Классификация в математике это определение кратко

Обновлено: 05.07.2024

Старая и новая классификации математики. Понятие структуры и связанные с ним другие понятия заняли в современной математике центральное место как с чисто "технической", так и с философской и методологической точек зрения. Общие теоремы основных типов структур служат чрезвычайно мощными инструментами математической "техники". Всякий раз, когда математику удается показать, что изучаемые им объекты удовлетворяют аксиомам определенного типа структур, он тем самым доказывает, что все теоремы теории структуры этого типа применимы к конкретным объектам, изучением которых он занимается (без этих общих теорем он, весьма вероятно, упустил бы из виду конкретные их варианты или был бы вынужден обременять свои рассуждения излишними допущениями). Аналогично, если доказано, что две структуры изоморфны, то число теорем немедленно удваивается: каждая теорема, доказанная для одной из структур, сразу же дает соответствующую теорему для другой. Неудивительно поэтому, что существуют весьма сложные и трудные теории, например "теория поля классов" в теории чисел, главная цель которых - доказательство изоморфизма структур.

С философской точки зрения, широкое использование структур и изоморфизмов демонстрирует основную особенность современной математики - то обстоятельство, что "природа" математических "объектов" не имеет особого значения, значимы лишь отношения между объектами (разновидность принципа неполноты знания).

Наконец, нельзя не упомянуть о том, что понятие структуры позволило по-новому классифицировать разделы математики. До середины 19 в. они различались в соответствии с предметом исследования. Арифметика (или теория чисел) имела дело с целыми числами, геометрия - с прямыми, углами, многоугольниками, окружностями, площадями и т.д. Алгебра занималась почти исключительно методами решения численных уравнений или систем уравнений, аналитическая геометрия разрабатывала методы преобразования геометрических задач в эквивалентные алгебраические задачи. Круг интересов еще одного важнейшего раздела математики, получившего название "математический анализ", включал в основном дифференциальное и интегральное исчисления и различные их приложения к геометрии, алгебре и даже теории чисел. Количество этих приложений увеличивалось, возрастало и их значение, что привело к дроблению математического анализа на подразделы: теорию функций, дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных), дифференциальную геометрию, вариационное исчисление и т.д.

Для многих современных математиков такой подход напоминает историю классификации животных: когда-то и морская черепаха, и тунец считались рыбами, поскольку обитали в воде и имели сходные черты. Современный подход научил нас видеть не только то, что лежит на поверхности, но и заглядывать глубже и пытаться распознавать фундаментальные структуры, лежащие за обманчивой внешностью математических объектов. С этой точки зрения, значение имеет исследование наиболее важных типов структур. Вряд ли в нашем распоряжении имеется полный и окончательный список этих типов; некоторые из них были открыты в последние 20 лет, и есть все основания ожидать в будущем новых открытий. Однако мы уже имеем представление о многих основных "абстрактных" типах структур. (Они "абстрактны" по сравнению с "классическими" объектами математики, хотя и те вряд ли можно назвать "конкретными"; дело скорее в степени абстракции.)

Известные структуры можно классифицировать по входящим в них отношениям или по их сложности. С одной стороны, существует обширный блок "алгебраических" структур, частным случаем которых является, например, групповая структура; среди других алгебраических структур назовем кольца и поля (см. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ). Раздел математики, занимающийся изучением алгебраических структур, получил название "современной алгебры" или "абстрактной алгебры", в отличие от обычной, или классической, алгебры. Значительная часть евклидовой геометрии, неевклидова геометрия и аналитическая геометрия также вошли в состав новой алгебры.

На том же уровне общности находятся два других блока структур. Один из них, называемый общей топологией, включает в себя теории типов структур, частным случаем которых является структура метрического пространства (см. ТОПОЛОГИЯ; АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА). Третий блок составляют теории структур порядка и их расширений. "Расширение" структуры заключается в добавлении к уже имеющимся аксиомам новых. Например, если к аксиомам группы добавить в качестве четвертой аксиомы свойство коммутативности a*b = b*a, то мы получим структуру коммутативной (или абелевой) группы.

Из этих трех блоков два последних до недавнего времени находились в сравнительно стабильном состоянии, а блок "современная алгебра" стремительно разрастался, подчас в неожиданных направлениях (например, получила развитие целая отрасль, получившая название "гомологической алгебры"). За пределами т.н. "чистых" типов структур лежит другой уровень - "смешанных" структур, например алгебраических и топологических, вместе с новыми связывающими их аксиомами. Было изучено множество таких комбинаций, большинство из которых распадаются на два обширных блока - "топологическую алгебру" и "алгебраическую топологию".

Вместе взятые, эти блоки составляют весьма солидную по объему "абстрактную" область науки. Многие математики надеются с помощью новых средств лучше понять классические теории и решить трудные проблемы. Действительно, при соответствующем уровне абстрагирования и обобщения задачи древних могут предстать в новом свете, что позволит найти их решения. Огромные фрагменты классического материала оказались под властью новой математики и были преобразованы или слились с другими теориями. Остаются обширные области, в которых современные методы проникли не столь глубоко. Примерами могут служить теория дифференциальных уравнений и значительная часть теории чисел. Весьма вероятно, что существенный прогресс в этих областях будет достигнут после того, как будут открыты и тщательно изучены новые типы структур.

Во многих математических дисциплинах одной из основных целей является классификация изучаемых объектов в соответствующей подобласти. Во многих областях даже современные исследования еще далеки от полной классификации , но подходы к частичной классификации являются одним из важнейших источников новых терминов и понятий.

Содержание

Классификация по нумерации

Этот тип классификации заключается в предоставлении полного списка классов изоморфизма . Примеры:

  • Каждое векторное пространство над полем изоморфно для определенного кардинального числа . k k п > п
  • Классификация конечных простых групп .

Классификация по инвариантам

Инвариант является свойством объекта , который является так же для всех объектов с классом изоморфизма . Полная система инвариантов является спецификацией нескольких свойств , так что два объекта , которые матч во всех этих свойствах изоморфны. Примеры:

  • Векторные пространства над твердым телом однозначно определяются указанием их размеров, за исключением изоморфизма .
  • Основная теорема о конечно порожденных абелевых групп классифицирует конечно порожденных абелевых групп с точностью до изоморфизма.
  • Закрытые области четко определяются путем указания их пола, за исключением диффеоморфизма .

Классификация через эквивалентность категорий

Слабая форма классификации часто достигается за счет приравнивания категорий к более простой категории. Примеры:

  • Категория частичных расширений расширения тела Галуа эквивалентна категории подгрупп группы Галуа .
  • Категория суперпозиций в топологическом пространстве находится в определенных условиях , эквивалентных категории множеств с работой в фундаментальных группы базового пространства.

Смотри тоже

    Эта страница последний раз была отредактирована 5 июня 2019 в 08:30.

Классификация [classifica­tion] — 1. Отнесение объектов, элементов некоторого множества к тому или иному классу (подмножеству, элементы которого характеризуются неким существенным признаком или группой существенных признаков); 2. Результат этого процесса.

Существенный признак, по которому проводится К., называется ее основанием или критерием. Полученные в результате К. сведения об объекте называются номинальными данными. По своему смыслу К. представляет собой систему с иерархической структурой.

Однако К. в общественных науках не всегда подчиняются приведенным правилам: они не имеют, например, исчерпывающего характера, предусмотренного правилом б), границы между классами в них размыты, неопределенны; критерии К. в них, как правило, являются многомерными: одни и те же характеристики могут быть свойственны разным классам и различия между ними прослеживаются лишь в совокупности характеристик, через их различные комбинации, приоритеты и соотношения. Здесь также более важен, чем в естественных науках, исторический аспект: постоянное взаимопересечение, изменение, возникновение и отмирание классов и самих классифицируемых явлений.

В настоящее время быстро развиваются математико-статистические методы автоматической К. объектов с помощью ЭВМ. В их основе лежит анализ информации о каждом объекте, которая вводится в вычислительное устройство, и определение на ее основе, в соответствии с принятым «решающим правилом«, его принадлежности к тому или иному классу. См. Распознавание образов.

Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело . Л. И. Лопатников . 2003 .

Полезное

Смотреть что такое "Классификация" в других словарях:

КЛАССИФИКАЦИЯ — многоступенчатое, разветвленное деление логического объема понятия. Результатом К. является система соподчиненных понятий: делимое понятие является родом, новые понятия видами, видами видов (подвидами), и т.д. Наиболее сложные и совершенные К.… … Философская энциклопедия

классификация — и, ж. classification f. 1. Действие по знач. гл. классифицировать. Заниматься классификацией собранных в экспедиции материалов. БАС 1. Не браните его хронологическую методу издания граммат: для историка современность лучше нежели классы, а индекс … Исторический словарь галлицизмов русского языка

КЛАССИФИКАЦИЯ — (ново лат. от лат. claseis, и facere делать). Распределение предметов на отделы. См. СИСТЕМАТИКА. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КЛАССИФИКАЦИЯ новолатинск., от лат. classis, и facere, делать.… … Словарь иностранных слов русского языка

классификация — См … Словарь синонимов

КЛАССИФИКАЦИЯ — [аси], классификации, жен. (книжн.). 1. Действие по гл. классифицировать. 2. Система распределения предметов или понятий какой нибудь области на классы, отделы, разряды и т.п. Классификация растений. Классификация минералов. Классификация наук.… … Толковый словарь Ушакова

КЛАССИФИКАЦИЯ — в биологии (от лат. classis разряд, класс и facio делаю), распределение всего множества живых организмов по определ. системе иерархически соподчинённых групп таксонов (классы, семейства, роды, виды и др.). В истории биол. К. было неск. периодов.… … Биологический энциклопедический словарь

КЛАССИФИКАЦИЯ — (от лат. classis разряд и facere делать) распределение, разделение объектов, понятий, названий по классам, группам, разрядам, при котором в одну группу попадают объекты, обладающие общим признаком. Например, классификация отраслей экономики… … Экономический словарь

Классификация — См. ОТЛОЖЕНИЯ ШЕЛЬФА. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия

КЛАССИФИКАЦИЯ — в горном деле разделение частиц измельченных полезных ископаемых на однородные по крупности, плотности и др. продукты (классы). Классификация производится в классификаторах … Большой Энциклопедический словарь

КЛАССИФИКАЦИЯ — (от лат. classis разряд класс и . фикация), в логике система соподчиненных понятий (классов объектов) какой либо области знания или деятельности человека, используемая как средство для установления связей между этими понятиями или классами… … Большой Энциклопедический словарь

Классификация — в информационном поиске процесс распределения документов по категориям. По английски: Classification Синонимы английские: Classifying См. также: Индексирование Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

5. Проверка пра-вильности разбиения

- Ребята! Посмотрите на эти числа: что вы можете сказать о них?

- Да, они двузначные, написаны разными цифрами. Теперь сравните их попарно. Что вы заметили?

- До того, как их разбить на группы, нам нужно выбрать: по какому свойству их разбить. Пока не назвали это свойство – разбиение не делаем.

- Запишем эти группы (показывает на доске форму записи, учащиеся записывают).

- Ребята! Надо запомнить: каждое число должно быть только в одной группе и если их собрать снова, мы должны получить все данные числа.

1) Свойство разбиения? 2) Каждое число встречается…

3)Если собрать числа обратно?

Они двузначные, написаны разными цифрами… (возможны разные ответы)

- Некоторые написаны одинаковыми, некоторые разными цифрами. (При любых ответах учитель подводит учащихся к этому ответу)

- В одну группу надо написать числа, записанные одной и той же цифрой, в другой –с разными.

Учащиеся пишут в тетради:

1) В одной группе числа с одинаковыми, в другой – с разными цифрами.

2) Число 33 – 1 раз, в первой группе, 84 – 1 раз, во второй и т.д.

3) 33 – есть в условии (точкой отметим), 22 – есть и т.д.

- На группы мы разбили правильно.

До тех пор, пока у учащихся не выработается алгоритм классификации, учитель должен продолжать работу с примерами в такой последовательности. После этого сопровождает работу учащихся вопросами типа "Что сделаем первым?" и т.д.

В опыте работы учителей используются разные виды заданий на классификацию. Например, учитель школы N 10 г. Москвы Л.А. Бирюкова предлагает следующие виды заданий: (16, с. 39):

1. Подготовительные задания.

Сюда относятся задания вида: уберите лишний предмет, назовите лишний предмет, нарисуйте фигуру такого же цвета (формы, размера), дайте название группе предметов. Сюда же можно включить задания на развитие внимания и наблюдательности: какой предмет убрали? Положите предметы в той последовательности, в которой они лежали первоначально. Сравните похожие рисунки и найдите отличия и др.

2. Задания, в которых на основание классификации указывает учитель. Например: разбейте данные числа на группы - однозначные числа и двузначные числа: 2, 7, 35, 41, 4, 8, 80, 63, 3.

3. Задания, в которых надо выделить объекты из данной группы по определенному основанию, а затем указать основание для оставшейся группы объектов. Например: выпишите все числа, записанные двумя различными цифрами: 22, 56, 80, 66, 74, 47, 88, 31, 94, 44.

После выполнения им предлагается внимательно посмотреть на те числа, которые остались и назвать признак, являющийся общим для них, т.е. фактически указать основание.

4. Определите основание для классификации следующих примеров:

Использование приема классификации вместе с другими логическими операциями мышления усиливает развивающую роль обучения.

Читайте также: