения
1. Понятие неравенства ………………………………………………………..6
2. Виды неравенств
2.1 Числовые неравенства и их свойства ………………………………….. 7
2.2 Линейные неравенства с одним неизвестным ………………………. .10
2.3 Решение систем неравенств с одним неизвестным …………………. 15
2.4 Квадратное неравенство и его решение ……………………………….17
3. Способы и методы решения неравенств
3.1 Решение квадратного неравенства с помощью графика функции ……19
3.2 Метод интервалов…………………………………………………………21

Работа содержит 1 файл

КУРСОВАЯ РАБОТА.doc

Два неравенства называют равносильными, если они имеют одни и те же решения.

При решении неравенств чаще всего применяются следующие равносильные преобразования.

1. Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное число или выражение с переменной, принимающее только положительные значения.

2. Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число или на выражение с переменной, принимающее только отрицательные значения с одновременной заменой знака неравенства на противоположный.

3. Перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака этих слагаемых.

4. Изменение знаков у обеих частей с одновременной заменой знака неравенства на противоположный.

Рассмотрим, как применяются эти свойства в решении линейных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство:

Множество чисел х, удовлетворяющих неравенству х > - 2/3, на числовой оси изображается лучом (рис. 5). Точка х = - 2/3 не принадлежит этому лучу, на рисунке 2 она изображена светлым кружком, а луч отмечен штриховкой.

Множеству чисел х, удовлетворяющих, например, неравенству х ≥ 2, также называют лучом. Точка х=2 принадлежит этому лучу, поэтому на рисунке 6 эта точка изображена темным кружком.

Пример 2. Решить неравенство:

Упростим левую часть неравенства:

6 – 3х – 2 > 5 – 3х,

Неравенство не имеет решение, так как левая часть неравенства при любом значении х равна нулю, а неравенство 0 х >1 неверно. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2.3 Решение систем линейных неравенств с одной переменной

Системы неравенств, подобно системам уравнений, возникают, когда есть несколько неравенств и требуется найти все значения переменных, при которых каждое из данных неравенств превращается в верное числовое неравенство.

Однако имеется и отличие: системы уравнений бывают как минимум с двумя переменными, а в системе неравенств может быть и одна переменная. Например, требуется найти все значения х, при которых одновременно выполняются неравенства 3х+5>7, 4+6х ≥ 4х+1, х > 0, 7-2х > 3.

Обычно системы неравенств записывают так же, как и системы

уравнений, - с помощью фигурных скобок.

Решением системы неравенств с одной переменной называется всякое число, при подстановке которого вместо переменной все неравенства, входящие в систему, превращаются в верные числовые неравенства.

Решить систему неравенств – значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Пример 1. Решить систему неравенств

х - 5 и х > - 4 следуют из неравенства х ≥ -3, и поэтому заданную систему можно переписать в виде

Таким образом, заданную систему можно переписать в виде

Первое и второе неравенства системы, очевидно, не имеют общих решений.

Ответ: нет решений.

2.4 Квадратное неравенство и его решение

Если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен,

а в правой – нуль, то такое неравенство называют квадратным.

Решением неравенства с одним неизвестным называется, то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Приравняем неравенство х2 – 5х + 6 > 0 к нулю. Получим уравнение

х2 – 5х + 6 = 0, которое имеет 2 различных корня: х1=2, х2= 3. Следовательно, квадратный трёхчлен х2 – 5х + 6 можно разложить на множители:

Поэтому данное неравенство можно записать так: (х-2)(х-3)>0

Произведение множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки.

1) Рассмотрим случай, когда х-2>0 и х-3>0 (т.е. оба множителя положительны). Эти 2 неравенства образуют систему:

Все числа х>3 являются решениями неравенства (х-2)(х-3)>0

2) Теперь рассмотрим случай, когда х-2 х-2 х-3 х 0

Значит решение неравенства являются числа х 3.

§ 3. Способы и методы решения неравенств

3.1 Решение квадратного неравенства с помощью графика функции.

Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где а ≠ 0. Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых на которых квадратичная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Решить с помощью графика неравенство 2х2 – х – 1 ≤ 0

Графиком квадратичной функции у = 2х2 – х – 1 – является парабола.

Для нахождения точек пересечения параболы с осью Ох решим квадратное уравнение 2х2 – х – 1 = 0

х 1,2 = 1 ± 4√1+8 = 1 ±4 3

Следовательно парабола пересекает ось Ох в точках х = 1; х = - ½

Из рисунка 7 видно, что неравенству удовлетворяют все числа из отрезка

Для решения квадратного неравенства с помощью графика нужно:

1) определить направление ветвей параболы по знаку первого

коэффициента квадратичной функции;

2) найти действительные корни соответствующего квадратного уравнения

или установить, что их нет;

3) построить эскиз графика квадратичной функции, используя точки

пересечения (или касания) с осью Ох, если они есть;

4) по графику определить промежутки, на которых функция принимает

3.2 Метод интервалов

При решении неравенств часто применяют метод интервалов. Поясним этот метод на примерах.

Выяснить, при каких значениях х квадратный трехчлен

х2 – 4х + 3 принимает положительные значения, а при каких – отрицательные.

Найдем корни уравнения х2 – 4х + 3 = 0:

Поэтому х2 – 4х + 3 = (х-1)(х-3). Точки х = 1 и х = 3 разбивают числовую ось на 3 промежутка: х 3.

Промежутки х 3, так же как и промежуток 1 3 трехчлен х2 – 4х + 3 = (х-1)(х-3) принимает положительные значения, так как в этом случае оба множителя х – 1 и х – 3 положительны.

На следующем интервале 1 3 значения трехчлена х2 – 4х + 3 положительны, расставляем его знаки на остальных интервалах в порядке чередования.

Рассмотренный способ называют методом интервалов. Этот метод используется для решения квадратных и некоторых других неравенств.

Алгоритм метода интервалов:

1. Находят корни х1, х2, …, хr многочлена Р(х) и наносят их на координатную прямую, при этом координатная прямая разбивается на промежутки.

2. Определяют знак многочлена Р(х) на одном из промежутков и, пользуясь свойством чередования знаков, расставляют знаки на остальных промежутках, руководствуясь правилом: при прохождении корня знак изменяется на противоположный, если корень имеет нечетную кратность, и сохранять неизменным, если корень имеет четную кратность; определение знака многочлена удобно начинать с крайнего справа промежутка, либо с промежутка, содержащего точку

х = 0 (только если она не является корнем);

3. В результате получают диаграмму знаков многочлена, по которой

выбирают те промежутки знакопостоянства многочлена, которые

соответствуют заданному условию: > или основной школы.

 уметь решать линейные неравенства и системы линейных неравенств; квадратные неравенства; нестрогие неравенства;

 иметь представление о графическом способе решения неравенств;

 иметь представление о решении неравенств методом интервалов;

2. Анализ учебников.

Для того, чтобы лучше увидеть как идет процесс формирования обобщенных приемов решения неравенств у учащихся в школьном курсе, проведем сравнительный анализ двух авторов Ш. А. Алимова и др. и

К. С. Муравина и др.

Ш. А. Алимов и др. 8 класс.

§ 2. Числовые неравенства.

§ 3. Основные свойства числовых неравенств.

§ 4. Сложение и умножение неравенств.

§ 5. Строгие и нестрогие неравенства.

§ 6. Неравенства с одним неизвестным.

§ 7. Решение неравенств.

§ 8. Системы неравенств с одним неизвестным.

§ 9. Решение систем неравенств.

§ 40. Квадратное неравенство и его решение.

§ 41. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной

§ 42. Метод интервалов.

§ 11. Возведение в степень числового неравенства.

§ 16. Неравенства и уравнения, содержащие степень.

К. С. Муравин и др. 9 класс.

§ 1. Свойства неравенств.

§ 3. Линейные неравенства с одной переменной.

§ 4. Рациональные неравенства с одной переменной. Метод интервалов.

Если мы посмотрим на сравнительный анализ двух авторов Ш. А. Алимова и др. и К. С. Муравина и др., то увидим, Ш. А. Алимов и др. числовые неравенства начинает изучать в начале 8 класса и отводит для изучения их свойств два параграфа. Чего нельзя сказать о К. С. Муравине и др., который знакомит учащихся с неравенствами и их свойствами лишь в 9 классе. Так же Ш. А. Алимов в 8 классе изучает неравенства с одним неизвестным, решение систем неравенств.

Общее у двух авторов, то что в конце изучения темы как Ш. А. Алимов, так и К. С. Муравин, они раскрывают метод интервалов, Ш. А. Алимов это делает в 8 классе, а К. С. Муравин лишь в 9 классе.

Сравним, сколько часов отводит каждый из авторов на изучение тем:

Читайте также: