Классическое определение вероятности кратко

Обновлено: 02.07.2024

Если при проведении испытаний наступает исход, благоприятный событию $A$, то этот исход назовём благоприятным событию $A$.

Вероятность события $A$ — отношение количества благоприятных событию $A$ исходов к общему количеству всех равновозможных исходов.

Решение. Количество элементарных исходов $n=6$. Событие $A$ — выпадение трёх очков. Число случаев, благоприятных событию $A$ равно $m=1$. Получаем:

P ( A ) = m n = 1 6 .

Существует связь между терминами теории вероятностей и теории множеств. Соответствия заключаются в следующем:

испытание с N исходами — множество из N элементов;
отдельный исход испытания — элемент множества;
случайное событие — подмножество;
невозможное событие — пустое множество;
достоверное событие — подмножество, которое совпадает со всем множеством;
вероятность события — доля (часть) элементов подмножества среди всех элементов множества.

Случайные события называются не совместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Теорема

Если события $A$ и $B$ не совместны, то вероятность того, что наступит или $A$, или $B$, равна $P(A) + P(B)$.

Теорема

Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: $P(B) = 1-P(A)$.

Но встречаются испытания и с бесконечным множеством исходов. К ним классическая вероятностная схема уже неприменима. В таком случае применяют правило нахождения геометрической вероятности .

Пусть фигура $X$ является частью фигуры $Y$. Тогда вероятность того, что случайно выбранная из фигуры $Y$ точка будет принадлежать фигуре $X$, равна P = S ( X ) S ( Y ) , где $S(X)$ — площадь фигуры $X$, $S(Y)$ — площадь фигуры $Y$.

Аналогично поступают с множествами на числовой прямой (тогда площади заменяем на длину числовых множеств) и с пространственными телами (тогда площади заменяем на объёмы пространственных тел).

в прямоугольник $5×4$ cm 2 помещён круг радиуса $1,5$ $cm$. В прямоугольник случайным образом поставили одну точку. Какова вероятность того, что эта точка будет находиться внутри круга?

Решение: по определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т. е. P = S круга S прямоугольника = π ⋅ 1,5 2 5 ⋅ 4 = 0,353 .

Классификация событий на возможные, вероятные и случайные. Понятия простого и сложного элементарного события. Операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события и её свойства. Элементы комбинаторики в теории вероятностей. Геометрическая вероятность. Аксиомы теории вероятностей.

Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом , или испытанием , понимается осуществление определённого комплекса условий.

Можно привести бесчисленное множество подобных примеров. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита и т.д.

Различают события совместные и несовместные . События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие достоверным , если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным.

Событие называется возможным , или случайным , если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

События называются равновозможными , если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий . Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. — появление шара с номером. События образуют полную группу совместных событий.

Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием

Операции над событиями

При разработке аппарата и методики исследования случайных событий в теории вероятностей очень важным является понятие суммы и произведения событий.

Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Сумма событий обозначается так:

Например, если событие Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Произведение событий обозначается

Например, если событие , тогда событие

Классическое определение вероятности случайного события

Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события.

Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Вероятность события единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число , число случаев , благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по формуле (1.1).

Из формулы (1.1) следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев:

Свойства вероятности

Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию , так как в этом случае

Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию , так как в этом случае :

Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события

где — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Элементы комбинаторики

В теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания. Если дано множество , то размещением (сочетанием) из элементов по . При перестановкой из элементов.

Пусть, например, дано множество . Размещениями из трех элементов этого множества по два являются , , , , , ; сочетаниями — , , .

Два сочетания различаются хотя бы одним элементом, а размещения различаются либо самими элементами, либо порядком их следования. Число сочетаний из элементов по ,

есть число размещений из элементов по — число перестановок из

Пример 2. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 6 деталей ровно 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. равно — числу сочетаний из 10 элементов по 6. Число исходов, благоприятствующих событию способами; при этом остальные способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно . Исходная вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

Статистическое определение вероятности

Формулу (1.1) используют для непосредственного вычисления вероятностей событий только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев. На практике часто классическое определение вероятности неприменимо по двум причинам: во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев должно быть конечно. На самом же деле оно зачастую не ограничено. Во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.

Частота появления событий при многократно повторяющихся Опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связать некоторую постоянную величину, около которой группируются частоты и которая является характеристикой объективной связи между комплексом условий, при которых проводятся опыты, и событием.

Вероятностью случайного события называется число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

Преимущество статистического способа определения вероятности состоит в том, что он опирается на реальный эксперимент. Однако его существенный недостаток заключается в том, что для определения вероятности необходимо выполнить большое число опытов, которые очень часто связаны с материальными затратами. Статистическое определение вероятности события хотя и достаточно полно раскрывает содержание этого понятия, но не дает возможности фактического вычисления вероятности.

Геометрическая вероятность

В классическом определении вероятности рассматривается полная группа конечного числа равновозможных событий. На практике очень часто число возможных исходов испытаний бесконечно. В таких случаях классическое определение вероятности неприменимо. Однако иногда в подобных случаях можно воспользоваться другим методом вычисления вероятности. Для определенности ограничимся двумерным случаем.

Пусть на плоскости задана некоторая область , в которой содержится другая область (рис. 3). В область

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности.

Пример 3. Круглая мишень вращается с постоянной угловой скоростью. Пятая часть мишени окрашена в зеленый цвет, а остальная — в белый (рис. 4). По мишени производится выстрел так, что попадание в мишень — событие достоверное. Требуется определить вероятность попадания в сектор мишени, окрашенный в зелёный цвет.

Решение. Обозначим . Вероятность получена как отношение площади части мишени, окрашенной в зелёный цвет, ко всей площади мишени, поскольку попадания в любые части мишени равновозможны.

Аксиомы теории вероятностей

Из статистического определения вероятности случайного события следует, что вероятность события есть число, около которого группируются частоты этого события, наблюдаемые на опыте. Поэтому аксиомы теории вероятностей вводятся так, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты.

Аксиома 1. Каждому событию , удовлетворяющее условию и называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Аксиома 4. (аксиома сложения). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей .

Событие — это явление, про которое можно сказать, что оно произойдёт или не произойдёт при определённых условиях.

События обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C, . .

Любое событие происходит в следствии испытания ( эксперимента, опыта ). Испытание — это условия, в результате которых происходит или не происходит событие.

► Например, процесс подбрасывания монеты, выстрел с намерением поразить цель представляют собой испытания. Появление загаданной стороны монеты, попадание в цель в результате выстрела — события. ◄

События делят на случайные, достоверные и невозможные .

Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания.

Достоверным называют событие, которое в результате данного испытания произойдёт обязательно. Будем обозначать E .

Невозможным называется событие, которое в результате данного испытания не может произойти. Часто обозначают ∅ .

► Например, рассмотрим испытание состоящее в одном подбрасывании игральной кости (кубика) и следующие три события:

А — выпадет чётное число очков (случайное событие);

В — выпадет натуральное число (достоверное событие);

С — выпадет число 10 (невозможное событие). ◄

Теория вероятностей — раздел математики, который изучает закономерности случайных событий.

Равновозможные события — события, каждое из которых по объективным причинам не имеет никаких преимуществ произойти чаще чем другое при многоразовых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.

Несовместные (несовместимые) события — это такие несколько событий, никакие два из которых не могут произойти в результате одного испытания. В противном случае события называются совместными (совместимыми) .

Полной группой (системой) событий называется множество таких событий, что в результате каждого испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

Если полная группа состоит из двух событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и А .

Если события образуют полную группу событий, являются несовместными и равновозможными, то говорят, что они образовывают пространство элементарных событий .

Вынимание из стандартной колоды карт: А — дамы, В — короля, С — туза, — это три равновозможные события.

Вынимание из стандартной колоды карт: А — карты чёрной масти, В — карты красной масти — несовместные события.

Вынимание из стандартной колоды карт: А — карты чёрной масти, В — тройки — совместные события.

Вынимание из стандартной колоды карт: А — карты червовой масти, В — карта бубновой масти, С — карты пиковой или трефовой масти — полная группа событий. События А, В, С не образовывают пространство элементарных событий, так как А и С , В и С не являются равновозможными.

Вынимание из стандартной колоды карт: А — четырёх карт, среди которых хотя бы одна является тузом, А — четырёх карт, среди которых нет ни одного туза — противоположные события.

Вынимание из стандартной колоды карт: A₁ — туза, A₂ — двойки, A₃ — тройки, . , A₁₂ — дамы, A₁₃ — короля — пространство элементарных событий. ◄

Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события А , называется вероятностью этого события и обозначается P(А) .

Классическое определение вероятности

Вероятность события А равна отношению числа m исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А , к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, то есть $$P(A)=\frac.$$

► Например, вероятность того, что при подбрасывании двух монет выпадут два герба, равна 1/₄ , так как множество всех равновозможных несовместных исходов состоит из 4 элементов:

A₁ — выпали два герба;

A₂ — выпали герб и число;

A₃ — выпали число и герб;

A₄ — выпали два числа,

и только один исход, A₁ , благоприятствует рассматриваемому событию. ◄

Из классического определениям вероятности вытекают следующие элементарные свойства:

1. Вероятность любого события S есть неотрицательное число, не превосходящее единицы $$0\leqslant P(S)\leqslant 1.$$

2. Вероятность случайного события А больше нуля, но меньше единицы$$ 0 Суммой двух событий A и B называется событие C , которое заключается в том, что произойдёт или событие A , или событие B , или события A и B одновременно. Обозначается так$$C=A+B$$или$$C=A \cup B$$Аналогично определяется сумма нескольких событий. Обозначения в этом случае:$$C=A_1+A_2~+~. ~+~A_n$$или$$C=A_1 \cup A_2 ~\cup~ . ~\cup~ A_n=\bigcup_^A_i$$

Произведением двух событий A и B называется событие C , которое заключается в том, что произойдёт и событие A , и событие B одновременно. Обозначается так$$C=A\cdot B$$или$$C=A \cap B$$Аналогично определяется произведение нескольких событий. Обозначения в этом случае:$$C=A_1\cdot A_2~\cdot~ . ~\cdot~ A_n$$или$$C=A_1 \cap A_2~ \cap~ . ~\cap~ A_n=\bigcap_^A_i$$

Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:$$P(A_1+A_2~+~. ~+~A_n)=P(A_1)+P(A_2)~+~. ~+~P(A_n)$$или$$P\left (\sum_^A_i \right ) = \sum_^P\left (A_i \right ).$$

► Например, если стрелок стреляет в мишень, которая разделена на две области, и вероятность попадания в первую область равна 0,45, а во вторую — 0,35, то вероятность попадания в мишень составляет 0,45 + 0,35 = 0,8. ◄

Справедливы следующие следствия:

Если события А₁ , А₂ , . , А n образуют, полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Теорема умножения вероятностей

Два события называются независимыми , если вероятность появления каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:$$P(A_1\cdot A_2~\cdot~. ~\cdot~A_n)=P(A_1)\cdot P(A_2)~\cdot~. ~\cdot~P(A_n)$$или$$P\left (\prod_^A_i \right ) = \prod_^P\left (A_i \right ).$$

► Например, если два стрелка одновременно и независимо друг от друга стреляют в мишень, а вероятность попадания в мишень соответственно равна 0,8 и 0,75, то вероятность попадания в цель обоими стрелками составляет 0,8 · 0,75 = 0,6. ◄

Схема Бернулли

Взаимно независимыми называются такие испытания, исход каждого из которых не зависит от результатов остальных, как уже проведённых, так и тех, которые только предстоит провести.

► Например, взаимно независимыми испытаниями можно считать:

многократные извлечения из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки и усталости от многократной стрельбы не учитываются). ◄

проводятся n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может произойти или не произойти. Вероятность того, что случайное событие A произойдёт постоянна в каждом испытании и равна p , а вероятность того, что не произойдёт, — q = 1 – p . Нужно найти вероятность P_m,n того, что событие A настанет m раз в этих n испытаниях.

Искомую вероятность можно вычислить по формуле Бернулли :$$P_=C_^p^mq^=\frac\cdot p^mq^.$$

► Например, вычислим вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, не больше трех дочерей.

Будем полагать вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми. Рассмотрим события:

A — в семье не более трёх дочерей;

A₀ — в семье нет дочерей;

A₁ — в семье одна дочь;

A₂ — в семье две дочери;

A₃ — в семье три дочери.

Вероятность рождения девочки p = 1 /₂ , мальчика q = 1 /₂ . По формуле Бернулли определим вероятность каждого из событий:

Статистическое определение вероятности

Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:$$W(A)=\frac,$$где m — число появлений события А , n — общее число проведённых испытаний.

Заметим, что классическое определение вероятности позволяет вычислить вероятность случайного события до проведения испытания и даже без него, а относительная частота считается только в результате серии испытаний.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости . Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события.

Статистическое определение вероятности

Статистической вероятностью события A называется предел, к которому стремится относительная частота W(A) события A при неограниченном увеличении числа испытаний, то есть $$P(A)=\lim_W(A)=\lim_\frac.$$

► Например, опыт с многократным подбрасыванием монеты осуществляли многие естествоиспытатели. Жорж-Луи Леклерк де Бюффон (1707–1788) и Карл Пирсон (1857–1936) одни из них. Вот результаты их экспериментов:

опыты	количество подбрасываний монеты	количество выпадений герба	относительная частота
опыт Бюффона	4 040	2 048	0,5 069
1-й опыт К. Пирсона	12 000	6 019	0,5 016
2-й опыт К. Пирсона	24 000	12 012	0,5 005

Из приведенной таблицы видно, что относительные частоты появления герба мало отличаются от числа 0,5 , причем при увеличении числа опытов n отклонение частоты W(A) от классической вероятности 0,5 только уменьшается и стремиться к нулю. ◄

Закон больших чисел

Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Простейшая из них — устойчивость частоты — лежит в основе всех приложений теории вероятностей к практике. Общий смысл подобных закономерностей в следующем.

Представим, что производится большая серия однотипных испытаний. Исход каждого отдельного испытания является случайным и непредсказуемым. Однако, не смотря на это, средний результат всей серии испытаний утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определённым постоянным. Одной из этих теорем является

Если в серии испытаний вероятность некоторого события A остаётся каждый раз постоянной, то при достаточно большом количестве испытаний частота появления события W(A) отличается от его вероятности P(A) на величину меньшую сколь угодно малого положительного числа:$$|W(A)-P(A)| ► Например, по современным представлениям, газы состоят из отдельных частиц — молекул, которые находятся в хаотическом движении, и нельзя точно сказать, где в данный момент находится и с какой скоростью движется та или иная молекула. Однако, наблюдения показывают, что суммарное действие молекул, например давление газа на стенку сосуда, проявляется с поразительным постоянством. Оно определяется числом ударов и силой каждого из них. Хотя и первое, и второе являются делом случая, приборы не улавливают колебаний давления газа, находящегося в нормальных условиях. Это объясняется тем, что благодаря огромному числу молекул даже в самых небольших объёмах изменение давления на заметную величину практически невозможно. Следовательно, физический закон, утверждающий постоянство давления газа, является проявлением закона больших чисел. ◄

Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности имеет свои ограничения к применению. Его не получится использовать в случаях, когда приходится иметь дело с бесконечным числом возможных исходов испытания. К таким случаям относится например задача Бюффона :

На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии R. На плоскость наудачу брошена игла длины r . Какова вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую?

Для решения подобных задач используют следующие геометрические соображения. Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы — это отдельные точки области G , любое событие — это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G . Можно считать, что все точки G "равноправны" и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:$$P(A)=\frac,$$где mes(A) — геометрическая мера (длина, площадь или объём) исходов, благоприятствующих событию А ;

mes(G) — геометрическая мера (длина, площадь или объём) всего пространства элементарных исходов.

► Например. На окружности случайным образом выбраны три точки A , B , C . Какова вероятность того, что треугольник A B C остроугольный?

(a)

(b)

(c)

Пусть D — событие, заключающееся в том, что треугольник A B C остроугольный.

Зафиксируем точку A и введём обозначения, как показано на рисунке (а) . Так как угол γ однозначно определяется парой углов α и β , то пространство всех исходов G и пространство благоприятных исходов D можно задать парами (α; β) , которые удовлетворяют определённым требованиям.$$G=\left \< (\alpha ;~\beta )~|~0 0, ~\alpha +\beta α + β , то множество всех возможных исходов (α; β) находится в закрашенном треугольнике на рисунке (b) и mes(G) равна его площади:$$mes(G)=\frac<2\pi \cdot 2\pi >=2\pi ^2.$$

Есть три группы событий: достоверные, невозможные и случайные. Часть из них можно объяснить при помощи математики и других точных наук. В этом материале расскажем про теорию вероятностей, рассмотрим формулы и примеры решения задач.

О чем эта статья:

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Событие и виды событий

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.

Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.

Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.

Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.

Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:

A₀ — в результате броска монеты выпадет орел;

Ā₀ — в результате броска монеты выпадет решка.

Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A₁, или событие A₂, или событие A₃, или событие A₄, или событие A₅.

Событие (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие B₁,2 = B₁ + B₂ (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.

Событие B_Ч = B₂ + B₄ + B₆ (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.

Умножение событий

Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A₁A₂A₃ … A₁₀ подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A₁, и событие A₂, и событие A₃. и событие A₁₀.

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:

A₁ — на 1-й монете выпадет орел;

Ā₁ — на 1-й монете выпадет решка;

A₂ — на 2-й монете выпадет орел;

Ā₂ — на 2-й монете выпадет решка.

событие A₁A₁ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;

событие Ā₂Ā₂ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;

событие A₁Ā₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;

событие Ā₁A₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.

Классическое определение и формула вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Как решать задачи по теории вероятности

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Читайте также: