Метод функций ляпунова кратко
Обновлено: 02.07.2024
Будем рассматривать систему (4.1) из предыдущего параграфа в окрестности точки покоя . Сформулируем теорему Ляпунова об устойчивости.
Если существует непрерывно дифференцируемая функция такая, что
1) в окрестности начала координат, за исключение точки , где ;
2) , то точка покоя системы (4.1) устойчива.
Если обращается в нуль лишь при , то точка покоя асимптотически устойчива.
Функция при этом называется функцией Ляпунова, а называется производной от функции Ляпунова по времени, вычисленной в силу системы (4.1) и обозначается :
Теорема Ляпунова дает метод установления устойчивости точки покоя системы путем подбора соответствующей функции .
Установить устойчивость точки покоя .
в окрестности начала за исключением самого начала. Поэтому все условия теоремы Ляпунова выполнены. Точка покоя системы асимптотически устойчива. Заметим, что установить устойчивость по первому приближению в данном случае невозможно, так как один из корней характеристического уравнения равен нулю.
Как и в предыдущем случае устанавливаем, что в силу теоремы Ляпунова точка покоя устойчива асимптотически:
всюду, за исключением начала координат.
Уравнения первого приближения
Имеют характеристическое уравнение вида
Все корни чисто мнимые, поэтому теоремы об устойчивости по первому приближению не дают ответа на вопрос об устойчивости.
Интерпретация Мак-Куллага — наверно самое простое объяснение эффекта Джанибекова
Такое исследование можно выполнить используя метод функций Ляпунова (второй или прямой метод Ляпунова). И чтобы окончательно закрыть вопрос с гайкой Джанибекова, я решил написать эту заметку.
Пусть имеется система, в общем случае нелинейных дифференциальных уравнений движения некоторой механической системы
где — вектор-столбец переменных состояния системы; — нелинейная вектор функция.
Решение системы (1) дает так называемое невозмущенное движение. По сути это обычный, установившийся режим движения системы под действием приложенных к ней сил. Зададим некоторое возмущение, определяемое вектором отклонений от невозмущенного движения, то есть
Подставляя (3) в (1), получаем
где , и полученное уравнение называется уравнением возмущенного движения, тривиальное решение которого соответствует невозмущенному движению системы.
В нашем случае ограничимся рассмотрением автономной системы, где правая часть явно не зависит от времени
Рассмотрим некоторую скалярную функцию
определенную в некоторой окрестности начала координат, такой что
где — некоторое, достаточно малое, положительное число.
Функция (6) называется знакоопределенной, если в области (7) она принимает значения только одного знака (только положительные либо только отрицательные), и равна нулю лишь в начале координат (при )
Функция (6) называется знакопостоянной, если в области (7) она принимает значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при .
Вычислим полную производную от функции (6) по времени. Так как , по определению полной производной получаем
что, принимая во внимание уравнение (5), эквивалентно соотношению
Функцию (8) называют полной производной функции (6) по времени, составленной в силу уравнения (5).
Два параграфа, что выше, написаны сухим математическим языком определений, и иначе наверное нельзя. Добавим ещё немного формальной математики, сформулировав
Теорема Ляпунова об устойчивости
Если для системы уравнений (5) существует знакоопределённая функция (функция Ляпунова), полная производная по времени которой, составленная в силу системы (5) есть функция знакопостоянная, знака, противоположного V, либо тождественно равная нулю, то точка покоя системы (5) устойчива
Под точкой покоя системы (5) здесь понимается её тривиальное решение, соответствующее невозмущенному движению рассматриваемой механической системы. Грубо говоря, согласно сформулированной теореме, следует подобрать функцию , удовлетворяющую свойствам, указанным в условии теоремы. Если она удовлетворяет данным свойствам, то её называют функцией Ляпунова, и если таковая функция (хотя бы одна!) существует, то установившийся режим движения рассматриваемой механической системы будет устойчивым.
Однако, в данной теореме не идёт речь об асимптотической устойчивости, то есть таком характере движения системы, при котором возмущенное её движение будет стремится к исходному установившемуся режиму. Под устойчивым здесь понимается и такое движение, при котором система будет колебаться в окретсности исходного установившегося режима, но никогда к нему не вернется. Условие асимптотической устойчивости будет более строгим
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости
Если для системы уравнений (5) существует знакоопределённая функция (функция Ляпунова), полная производная по времени которой, составленная в силу системы (5) есть функция знакоопределенная, знака, противоположного V, то точка покоя системы (5) асимптотически устойчива
Асимптотически устойчивая система, после возмущения, будет стремится вернуться к установившемуся режиму движения, то есть решение системы (5) будет сходится к началу координат .
Эти теоремы дают путь к исследованию устойчивости линейных и нелинейных механических систем, более общий, чем исследование по первому приближению.
данная функция — определенно-положительная, причем в сколь угодно большой окрестности точки покоя системы. Или такая функция
будет знакопостоянной, положительной, ибо может быть равна нулю как в точке покоя системы , так и в точке, удовлетворяющей условию .
В случае консервативных механических систем функцией Ляпунова может служить полная механическая энергия системы, которая, при отсутствии диссипации, является константой (знакопостоянна) и ещё производная по времени равная нулю — она ведь константа. И вытекает эта функция из системы уравнений движения, ибо является одним из её интегралов.
Получим два первых интеграла движения, опираясь на систему уравнений, приведенную в тензорном цикле. Оперировать будем тензорными соотношениями, чтобы не терять хватки. Итак, уравнение вращения гайки вокруг центра масс имеет вид
перейдем в данном уравнении к вектору МКД
Умножим уравнение (10) скалярно на удвоенный вектор МКД
Нетрудно заметить, что во втором слагаемом (11) свертка , а в первом — производная от квадрата модуля МКД. Преобразуем уравнение (11) и проинтегрируем его
Выражение (12) есть первый интеграл движения, выражающий постоянство модуля МКД рассматриваемой нами гайки. Чтобы получить ещё один первый интеграл движения, умножим (9) скалярно на вектор угловой скорости
после чего, внезапно, обнаруживаем во втором слагаемом свертку равную нулю, получая уравнение
Вспомним, ведь что-то похожее мы уже видели ранее. Ведь кинетическая энергия тела в его вращении относительно центра масс равна
и если мы продифференцируем её по времени, что получим
в соответствии с этим, мы можем переписать уравнение (13) и проинтегрировать его
Выражение (14) выражает постоянство кинетической энергии вращения гайки вокруг центра масс. Осталось перейти в выражениях (12) и (14) к безразмерным моментам инерции
Полученные уравнения и есть те первые интегралы движения, которые мы используем для построения функции Ляпунова
Метод построения функции Ляпунова из уравнений вида (15) носит название метода интегральных связок Четаева и говорит о том, что означенную функцию можно искать в виде связки интегралов движения вида
где — первые интегралы уравнений возмущенного движения; и — неопределенные константы, подбором которых можно сделать функцию (16) определенно положительной, удовлетворяющей теореме Ляпунова об устойчивости.
Невозмущенное вращение гайки происходит вокруг оси с постоянной угловой скоростью . Возмутим это движение, дав угловой скорости малое приращение , и перепишем выражения (15)
При установившемся вращении гайки с постоянной угловой скоростью, константу можно вычесть из обоих частей получившихся уравнений, получив в их левой части функции
Функция Ляпунова будет иметь вид
Исходя из уравнений (15) понятно, что , значит об асимптотической устойчивости речи не будет. Но, исходя из теоремы Ляпунова, необходимо убедится в том, что функция (18) определенно-положительна. Из выражений (18) и (17) понятно, что её значения положительны при любых , и . Теперь покажем, что (18) обращается в нуль только в точке покоя системы . Выражение (18) равно нулю исключительно в случае
Из первого уравнения системы (19) вычтем второе
Если (момент инерции, вокруг которого вращается гайка наибольший), или же (момент инерции, вокруг которого вращается гайка наименьший), то равенство (20) будет справедливо лишь в случае когда . Учтем данный факт и сложим уравнения (19)
Уравнение (21) справедливо при и при . Но, так как мы полагаем , функция (18) будет равна нулю исключительно в точке покоя системы .
Таким образом, вращение гайки вокруг оси с наименьшим и наибольшим моментом инерции будет устойчивым по Ляпунову.
Однако, спешу заметить, что при , или , то есть когда момент инерции относительно оси, вокруг которой происходит вращение имеет промежуточное между максимальным и минимальным значение, функцию (18) уже нельзя назвать определенной положительно, из-за того что слагаемые в (20) будут иметь разные знаки. Но совершенно нельзя сказать о том, что движение будет неустойчивым. Особенность теорем Ляпунова об устойчивости в том, что они декларируют условие устойчивости, но не декларируют обратного. Неустойчивость движения придется доказывать отдельно.
Областью будем называть какую либо область окрестности , где для некоторой функции выполняется условие , причем на границе области и точка покоя системы принадлежит этой границе.
Теорема Четаева о неустойчивости
Если дифференциальные уравнения возмущенного движения (5) таковы, что существует функция , такая, что в сколь угодно малой окрестности
существует область , и во всех точках этой области производная в силу уравнений (5) принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.
Функция о которой говорится в теореме называется функцией Четаева. Теперь рассмотрим снова нашу гайку, уравнения вращения которой выглядят так (с учетом работы в связанных с телом декартовых координатах и введенных нами безразмерных моментов инерции)
Учитывая, что изначально вращение происходит с постоянной угловой скоростью вокруг оси , построим уравнения возмущенного движения. Будем считать, что — этого всегда можно добиться выбором осей собственной системы координат.
Построим функцию Четаева
Точка покоя системы лежит на границе , а функция (23) положительна при . Производная по времени от (23) в силу (22) имеет вид
В силу того, что , а так же при условии вращения гайки вокруг среднего момента инерции, так что , то есть , производная (24) положительна в области , а значит движение будет неустойчивым.
Если же, как в рассматриваемом нами изначально случае, , или , то в качестве функции Четаева выберем
Тогда область соответствует условию , точка покоя системы так же лежит на её границе, а производная (25), равная
так же будет положительна. Движение будет неустойчивым.
Данная статья — дополнение к статье об устойчивости движения гайки Джанибекова. Основной материал взят из приведенных выше литературных источников, а так же сайта Math Help Planet. Авторский вклад в эту статью — поэтапное подробное рассмотрение второго метода Ляпунова на примере конкретной задачи. Кроме того, чуть более развернуто, чем в книге Маркеева, рассмотрен вопрос о неустойчивости движения применительно к различным вариантам соотношения между моментами инерции гайки.
Таким образом считаю, что я исправил недочет, связанный с неполнотой изложения вопроса о причинах эффекта Джанибекова. А заодно и сам подробнее изучил второй метод Ляпунова.
при помощи подходящим образом подобранной функции — функции Ляпунова , причем делается это без предварительного нахождения решений системы.
Ограничимся рассмотрением автономных систем
для которых , есть точка покоя.
Функция , определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной), если она в области
где — достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в ноль лишь при . Так, в случае и
будут определенно-положительными, причем здесь величина называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области (2) может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в ноль и при . Например, функция
будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию можно записать так: откуда видно, что она обращается в ноль и при , а именно при и любых и таких, что .
Пусть есть дифференцируемая функция своих аргументов и пусть являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции
Величина , определяемая формулой (3), называется полной производной функции
Теорема (1) Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (1) существует знакоопределенная функция (функция Ляпунова), полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с , системы (1) устойчива.
Теорема (2) Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (I) существует знакоопределенная функция , полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть также функция знакоопределенная, знака противоположного с системы (1) асимптотически устойчива.
Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
Решение. Выберем в качестве функции функцию . Эта функция определенно-положительная. Производная функции
Из теоремы 1 следует, что точка покоя системы (4) устойчива. Однако асимптотической устойчивости нет: траектории системы (4) — окружности и они не стремятся к точке при Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
Решение. Беря опять , найдем
Таким образом, есть определенно-отрицательная функция. В силу теоремы 2 точка покоя системы (5) устойчива асимптотически.
Общего метода построения функции Ляпунова нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде
Пример 3. С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчивость тривиальное решение системы
Решение. Будем искать функцию Ляпунова в виде , где — произвольные параметры. Имеем
Полагая . Таким образом, при всяком будет определенно-положительной, а ее производная , составленная в силу данной системы, является определенно-отрицательной. Из теоремы 2 Ляпунова следует, что тривиальное решение данной системы устойчиво асимптотически .
Если бы в указанной выше форме функцию не удалось найти, то ее следовало бы поискать в форме
Теорема (3) Ляпунова о неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция такая, что . Если ее полная производная , составленная в силу системы (1), есть определенно-положительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция принимает положи тельные значения, то точка покоя , неустойчива.
Теорема (4) Четаева о не устойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности точки покоя , функция , удовлетворяющая в некоторой замкнутой окрестности точки покоя условиям:
1) в сколь угодно малой окрестности существует область , в которой , причем в тех граничных точках , которые являются внутренними для 2) точка покоя является граничной точкой области ;
3) в области производная , составленная в силу системы (1), определенно-положительная.
Тогда точка покоя , системы (1) неустойчива.
Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
Решение. Возьмем функцию . Тогда
есть функция определенно-положительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых ), то выполнены все условия теоремы 3 и точка покоя неустойчива (седло).
Лаборатория автоматизации и цифровой обработки сигналов
Анализ устойчивости систем является одним из важнейших этапов проектирования систем управления, однако при анализе нелинейных, строго говоря, нет метода отвечающего критериям необходимости и достаточности, а критерии являются, как правило только достаточным (для устойчивости). Исходя из этого, для некоторых систем невозможно однозначно говорить о неустойчивости.
В классической теории управления имеется два основных аналитических метода: первый и второй методы Ляпунова, а также достаточно большое количество модификаций второго метода, как не связанного с линеаризацией.
Рассмотрим применение классических методов Ляпунова.
Первый метод Ляпунова
Позволяет судить об устойчивости положения равновесия по линеаризованным уравнениям. Метод основан на утверждениях:
Таким образом для анализа системы по первому методу Ляпунова необходимо:
- Найти положение равновесия системы — движений в системе нет (т.е. скорости и ускорения равны нулю) \[ \frac <\mathrm
v_><\mathrm t>= \] - Линеаризовать систему в окрестности точки равновесия
- Записать полученное линеаризованное дифференциальное уравнение в матричной форме (составить матрицу А)
- Составить характеристический полином линеаризованной системы: \[ = \]
- Найти корни характеристического полинома. По виду корней сделать заключение о характере процессов в системе.
Основными недостатками первого метода Ляпунова являются:
Пример 1.
Исследуем систему описываемую дифференциальными уравнениями:
Шаг 1. Положение равновесия:
Для нахождения точек равновесия левые части уравнений приравниваются к 0, что эквивалентно тому, что переменные состояния являются константами, а все их производные равны 0.
Шаг 2. Линеаризация для малых отклонений
Для линеаризации малых отклонений в точке равновесия старшие степени переменных, входящих в уравнения принимаются равными нулю.
Шаг 3. Линеаризованное управление в матричной форме
Преобразуем полученную линейную систему уравнений в матричный вид.
Шаг 4. Характеристический полином
Шаг 5. Корни характеристического полинома
Приравниваем характеристический полином к 0 и находим корни уравнения.
Заключение об устойчивости системы
Подтвердим теоретический вывод компьютерным моделированием (построением фазового портрета)
При этом, при начальных условиях, находящиеся дальше от точки равновесия, система становится неустойчивой
Пример 2. Нелинейный осциллятор
В качестве второго примера рассмотрим нелинейный осцилятор описываемый системой дифференциальных уравнений:
Аналогично первому примеру выполняем последовательность шагов
Шаг 1. Положение равновесия:
Шаг 2. Линеаризация для малых отклонений
Шаг 3. Линеаризованное управление в матричной форме
Шаг 4. Характеристический полином
Шаг 5. Корни характеристического полинома
Заключение об устойчивости системы
Рассматриваемая система является критическим случаем о ее устойчивости невозможно судить по линеаризованным уравнениям, применяемым в первом методе Ляпунова.
Второй метод Ляпунова
Второй метод Ляпунова не связан с линеаризацией системы, поэтому также называется прямым методом.
Для начала необходимо ввести понятия знакоопределенной, знакопостоянной и знакопеременной функций. Пусть имеется функция нескольких переменных:
Функция \(V \) называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме только самого начала координат
\[ \left ( V\left ( \bar \right )=0 \right ) \]
Функция \(V \) называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.
Функция \(V \) называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.
Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем
Если при заданных в форме
уравнениях системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова
чтобы ее производная по времени
тоже была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак противоположный знаку \(V\), то данная система устойчива.
Для упрощения скажем, что функция Ляпунова должна быть положительной знакоопределенной функцией. Тогда условия теоремы Ляпунова будут выглядеть следующим образом:
Для устойчивости положения равновесия достаточно существования дифференцируемой функции
называемой функцией Ляпунова, удовлетворяющей в окрестности начала координат следующим условиям:
- \(V\left ( v_, v_,…, v_\right ) \geq 0\) причем \(V=0\) лишь при следующем условии, означающем что функция \(V\) имеет строгий минимум в начале координат. \[ \bar= \begin v_ \\ \vdots \\ v_ \end = \bar \]
- Производная функции по времени \[ \frac <\mathrm
V\left ( \bar \right )><\mathrm t>=\sum_^\frac<\partial V><\partial v_>\frac <\mathrm v_><\mathrm t>=\begin \frac<\partial V><\partial v_> & \frac<\partial V><\partial v_> & \cdots & \frac<\partial V><\partial v_>\end\begin\frac <\mathrm v_><\mathrm t>\\ \frac <\mathrm v_><\mathrm t>\\ \vdots \\ \frac <\mathrm v_><\mathrm t>\end \] в силу дифференциального уравнения \(\frac <\mathrm \bar><\mathrm t>=\bar\left ( \bar \right ) \) является отрицательной знакопостоянной функцией, т.е. \[ \frac <\mathrm V\left ( \bar \right )><\mathrm t>=grad\bar\cdot \frac <\mathrm \bar><\mathrm t>=grad\bar\cdot \bar\left ( \bar \right )\leq 0 \] при \(t\geq t_\)
Таким образом, условия:
Для анализа системы по второму методу Ляпунова необходимо:
- Выбрать функцию Ляпунова от n переменных, где n- порядок системы.
- Найти частные производные по переменным.
- Вычислить производную функции по времени \(\frac <\mathrm
V\left ( \bar \right )><\mathrm t>\). Проанализировать полученный знак производной.
Из-за того, что второй метод Ляпунова не связан с линеаризацией, он считается универсальным. Однако он имеет ряд недостатков:
- Нет общих требований по выбору функции V
- Достаточный характер утверждения (если условия не выполняются, то об устойчивости ничего сказать нельзя, а можно посоветовать подобрать другую функцию \(V \))
Пример 3. Нелинейный осциллятор
Проанализируем систему из примера (2).
Шаг 1. Функция Ляпунова
Для начала необходимо выбрать функцию Ляпунова от 2-х переменных (т.к. два вектора состояния):
Шаг 2. Частные производные
Шаг 3. Производная функции
Подставим в выражение значения исходя из ДУ:
Заключение об устойчивости системы
Исследовав систему первым методом Ляпунова мы не смогли сделать конкретный вывод об устойчивости системы, что позволил нам сделать второй метод Ляпунова. В результате мы можем сделать вывод, что система является асимптотически устойчивой.
Аналогично проверим с помощью моделирования:
Пример 4.
Рассмотрим систему, описываемую следующей системой дифференциальных уравнений:
Очевидно, что применение первого метода Ляпунова невозможно, т.к. матрица А состоит из нулей, а, следовательно, собственные значения равны нулю. Поэтому применим второй метод Ляпунова:
Читайте также: