Координатные векторы определение кратко

Обновлено: 05.07.2024

Определение. Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)

рис. 1

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А, а концом - точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a .

Длина вектора

Определение. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB .

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Нулевой вектор

Нулевой вектор обычно обозначается как 0 .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Коллинеарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).

рис. 2

Сонаправленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a ↑↑ b (рис. 3).

рис. 3

Противоположно направленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a ↑↓ b (рис. 4).

рис. 4

Компланарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Равные вектора

Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.

Единичный вектор

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Вспомним, что при умножении вектора на число k ≠ 0 мы получаем два коллинеарных (параллельных) вектора, которые или сонаправлены, если k > 0 , или противоположно направлены, если k 0 . Длины векторов различаются \(k\) раз.

Для неколлинеарных векторов справедливо суждение, что каждый вектор на плоскости можно представить в виде c → = k ⋅ a → + m ⋅ b → . Говорят, что вектор c → разложен по векторам a → и b → , а числа \(k\) и \(m\) называют коэффициентами разложения .

Это справедливо для любого вектора на плоскости, причём коэффициенты определяются единственным образом.

Выберем два не коллинеарных вектора на осях системы координат. Пусть длина каждого из них будет равна единичному отрезку в этой системе координат. Эти векторы называют координатными векторами и обозначают i → и j → .

Если от начала координат отложить вектор a → , то его можно разложить по векторам i → и j → следующим образом: a → = 3 ⋅ i → + 2 ⋅ j → .

Любой вектор, который равен с вектором a → , можно переместить и отложить от начала координат. Следовательно, можем сделать вывод.

Но в то же время в координатной системе можно переместить векторы i → и j → , таким образом определить координаты векторов независимо от их места расположения в координатной системе.

Легко понять, что разница между абсциссами (координатами x) конечной и начальной точки вектора и есть абсцисса вектора, а разница между ординатами (координатами y) конечной и начальной точки вектора есть ордината вектора.

Связь между координатами противоположных векторов следует из того, что, если умножить вектор на \(-1\), результатом будет противоположный вектор.

В прямоугольной системе координат х0у проекции х и у вектора AB на оси абсцисс и ординат называются координатами вектора. Свойства координат вектора. Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В прямоугольной системе координат х0у проекции х и у вектора на оси абсцисс и ординат называются координатами вектора. Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у), а сам вектор как: =(х, у).

Формула определения координат вектора для двухмерных задач.

В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек A(х₁;у₁) и B(x₂;y₂) можно вычислить:

= (x₂ – x₁ ; y₂ – y₁).

Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A(х₁;у₁;z₁) и B(x₂;y₂;z₂) можно вычислить применив формулу:

= (x₂ – x₁ ; y₂ – y₁;z₂ – z₁).

Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора. (Свойство 3, приведенное ниже).

Свойства координат вектора.

1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты.

2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.

3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат.

4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.

5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов.

6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Вектором называется направленный отрезок, один из концов которого является началом, а другой − концом вектора.

Единичные векторы

Единичные векторы трехмерной декартовой системы координат обозначаются следующим образом:

Данная тройка единичных векторов образует базис координатной системы.

Любой вектор можно разложить по базисным векторам. Формула разложения записывается в виде :

\( \mathbf = \mathbf = \left( - > \right)\mathbf + \left( - > \right)\mathbf + \left( - > \right)\mathbf. \)

Длиной (или модулем ) вектора называется расстояние между началом и концом вектора

Противоположные векторы имеют равные длины и направлены в противоположные стороны:
Если \( \mathbf = \mathbf \) , то \( \mathbf = -\mathbf \) .

Величины \( \cos\alpha \) , \( \cos\beta \) , \( \cos\gamma \) являются направляющими косинусами вектора \( \mathbf \) .

Векторы называются коллинеарными , если они параллельны одной и той же прямой.

Векторы являются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. У равных векторов соответствующие координаты также равны:
Если \( \mathbf\left( \right) = \mathbf\left( ,,> \right) \) , то
\( X = \) , \( Y = \) , \( Z = \) .

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

В данной статье дается теоретическое описание векторов, координат векторов и операций над ними.

Данная статья ориентирована в первую очередь на школьников и студентов первых курсов, у которых есть небольшой опыт программирования, но еще нет достаточных знаний в геометрии, чтобы писать игры.

Прежде чем читать эту статью, нужно знать:

что такое прямоугольная система координат и координаты точки на плоскости
что такое теорема Пифагора

Зачем нужны координаты точек в играх

координаты Марио равны (-0.5, -2)
координаты улитки равны (3, -2)
координаты кубика равны (4, 1)

Пример координат вектора

Многие объекты в играх перемещаются, т.е. их координаты меняются. Допустим, наш Марио, подпрыгнув, переместился из точки А с координатами (Ax, Ay) в точку B c координатами (Bx, By) :

Я намеренно не написал конкретные значения для координат точек – пусть они будут произвольными.

Ax + x = Bx
Ay + y = By

Решая эти 2 уравнения, получаем:

x = Bx - Ax
y = By - Ay

Пара (x, y) в нашей задаче является координатами вектора перемещения Марио. Но это - лишь конкретный пример координат вектора. Что такое вектор и что такое его координаты в общем случае? Сейчас узнаем.

Что такое направленный отрезок

Я буду рассказывать о векторах очень близко к курсу школьной геометрии, хотя и добавлю от себя кое-что очень важное.
Для начала узнаем, что такое направленный отрезок.
Направленный отрезок – это отрезок, у которого известно, какая точка начальная, а какая конечная.
Вот пример направленного отрезка (черточка над AB означает, что отрезок - направленный):

Стрелка показывает, что А – начало отрезка, а B – конец.

Что такое вектор

Примечание: о тонкостях приведенного мной определения - в конце статьи.

Равенство векторов

Если задуматься, все направленные отрезки одинаковой длины, которые лежат на параллельных прямых и указывают в одну сторону, имеют одинаковое направление и длину. Следовательно, все эти направленные отрезки представляют один и тот же вектор. Из этого следует определение равенства 2 векторов:

Из данного определения следует, что при параллельном переносе произвольный направленный отрезок продолжает представлять тот же вектор, что он представлял до переноса. Это свойство активно используется для операций над векторами.

Длина вектора

Длина вектора – это длина направленного отрезка, представляющего данный вектор. Обозначают длину вектора так:

Коллинеарные векторы

Если отрезки, представляющие 2 вектора, лежат на параллельных прямых, то векторы, представленные данными отрезками, называют коллинеарными.

На рисунке любая пара из векторов , , является коллинеарными векторами

Пишут:

Нулевой вектор

Вектор, представленный отрезком , называют нулевым вектором и обозначают . Нулевой вектор имеет нулевую длину и неопределенное направление.

Единичные векторы

Вектор , называют единичным вектором, если его длина равна единице:

Обратный вектор

Если вектор представлен отрезком , то отрезок (т.е. отрезок с обратным направлением) представляет обратный к вектору вектор -.

Арифметические операции над векторами

|k*| = |k|*||
k* , если k>0
k* , если k 0, такое, что:
|k * |=1

Т.е. в результате нормализации мы получаем единичный вектор, сонаправленный с исходным вектором
Важно: нулевой вектор НЕЛЬЗЯ нормализовать, так как для любого числа k:

|k* | = |k|*| | = k * 0 = 0

Итак, как же найти это число k?
Распишем |k * | по определению:

|k * | = |k| * || = k * || = 1

Здесь мы убрали с k знак модуля, так как по определению k > 0.
Итак:

k * || = 1

Из этого следует, что:

k = 1 / ||

Т.е. чтобы нормализовать произвольный ненулевой вектор, нам нужно разделить вектор на его длину.

Вроде бы из примера, приведенного в начале статьи, все понятно: координаты вектора - разность координат конца и начала направленного отрезка, представляющего вектор.

Но это не так. Действительно, значения координат вектора численно равны этой разности. Но определение координат вектора в корне отличается от определения координат точки.

Разложение вектора по 2 неколлинеарным векторам

В геометрии доказывается следующий факт.

Ecли мы возьмем 2 неколлинеарных вектора и ,
то для каждого вектора можно подобрать 2 числа k и s, для которых выполняется равенство:

= k* + s*

Векторы и называют координатными векторами.

Определение координат вектора

Теперь если мы для произвольного вектора найдем числа x и y, чтобы выполнялось равенство:

= x* + y*

то пара чисел (x, y) будет называться координатами вектора .
Часто пишут:

= (x, y)

Эта запись означает, что вектор имеет координаты x и y.

Арифметические операции над координатами векторов

- = (-ax, -ay)

k* = (k*ax, k*ay)

Радиус-вектор

Если А – произвольная точка, то радиус-вектором для нее будет называться вектор :

Можно доказать, что численные значения координат точки совпадают со значения координат ее радиус-вектора. Здесь примем это как факт:
=(Ax, Ay)
где (Ax, Ay) - координаты точки A

Связь между координатами вектора и координатами концов отрезка

если – направленный отрезок, представляющий вектор , то значения координат вектора (x, y) вычисляются по формуле:

(x, y) = (Bx - Ax, By - Ay)

где (Ax, Ay), (Bx, By) - координаты точек А и B соответственно.

Докажем это.
Мы можем записать простое равенство для произвольного вектора :

= -

Заметим, что и - радиус векторы.
Из равенства значений координат точки и радиус-вектора и предыдущей формулы следует, что:

(x, y) = (Bx - Ax, By - Ay)

Нахождение длины вектора по его координатам

Пусть у нас есть вектор , представленный отрезком . Координаты вектора равны (x, y).
Чтобы найти длину вектора через его координаты, воспользуемся теоремой Пифагора и равенством:

= +

По теореме Пифагора:

AC = || = |x|,
СB = || = |y|

то в итоге получаем равенство:

Применению векторов в реальных задачах игровой разработки будет посвящена следующая моя статья. В ней практически не будет математики и будет много программирования.

Здесь же я описал то, что будет необходимо для понимания практических приемов использования векторов.
Если не иметь представления, как связаны координаты точек и координаты векторов, очень сложно понять, как работают алгоритмы определения расстояний от точки до геометрической фигуры, алгоритмы обнаружения столкновений и т.д.

Все-таки было бы странно, если бы учебники геометрии, проверенные годами, давали неправильное определение вектора.

Вся хитрость в том, что существует несколько определений вектора даже в рамках геометрии.

Направленный отрезок – тоже вектор, так называемый фиксированный вектор. Но нужно учитывать один важный факт – 2 фиксированных вектора равны тогда и только тогда, когда их концы и начала совпадают. А это не то определение равенства 2 векторов, что дает учебник геометрии.

Определение вектора, данное в этой статье – определение так называемого свободного вектора.
Каждый свободный вектор – это множество фиксированных векторов, которые имеют равную длину и одинаковое направление.

Именно это определение учебник геометрии и пытается дать в неявном виде, когда вводит понятие равенства векторов. Но здесь возникает нестыковка – учебник объясняет, как работать со свободными векторами, изначально дав определение фиксированного вектора.

Надеюсь, вышесказанное объясняет, почему я привел в данной статье "свое" определение вектора.

Читайте также: