Методика изучения действительных чисел в школьном курсе математики

Обновлено: 07.07.2024

Одним из основных понятий математики является понятие числа. Изучение математики открывает знакомство с простейшим видом чисел — натураль­ными, и все последующее ее изучение связа­но с понятиями различных видов чисел.

Непосредственно связанным с понятием числа яв­ляется понятие величины. Пожалуй, первые представ­ления о величинах, а именно о частном виде вели­чин — количестве предметов во множестве, было ос­воено людьми даже раньше, чем представление о чис­лах. А дальнейшее историческое развитие понятия числа связано с развитием понятия величины и обусловлено им. По мере расширения понятия величины, вве­дения новых видов величин, вводились, создавались, изобретались и новые классы чисел.

Математика изучает отдельные виды величин и чисел, дает им определения и устанавливает правила действий с числами и приёмы измерения величин. Но она не дает общего определения числа или величины вообще. Поэтому в школе изу­чается, главным образом, аппарат действий над разными видами чисел и измерения основных видов величин.

3.1. Различные подходы к введению числовых множеств

Исторически числовые множества расширялись следующим образом: N → N +→ а/в - → Z - → Q → R ., в современной математике порядок изучения чисел другой: : NcZcQcRcC .

В основе построения нового числового множества лежит принцип расширения, формулируемый следующим образом: «Пусть множество А расширяется до множества В, тогда необходимо выполнение следующих условий:

1. А В.

2. Все операции и отношения, выполняемые в А , должны выполнятся в В.

3. В В выполняется та операция, которая не выполняется в А.

4. Расширение идет по минимальности. (Нельзя N сразу расширить до Q).

В школьном курсе число будет считаться введенным, если:

– дано определение этого числа (часто описательного характера),

вытекающее из мотивирования необходимости его введения;

– для введенных чисел определяются отношения: =, >, , с*в = а).

Лучшему усвоению учащимися множества натуральных чисел способствует изучение некоторых вопросов делимости. По отношению делимости на данное на­туральное число n множество N разбивается на два непересекающихся класса: на­туральные числа, делящиеся на n и натуральные числа, не делящиеся на n. По чис­лу делителей - , , . Рассматриваются признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 и деление с остатком.

В результате изучения натуральных чисел у учащихся на наглядно-интуитивной основе должно быть сформировано:

1. знание свойств натуральных чисел (множество N - бесконечно, дискретно, упорядоченно, ограничено снизу);

2. понимание того факта, что операция умножения на N не определяется;

3. определение операции вычитание, умножение и деление;

4. умение работать с числами 0 и 1.

Теоретический материал в учебниках излагается в виде фрагментов, а затем идет решение задач и примеров.

В учебнике 5-го класса приводятся определения следующих понятий:

- натуральное число, десятичная запись числа, миллиард,

- сумма, разность, произведение двух натуральных чисел,

- делитель числа, кратные числа,

- совершенное число, простое число, дружественные числа.

3.3.Методика изучения дробных чисел

Основным источником получения дробных чисел является практическая деятельность (дробь, как результат измерения, результат деления целого на равные части, как частное от деления целого числа на другое натуральное число). В учебнике Н.Я. Виленкина приводятся все три способа получения дробных чисел.

Первое знакомство учащихся с обыкновенными дробями происходит в 3 классе параллельно с изучением натуральных чисел. В 5 классе начинается систематическое изучение дробей. Десятичные дроби для учащихся не являются новыми числами по сравнению с обыкновенными дробями. Они представляют лишь другую запись ранее известных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000, так как в математических расчетах и при проведении практических работ наиболее удобны десятичные числа.

В методике математики существует проблема порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей.

Возможные подходы к ее решению:

- сначала изучаются десятичные дроби, а потом – обыкновенные;

- сначала изучаются обыкновенные дроби;

- смешанный вариант изучения дробей.

В существующих учебниках придерживаются третьего варианта.

Порядок изучения дробей

5 класс 6 класс
Обыкновенные дроби Обыкновенные дроби
Сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Сравнение дробей
Десятичные дроби Арифметические действия с дробями
Четыре действия с десятичными дробями Процент (по сути, изучение дес. дробей)

Важным элементом методики изучения дробных чисел является убеждение учащихся в целесообразности их введения.

Вторым приемом является тот факт, что с их помощью операция деления натуральных чисел делается всегда выполнимой.

Третий прием связан с измерением величин.

3.3.1. Обыкновенные дроби

Методика введения обыкновенных дробей

В 5 классе происходит лишь знакомство учащихся с обыкновенными дробями, их изучение продолжается в 6 классе.

Тема: методика изучения действительных чисел в школьном курсе математики.

1)изучить требования стандарта и программы ( для конкретного учебника) для общеобразовательного уровня и для углублённого изучения математики;

3) дать характеристику практической части темы; привести решения наиболее трудных заданий, выделив при этом трудные элементы и предложите задания способствующие снятию затруднений;

4)разработайте методику изучения:

· Введение понятия корня из неотрицательного числа;

· Введение понятия иррационального числа;

· Множества действительных чисел;

· Свойств квадратных корней;

· Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения корня;

· Функции и ее свойства и график;(я с Леней взяла)

· Решение наиболее трудных задач по теме.

Методика введения действительных чисел

Изложение вопроса о действительных числах начинается обычно с задачи об извлечении корня.

Однако опрос об извлечении корня не является главным.

В процессе введения понятия действительного числа, главной задачей является дополнение рационального числа до непрерывности.

При этом решается задача об извлечение корня из положительного числа.

При введении понятия действительного числа в связи с его введением возрастает много важных методических вопросов, которые в различных пособиях решаются по-разному.

1.Каким должно быть понятие действительного числа сложенного у учащихся в результате изучения темы.

2.Нужно ли определение, если нужно, каким должно быть определение действительного числа.

3. из каких конкретных задач должен возникать вопрос о введении действительного числа и др.

В зависимости от того как будут решены эти вопросы попутно будут решаться и другие достаточно важные

Например: ввести ли вначале понятие действительного числа, а затем выделить как частный случай иррациональное число или в начале ввести понятие иррационального числа, а затем совместимость рациональных и иррациональных чисел назовем как систему ДЧ.

При выборе метода введения следует учесть научность, доступность учащимися и усвояемость данного понятия.

Чтобы ответить на эти вопросы, надо обратить внимание на происхождение понятия ДЧ.

Сущность понятия ДЧ заключается в том, что система ДЧ, есть такая числовая система, которая способна выразить непрерывные изменения величин.

Наиболее простым примером непрерывности процесса является движение точки по прямой и в частности изменения расстояния движущийся точки от некоторой к начальной.

Поэтому естественно понятие о ДЧ рассматривают как понятие о такой системе чисел, которая по своей структуре такова же, как совокупность точки прямой.

Из сказанного следует, что нау учащихся понятие ДЧ и понятие непрерывной величины - это 2 стороны одного процесса.

Мы будем рассматривать понятие ДЧ из задачи измерения отрезка.

Понятие ДЧ вводится в 8 классе в теме корня. В начале проводится повторения о рациональных числах - это понятие приводится в систему.

В формировании понятия ДЧ главным является понятие бесконечной десятичной дроби, которую впервые вводится в 8 классе.

До введения понятия ДЧ иррационального числа необходимо добиться у учащихся следующих положений:

1.каждое дробное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

таким образом, каждое иррациональное может быть представлено в виде бесконечной дроби и наоборот каждое бесконечное периодическое десятичная дробь представление некоторое иррациональное число.

2.вводится понятие арифметического квадратного корня

Определение: арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число квадрат которого равен а.

Это определение конъюнктивной структуры, объект подходит под понятие лишь при условии наличии обоих требовании и не подходит во всех остальных случаях.

Путем рас-я достаточного количества рас-я примеров необходимо подготовить учащихся к выводу, что выражение не имеет смысла при отрицательных значениях а.

Возникает вопрос- определено ли выражение для всех неотрицательных знаменателей а.

Ответ на этот вопрос дается путем решения квадратного уравнения.

Внимание учащихся обращается на тот факт, что рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует. На данной ступени обучения считается возможным лишь обнаружение индуктивное этого факта.

Как определить его значение. Доказательством что точка М никакому рациональному числу. Предположим обратное, что

2- четное, значит - четное

То получили, что это число нельзя представить в виде отношений целое / к натуральному.

Определение: число которое нельзя представить в виде дроби , где называют иррациональным числом.

Выше было выявлено, что всякое рациональное число может быть представлено в виде периодичной действительной.

Учащимся сообщается, что кроме существует множество иррациональных чисел, которые представляются в виде не периодичной дроби и дается определение.

Определение:совокупность иррациональных и рациональных чисел дает множество ДЧ.

4) Методика введения отрицательного числа.

Прежде чем дать понятие об отрицательном числе необходимо показать на конкретных примерах, что известно уч-ся чисел недостаточно для характеристики положения точки на прямой к началу отсчета.

На достаточном количестве примеров надо показать неудобства понятия типа вправо или влево, вверх или вниз начертить числовую ось. Необходимо отложить начало отсчета и чтоб для определенности таких шкал, которые находятся вправо со знаком плюс, влево с противоположным знаком- минус.

В учебнике рассматривается достаточное число примеров, показывающих о целесообразности использования определенных знаков для обозначения направления противоположности движения. Для понятия введения отрицательного числа необходимо пользоваться демонстративным термометром и другими пособиями.

Знакомству с противоположными числами способствует изучение центра симметрии.

Понятие о противоположных числах связывается симметричными точками. В тоже время введение этого понятия основывается с геометрическим истолкованием положительных и отрицательных чисел.

В пункте противоположных чисел вводится определение целых чисел. Натуральные числа, противоположные числа, нуль- называют целыми числами. Модуль числа- понятие модуль числа дает от начала отсчета до точки соответствующему числу. Следует обратить внимание учащихся как мотивировать определение модуля числа.

В учебниках понятие модуля числа вводится путем рассмотрения примеров, поясняют как находить модуль числа. Поясняется, что модуль числа не может быть отрицательным ибо модуль числа это расстояние- обращается внимание, что для положительного числа модуль равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

Соотношения равенства и неравенства между положительными и отрицательными числами вводится по определению, они не могут быть получены путем доказательства, причем очень важно показать учащимся целесообразность определения на конкретных примерах и геометрических образах.

Учащиеся должны на столько прочно усвоить расположение чисел на числовой прямой, чтобы это могло служить основным средством сравнения чисел. Иногда возникают трудности в сравнении отрицательных чисел, чтобы преодолеть их, необходимо рассмотреть их на числовой прямой.

Действия над отрицательными и положительными числами.

Основное, что надо учитывать учителю при рассмотрении этого материала - это действия сложения и вычитания над положительными и отрицательными числами вводится по определению, причем формулировки этих определений должны включать в себя ранее известные учащимся понятия об этих действиях. Вычитание и деление определяются как обратные сложению и умножению.

В учебнике отдельно дается определение действия сложения чисел с разными знаками, формулировки этих правил содержат указание на следующие действия. В учебнике большое время уделяется к тому как подойти к действию сложению. Основное внимание уделяется к рассмотрению конкретных задач, обращаясь при этом к координатной прямой.

Каким бы путем не вводилось правило сложение учащимся должно быть ясно, что ничто не доказывается при рассмотрении следующих примеров. Примеры признаны лишь иллюстрировать целесообразность правил. Учащиеся должны овладеть навыками выполнения сложения 2-х отрицательных чисел с разными знаками, противоположных чисел, нуля с положительными и отрицательными числами.

Рассматривая свойства действий важно показать учащимся, что при установленных определениях действий сложения и вычитания чисел сохраняется все те законы которые имели место для положительных чисел.

Учащимся дается формулировка переместительного и сочетательного законов запись каждого из них с помощью букв.

Вычитание отрицательных чисел определяются как действие обратное сложению. Вычитание сводится к прибавлению противоположного числа.

Умножение положительных и отрицательных чисел представляет наибольшую трудность, трудность заключается в том, что учащейся испытывают потребность в доказательстве правил знаков при умножение, а учитель должен убедить учащихся, что такого доказательства нельзя искать или требовать, таким образом действие умножения вводится по определению, которое можно ввести по разному и по разному истолковать правило знаков. Сложения и умножения имеют много общего, однако трактовка правил умножения вызывает больше трудности.

Рассмотрим объяснения правил умножения является рассмотрение конкретных задач, решение которых требует вычисление по формуле а в, при различных а и в. недостатком этого метода является, то что они доказывают правило умножения.

Многие авторы придерживаются пути, когда в начале дается формулировка правил умножения, затем оно поясняется на примерах, задачах. Учащийся убеждаются на конкретном математическом в практичной целесообразности введенного определения.обычно в учебниках формулировки правил умножения чисел с разными знаками и правил умножения натуральных чисел представляет расписания рядов примеров.

При этом используется положение о том, что если изменить знак одного из множителей, то изменится знак произведения.

Правило формулируется удобным для использования вида. Необходимо обратить внимание учащихся на условия равенство произведения нулю.

Деление положительных, отрицательных чисел рассматривается как действие обратное умножению. Учащемуся сообщается, что деление положительных и отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел. Важно обратить внимание на законы вычисления и умножения выражений.

Так же как и в случая сложения, правило сложения и умножения натуральных чисел может быть выведены из умножения чисел. Считая, что правило знаков для суммы известно.

В 6 классе в теме рациональные числа вводятся памяти отрицательные числа, которое может быть записано в виде дроби. Расписывается множество рациональных чисел можно сбить внимание, что когда выполнимо :, +, *, - на число не равное нулю.

При вычитании или выполни действий учащийся получают числа того же множества и это множество обладает свойством замкнутости по отношению к действиям первой и второй степени. Для сложения справедливы переместительный и сочетательный законы имеется нейтральный элемент, имеется противоположный элемент.

Для умножения справедливы первый распределительный и сочетательный закон, имеется нейтральный элемент 1, противоположный элемент .


1. О необходимости изучения действительных чисел в школьном курсе.

2. Введение иррационального числа в восьмилетней школе.

3. Изучение действительных чисел в 10 классе.

1. О необходимости изучения действительных чисел в школьном курсе.

Нет другого раздела школьного курса математики, который усваивался бы с таким трудом, как раздел, посвященный переходу от множества рациональных чисел к множеству действительных, осуществляемых в 8 классе через введение иррациональных чисел.

На вопрос о том, что же такое иррациональное число, часто выпускники школ отвечают, что это корень. Считают, что если и сложить можно, то сумму чисел и определить нельзя. Если при решении квадратного уравнения абитуриент получает в ответе числа , то считают, что уравнение составлено неверно.

Обойтись без иррационального числа в курсе элементарной математики нельзя, но ни одна из существующих теорий действительных чисел по своей сложности неприемлема в школе. Поэтому учащиеся знакомятся с действительными числами в ознакомительном порядке.

Действительные числа в школьном курсе изучаются дважды: при введении иррационального числа в курсе А-8 и в 10 классе этой теме посвящен параграф 1 (2 пункта). Необходимость изучения множества действительных чисел в школьном курсе диктуется, прежде всего, потребностями самого курса математики.

Изучением множества R завершается рассмотрение числовых множеств в школьном курсе. Понятие действительного числа лежит в основе метрической геометрии и измерения геометрических величин. Без понятия действительного числа нельзя четко определить понятия предела числовой последовательности и функции, иными словами – нельзя ввести начала анализа, предусмотренные программой.

2. Введение иррационального числа в восьмилетней школе.

Понятие квадратного корня и арифметического квадратного корня появляются в ходе решения задачи на нахождения стороны квадрата по известной его площади. Важно, чтобы учащиеся хорошо усвоили, что символ вводится только для арифметического квадратного корня, обозначающего неотрицательный корень уравнения . Число, противоположное арифметическому корню, обозначается . и только, но .

Учащиеся должны уяснить, что есть число неотрицательное. После того, как сформулировано первоначальное представление об арифметическом квадратном корне из числа и введен символ , можно поставить вопрос о том, при каких значениях переменной выражение имеет смысл. При - смысла нет (из определения ). Квадратный корень из , это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Но при любом ли определено выражение ?

В связи с постановкой этого вопроса естественным образом вводятся в рассмотрение такие выражения, как и т.д.

Алгоритм проверки факта, что данное число состоит из 2 шагов: 1). ; 2).. Для отработки этого алгоритма – упражнение №241.

Упражнение №239. Какое из указанных равенств является верным?

Упражнение №252. При каком значении верно равенство: .

Упражнение №313. При каком значении имеет смысл выражение .

Параграф 21 посвящен понятию действительного иррационального числа и приближенному вычислению квадратных корней.

Рациональные и иррациональные числа на разных этапах изучения алгебры. Графическое изображение числовых функций в курсе средней школы.

ВложениеРазмер
statyano2.doc 19.14 КБ

Предварительный просмотр:

,,Действительные числа и чиловые функции" вкурсе математики средней школы

Изложение материала темы,,Действительные числа" в курсе математики средней школы не является строго теоретическим.Относительная строгость изложения темы зависит от того, какое место она занимает среди некоторых тем курса алгебры и начал анализа.Поэтому трудно высказать какие-либо категорические рекомендации по изучаемому материалу; очевидно одна из задач уителей-практиков состоит в накоплении и обобщении соответствующего материала.

1. Рациональные и иррациональные числа.Бесконечные десятичные дроби.

Первое знвкомство учащихся с иррациональным числом происходит в курсе алгебры 8класса при изучении темы ,,Квадратные корни".

Изучение темы начинается повторения и приведения в систему сведений о рациональном числе иподводят к выводу, чтоСуществуют числа не являющиеся рациональными,т. е числа, которые нельзя записать в виде дроби , где чслитель натуральное число,а знаменатель целое числоТакие числа были названы иррациональными.

Обединение множества иррациональных чисел с множеством рациональных чисел называют множеством действительных чисел. Таким образом каждое действительное число является либо рациональным либо иррациональнымЛюбое действительное

число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби

Чтобы записать рациональное число в виде бесконечной дроби надо представить его в виде обыкновенной дроби,а потом разделить,,уголком" числитель на знаменатель.Бесконечные десятичные дроби,выражающие рациональные числавсегда периодичны и что обратнолюбая бесконечная десятичная периодическая дробь выражает некоторое рациональное число. Иррациональные числа записываются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Ирациональные числа не всегда связаны с делением числителя на знаменатель дроби; например при извлечении квадратных корней из натурального числа также получаются иррациональные числа.Обращается внимание учащихся на тот факт,что квадрат числа равный 2 среди рациональных чисел не существует. Учащиеся должны почувствовать саму идею:сколько бы знаков в десятичном приближении при извлечении квадратного корня из 2 мы не взяли,какую бы гмоздкую дробь не взяли,всё равно квадрат этих чисел не. будет в точности равен 2. Современная прграмма не предусматривает обязательно изучения метода извлечения квадратного корня,но ознакомить с этим методом весма полезно.

На этом заканчивается круг сведений о действительных числах в 8классе.

При изучении темы,,Арифметическая иГеометрическая прогрессия" в 9 классе уточняется понятие последовательности(конечной и бесконечной), вводится понятие монотонной последовательности,рассматривается последовательность рациональных приближений бесконечной десятичной дроби.Дальнейшие сведения о ддействительных числах учащиеся пробретают в курсе алгебры и начал анализа в 10- 11 классах.

Сравнение действительных чисел и арифметические операции над ними

Для сравнения действительных чисел их записывают в виде бесконечных десятичных дробей и сравнивают по тому же правилу, что и конечные дроби.Все основные свойства с рациональными числами сохраняются и для действительных чисел(т.е. переместительный, сочетательный,распределительный законы; правила раскрытия ско бок и т д.)

С Помощью функций описывают зависимости между величинами, т.е. зная значение одно величины можно найти значение другой величины например: зная длину стороны квадрата находим его площадь по формуле. Чтобы задать числовую функцию:

нужно задать числовое множество Х и правило по которому каждому числу Х из этого множества соответствует однозначно определённое число.В большинстве случаев функции задают с поммощью выражений.Это выражение задаёт программу вычислений значений функции.

На практике всречаются функции, которые нельзя задать каким-либо выражением например: ккаждому моменту времени t соответствует определённая температура воздуха; выражения, задающего эту зависимость не существует,иначе по нему можно было бы предсказать температуру воздуха в данном месте на много лет вперёд.

наглядное представление о зависимости описываемой функции даёт график этой функции.

Графиком функции f ,заданной на множестве Х, называют множество пар чисел(х;f). Каждую пару чисел можно изобразить точкой на координатной плоскости.

В курсе девятилетней школы изучаются графики функций:

линейная функция(график прямая линия)

квадратичная фунция(график парабола)

кубическая функция(кубическая парабола)

функцияУ=К/Х (график гипербола)

В курсе 10-11 классов

график показательной функции

график логарифмической функции.

Поскольку при каждом значении аргумента из области определения функции она имеет лишь одно значение,то любая прямая параллельная оси ординат или совсем не пересекает график функции или пересекает лишь водной точке. тсюда следует,чтоне любая линия на координатной плоскости может быть графиком какой-нибудь функции.Например6 окружность не может быть графиком,т.к. прямые параллельные оси ординат пересекают её в двух точках.

С помощью графиков легко определить на каких участках функция возрастает или убывает;в какой точке принимает наибольшее или наименьшее значение;сравнивать значения.

Таковы основные результтаты изучения действительнных чисел в курсе алгебры и начал анализа всредней школе.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Практическая работа как составная часть курса географии средней школы

Практическая работа как составная часть курса географии средней школы.


Уравнения в курсе математики средней школы"

В работе рассматриваются различные виды уравнений, которые проходят в 5-6 класссах, 7-9 классах и 10-11 классах. /В помощь начинающему учителю/.


Принцип симметрии в курсе физики средней школы

С помощью принципа симметрии можно среди огромного множества физических явлений выявить основные структуры, свести все разнообразие физического мира к небольшому числу фундаментальных физических закон.

Действительные числа и числовые функции в курсе математики средней школы.

Рациональные и иррациональные числа и действия с ними на разных этапах обучения алгебре. Графическое изображение числовых функций в школьном курсе алгебры.

Элективный курс по физике "Физические приборы и графики в курсе физики средней школы"

Элективный курс рассчитан на профильное обучение физике.Содержание1.Пояснительная записка2.Содержание тем курса3.Требования к знаниям учащихся4.Тематическое планирование5.ЛитератураМатериал подобран т.

Статья "Функция в курсе математики основной школы".

В статье подробно анализируются различные методы преподавания темы "Функции" в основной школе. Описываются различные подходы, приводятся методические материалы.


2019 Формирование у старшеклассников гражданской идентичности с использованием биографического материала в курсе физики средней школы. Презентация к выступлению.

В презентации представлены :Историко-биографический материал который можно реализовать в процессе преподавания физики:-непосредственно на уроке: при объяснении нового материала;-во внеурочной деятельн.

Объектом исследования являются числовые множества.
Предметом - рассмотрение методики преподавания числовых систем в средней школе.
Целью курсовой работы является выявление методических принципов способствующих эффективному усвоению теории числовых систем в школьном курсе математики.
Задачи курсовой работы:
• Анализ литературных источников.
• Анализ школьных программ и учебников

Содержание работы

Введение………………………………………………………………………………….3
Глава 1 . Развитие понятия числа в математике…………………………………..6
1. Натуральные числа……………………………………………………………………6
1.1. Возникновение натурального числа……………………………………..6
1.2. Построение множества натуральных чисел……………………………..7
2. Целые числа……………………………………………………………………………9
2.1. Множество целых чисел…………………………………………………….9
2.2. Отрицательные числа……………………………………………………….10
3. Рациональные числа…………………………………………………………………..11
3.1. Дробные числа………………………………………………………………11
3.2. Десятичные дроби……………………..……………………………………14
4. Действительные числа………………………………………………………………..15
4.1. Иррациональные числа…………………………………………. ………15
5. Комплексные числа………………………………. 17
Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе………………20
1. Анализ программы по математике…………………………………………………. 20
2. Методика изучения натуральных чисел. 24
3. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей…………………. 29
4. Методика изучения отрицательных чисел…………………………………. 38
5. Построение множества рациональных чисел в школьном курсе математики. 40
6. Методика изучения действительных чисел …………………………………….…. 41
Заключение…………………………………………………………………………..…..44
Использованная литература………………………………………………………. 45

Содержимое работы - 1 файл

курсовая тимом.docx

Министерство образования и науки РФ

Армавирский государственный педагогический университет

Кафедра алгебры, геометрии и МПМ.

Тема: «Методика изучения числовых систем

Глава 1 . Развитие понятия числа в математике……………………………… …..6

1.1. Возникновение натурального числа……………………………………..6

1.2. Построение множества натуральных чисел……………………………..7

2.1. Множество целых чисел……………………… …………………………….9

4.1. Иррациональные числа………………………… ………………. ………15

5. Комплексные числа………………………………. . . 17

Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе………………20

1. Анализ программы по математике…………………………………………… ……. 20

2. Методика изучения натуральных чисел. . . 24

3. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей…………………. 29

4. Методика изучения отрицательных чисел…………………………………. ..38

5. Построение множества рациональных чисел в школьном курсе математики. 40

6. Методика изучения действительных чисел …………………………………….…. 41

Использованная литература…………………………………………………… …. 45

Приложение №3. Внеклассное мероприятие по математике для 6 класса…..….51

Понятие числа прошло долгий исторический путь развития. Оно сложилось постепенно в процессе решения все более и более сложны вопросов сначала практического, а потом и теоретического характера, и является одним из древнейших понятий математики.

С развитием обмена развивался счет. Уже у древних египтян и вавилонян были системы нумерации. Обе не позиционные. Из позиционных систем нумераций древнейшей из известных является вавилонская шестидесятеричная. Она не имела абсолютного характера, так как в ней не было нуля.

В начале нашей эры , позиционная система счисления появилась у племен майя с основанием системы -20.

Запись в позиционной десятичной системе с употреблением нуля появилась в Индии около 500 г. н.э. эта система через арабские страны дошла до Испании в X веке. Общеупотребительной она стала в Европе в XV-XVI веках, а в России - в XVII веке.

Дробями пользовались уже древние египтяне и вавилоняне. Греческие математики за несколько веков до н.э. установили недостаточность рациональных чисел для строгого решения задач измерения длин и вплотную подошли к понятию действительного числа, создав теорию пропорций.

Представление об отрицательных числах сложилось у индийцев около 500 г. Н.э., которые рассматривали их в связи с расчетами на имущество и долг.

Понятие комплексного числа возникло с развитием алгебры в XVI веке . В середине XIX века Дедекинд построил теорию действительного числа.

В это же время Гамильтон построил первую гиперкомплексную систему – тело кватернионов: множество чисел вида , где

Для математики множество N натуральных чисел является исходным для построения других числовых систем путем последовательного расширения предыдущих. При этом задача расширения понятия числа включает в себя выполнимость таких требований:

    1. Если множество расширяется до множества то .
    2. Все отношения и операции для элементов определены также и для элементов множества причем их смысл для элементов , рассматривается как элемента должен совпадать с тем, какой они имели в до расширения.
    3. Операция, в связи с которой строится расширение , которая в была не выполнима. Или не всегда выполнима, в – всегда выполнима.
    4. Из всех расширений расширение B должно быть минимальным, то есть таким, которое содержится в любом другом расширении .

В математике логическая схема расширения понятия числа имеет вид:

Как видно, она отличается от исторического пути развития понятия числа.

В школьном курсе математики последовательность расширения понятия числа отлична от принятой в математике. Она ближе к историческому пути развития понятия числа.

В начальной школе и 5 классе рассматривается множество - множество натуральных чисел и нуля. Затем в 5 классе изучается понятие дробного числа и десятичные дроби - множество .

В 6 классе завершается изучение дробных чисел, и изучаются сначала целые числа – множество , а затем рациональные числа – множество .

В 8 классе дается понятие иррационального числа и рассматривается множество действительных чисел R.

Изучение множества комплексных чисел новой программой по математике не предусматривается.

Объектом исследования являются числовые множества.

Предметом - рассмотрение методики преподавания числовых систем в средней школе.

Целью курсовой работы является выявление методических принципов способствующих эффективному усвоению теории числовых систем в школьном курсе математики.

Задачи курсовой работы:

    • Анализ литературных источников.
    • Анализ школьных программ и учебников.

    Структура курсовой работы:

    Глава 1 . Развитие понятия числа в математике.

    Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе.

    Глава 1 . Развитие понятия числа в математике

    1. Натуральные числа

    1.1. Возникновение натурального числа

    Возникновение понятия натурального числа вызвано потребностью счета предметов. Сведения о результатах счета первоначально хранили при помощи зарубок на дереве или узелков на веревке. Старейшей известной в настоящее время записью числа является запись на кости в вие 55 зарубок, расположенных по 5. Эта кость найдена в Чехословакии в 193 году. Запись на ней сделана в XXX в. до нашей эры. Предполагают, что кость служила для записи трофеев доисторических охотников. В Западной Европе в XVIII веке пользовались зарубками, обозначающими долги на бирках, раскалывающихся на две половины, одна из которых храниться у должника, другая у кредитора. С течением времени для обозначения чисел начали применять различные символы. Сначала числа обозначали черточками на материале, служащими для записей. Затем были введены знаки для чисел. Параллельно с развитием письменности понятие натурального числа приобретает все более отвлеченную форму. Все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимое в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

    Читайте также: